Mérnöki alapok 2. el őadás - hds.bme.hu · A jellemz ő mozgásforma (egyenes vonalú vagy...

Mérnöki alapok 2. előadás

Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi EgyetemGépészmérnöki Kar

Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék

1111, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334.Tel: 463-16-80 Fax: 463-30-91http://www.vizgep.bme.hu

Készítette: dr. Váradi Sándor

Kerületi sebesség, centripetális gyorsulás

„r” sugár, „ω” szögsebesség: v=rω

Ha ω=áll., |v|=áll. iránya változik

ω== rvv 21

ω=∆

ϕ∆

t

2/ ϕ∆∆ϕ∆ v

Mérnöki alapok. 2. előadás

ha

2

2/

2sin

1

ϕ∆≅

∆=

ϕ∆

v

v

fok5<ϕ

ϕ≈ϕ sin][rad

Centripetális gyorsulás

tv

v∆ω=ϕ∆=

∆

1

r

vr

t

vacp

22

=ω=∆

∆=


Egyenletes körmozgás feltétele

r

vmF

2

=

NYOMATÉK

erő * erőkar (az erő merőleges az erőkarra; vektori szorzat)

A munkával szembeállítva: W skalár; M vektor


Mértékegység: Nm (nem Joule!!!)

TEHETETLENSÉGI NYOMATÉK (Θ)

Pontszerű „m” ; „r” sugáron

Mértékegység: [kgm2]

2mr=Θ

2∑


Általában „ri” sugáron „∆mi” tömeg

Henger esetén

2iirm∑∆=Θ

2

2

1mr=Θ

SZÖGGYORSULÁS

Időegységre eső szögsebesség-változás

Mértékegysége: 1/s2; rad/s2

t∆

ω∆=ε


Egyenletesen változó szögsebesség esetén:

Tállandó 12 ω−ω

==ε

NEWTON 2. törvénye forgó mozgásra

(nem bizonyítás; emlékeztető)

( )t

rm

t

vmmaF

∆

ω∆=

∆

∆≅=

ω∆


tmrF

∆

ω∆=

tmrFr

∆

ω∆=

2

εΘ=M

ANALÓGIA

Egyenes vonalú mozgás Forgó mozgás

idő t [s] idő t [s]

út, elmozdulás s [m] szögelfordulás ϕ [rad]

sebesség v [m/s] szögsebesség ω [rad/s]


sebesség v [m/s] szögsebesség ω [rad/s]

gyorsulás a [m/s2] szöggyorsulás ε [rad/s2]

erő F=ma [N] nyomaték M=Θε [Nm]

tömeg m [kg] Tehetetlenségi nyomaték

Θ [kgm2]

teljesítmény P=Fv [W] teljesítmény P=Mω [W]

Mozgási energia mv2/2 [J] Mozgási energia Θω2/2 [J]

GÉPEK EGYENLETES ÜZEME

GÉP: anyag, információ, energia helyének és/vagy alakjának megváltoztatására szolgál

Csoportosításuknagyságműködési elv: - kalorikus


- hidraulikus- mechanikus- elektromos stb.

felhasználás: - közlekedés- ipar- mezőgazdaság stb.

Energetikai szerep

Közlőmű

Erőgép Munkagép

Hajtómű

Erőgép: a gép szempontjából külső energiát átalakít, legtöbbször (forgó mozgássá) mechanikai munkává


legtöbbször (forgó mozgássá) mechanikai munkává

(M; ω)

Pl.: motor (villamos motor, belső égésű motor), vagy

turbina (gázturbina, gőzturbina)

Közlőmű: mechanikai munkát továbbít, átalakít (sebességváltómű, kardánhajtás, stb.)

Munkagép: mechanikai munkát egy feladat elvégzésére felhasznál (esztergagép, kávédaráló, ventilátor, stb.)

Megjegyzés:


Ugyanaz a gép a vizsgált környezettől függően lehet erőgép, vagy munkagép is.

Például a ventilátor munkagép a motor – ventilátor kapcsolatban, de erőgép a ventilátor – csővezeték kapcsolatban

EGYENLETES ÜZEM

A jellemző mozgásforma (egyenes vonalú vagy körmozgás) időben állandó (stacionárius üzem)

Legegyszerűbb példája: egyenletes vontatás lejtőn


Egyensúly (az erők eredője zérus)

A mozgás irányában: Ft-Fs-Gt=0

Merőlegesen: N+Fn-Gn=0

Súrlódó erő: Fs=µ N=µ (Gn - Fn)= µ (G cosα - F sinβ)

ha G cosα ≥ F sinβ


ha G cosα ≥ F sinβ

Gt = G sinα és Ft = F cosβ helyettesítésével a mozgás irányában az erőegyensúly:

F cosβ-µ (G cosα – F sinβ) – G sinα=0

A vonóerő szükséglet:βµ+β

αµ+α=

sincos

cossinGF

Adott α és µ esetén milyen irányban (β=?) érdemes húzni, ahol a legkisebb a vonóerő?

Adott α és µ esetén a vonóerő képlet számlálója állandó, így


Fmin ott adódik, ahol a nevező maximális

nevező(β) = cosβ + µ sinβ

Vizsgáljuk egyenlőre grafikusan:

A nevező elemeinek vizsgálata:

G =1N súlyú test vontatása αααα=30fokos emelkedőn. (µµµµ =0.1)

0,996

0,998

1

1,002

0,12

0,14

0,16

0,18

0,2

sin

ββ ββ

sinββββ

cosββββ


0,984

0,986

0,988

0,99

0,992

0,994

0 2 4 6 8 10 12

β β β β [[[[fok]

cos ββ ββ

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

sin

ββ ββ;

µµ µµsi

n

µµµµsinββββ

Számítási példa: egységnyi súlyú test α=30°-os hajlásszögű emelkedőn felfelé mozgatása. F=f(α,β,µ) paramétereknek


1,003

1,004

1,005

1,006

neve

ző


0,999

1

1,001

1,002

1,003

0 2 4 6 8 10 12


neve

ző

Számítási példa: egységnyi súlyú test α=30°-os hajlásszögű emelkedőn felfelé mozgatása. F=f(α,β,µ) paramétereknek


0,586

0,5865

0,587


0,5835

0,584

0,5845

0,585

0,5855

0 2 4 6 8 10 12


F [N

]

A számpélda adatai szerint ha α=30° és µ=0.1, akkor a minimum kb. β ≈ 6°-nál adódik és Fmin ≈ 0.995Fβ=0

Ha már deriválni tudnának, akkor


0cossin =βµ+β−=βd

dnevező

opt

opt

opttgβ=

β

β=µ

cos

sin

o

opt arctgarctg 71.51.0 ==µ=β

Nézzük meg a vízszintes síkon való mozgatást (α=0)

Húzás: ha cosβ>0; sinβ>0

Tolás: ha cosβ<0; sinβ>0

Tolás esetén ugyanakkora β-hoz nagyobb F erő tartozik

βµ+β

µ=

sincos

GF

20

π≤β≤

π≤β≤π

2


Tolás esetén ugyanakkora β-hoz nagyobb F erő tartozik

Ha β < 0 (ferde rúddal tolom a testet) cosβ > 0; sinβ < 0; µsinβ < 0, tehát a nevező kisebb mint 1; azaz nehezebb tolni, mint húzni. Ennek ellenére, ha az üzembiztonság fontos: gyermekkocsit mindig tolunk, sohasem húzunk.

Munkavégzés

Hatásfok:

Kérdés: hol maximális a

( ) vhsssttö WWLFhGLFGLLFGLFW +=+∆=+α=+== sin

1sin

sin<

+α

α==η

LFGL

GL

W

W

sö

h


Kérdés: hol maximális a hatásfok? η = η (β)

α, µ, G adott

βµ+β

αµ+α=

sincos

cossinGF

( )β−αµ= sincos FGFs

A szélsőértékhez tartozó megoldás levezetése

ha Fs=0

osztunk Gcosαcosβ-val

( ) ( )1max =η=βη

ββµ+β

αµ+α=β=α sin

sincos

cossinsincos GFG

βµ+α

= tgtg

1


Megoldás: ha α=30°, akkor β=60°

ββµ+

µ+α= tg

tg

tg

11

βµ+βα=βµ+ tgtgtgtg1

βα= tgtg1

α=β

tgtg

1

Tervezzünk sífelvonót!

Számítandó a vonóerő szükséglet:

Adatok:

m=80kg

µ=0.05

α=20°


α=20°

β=30°

=βµ+β

αµ+α=

sincos

cossin1 mgF

Nsmkgoo

oo

6.34230sin*05.030cos

20cos*05.020sin*/81.9*80 2

=+

+=

Kötélerő: K1=F1cosβ=296.7N≈300N

Ha csákányos, akkor egy csákányra két ember jut, 50 csákány esetén az eredő vonóerő:


K=100*K1=3*104N

Lejtőn magára hagyott kocsi (erőegyensúly alapján)

Egy lejtős földúton magára hagyott kocsi milyen esetben mozog egyenletes sebességgel lefelé? A felfújható


A felfújható gumitömlő és a földút közötti ellenállás-tényező értéke: µ=0.045.

αµ=αµ=µ==α=α= coscossinsin mgGGFmgGG nst

α=µ tgo

arctgarctg 58.2045.0 ==µ=α

(Az energia megmaradási törvény alapján)

Természetesen az eredmény azonos az előző megoldásban adódottal:

smgsFWmgshmgE ssh αµ===α=∆=∆ cossin

α=µ tgo

arctgarctg 58.2045.0 ==µ=α


α=µ tg arctgarctg 58.2045.0 ==µ=α

Mérnöki alapok 2. el őadás - hds.bme.hu · A jellemz ő mozgásforma (egyenes vonalú vagy...

Documents

Transcript of Mérnöki alapok 2. el őadás - hds.bme.hu · A jellemz ő mozgásforma (egyenes vonalú vagy...