Lyc ee Thiers - MP Colle de Maths 6...
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Lyc´ ee Thiers - MP Colle de Maths 6 2017-18 Semaine du 6 au 10 Novembre S´ eries enti` eres: Reprise du programme pr´ ec´ edent. Espaces probabilis´ es : D´ efinitions et propri´ et´ es : Tribu sur un ensemble Ω. Espace probabilisable (Ω, A). Si A est une tribu sur Ω, une probabilit´ e sur (Ω, A) est une application P d´ efinie sur A,` a valeurs dans [0, 1], telle que P (Ω) = 1 et, pour toute suite (A n ) n>0 d’´ ev´ enements deux ` a deux disjoints, on ait : P +∞ [ n=0 A n = +∞ X n=0 P (A n ). Espace probabilis´ e (Ω, A,P ). Si Ω est fini ou d´ enombrable et si A = P (Ω), une probabilit´ e P sur (Ω, A) s’identifie, via la formule P ({ω})= p ω ,` a une famille (p ω ) ω∈Ω de r´ eels positifs sommable de somme 1. Propri´ et´ es ´ el´ ementaires des probabilit´ es : - Si (A n ) n>0 est une suite d’´ ev´ enements croissante pour l’inclusion, alors : P (A n ) -→ n→+∞ P +∞ [ n=0 A n - Si (A n ) n>0 est une suite d’´ ev´ enements d´ ecroissante pour l’inclusion, alors : P (A n ) -→ n→+∞ P +∞ \ n=0 A n - Si (A n ) n>0 est une suite d’´ ev´ enements, alors : P +∞ [ n=0 A n 6 +∞ X n=0 P (A n ). - ´ Ev´ enements n´ egligeables, ´ ev´ enements presque sˆ urs. Une r´ eunion finie ou d´ enombrable d’´ ev´ enements n´ egligeables est n´ egligeable. Probabilit´ es conditionnelles et ind´ ependance : Extension des r´ esultats vus en premi` ere ann´ ee dans le cadre des univers finis : probabilit´ e conditionnelle, formule des probabilit´ es compos´ ees, formule des probabilit´ es totales, formules de Bayes. Couple d’´ ev´ enements ind´ ependants. Famille quelconque d’´ ev´ enements mutuellement ind´ ependants. Questions de cours : Demander ` a chaque ´ el` eve deux d´ eveloppements en s´ erie enti` ere usuels ainsi que l’une des questions de cours suivantes 1) Soit X a n x n de rayon de convergence R> 0. Rayon de convergence de X n≥1 na n x n . 2) D´ eveloppement en s´ erie enti` ere de t 7→ (1 + t) α par la m´ ethode de l’´ equation diff´ erentielle. 3) Banque CCP - Analyse Exo 2 4) Banque CCP - Analyse Exo 20 5) Banque CCP - Analyse Exo 21 6) Banque CCP - Analyse Exo 22 7) Banque CCP - Analyse Exo 24 8) Banque CCP - Analyse Exo 47 9) Banque CCP - Analyse Exo 51 10) Banque CCP : Exercice 101 (Faire effectuer le calcul des a n , b n et c n par une m´ ethode directe sans recours ` a du calcul matriciel) 11) Banque CCP : Exercice 105 12) Banque CCP : Exercice 107 13) Banque CCP : Exercice 112
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Lycee Thiers - MP Colle de Maths 6 2017-18
Semaine du 6 au 10 Novembre
Series entieres:
Reprise du programme precedent.
Espaces probabilises :
Definitions et proprietes : Tribu sur un ensemble Ω. Espace probabilisable (Ω,A).
Si A est une tribu sur Ω, une probabilite sur (Ω,A) est une application P definie sur A, a valeurs dans [0, 1], telle
que P (Ω) = 1 et, pour toute suite (An)n>0 d’evenements deux a deux disjoints, on ait : P
(+∞⋃n=0
An
)=
+∞∑n=0
P (An).
Espace probabilise (Ω,A, P ). Si Ω est fini ou denombrable et si A = P(Ω), une probabilite P sur (Ω,A) s’identifie,via la formule P (ω) = pω, a une famille (pω)ω∈Ω de reels positifs sommable de somme 1.
Proprietes elementaires des probabilites :
- Si (An)n>0 est une suite d’evenements croissante pour l’inclusion, alors : P (An) −→n→+∞
P
(+∞⋃n=0
An
)
- Si (An)n>0 est une suite d’evenements decroissante pour l’inclusion, alors : P (An) −→n→+∞
P
(+∞⋂n=0
An
)
- Si (An)n>0 est une suite d’evenements, alors : P
(+∞⋃n=0
An
)6
+∞∑n=0
P (An).
- Evenements negligeables, evenements presque surs. Une reunion finie ou denombrable d’evenements negligeablesest negligeable.
Probabilites conditionnelles et independance : Extension des resultats vus en premiere annee dans le cadre des universfinis : probabilite conditionnelle, formule des probabilites composees, formule des probabilites totales, formules deBayes. Couple d’evenements independants. Famille quelconque d’evenements mutuellement independants.
Questions de cours : Demander a chaque eleve deux developpements en serie entiere usuels ainsi que l’une des questionsde cours suivantes
1) Soit∑
anxn de rayon de convergence R > 0. Rayon de convergence de
∑n≥1
nanxn.
2) Developpement en serie entiere de t 7→ (1 + t)α par la methode de l’equation differentielle.
3) Banque CCP - Analyse Exo 2
4) Banque CCP - Analyse Exo 20
5) Banque CCP - Analyse Exo 21
6) Banque CCP - Analyse Exo 22
7) Banque CCP - Analyse Exo 24
8) Banque CCP - Analyse Exo 47
9) Banque CCP - Analyse Exo 51
10) Banque CCP : Exercice 101 (Faire effectuer le calcul des an, bn et cn par une methode directe sans recours a ducalcul matriciel)
11) Banque CCP : Exercice 105
12) Banque CCP : Exercice 107
13) Banque CCP : Exercice 112
