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LOGICIEL RDM 6 – FLEXIONEXERCICES

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Une poutre en acier doux ( σlimite=24 kN /cm2et E=21000 kN /cm2 ) est sollicitée par une charge ponctuelle F⃗ de 100 kN (charge non majorée), comme indiqué sur le schéma ci-dessous.

On demande (sans tenir compte du poids propre de la poutre) :

1. diagrammes M et V ;2. Mmax + section dans laquelle M est max ;3. M et V dans la section située à 2 m de l'appui A ;4. M et V dans la section C ;5. réactions d'appui RA et RB ;6. choix du profilé HEB requis ;7. contraintes max ;8. contraintes dans la section située à 2 m de l'appui A ;9. flèche max ;10. flèche à 2 m de l'appui A.

Notes :

• Pour le calcul de résistance, la charge doit être majorée (x 1,5). Par contre, elle ne doit pas l'être pour le calcul de la flèche.

• 1 MPa = 0,1 kN/cm2

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Définir les unités

→ Cliquer sur l'icône U→ Cocher les unités choisies (m, kN, MPa)→ Cliquer OK

Conseil : Utiliser la touche Ctrl et la roulette pour agrandir les écrans

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Introduire la poutre et ses points caractéristiques (appuis, points d'application des forces, extrémités éventuelles si poutre en encorbellement, ...) appelés noeuds

→ Cliquer sur « Fichier »→ Cliquer sur « Nouvelle étude »→ Introduire le nombre de noeuds : 3 puisque on doit introduire 2 appuis (correspondant d'ailleurs aux extrémités de la poutre) et le point d'application de la force F⃗

→ cliquer OK

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→ Introduire les abscisses des noeuds • Noeud 1 (appui A): 0• Noeud 2 (point d'application de la force): 4 • Noeud 3 (appui B): 6

→ Cliquer OK, l'écran suivant apparaît :

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Mise en place des appuis (liaisons)

→ Cliquer sur l'icône « Liaisons » (avant dernière icône de la barre de gauche). L'écran suivant apparaît :

→ Cliquer sur le type d'appui requis : dans le cas d'un appui simple, sur la 2ième icône de la barre « Liaisons » : un carré avec croix apparaît à la place de la flèche de pointage.→ Déplacer ce carré à l'emplacement des appuis et cliquer pour les mettre en place : l'écran suivant apparaît :

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Mise en place des charges

→ Cliquer sur l'icône « Charges » (dernière icône de la barre de gauche). L'écran suivant apparaît :

→ Cliquer sur l'icône « Charge nodale » (1ère icône de la barre « Charges » ) pour introduire la charge ponctuelle sollicitant la poutre.→ Introduire la charge : Fy (kN) = -150

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→ Cliquer sur OK. Un carré avec croix apparaît à la place de la flèche de pointage.→ Déplacer ce carré à l'emplacement de la charge (noeud 2) et cliquer pour la mettre en place : l'écran suivant apparaît :

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Choisir (provisoirement) un profilé

→ Cliquer sur l'icône « Section droite » (3ième icône dans la barre de gauche en partant du bas). L’écran suivant apparaît :

→ Cliquer sur l'icône « Bibliothèque de profilés » (2ième icône de la rangée du dessous de la barre « Sections droites »). L'écran suivant apparaît :

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→ Cliquer sur OK. L'écran suivant apparaît :

→ Cliquer sur OK. L'écran suivant apparaît :

Note : on vient en fait de mettre un profilé IPN 80 en place. Le choix du profilé provisoire est en fait sans importance, le but étant de calculer le moment maximum sollicitant la poutre (et celui-ci, de même que l'effort tranchant, est indépendant de la nature de la section de la poutre).

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Moment fléchissant

→ Cliquer sur l'icône « MF » (barre supérieure). L'écran suivant apparaît avec le diagramme du moment fléchissant :

Et : Mmax = 2.000E+02 = 2 x 102 = 200 kNm, dans la section située au droit de la charge (section C)

Pour trouver la valeur particulière du moment fléchissant dans la section située à 2 m de l'appui A :→ Cliquer sur l'icône « Valeur du graphe en un point » (3ième icône de la barre supérieure en partant de la droite) et introduire l'abscisse , soit 2. L'écran suivant apparaît :

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→ Cliquer OK. L'écran suivant apparaît avec dans la coin inférieur gauche la valeur particulière du moment fléchissant :

Et on a : M = 1,000E+02= 1 x 102 = 100 kNm

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Effort tranchant

→ Cliquer sur l'icône « T » (barre supérieure). L'écran suivant apparaît avec le diagramme de l'effort tranchant :

Et on a :• Vsection à 2 m de A = 50 kN• VC (à gauche) = 50 kN• VC (à droite) = 100 kN

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Réactions d'appui

→ Cliquer sur l'icône « Editer les données » (5ième icône de la barre supérieure), un document apparaît avec différentes données. A la fin de ce document, on trouve les réactions d'appui sous l'intitulé « actions de liaisons ». Voir écran ci-dessous. Ou avec la souris, clic droit sur les appuis.

Et :• RA = 50 kN• RB = 100 kN

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Choix du profilé HEB requis

→ Calculer le module de flexion requis : W ≥M max

σlimite→ W ≥

200 x10024

=833 cm3

→ Cliquer sur l'icône « section droite »→ Cliquer sur l'icône « Bibliothèque de profilés »→ Cliquer dans la liste sur poutrelle HEB

→ Cliquer OK, l'écran ci-dessous apparaît :

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→ Choisir le profilé requis . Il faut « Wel.z (cm3) » ≥ 833 cm3, ce qui va nous amener à choisir un profilé HEB 240

→ Cliquer sur OK. Un carré avec croix apparaît à la place de la flèche de pointage.→ Déplacer ce carré à l'origine de la poutre + cliquer et à l'extrémité + cliquer : la poutre HEB 240 est maintenant en place.

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Contraintes

Contrainte à la fibre supérieure

→ Cliquer sur l'icône σS située dans la barre supérieure. L'écran suivant apparaît avec le diagramme des contraintes dans la fibre supérieure :

Et : σmax (dans la fibre supérieure) = - 213,16 MPa (signe - = compression) et ceci bien entendu dans la section où M est max, c'est à dire dans la section située au droit de la charge.

Note : cette dernière contrainte doit bien entendu être ≤ à 24 kN/cm2, soit 240 MPa (contrainte limite)

Pour trouver la valeur de la contrainte dans la fibre supérieure de la section située à 2 m de l'appui A, il faut cliquer sur l'icône « Valeur du graphe en un point » (3ième icône de la barre supérieure en partant de la droite) et introduire l'abscisse , soit 2, cliquer OK et la valeur particulière apparaît dans le coin inférieur gauche, soit - 106,5 MPa.

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Contrainte à la fibre inférieure

→ Cliquer sur l'icône σ I située dans la barre supérieure. L'écran suivant apparaît avec le diagramme des contraintes dans la fibre inférieure :

Contraintes à la fibre supérieure et inférieure

→ Cliquer sur l'icône σ située dans la barre supérieure, l'écran suivant apparaît avec les diagrammes des contraintes à la fibre supérieure et inférieure :

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Flèche

La détermination de la flèche se fait avec la charge non majorée, donc avec F = 100 kN. Il faut donc modifier la charge, ce qui se fait de la façon suivante (d'abord suppression de la charge de 150 kN et ensuite introduction de la nouvelle charge de 100 kN) :

→ Cliquer sur l'icône « Charges ». L'écran suivant apparaît :

Cliquer sur l'icône « Supprimer » (dernière icône de la barre « Charges »), ensuite sur l'icône « Charge nodale ». Un carré avec croix apparaît à la place de la flèche de pointage. Déplacer ce carré à l'emplacement de la charge à supprimer et cliquer. La charge initiale de 150 kN est maintenant supprimée.

Pour introduire la nouvelle charge, cliquer sur l'icône « Ajouter » (avant dernière icône de la barre « Charges »), ensuite sur l'icône « Charge nodale » et ensuite procéder comme précédemment pour mettre en place la charge de 100 kN.

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La déformée de la poutre s'obtient ensuite en cliquant sur l'icône « Déformée » dans la barre d'outils supérieure (9ième icône). Et on obtient l'écran suivant :

Flèche max = −1,637E-02 m=−1,637 x 10−2 m=−1,67cm à 3,264 m de l’appui A (chiffre en rouge) Et pour obtenir la valeur de la flèche à 2 m, il suffit de cliquer sur l'icône «Valeur particulière du graphe en un point » et d'introduire l'abscisse de la section. La valeur de la flèche s'inscrit dans le coin inférieur gauche (soit −1,315E-02 m=−1,315cm ).

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On donne la poutre en acier doux ( σlimite=24 kN /cm2et E=21000 kN /cm2 ) ci-dessous.

On demande (sans tenir compte du poids propre de la poutre) :

1. diagramme M ;2. Mmax + sections dans lesquelles M est max ;3. M dans la section située à 3 m de l'appui A ;4. M dans la section située à 7 m de l'appui A ;5. diagramme V ;6. réactions d'appui RA et RB ;7. choix du profilé HEA requis ;8. contraintes max ;9. contraintes dans la section B ;10. flèche max .

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Définir les unités : idem exercice précédent.

Introduire la poutre et ses points caractéristiques (noeuds) :

→ Nombre de noeuds : 4→ Abscisses :

• Noeud 1 (appui A) : 0• Noeud 2 (point d'application de la force ponctuelle) : 2• Noeud 3 (appui B) : 6• Noeud 4 (extrémité de la poutre) : 9

Mise en place des appuis : idem exercice précédent.

Mise en place des charges :

→ Charge nodale (NB : F = 1,5 x 80 = 120 kNm) : idem exercice précédent.→ Charge uniformément répartie (NB : q = 1,5 x 20 = 30 kN/m) :

• Cliquer sur l'icône « Charge uniformément répartie » (2ième icône de la barre charge)• Introduire la valeur de la charge :composante py (kN/m) = - 30 • Cliquer OK• Un carré avec croix apparaît à la place de la flèche de pointage. Le positionner au noeud 1

(début de la charge répartie), cliquer, ensuite même opération au noeud 4 (fin de la charge répartie). L'écran suivant apparaît :

Choisir (provisoirement) un profilé : idem exercice précédent.

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Moment fléchissant : idem exercice précédent

→ Diagramme

Et :

• M max=+235kNm au noeud 2 (fibres supérieure comprimée, inférieure tendue)

• M max=−135 kNm au noeud 3 (fibres supérieure tendue, inférieure comprimée)

Et aussi :

• M (à 3m de A)=+187,5 kNm (fibres supérieure comprimée, inférieure tendue)

• M (à 7 m de A)=−60 kNm (fibres supérieure tendue, inférieure comprimée)

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Effort tranchant : idem exercice précédent

→Diagramme

Réactions d'appui : idem exercice précédent

• RA = 147,5 kN• RB = 242,5 kN

Choix du profilé HEA requis

→ Calculer le module de flexion requis : W ≥M max

σlimite→ W ≥

235 x10024

=979 cm3

→ Et en suivant la même procédure que celle décrite à l'exercice précédent, on est amené à choisir un profilé HEA 280

NB : ne pas oublier de le « mettre en place » pour le calcul des contraintes et de la flèche !

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Contraintes

Et on a :

• σmax (dans la fibre supérieure) = - 232,02 MPa

• σmax (dans la fibre inférieure) = + 232,02 MPa

• σB (dans la fibre supérieure) = + 133,3 MPa

• σB (dans la fibre inférieure) = - 133,3 MPa

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Flèche

Le calcul de la flèche s'effectuant avec les charges non majorées, ne pas oublier de faire les modifications requises :

• Charge nodale :120 → 80 kN• Charge répartie : 30 → 20 kN/m

Flèche max (-) =1,565E-02 m = 1,565 cm (à 2,664 m de l'appui A)Flèche max (+) = 7,807E-03 m = 0,781 cm (à l'extrémité du porte-à-faux)

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On donne la poutre Cantilever en acier doux ( σlimite=24 kN /cm2et E=21000 kN /cm2 ) ci-dessous.

On demande (sans tenir compte du poids propre de la poutre) :1. diagramme M ;2. diagramme V ;3. réactions d'appui RA et RB ;4. choix du profilé HEB requis ;5. diagramme des contraintes et contraintes max ;6. diagramme flèche et flèche max .

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Définir les unités (ou s'assurer qu'elles sont correctement définies) : idem exercices précédents

Introduire la poutre et ses points caractéristiques (noeuds)

→ Nombre de noeuds : 6→ Abscisses :

• Noeud 1 (appui A) : 0• Noeud 2 (appui B) : 5• Noeud 3 (rotule C) : 6• Noeud 4 (rotule D) : 10• Noeud 5 (appui E) : 11• Noeud 6 (appui F) :16

Mise en place des appuis

Mise en place des appuis simples : idem précédemment.Mise en place des rotules ; comme pour les appuis simples mais via l'avant dernière icône de la barre « Liaisons » (voir écran ci-dessous).

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Et on obtient l'écran ci-dessous :

Mise en place des charges : idem exercice précédent (1,5 x 33,3 = 50 kN/m)

On obtient l'écran ci-dessous :

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Choisir (provisoirement) un profilé : idem exercice précédents

Moment fléchissant : idem exercices précédents

→ Diagramme

Effort tranchant : idem exercices précédents

→ Diagramme

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Réactions d'appui : idem exercices précédents

RA=RF=100 kNRB=RE=300 kN

Choix des profilés HEB requis

→ Calculer le module de flexion requis : W ≥M max

σlimite→ W ≥

125 x10024

=521 cm3 → HEB 200

NB : ne pas oublier de le « mettre en place » pour le calcul des contraintes et de la flèche !

Contraintes max

Les contraintes max sont développées dans les sections au droit des appuis intermédiaires et :

σmax(dans la fibre supérieure)=22 MPaσmax(dans la fibre inférieure )=−22 MPa

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Flèche

Le calcul de la flèche s'effectuant avec les charges non majorées, ne pas oublier de faire les modifications requises : remplacer la charge de 50 kN/m par la charge non majorée de 33,3 kN/m.

Et la flèche max est de 1,2 cm à 2,225 m des appuis d'extrémité.

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On demande de calculer la charge uniformément répartie (poids propre négligé) pouvant être supportée par une poutre en bois ( σlimite=1,5 kN /cm2 et E=1000 kN /cm2 )de section 20 cm x 30 cm et reposant sur 2 appuis simples d'extrémité distants de 5 m.

1. Pour satisfaire au seul critère de résistance ;2. Si on impose une flèche ≤ à 1,5 cm.

1. Critère résistance

Définir les unités

Introduire la poutre et ses points caractéristiques (noeuds)

Mise en place des appuis

Introduire la section droite de la poutre

→ cliquer sur l'icône section droite ;→ cliquer sur l'icône rectangle plein de la barre « sections droites » ;→ introduire les dimensions de la section droite ;

→ cliquer OK.

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Introduire une charge uniformément répartie de 1 kN/m et déterminer la contrainte max correspondante

Une charge de 1 kN/m donne une contrainte max de 1,04 MPa, soit encore 0,104 kN/cm2. La contrainte étant directement proportionnelle à la charge appliquée et σlimite étant égal à 1,5

kN/cm2, on peut multiplier la charge de 1 kN/m par 1,5

0,104, ce qui nous donne une charge de

14,42 kN/m. Pour s'assurer que ce résultat est bien correct, on peut introduire cette charge à la place de la charge initiale de 1 kN/m et s'assurer que : σmax≤σ limite

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Tenant compte du coefficient de sécurité de 1,5 à appliquer, la charge max q sollicitant la poutre

doit être ≤ 14,421,5

=9,61kN /m .

2. Critère flèche

NB :

Quelque soit le critère flèche imposé, il faut toujours s'assurer que le dimensionnement satisfait au critère résistance → il faut : q ≤ 9,61 kN/m

Introduction du module d'élasticité du bois (module de Young)

→ cliquer sur l'icône matériau (3ième icône à gauche) ; → modifier le module de Young (10000 MPa à la place de 210000MPa).

→ cliquer OK

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Calcul de la flèche max avec q = 9,61 kN/m

La flèche max est de 1,74 cm › au 1,5 cm requis. La charge doit donc être diminuée dans la

proportion 1,51,73

(étant donné qu'il y a proportionnalité entre charge et déformation)

→ qmax=1,51,73

x 9,61=8,33 kN /m

On peut d'ailleurs s'assurer que cette charge génère une flèche qui est bien ≤ à 1,5 cm en l'introduisant à la place de la charge de 9,61 kN/m et en cliquant sur l'icône « déformation ».

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Une poutre en bois,de section rectangulaire 8 cm x 16 cm, disposée obliquement comme indiqué sur le schéma ci dessous, repose sur 2 appuis simples d'extrémité distants de 2m et est sollicitée par une charge verticale uniformément répartie de 4 kN/m. On demande de contrôler la résistance de cette poutre ( σlimite=1,5 kN /cm2 ).

Charge à prendre en considération pour le calcul de résistance : q=1,5 x 4=6 kN /m

On a : (1) + (2)

q1=6cos 20°=5,64 kN /m q2=6sin 20°=2,05 kN /m

Contraintes (1)

Poutre sur 2 appuisSection = rectangle plein (hauteur = 160 mm – base = 80 mm)Charge uniformément répartie de 5,64 kN/m

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→ Diagramme des contraintes :

σA=σB=−8,26 MPa (C) et σC=σD=8,26 MPa (T)

Contraintes (2)

Poutre sur 2 appuisSection = rectangle plein (hauteur = 80 mm – base = 160 mm)Charge uniformément répartie de 2,05 kN/m→ Diagramme des contraintes :

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σB=σD=−6,01 MPa (C) et σA=σC=6,01 MPa (T)

Contraintes résultantes (1) + (2)

σA=−8,26+6,01=−2,25 MPa (C)σB=−8,26−6,01=−14,27MPa (C)σC=8,26+6,01=14,27 MPa (T)σD=8,26−6,01=2,25MPa (T)

Et : σmax=∥14,27∥MPa=∥1,43∥kN /cm2<σlimite=1,5kN /cm2 → section OK

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