MODELADO DE SISTEMAS MECÁNICOS ROTACIONALESDefinicionesLas variables más comunes para identificar la rotación en sistemas mecánicos son:

θ desplazamiento angular (rad)ω velocidad angular (rad/s)α aceleración angular (rad/s2)τ par torsor (N·m)

Otras variables adicionales de interés son:

w energía (J)

p potencia (w)

La potencia aplicada a un móvil que rota a velocidad ω es,ωτ ⋅=p (1)

La energía total aplicada es,

�+=t

tdptwtw

0

)()()( 0 λλ (2)

Elementos de los sistemas mecánicos rotacionalesMomentos de inerciaCuando se aplica la segunda ley de Newton a cada uno de los diferenciales de masade un cuerpo que está rotando y se integra el resultado a toda la masa del cuerpo seobtiene, para el caso común de momento de inercia constante,

τω =⋅ �I (3)

La energía cinética almacenada en la rotación vale,

2

21 ω⋅= Iwc

(4)

La energía potencial almacenada vale,

hgMwp ⋅⋅= (5)

FricciónLa fricción rotacional se produce cuando dos cuerpos rotan a diferentes velocidadesangulares produciéndose un rozamiento entre ellos.

ωτ ∆⋅= B (6)

Donde B tiene unidades de N·m·s y 12 ωωω −=∆

El par torsor de fricción tiende a reducir la velocidad angular relativa ∆ωElasticidadLa elasticidad a rotación está generalmente asociada a resortes de torsión o ejesdelgados que presentan una relación algebraica entre el par torsor aplicado y el ángulogirado. Para un resorte de torsión lineal,

θτ ∆⋅= k (7)

donde k es la constante del resorte (N·m).

θ, ω, α, τ

La energía potencial almacenada en un resorte a torsión es para un caso lineal,

2)(21 θ∆⋅= Kwp

(8)

PalancasUna palanca ideal es una barra rígida que pivota respecto a un punto y no presentamasa, fricción, momento ni energía almacenada.Las palancas permiten transmitir el movimiento de rotación en sus extremos. Si elángulo rotado es pequeño, el movimiento en los extremos se puede considerartraslacional, y se calculan por medio de relaciones trigonométricas.EngranajesUn engranaje ideal trasmite la rotación y no presenta momento de inercia, energíaalmacenada ni fricción.El tamaño relativo de los engranajes produce una proporcionalidad constante entre losdesplazamientos angulares, velocidades angulares y pares torsores trasmitidos. Parael análisis de sistemas puede considerarse la simplificación de tratar los engranajescomo discos tangentes en un punto que ruedan sin deslizamiento relativo.EjemploModelar matemáticamente el sistema mecánico indicado donde la entrada es el partorsor τa y la salida el ángulo girado θ

SoluciónSe sustituyen los pares torsores por su valor en el diagrama de sólido libre. Se debentener siempre en cuenta las leyes de interconexión; el principio de D’Alembert, la leyde acción y reacción y la ley de los desplazamientos angulares.

La suma los pares de torsión debe ser nula. Reordenando términos se obtiene unsistema de 2º orden clásico con perturbación exterior asociada al par torsor aplicado:

)()()()( ttktBtI aτθθθ =++ ���

I

ω

θ

τa(t)

K

B

�J

θ�B

Kθ

τa(t)