Math b

Β΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 10

Άλγεβρα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΕΙΣ

Επιμεριστική ιδιότητα: α β γ α β α γ

Α. Να λυθούν οι εξισώσεις: 1) 2x 5 10 2) 2x 6 12 3) 2 x 2 10 4) 2x 3 3x x 7

5)

x 3 2x 34 5

6)

2 α 1α 3 α 5

2 3

7)

x 1 3 2x3 2 x 3x 22 4

8)

2x 3 3x 1 x 3 12 4 4

9) 2 2x 1 5 11 4 x 1 10)

x 2 x 1 x23 3 6

11)

6x 1 2x 3 16x 12 10 5

Β. Να λυθούν οι ανισώσεις:

2x 82x 82 2

x 4

ΠΡΟΣΟΧΗ!

1) 2x 7 x 10 2) 5 x 3 2x 7x 4

3) 2x 7 x 3 x 1 4) 3 x 5 4 x 8 2 x 11

5)

3x 1 3x 4 2x 32 6 2

6)

3 y 1 2 y 3y 10 1

5 10

7) 5 x 3 2x 7x 4 8)

x x 1 3x 1x 25 2 10

9) 2 x 41 3x x 22

2 3 4

Γ. Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων: 1) 2 x 18 7 x 1 2 και 3 5 x 1 7x 4

2) 7x 8 x 23

και

x 3 x 2 1x4 3 2

3)

x 2 x x4 3 6

και

x 2 4 xx 3 12 2

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 11

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1. Ένας πατέρας είναι 30 χρόνια μεγαλύτερος από το γιο του. Πριν 5

χρόνια, η ηλικία του γιου του ήταν το 13 της ηλικίας του πατέρα.

Να βρεθούν οι ηλικίες πατέρα και γιου. 2. Σε μια εκδρομή οι άντρες ήταν τριπλάσιοι των γυναικών. Μετά από

την αναχώρηση τεσσάρων αντρών μαζί με τις γυναίκες τους, έμειναν επταπλάσιοι άντρες από γυναίκες. Πόσοι ήταν οι άντρες και πόσες οι γυναίκες;

3. Ένας πτηνοτρόφος είχε μία ποσότητα αυγών. Απ’ αυτά πούλησε τα 23

και του έσπασαν τα 310

. Έμειναν 110 αυγά. Πόσα είχε αρχικά;

4. Μία βρύση γεμίζει μια δεξαμενή σε 12 ώρες, ενώ μία άλλη σε 8 ώρες.

Μία τρίτη αδειάζει τη δεξαμενή σε 6 ώρες. Αν ανοίξουμε και τις τρεις βρύσες μαζί, σε πόσες ώρες θα γεμίσει;

ΤΕΣΤ 1. Να λυθούν οι εξισώσεις: 1) 2x 3x 5 3x 4 x x x 2 x 5

2)

2x 7 x 5x 23 2

3)

2 x 53x 16 7x

4 20 5

2. Να λυθούν οι ανισώσεις: 1) 3 x 4 4 x 3 2 x 3

2)

x 1 x 2 x2 3 6

3. Να βρείτε, εάν υπάρχουν, τις κοινές λύσεις των ανισώσεων:

1) x x1 22 5

και

3 x 1 1 x

4 2 3

2) 2 x 1 5 x 2 και 3 x 3 2x 10



ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΕΙΣ

1. Έστω η συνάρτηση y 3x 2 . α) Να βρεθούν δύο συναρτήσεις που να έχουν γραφικές παραστάσεις

παράλληλες με αυτήν. β) Να κάνετε τη γραφική της παράσταση. γ) Το σημείο (1, 5) ανήκει στη γραφική της παράσταση;

2. Μία ευθεία διέρχεται από την αρχή των αξόνων και από το σημείο (4, 3). Ποια είναι η εξίσωσή της;

3. Το ίδιο με την προηγούμενη για το σημείο (–1, 2). 4. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που περνά από τα σημεία Α(0, 1)

και Β(–2, 3). 5. Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο έχει εμβαδόν 2 dm2. Να εκφράσετε το

ύψος του σε συνάρτηση με τη βάση και να κάνετε γραφική παράσταση.

6. Εάν y 2x 1, να συμπληρωθεί ο πίνακας:

1x 12

y 1 5

7. Ποιος από τους παρακάτω πίνακες εκφράζει ανάλογα και ποιος αντι-στρόφως ανάλογα ποσά;

x 0,5 1 2 3y 2,5 5 10 15

x 1 2 4 10y 20 10 5 2

ΤΕΣΤ 1. α) Να εκφράσετε την περίμετρο ενός ρόμβου ως συνάρτηση της πλευ-

ράς του. β) Ο τύπος μιας συνάρτησης είναι y 3x 4 . Να συμπληρώσετε τον

πίνακα τιμών:

x 3 1 0y 5 0 2

2. α) Οι συναρτήσεις 1y x 32

και y 3x β έχουν την ίδια τιμή για

x 4 . Να υπολογιστεί το β.

β) Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των y 2x και 2yx.

3. Με 21 κιλά αλεύρι, φτιάχνουμε 28 κιλά ψωμί. Πόσα κιλά αλεύρι χρει-άζονται για 360 κιλά ψωμί;

4. Οι 24 εργάτες τελειώνουν ένα έργο σε 25 ημέρες. Εάν θέλουμε το έρ-γο να τελείωσει 5 ημέρες νωρίτερα, πόσους εργάτες πρέπει να προσ-λάβουμε ακόμη;


5. α) Ποια ποσά λέγονται ΑΝΑΛΟΓΑ και ποια συνάρτηση τα εκφράζει; β) Ποια ποσά λέγονται ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ και ποια συνάρτηση τα

εκφράζει;


Γεωμετρία ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΕΙΣ

1. Να βρεθεί η περίμετρος ενός ισοσκελούς τραπεζίου εάν ΓΔ 2 ΑΒ και ΑΒ 12 cm , ΔΕ 4 cm (βλέπε σχήμα).

2. Να βρεθεί το εμβαδόν ενός ισοσκελούς τριγώνου με βάση 16 cm και

αντίστοιχο ύψος ίσο με τα 38 της βάσης.

3. Η υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι 10 cm και η μία κάθε-τη πλευρά του 8 cm. Να βρεθεί το εμβαδόν του.

4. Η περίμετρος ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι 50 cm και η βάση του 24 cm. Να υπολογιστεί το εμβαδόν του.

5. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με AB ΑΓ 10 cm και ΒΓ 12 cm , να βρεθεί το υα και το εμβαδόν.

6. Το εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου είναι 6 cm2. Εάν η μία κάθετη πλευρά του είναι 4 cm, να βρεθεί το μήκος της υποτείνουσας.

7. Να βρεθεί το εμβαδόν ορθογωνίου παραλληλογράμμου, αν η μία πλευρά του είναι 6 cm και η διαγώνιος 10 cm.

8. Στο διπλανό σχήμα να υπολογιστεί το

ύψος ΑΔ. 9. Στο διπλανό τραπέζιο να υπολογιστούν: i) το εμβαδόν. ii) η περίμετρος.

Δ Γ

Α Ε Β 12 cm

Δ48 cm

52 cm

A Β

Γ

8 cm

10 cm

6 cm


10. Να δειχτεί ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο. 11. Να βρεθεί η τιμή του x στα παρακάτω ορθογώνια: i) ii) 12. Να δειχθεί ότι το τρίγωνο με κορυφές τα σημεία Α 2,4 , Β 5,1 και

Γ 5,7 είναι:

i) Ορθογώνιο ii) Ισοσκελές 13. Σ’ ένα σύστημα αξόνων πάρτε τα σημεία Α 0,4 , Β 3, 2 , Γ 3, 2 . Να

δειχθούν: i) το ΑΒΓ είναι ισοσκελές. ii) η περίμετρός του. iii) το εμβαδόν του.

ΤΕΣΤ 1. i) Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει

2 2 2α β γ , τότε είναι σωστό ότι α β γ ;

ii) Αν στο διπλανό τρίγωνο ισχύει 2 2 2ΑΒ ΒΓ ΑΓ , είναι το τρίγωνο ορ-

θογώνιο; iii) Αν το σημείο Α(α, β) βρίσκεται

στο δεύτερο τεταρτημόριο ενός συστή-ματος αξόνων, που βρίσκεται το ση-μείο Β(α, -β);

2. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ ΑΓ 13 cm και ΒΓ 10 cm . Να βρεθεί το ύψος από την κορυφή Α και το εμβαδόν του τριγώνου.

3. Ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ οΑ 90 έχει υποτείνουσα ΒΓ 11 cm και

ΑΒ 7 cm . Να υπολογίσετε το εμβαδόν του.

A

ΒΓ

4cm 9cm6cm

A Β

Γ

12cm

x+ 8cm

x

A Β

Γ

15cm

x+ 5cm

x

A Β

Γ



ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΕΙΣ

1. Εάν ΑΒΓ ορθογώνιο τρίγωνο με οΑ 90 και οΒ 40 και ΑΒ 10 cm , να βρεθούν οι πλευρές ΑΓ και ΒΓ.

2. Να βρεθεί το ημίτονο, το συνημίτονο και η εφαπτομένη της γωνίας Β

ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ οΑ 90 , όταν ΑΒ 12 και ΒΓ 15 .

3. Σε ένα ορθογώνιο ΑΒΓ οΑ 90 να δειχθούν οι σχέσεις:

α) ημΓ συνΒ β) 2 2ημ Β ημ Γ 1

γ) ημΒεφΒσυνΒ

δ) 2

β γημΒ συνΒα

ε)

2 2 2

2 εφΒ 2 β γ1 εφ Β γ β

στ)

ημΓ συνΒ εφΓσυνΓ ημΒ

ζ)

1 ημΒ α βσυνΒ γ

4. Σε ένα ορθογώνιο ΑΒΓ οΑ 90 , οΒ 30 και ΒΓ 6 cm , να υπολογι-

στούν οι κάθετες πλευρές και η γωνία Γ . 5. Να υπολογιστούν οι παραστάσεις: ο ο ο οΑ ημ30 συν60 συν30 ημ60

2 ο 2 ο 2 οΒ εφ 30 εφ 45 εφ 60

6. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ ΑΓ , η βάση ΒΓ 6 cm και οι παρά τη βάση ίσες γωνίες είναι 30ο η κάθε μία. Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώ-νου.

7. Να δειχθεί ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: 1E α γ ημΒ2

.

8. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ ΑΒ ΑΓ 20 cm και oA 120 , να υπολογίσε-τε:

i) το ύψος ΑΔ. ii) το εμβαδόν του τριγώνου. iii) την περίμετρο του τριγώνου.

9. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ oA 90 με 3εφΒ4 και α 15 cm , να υπο-

λογιστούν οι κάθετες πλευρές του και το εμβαδόν του.

10. Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ είναι oA 150 , ΑΔ 10 cm και ΑΒ 20 cm . Να υπολογίσετε:

i) το ύψος ΑΕ. ii) το εμβαδόν του ΑΒΓΔ.


ΤΕΣΤ 1. Να αποδειχθούν οι παρακάτω ισότητες: i) 2 2ημ Β συν Β 1

ii) 2 2ημ Β ημ Γ 1 2. i) Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς μιας γωνίας 45ο .

ii) Να αποδειχθεί η ισότητα:

2 2 2


σε ένα ορθογώνιο τρίγω-

νο oA 90 .

3. i) Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς μιας γωνίας 30ο . ii) Έστω τρίγωνο ΑΒΓ ισοσκελές με τις ίσες γωνίες του ίσες με 30ο.

Εάν η βάση ΒΓ 6 cm , να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου

oεφ30 0,577 .

4. Σε ένα τρίγωνο ορθογώνιο με oA 90

και γωνία oΒ 40 να βρεθούν οι πλευρές ΑΓ και ΒΓ, εάν γνωρίζετε ότι ΑΒ 10 cm ( oεφ40 0,839 , oσυν40 0,766 )


ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΕΙΣ

Επίκεντρες – Εγγεγραμμένες γωνίες

1. Σε κύκλο (Ο, ρ) παίρνουμε διαδοχικά τόξα oAB 90 και oBΓ 110 . Να βρεθούν οι γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ.

A Β

Γ

α

γ

β

A Β

Γ

10 cm


2. Στο παρακάτω σχήμα να υπολογιστούν οι γωνίες ΑΓΒ και ΑΒΔ .

(ΒΔ εφαπτόμενη του κύκλου στο Β)

3. Σε ένα κύκλο παίρνουμε τρία διαδοχικά τόξα oAB 66 , oΒΓ 80 και oΓΔ 104 . Να υπολογιστούν οι γωνίες του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ, οι γω-νίες των διαγωνιών του και το άθροισμα των απέναντι γωνιών του.

4. Σε κύκλο (Ο, ρ) παίρνουμε μία επίκεντρη γωνία oΑΟΒ 124 και φέρ-νουμε την εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο Β. Να υπολογιστεί η ο-ξεία γωνία που σχηματίζεται από την εφαπτομένη και τη χορδή ΑΒ και να την συγκρίνετε με την εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει στο τόξο ΑΒ.

5. Να υπολογίσετε την κεντρική γωνία και τη γωνία ενός κανονικού 5-γώνου, 6-γώνου, 8-γώνου.

6. Ποιου κανονικού πολυγώνου η κεντρική γωνία είναι 15ο, 72ο, 32 ορ-

θές. 7. Να βρείτε: i) την πλευρά ii) την περίμετρο iii) το απόστημα iv) το εμβαδόν κανονικού εξαγώνου που είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο με ακτίνα 4 cm. 8. Σε έναν κύκλο ακτίνας ρ 5 cm να εγγράψετε ισόπλευρο τρίγωνο και

να υπολογίσετε την περίμετρο και το εμβαδόν του. 9. Ένας κύκλος έχει διάμετρο 10 cm. Να βρείτε το μήκος και το εμβαδόν

του. 10. Το μήκος ενός κύκλου είναι 37,68 cm. Να βρεθεί το εμβαδόν του. 11. Να βρείτε το εμβαδόν και την περίμετρο κυκλικού τομέα 60ο ενός κύ-

κλου με ακτίνα 10 cm. 12. Να βρείτε το εμβαδόν ενός κυκλικού δακτυλίου που σχηματίζεται από

δύο ομόκεντρους κύκλους με ακτίνες 3 cm και 5 cm. 13. Το εμβαδόν ενός τετραγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλου είναι 64 cm2. Να

βρεθεί το μήκος και το εμβαδόν του κύκλου. 14. Να βρείτε πόσες μοίρες είναι τόξο:

1) π rad3

, 2) 3π rad10

, 3) π rad2

, 4) π rad

15. Το μήκος ενός κύκλου είναι 37,68 cm. Να βρεθεί το εμβαδόν ενός τε-τραγώνου που είναι εγγεγραμμένο στον κύκλο.

16. Δίνεται ένα τετράγωνο ΑΒΓΔ με πλευρά 4 cm. Να βρείτε το εμβαδόν του κοινού μέρους των κύκλων (Α, 4 cm) και (Γ, 4 cm).

ΔA

Β

Γ

106o


17. Ένα τόξο 40ο έχει μήκος 15 cm. Να βρεθεί το μήκος και το εμβαδόν του κύκλου.

18. Στο παρακάτω σχήμα να βρεθεί η περίμετρος και το εμβαδόν του γραμ-μοσκιασμένου χωρίου.

(Φτιάχνω κύκλο με κέντρο Α και ακτίνα 2 cm)

19. Στο διπλανό τετράγωνο ΑΒΓΔ με

AB 4 cm , φτιάχνω κύκλους (Α, 2 cm) και (Γ, 2 cm). Να βρεθεί το μήκος και το εμβαδόν του γραμμο-σκιασμένου χωρίου.

Απ.: S = 6,28 cm, ε = 9,72 cm2 20. Σε ένα ημικύκλιο με διάμετρο την ΒΓ παίρνουμε ένα σημείο Α, έτσι

ώστε AB 8 cm και AΓ 6 cm . Να βρεθεί το εμβαδόν του ημικυκλίου που είναι έξω από το τρίγωνο ΑΒΓ.

21. Δίνονται δύο ομόκεντροι κύκλοι. Αν η ακτίνα του ενός κύκλου είναι 5 cm και το μήκος του άλλου 15,7 cm, να βρεθεί το εμβαδόν του κυ-κλικού δακτυλίου που ορίζεται από τους δύο κύκλους.

22. Το εμβαδόν ενός κύκλου είναι 28,26 cm2 και η περίμετρος ενός κυκλι-κού τομέα του 9,14 cm. Να βρεθεί πόσες μοίρες είναι ο κυκλικός το-μέας.

ΤΕΣΤ 1. i) Τι σχέση έχουν μία επίκεντρη και μία εγγεγραμμένη γωνία που

βαίνουν στο ίδιο τόξο; ii) Να αποδειχθεί ο τύπος του εμβαδού ενός κυκλικού τομέα:

2

Κ.Τ.π ρ μΕ

360

.

2. Να βρείτε το εμβαδόν και την περίμετρο κυκλικού τομέα 60ο, ενός κύκλου ακτίνας 10 cm.

A

2 cm2 cm2 cm

Δ

A Β

Γ


3. Να βρείτε το εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης επιφάνειας

AB 8 cm AΓ 5 cm

γραμΕ ;

4. Ομοίως για το παρακάτω τετράγωνο

AB ΒΓ 12 cm AΕ ΕΒ ΒΖ 6 cm

γραμΕ ;

A ΒΓΟ

A Β

ΓΔ

Ε

Ζ

Η

Θ

A Β

ΓΔ

Ε

Ζ

Η

Θ


ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ Β΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΘΕΜΑ 1ο 1. Να συμπληρώσετε τις ιδιότητες των δυνάμεων:

ν μα α ............ ν

μα ............α

να ............ ν

α ............β

2. Αν x 0 να απλοποιηθεί η παράσταση 2 5 7 2

3

x x x : xA

x

και να βρεθεί η

τιμή της αν 1x2

.

ΘΕΜΑ 2ο Να υπολογιστούν οι τιμές των παραστάσεων:

i) 1 3 2 1 1 31 3 14 8 3 4 3 4

ii) x 4 x 5 x 2

x 41 1 1 13 2 4

αν x 1 .

ΘΕΜΑ 3ο 1. Να αντιστοιχίσετε τις παρακάτω εξισώσεις και ανισώσεις της στήλης

Α στις λύσεις του της στήλης Β.

Στήλη Α Στήλη Β

1) x 1 3 2x3 2 x 3x 22 4

α. Αόριστη

2)

12x 2x 1 x 132 3 6 3

β. Αδύνατη

3) 3 x 1 2 x 3x 10 15 10

γ. x 1

4) 2x 7 x 10 δ. x 1

5) x 2 x 1 x23 3 6

ε. x 6

2. Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων: 2 x 18 7 x 1 2 και 3 5 x 1 7x 4


ΘΕΜΑ 4ο

1. Να διατυπωθεί το Πυθαγόρειο Θεώρημα σε τρίγωνο ΑΒΓ με oB 90 . 2. Η περίμετρος ισοσκελούς τριγώνου είναι 50 cm και η βάση του 24 cm.

Να υπολογιστεί το εμβαδόν του. 3. Στο διπλανό σχήμα να υπολογιστεί το ύψος ΑΔ.

ΘΕΜΑ 5ο

1. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ oA 90 , oB 30 και ΒΓ 6 cm , να υπολο-

γιστούν οι κάθετες πλευρές και το εμβαδόν του τριγώνου.

2. Σε ορθογώνιο ΑΒΓ oA 90 , να αποδείξετε τις σχέσεις:

α) 2 2ημ Β ημ Γ 1 β) 2 2 2


3. Σε ισοσκελές ΑΒΓ ΑΒ ΑΓ 20 cm και oA 120 , να υπολογίσετε το ύψος ΑΔ, το εμβαδόν και την περίμετρο του τριγώνου.

ΘΕΜΑ 6ο 1. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που περνά από τα σημεία Α(0, 1)

και Β(-2, 3). 2. Να δώσετε τον ορισμό: πότε δύο ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα; 3. Ένας επιπλοποιός με 8 ώρες εργασίας ημερησίως, φτιάχνει ένα έπιπλο

σε 5 ημέρες. αν εργάζεται 10 ώρες την ημέρα σε πόσες ημέρες θα τε-λειώσει;

ΘΕΜΑ 7ο

1. Στο διπλανό σχήμα είναι oΔΒ 32 και oΑΓ 48 . Να βρεθεί η γωνία φ.

2. Σε έναν κύκλο παίρνουμε δύο διαδοχικά τόξα oΑΒ 74 και oΒΓ 106 .

Φέρνουμε τη διχοτόμο της γωνίας ΑΒΓ , η οποία τέμνει τον κύκλο στο σημείο Δ. Να υπολογίσετε τις γωνίες του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ.

ΘΕΜΑ 8ο 1. Να βρείτε την πλευρά, την περίμετρο, το απόστημα και το εμβαδόν

κανονικού εξαγώνου που είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο με ακτίνα 4 cm.

Δ48 cm

52 cm

A Β

Γ

Α

ΒΓΔ

Ο

φ


2. Ένα τόξο 40ο έχει μήκος 15 cm. Να βρεθεί το μήκος και το εμβαδόν του κύκλου.

ΘΕΜΑ 9ο 1. Να βρεθεί το εμβαδόν του γραμμο-

σκιασμένου χωρίου στο διπλανό σχήμα.

ΑΒ ΒΓ 12 cm ΑE EB BZ 6 cm 2. Ομοίως αν: ΑΒ 8 cm ΑΓ 6 cm

Α

Β Γ

A Β

ΓΔ

Ε

Ζ

Η

Θ

Math b

Documents

Transcript of Math b