POTENCIAL VECTOR

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Capítulo 10 grifith traducido

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Captulo 10Potenciales y campos10.1 La formulacin del Potencial10.1.1 escalar y potencial vectorEn este captulo nos preguntamos cmo las fuentes ( y J) generan campos elctricos y magnticos, es decir, buscamos la solucin general de las ecuaciones de Maxwell,

Dados (r, t) y J (r, t), cules son los campos E (r, t) y B (r, t)? En el caso esttico ley de Coulomb y la ley de Biot-Savart proporcionar la respuesta. Lo que estamos buscando, entonces, es la generalizacin de las leyes para configuraciones dependientes del tiempo. Esto no es un problema fcil, y vale la pena empezar por los campos que se representan en trminos de los potenciales. En la electrosttica nos permiti escribir E como el gradiente de un campo potencial escalar: En la electrodinmica esto ya no es posible, porque la divergencia de E es distinta de cero. Pero B sigue siendo divergente, por lo que todava puede escribirse

como en magnetosttica. Poniendo esto en la ley de Faraday (iii) resulta

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Aqu hay una cantidad, que no es solamente E, cuyo rotor se anula, por lo tanto puede escribirse como el gradiente de un campo escalar: En trminos de V y A, entonces,

Esto se reduce a la forma antigua, por supuesto, cuando A es constante. La utilizacin del potencial (Ecs. 10.2 y 10.3) automticamente cumple las dos ecuaciones homognea de Maxwell, (ii) y (iii). Qu le parece la ley de Gauss (i) y la ley de Ampere Maxwell (iv)? Reemplazando la ecuacin. 10.3 en (i), nos encontramos con que esto reemplaza la ecuacin de Poisson (a la que se reduce en el caso esttico). Reemplazando las ecuaciones. 10.2 y 10.3 en (iv) resulta

o, utilizando la identidad vectorial V x (V x A) = V (V A). - V2A, y reordenando un poco los trminos:

Las ecuaciones 10.4 y 10.5 contienen toda la informacin de las ecuaciones de Maxwell. Ejemplo 10.1 Determinar la carga y la distribucin de corriente que dara lugar a los potenciales

donde k es una constante, y Solucin: En primer lugar vamos a determinar los campos elctricos y magnticos, utilizando las ecuaciones. 10.2 y 10.3:

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(mas para x> 0, menos para x c.t el mensaje (que la corriente est fluyendo ahora) no ha llegado todava, por lo que los campos son iguales a cero. Problema 10.1 Demostrar que las ecuaciones diferenciales de V y A (Ecs. 10.4 y 10.5) se puede escribir en la forma ms simtrica

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Problema 10.2 Para la configuracin en el ejemplo. 10.1, considera una caja rectangular de longitud l, anchura W, y la altura h, situado a una distancia d por encima del plano yz (Fig. 10.2). (a) Determinar la energa en la caja en el tiempo t1 = d / c, y en t2 = (d + h) / c. (b) Encuentre el vector de Poynting, y determinar la energa por unidad de tiempo que fluye en la caja durante el intervalo t1