MINISTERIO DE EDUCACION

CURSO DE POSTGRADO

TERCER CICLO DE EDUCACION BASICA

ESPECIALIDAD EN MATEMATICA

CURSO 4

TRIGONOMETRIA Y TRANSFORMACIONES GEOMETRICAS EN

EL PLANO

CARTA DIDÁCTICA

SABADO 2: 25/JUNIO/2011

Objetivos específicos:

1. Determinar la igualdad de las cofunciones de ángulos agudos complementarios.

2. Deducir otras identidades aplicando las identidades trigonométricas fundamentales.

3. Encontrar los valores exactos de las funciones trigonométricas de

= 45°,

= 30° 𝑦

= 60°.

4. Elaborar estrategias específicas de resolución de problemas que involucran propiedades de las funciones trigonométricas.

Metodología: ver carta didáctica del sábado 18 de junio.

Actividades:

1.1 (8:00-8:15) Establecer el teorema de ángulos complementarios.

Dos ángulos agudos se llaman complementarios si su suma es un ángulo recto. Por tanto, para un triángulo rectángulo los dos ángulos agudos son

complementarios. Llamemos a estos ángulos α y β, tal como se muestra en la figura siguiente, con a, b y c los lados del triángulo.

Observe que el lado a es opuesto al ángulo α y adyacente al ángulo β. De manera similar, el lado b es opuesto al ángulo β y adyacente al ángulo α. Por

tanto, se obtienen las identidades siguientes:

𝑠𝑒𝑛 𝛽 = 𝑏

𝑐 = cos 𝛼, cos 𝛽 =

𝑎

𝑐= 𝑠𝑒𝑛 𝛼, 𝑡𝑎𝑛𝛽 =

𝑏

𝑎= 𝑐𝑜𝑡𝛼

𝑐𝑠𝑐𝛽 =𝑐

𝑏= 𝑠𝑒𝑐𝛼, 𝑠𝑒𝑐𝛽 =

𝑐

𝑎= 𝑐𝑠𝑐𝛼, 𝑐𝑜𝑡𝛽 =

𝑎

𝑏= 𝑡𝑎𝑛𝛼

Debido a estas relaciones, las funciones seno y coseno, tangente y cotangente, secante y cosecante reciben el nombre de cofunciones una de

la otra. En resumen, las identidades anteriores expresan que las cofunciones de ángulos complementarios son iguales.

De otra manera, si θ es un ángulo agudo medido en grados o radianes, su complementario respectivo es 90° − 𝜃 𝑜

2− 𝜃. Así,

Entonces, se tienen las siguientes identidades

θ en Grados θ en Radianes

sen θ = cos (90° − 𝜃) sen θ = cos (

2− 𝜃)

cos θ = sen (90° − 𝜃) cos θ = sen (

2− 𝜃)

tan θ = cot (90° − 𝜃) tan θ = cot (

2− 𝜃)

csc θ = sec (90° − 𝜃) csc θ = sec (

2− 𝜃)

sec θ = csc (90° − 𝜃) sec θ = csc (

2− 𝜃)

cot θ = tan (90° − 𝜃) cot θ = tan (

2− 𝜃)

Más adelante se verá que estos resultados son válidos para cualquier ángulo θ.

1.2 (8:15-8:45) Ejercicios

Encuentre el valor exacto de las expresiones siguientes:

a) sen 38°- cos 52°, b) cos 35°sen 55°+ cos 55°sen 35°, c) sec 35°csc 55°- tan 35°cot 55°, 𝑑) 1 − 𝑐𝑜𝑠220° − 𝑐𝑜𝑠270° y

𝑒) 1 + 𝑡𝑎𝑛25° − 𝑐𝑠𝑐285°.

Dado 𝑡𝑎𝑛𝜃 = 4, encuentre el valor exacto de: 𝑎) 𝑠𝑒𝑐2𝜃, 𝑏) 𝑐𝑜𝑡𝜃, c) cot (

2− 𝜃) , 𝑑) 𝑐𝑠𝑐2𝜃,

Encuentre un ángulo agudo θ que satisfaga cada una de las ecuaciones siguientes: 𝑎) 𝑠𝑒𝑛𝜃 = cos(2𝜃 + 30°) 𝑦 𝑏) 𝑡𝑎𝑛𝜃 = cot (𝜃 +45°)

1.3 (8:45-9:50) Problemas

1.3.1 (8:45-9:00) Suponga que el ángulo θ es un ángulo central de una circunferencia de radio 1, tal como se muestra en la figura siguiente.

Demuestre que:

< OAC = 𝜃

2

𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝐶𝐷 𝑦 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑂𝐷

𝑡𝑎𝑛𝜃

2=

𝜃

𝜃

1.3.2 (9:00-9:15) En la siguiente figura la circunferencia de radio a es tangente a la de radio b. El rayo OA contiene un diámetro de cada circunferencia y

el rayo OB es tangente a cada circunferencia.

Demuestre que 𝑐𝑜𝑠𝜃 =√

. Sugerencia: Primero demuestre que 𝑠𝑒𝑛𝜃 =

.

1.3.3 (9:15-9:35) En la figura siguiente OA=1.

Demuestre que

(OAC) =

2𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼

(OCB) =

2𝑂𝐵2𝑠𝑒𝑛𝛽 𝑐𝑜𝑠𝛽

(OCB) =

2𝑂𝐵 𝑠𝑒𝑛(𝛼 + 𝛽)

𝑂𝐵 = 𝛼

𝛽

𝑠𝑒𝑛(𝛼 + 𝛽) = 𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛽 + 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑠𝑒𝑛𝛽

1.3.4 (9:35-9:50) Si 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑡𝑎𝑛𝛽 y 𝑐𝑜𝑠𝛽 = 𝑡𝑎𝑛𝛼, donde 𝛼 𝑦 β son ángulos agudos, demuestre que 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 𝑠𝑒𝑛𝛽 = √ √

2.

1.4 (9:50-10:20) RECESO

1.5 (10:20-10:40) Encontrar los valores exactos de las seis funciones trigonométricas de

= 45°.

Considere el triángulo rectángulo siguiente, en donde uno de los ángulos es de

= 45°.

Se deduce que el otro ángulo agudo también es

= 45° y, por tanto, el triángulo es isósceles. Y como los valores de las funciones trigonométricas de

un ángulo solo dependen del ángulo y no del tamaño del triángulo, podemos tomar el triángulo tal que a = b = 1. Entonces, por el Teorema de Pitágoras,

se obtiene 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 = 1 + 1 = 2, es decir, 𝑐 = √2. Como resultado se obtiene el triángulo siguiente:

De aquí se obtiene:

𝑠𝑒𝑛𝜋

4= 𝑠𝑒𝑛45° =

𝑏

𝑐=

1

√2=√2

2 𝑦 𝑐𝑜𝑠

𝜋

4= 𝑐𝑜𝑠45° =

𝑎

𝑐=

1

√2=√2

2

Si se utilizan las identidades fundamentales, se tiene

𝑡𝑎𝑛𝜋

4= 𝑡𝑎𝑛45° =

𝑠𝑒𝑛45°

𝑐𝑜𝑠45°=

√22

√22

= 1 , 𝑐𝑜𝑡𝜋

4= 𝑐𝑜𝑡45° =

1

𝑡𝑎𝑛45°=1

1= 1, 𝑠𝑒𝑐

𝜋

4= 𝑠𝑒𝑐45° =

1

𝑐𝑜𝑠45°= √2, 𝑐𝑠𝑐

𝜋

4= 𝑐𝑠𝑐45° =

1

𝑠𝑒𝑛45°= √2

1.6 (10:40-11:00) Encontrar los valores exactos de las seis funciones trigonométricas de

= 30° 𝑦

= 60°.

Se toma un triángulo rectángulo en el que uno de sus ángulos es de

= 30° . Entonces el otro ángulo agudo es

= 60°. Podemos tomar la hipotenusa

de longitud c=2.

El problema es determinar a y b. Para ello colocamos al lado derecho de este triángulo otro triangulo congruente con él, tal como se muestra en la figura

siguiente

Observe que ahora se tiene un triángulo equilátero y, por tanto, a=1. Por el Teorema de Pitágoras, 𝑏 = √3. Como resultado se obtiene el triángulo

siguiente

𝑠𝑒𝑛𝜋

6= 𝑠𝑒𝑛30° =

𝑎

𝑐=1

2 𝑦 𝑐𝑜𝑠

𝜋

6= 𝑐𝑜𝑠30° =

𝑏

𝑐=√3

2

𝑡𝑎𝑛𝜋

6= 𝑡𝑎𝑛30° =

𝑠𝑒𝑛30°

𝑐𝑜𝑠30°=

12

√32

=√3

3 , 𝑐𝑜𝑡

𝜋

6= 𝑐𝑜𝑡30° =

1

𝑡𝑎𝑛30°= √3 , 𝑠𝑒𝑐

𝜋

6= 𝑠𝑒𝑐30° =

1

𝑐𝑜𝑠30°=2√3

3, 𝑐𝑠𝑐

𝜋

6= 𝑐𝑠𝑐30° = 2

𝑠𝑒𝑛𝜋

3= 𝑠𝑒𝑛60° =

𝑏

𝑐=√3

2 𝑦 𝑐𝑜𝑠

𝜋

3= 𝑐𝑜𝑠60° =

𝑎

𝑐=1

2

𝑡𝑎𝑛𝜋

3= 𝑡𝑎𝑛60° =

𝑠𝑒𝑛60°

𝑐𝑜𝑠60°= √3 , 𝑐𝑜𝑡

𝜋

3= 𝑐𝑜𝑡60° =

1

𝑡𝑎𝑛60°=

√3

3, 𝑠𝑒𝑐

𝜋

3= 𝑠𝑒𝑐60° =

1

𝑐𝑜𝑠60°= 2, 𝑐𝑠𝑐

𝜋

3= 𝑐𝑠𝑐60° =

2√3

3

1.7 (11:00-11:30) Deducción de identidades. En los siguientes ejercicios, transformar el primer miembro en el segundo:

𝜃− 1 = 𝑡𝑎𝑛2𝜃

𝜃

𝜃=

𝜃

𝜃

𝜃

𝜃 = 𝑡𝑎𝑛2𝜃

1.8 (11:30-12:00) Examen corto No. 1

Tarea.

1. Encuentre el valor exacto de las expresiones siguientes:

a) 2sen 45°+ 4 cos 30°, b) cos 45°sen 45°+ cos 30°sen 30°, c) 𝑠𝑒𝑐

+ 2𝑐𝑠𝑐

, 𝑑) 1 − 𝑐𝑜𝑠230° − 𝑐𝑜𝑠260° y

𝑒) 1 + 𝑡𝑎𝑛230° − 𝑐𝑠𝑐245°.

2. Dado csc𝜃 = 4, encuentre el valor exacto de: 𝑎) 𝑐𝑜𝑡2𝜃, 𝑏) 𝑡𝑎𝑛𝜃, c) sec (

2− 𝜃) , 𝑑) 𝑠𝑒𝑐2𝜃,

3. En los siguientes ejercicios, transformar el primer miembro en el segundo:

𝑠𝑒𝑛𝛼 + 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝛼 𝛼

𝛼 𝛼

𝑐𝑜𝑠2𝛼 − 𝑠𝑒𝑛2𝛼 = 2 𝑐𝑜𝑠2𝛼 − 1

𝑐𝑜𝑠2𝛼 − 𝑠𝑒𝑛2𝛼 = 1 − 2 𝑠𝑒𝑛2𝛼

𝛼

𝛼+

𝛼

𝛼+

𝛼

𝛼=

2 𝛼

𝛼

(𝑡𝑎𝑛𝛼 − 𝑠𝑒𝑛𝛼)2 + (1 − 𝑐𝑜𝑠𝛼)2 = (1 − 𝑠𝑒𝑐𝛼)2

Recursos.

Material del curso

Carta didáctica