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Linhas de transmissão

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• As LT podem ser descritas em termos de parâmetros distribuídos. Cada troço elementar de

linha Δz é modelado por parâmetros R, L, G e C definidos por unidade de comprimento:

R – resistência em série dos condutores [Ω/m]

L – indutância em série dos condutores [H/m]

G – condutância em paralelo [S/m]

C – capacidade em paralelo [F/m]

L – A indutância em série representa a indutância própria dos 2 condutores.

C – A capacidade em paralelo é devida à proximidade dos dois condutores.

R – A resistência em série representa a resistência devida á condutividade finita dos condutores.

G – Contabiliza as perdas dieléctricas no material entre condutores.

R e G – Traduzem perdas

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a) Dieléctrico com perdas

G – dieléctrico com perdas σd ≠ 0

b) Condutor com perdas => aparecimento de uma componente , deixa de ser um modo TEM.

c) R = Ri – resistência interna dos condutores

Li, Ci ≈ 0 normalmente desprezam-se

• A teoria das linhas de transmissão estabelece a ponte entre a análise dos campos electromagnéticos e a teoria dos circuitos.

• Os fenómenos de propagação de ondas em linhas de transmissão podem ser abordados como uma extensão da teoria dos circuitos ou como uma especialização das equações de Maxwell.

• A diferença fundamental entre a teoria dos circuitos e a teoria da linha de transmissão é o comprimento eléctrico. Nos circuitos as dimensões físicas são muito menores que o comprimento de onda, enquanto que nas linhas de transmissão são uma fracção considerável do comprimento de onda.

• A linha de transmissão é vista como um circuito de parâmetros distribuídos, em que a tensão e a corrente variam em amplitude e fase ao longo da linha

zE

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iCeCCiLeLL

eGGeCC

eCeL

2IeL21

mW

2VeC21

eW

21

HdeL

VQ

eC

iCeCC

I

l

Exterior ao condutor perfeito

Auto indução exterior ao condutor perfeito

Energia eléctrica

Energia magnética

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Equações canónicas das linhas de transmissão:

VcjGVcjVRdz

Id

ILjRILjIRdzVd

)z(VCj)z(VGdz

)z(Id

)z(ILj)z(IRdz

)z(Vd

t)t,z(VC)t,z(VG

z)t,z(I

)t,z(tIL)t,z(IR

z)t,z(V

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As eqs. resolvem-se em ordem a :

zjkjcjGLjRqueem

0I22dz

I2d

0V22dz

V2d

)I(

IeV

a) Condutores perfeitos (σ = ∞)

R = 0 Modos TEM → kz= k0

b) Materiais de boa qualidade (situação real)

Bons dieléctricos e bons condutores e/ou alta frequência

ω L >> R

ω c >> G

Solução geral das eqs (I):

ze0Z2aze

0Z1a)z(I

ze2aze1a)z(V

Onda incidente Onda reflectida

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Gera-se uma onda incidente de tensão a partir da fonte que dá origem a uma onda incidente

de corrente, que está relacionada com V através da impedância característica. Mas quando

a linha está terminada por Zs ≠ Z0, a razão em V e I é Zs. Por isso surge uma onda reflectida

de modo a satisfazer esta condição.

ll

ll1

11l

e2rV2ae2iV1a

2rV2iV

e2a1a2V)z(V

2I)z(Ie2V)z(Vzem

ze0Z2aze

0Z1a)z(I

ze2aze1a)z(V

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0ZsZsZsZ

2I0Z2V2I0Z2Vjeksk

2iV2rV

sZ2I2V

22I0Z2V

22I0Z2V

2V2rV

22I0Z2V

2iV

2I0Z2rV

0Z2iV

0Z2V

0Z2rV

0Z2iV

2V2rV2iV

2V2rV2iV

)z(e

0Z2rV)z(

e0Z2iV)z(I

)z(e2rV)z(e2iV)z(V

ll

ll

ks - factor de reflexão na carga

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y2cosk2y2e2ky2e2iI)y(I

y2cosk2y2e2ky2e2iV)y(V

yjeyejekyjeyeyjeyejekyjeye2iV)y(V

yeskye0Z2iV

)y(I

yeskye2iV)y(V

• A tensão e a corrente na linha consistem na sobreposição da onda incidente e da onda reflectida. Tais ondas designam-se por ondas estacionárias. Apenas quando Z s = Z0 não há onda reflectida (ks = 0).

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4y

k12iV)y(V

2m

4máxy

k12iV)y(V

m2máxy2

Primeiro máximo de tensão:

2ky2cosk212iI)y(I

2ky2cosk212iV)y(V

a) A tensão é máxima quando:

Linha sem perdas

• Nos planos em que a tensão é máxima a corrente é mínima.

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a) Plano de máximo ymáx de tensão

b) Plano de mínimo ymin de tensão

Nos planos de Vmáx ou Vmin (Imin ou Imáx) a impedância da linha é óhmica pura.

Quando a linha está adaptada p = 1. Quando a linha está terminada por uma reactância pura: um curto circuito ou um vazio: k = 1 e p = ∞

pk1k1

minImáxI

minVmáxV

2m

44miny

1m2miny2

b) A tensão é mínima quando:

c) Factor de onda estacionária

Impedância nos planos de máximo e de mínimo

mRp0Z

k1k1

0ZmáxIminV

minyZ

mRp0Z

k1k1

0ZminImáxV

ymáxZ

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Linha com perdas

y2cosk2y2e2ky2e2

2iI)y(I

y2cosk2y2e2ky2e2

2iV)y(V

yekye2iV

Vy

yekye2iV)y(V

k2y2e2ky2e2

2iV)y(V

Quando cos (2βy - Ө) ═ 1 tem-se:

Quando cos (2βy - Ө) ═ -1

Quando há perdas os pontos de estacionaridade das

funções deixam de coincidir com os de

cos (2βy - Ө).

Quando há fracas perdas α << 1 os pontos estão

próximos.

2iIyI

e2iV)y(V

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Impedância da linha

A impedância da linha (cociente entre a tensão e a corrente) varia ao longo da linha.

À distância y = l da carga tem-se:

ll

l

l

ll

l

ll

tgSZj0Ztg0ZjsZ

0Z)y(Z

0ZsZ0ZsZ

sk

2jesk1

2jesk10Z)y(Z

yjeskyje0Z2iV

)y(I

yjeskyje2iV)y(V

)y(I)y(V

)y(Z

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I) Linha sem perdas

R =0, G = 0 CjGLjRZCjGLjR

00Xe)(constanteCL

0Xj0R0Z

LC1vf

LC0LCjj

b) Velocidade de fase

c) Impedância característica

a) Constante de propagação:

(função linear de ω)

(constante)

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II) Linha com fracas perdas

R << ωL (relações facilmente verificadas em altas frequências)

G << ωC

a) Constante de propagação

LCeCLG

LCR

21

CLG

LRR

21LCj

CG

LR

j211LCj

Cj2G1

Lj2R1LCj

CjG1

jLR1LCjj

(função aproximada linear com ω)

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a) Velocidade de fase

CjGLjRZ

0CG

LR

21

CL

0XeCLR

CG

LR

j211

CL

Cj2G1

Lj2R1

CL

CjG1

1Lj

R1CL

0Xj0R0Z

LC1vf

(Aproximadamente constante)

c) Impedância característica

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