Lista2
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Lista 2: Estad´ ıstica Computacional Cristian Bayes [email protected] 1. Dada la funci´ on de probabilidad Poisson, con par´ ametro λ> 0. f (x)= e -λ λ x x! , x =0, 1, 2, ... (a) Verifique que se cumple que P (X = j + 1) = λ j +1 P (X = j ) (b) Utilice la relaci´ on dada en (a) para generar un algoritmo de simulaci´ on para una Poisson. Implementelo en R. (c) Realice 10000 simulaciones de una Poisson con par´ ametro λ = 5. Verifique que la simulaci´ on se realiza adecuadamente mediante gr´ aficos y una prueba de bondad de ajuste. 2. Sea X una variable aleatoria con la siguiente funci´ on de densidad: f (x)= x +1 θ(θ + 1) e - x θ ,x> 0,θ> 0 (a) Verificar si esta funci´ on de densidad es log-concava. (b) Realice 10000 simulaciones de esta distribuci´ on considerando θ = 1. Verifique que la simulaci´ on se realiza adecuadamente mediante gr´ aficos y una prueba de bondad de ajuste. 3. Una v.a. X, definida en toda la recta, tiene distribuci´ on normal asim´ etrica est´ andar (Azzalini, 1985) con par´ ame- tro de asimetr´ ıa λ si su funci´ on de densidad es dada por la siguiente expresi´ on: f (x)=2φ (x)Φ(λx) Propiedad: Si Z 1 ∼ N (0, 1) y Z 2 ∼ N (0, 1), entonces X = 1 √ 1+ λ 2 Z 1 + λ √ 1+ λ 2 |Z 2 |∼ SN (λ) El estimador de momentos para λ en este modelo esta definido como ˜ λ = p π 2 x p 1 - π 2 x 2 , este estimador existe solamente si - r 2 π < x< r 2 π . Realice un estudio de simulaci´ on para diferentes valores de λ =0, 1, 3, 5, 10 y tama˜ nos de muestra n = 20, 50, 100 para calcular la probabilidad de que el estimador de momentos exista, adem´ as estudie el comportamiento del estimador utilizando el sesgo y el error cuadr´ atico medio. 4. Para una poblaci´ on X ∼ P oisson(λ) se desea estimar P (X = 0) = θ = e -λ usando como estimadores: ¯ p la proporci´ on de ceros en la muestra aleatoria, y T = e - ¯ X . 1
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Lista 2: Estadıstica Computacional
Cristian Bayes
1. Dada la funcion de probabilidad Poisson, con parametro λ > 0.
f(x) =e−λλx
x!, x = 0, 1, 2, ...
(a) Verifique que se cumple que
P (X = j + 1) =λ
j + 1P (X = j)
(b) Utilice la relacion dada en (a) para generar un algoritmo de simulacion para una Poisson. Implementelo en
R.
(c) Realice 10000 simulaciones de una Poisson con parametro λ = 5. Verifique que la simulacion se realiza
adecuadamente mediante graficos y una prueba de bondad de ajuste.
2. Sea X una variable aleatoria con la siguiente funcion de densidad:
f(x) =x+ 1
θ(θ + 1)e−
xθ , x > 0, θ > 0
(a) Verificar si esta funcion de densidad es log-concava.
(b) Realice 10000 simulaciones de esta distribucion considerando θ = 1. Verifique que la simulacion se realiza
adecuadamente mediante graficos y una prueba de bondad de ajuste.
3. Una v.a. X, definida en toda la recta, tiene distribucion normal asimetrica estandar (Azzalini, 1985) con parame-
tro de asimetrıa λ si su funcion de densidad es dada por la siguiente expresion:
f(x) = 2φ (x) Φ (λx)
Propiedad: Si Z1 ∼ N(0, 1) y Z2 ∼ N(0, 1), entonces
X =1√
1 + λ2Z1 +
λ√1 + λ2
|Z2| ∼ SN(λ)
El estimador de momentos para λ en este modelo esta definido como λ =
√π2x√
1− π2x
2, este estimador existe
solamente si −√
2
π< x <
√2
π.
Realice un estudio de simulacion para diferentes valores de λ = 0, 1, 3, 5, 10 y tamanos de muestra n = 20, 50, 100
para calcular la probabilidad de que el estimador de momentos exista, ademas estudie el comportamiento del
estimador utilizando el sesgo y el error cuadratico medio.
4. Para una poblacion X ∼ Poisson(λ) se desea estimar P (X = 0) = θ = e−λ usando como estimadores:
p la proporcion de ceros en la muestra aleatoria, y
T = e−X .
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Compare el desempeno de ambos estimadores, mediante simulacion, utilizando el sesgo, el error medio cuadratico
y el error estandar. Considere λ = 1, 5, 10, y tamanos de muestra n = 50, 100, 200 y M = 10000 simulaciones.
5. Consideremos una poblacion X ∼ Gama(2, θ), un estimador para θ es dado por T =2
X. Este estimador tiene
distribucion normal asintotica, esto es la distribucion de T converge a una distribucion normal a medida que el
tamano de muestra n crece,
Taprox∼ N
(θ,θ2
2n
), cuando n→∞.
(a) Para θ = 1, 5, 10 y tamanos de muestra n = 2, 10, 30, 50, 100 Calcule el sesgo, el error medio cuadratico y el
error estandar, mediante simulacion, genere 10000 muestras aleatorias en cada caso. Comente sus resultados.
(b) Para θ = 10 y tamanos de muestra n = 2, 10, 30, 50, 100 genere 10000 muestras aleatorias en cada caso y
compare los cuantiles teoricos de T con los obtenidos mediante simulacion. Comente sus resultados.
(c) Construya un intervalo de confianza del 95 % en base a la distribucion normal asintotica de T . Luego, para
θ = 1, 5, 10 y tamanos de muestra n = 2, 10, 30, 50, 100 calcule la cobertura y la amplitud de este intervalo.
Comente sus resultados.
1. Pautas
El plazo de entrega para la presente lista es 20 de Mayo.
El trabajo debe ser presentado en grupos de maximo 4 personas.
Debe usar R para resolver los ejercicios planteados.
El trabajo puede ser presentado usando cualquier procesador de textos.
Presente su trabajo usando un modelo de informe por pregunta:
1. Enunciado,
2. Aspectos teoricos,
3. Respuesta (graficos, tablas o valores obtenidos)
4. Interpretacion y comentarios
5. Anexos, incluyendo programas usados.
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