Solução Lista2 de PCOM CIN-UFPE

4 Princıpios de Comunicacoes - Lista 2: Transmiss ao Banda Base

Princípio de Comunicac oes - 2015.2

Prof. Daniel Carvalho da Cunha ([email protected])

Lista de Exercıcios 2: Transmiss ao Banda Base

1. Sabe-se que um sinal x(t) e unicamente determinado por suas amostras quando a frequencia de

amostragem e ωa = 10000π rad/s. Para que valores de ω garante-se que o espectro de x(t) e nulo?

R: ωa => frequencia de amostragem.

ω => frequencia do sinal amostrado. ω = ωa/2

ω = 10000π/2 = 5000π rad/s

2. Um sinal contınuo no tempo x(t) e obtido na saıda de um filtro passa-baixas ideal com frequencia de

corte ωc = 1000π rad/s. Se um trem de impulsos for aplicado a x(t), quais dos seguintes perıodos de

amostragem garantem que x(t) pode ser recuperado a partir de suas amostras?

(a) T = 0, 5 · 10−3 s

R: 𝑓𝑎 = 10,5 ∗ 10−3 = 2000 𝑕𝑧

(b) T = 2 · 10−3 s

R: 𝑓𝑎 = 12 ∗ 10−3 = 500 𝑕𝑧

(c) T = 10−4 s

R: 𝑓𝑎 = 110−4 = 10000 𝑕𝑧

Como 𝑓𝑚 = ωc

2π = 1000π2π = 500hz e 𝑓𝑎 ≥ 2𝑓𝑚

(a) e (c) Satisfazem.

3. Determine a taxa de Nyquist e o intervalo de Nyquist para os seguintes sinais:

(a) m1 (t) = 5 cos(1000πt) cos(4000πt)

R:

𝑚1 =5

2 cos 3000𝜋𝑡 + cos 5000𝜋𝑡

𝜔𝑚 = 5000𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠

𝑇𝑎 = 1(2 ∗ 5000𝜋

2𝜋 ) = 0,0002𝑠 = 0,2𝑚𝑠

(b) m2 (t) = sen (200πt)/πt

R:

𝑚2 =(𝑠𝑒𝑛(200πt) + 1− 1)

πt = (𝑐𝑜𝑠(200πt−

π

2) + 1− 1)

πt =

𝑐𝑜𝑠(200πt−π

2)πt

𝜔𝑚 = 200𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠

𝑇𝑎 = 1(2 ∗ 200𝜋

2𝜋 ) = 0,005𝑠 = 5𝑚𝑠

mailto:([email protected]


4. Aplica-se ao sinal x(t) = 10 cos(1000t + π/3 ) + 20 cos(2000t + π/6 ) uma amostragem uniforme para transmiss ao digital.

(a) Qual e o maximo intervalo de tempo permitido entre os valores de amostras que garantiraão a reproduc ao perfeita do sinal? R: 𝜔𝑚 = 2000 𝜔𝑎 = 2 ∗ 2000 = 4000

𝑓𝑎 = 40002𝜋 = 636,67

𝑇𝑎 = 1636,67 = 0,0016 = 1,6𝑚𝑠

(b) Se quisermos reproduzir 1h deste sinal, quantas amostras precisam ser armazenadas? R: 1 h = 60min = 3600s

𝑄𝑇𝐷𝑎 = 3600 ∗ 𝑓𝑎 = 36001,6 ∗ 10−3 = 2,3 ∗ 106 amostras

5. A informac ao em um sinal analogico, com frequencia maxima fm = 3 kHz , e transmitida por um

sistema 16-PAM. A distorc ao de quantizac ao especificada n ao pode exceder ±1% do valor de tensa o pico-a-pico do sinal analogico.

(a) Qual o numero mınimo de bits/amostra (bits/palavra PCM) que deve ser usado na digitalizac ao do sinal analogico ? R:

ℓ = log2 1

2𝑝 = log2 1

2𝑝

𝑒 = 𝑝𝑉𝑝𝑝

𝑉𝑝𝑝 ∗ 0,01 = 𝑝 ∗ 𝑉𝑝𝑝

𝑝 = 0,01

ℓ = log2 1

2 ∗ 0,01

2ℓ = 50

ℓ = 6𝑏𝑖𝑡𝑠

𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎 , 𝑝𝑜𝑖𝑠 50 𝑛ã𝑜 𝑒𝑕 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 2

(b) Qual a taxa de amostragem mınima que garante a reconstruc ao do sinal e qual a taxa de bit resultante? R: 𝑓𝑎 = 2𝑓𝑚 𝑓𝑎 = 2 ∗ 3000 = 6000𝑕𝑧 𝑅 = 𝑓𝑎 ∗ ℓ = 6000 ∗ 6 = 36𝑘bps (c) Qual a taxa de sımbolo (ou taxa de pulsos PAM)? R:

𝑅𝑠 = 𝑅𝑘 =

𝑓𝑎 ∗ ℓlog2 𝑀 = 36𝑘

log2 16 = 36𝑘4 = 9𝑘 𝑠𝑖𝑚𝑏𝑜𝑙𝑜𝑠/𝑠

(d) Se a largura de banda de transmiss ao for de 12 kHz, calcule a efici encia espectral deste sistema. R:

ℰ = 𝑅𝑓 = 36𝑘

12𝑘 = 3 𝑏𝑝𝑠/𝑕𝑧


6. A informac ao em uma forma de onda analogica, cuja frequencia maxima vale fm = 4000 Hz, e

transmitida usando-se um sistema 16-PAM. A distorc ao de quantizac ao n ao deve exceder ±1% da tens ao de pico-a-pico do sinal analogico. (a) Qual o numero mınimo de bits por amostra ou bits por palavra PCM que deve ser usado neste sistema de transmiss ao PAM? R: 𝑒 = 𝑝 ∗ 𝑉𝑝𝑝

0,01*𝑉𝑝𝑝 = 𝑝 ∗ 𝑉𝑝𝑝

𝑝 = 0,01

ℓ = 𝑙𝑜𝑔2 1

2𝑝 = 𝑙𝑜𝑔2 1

(2 ∗ 0,01) = 𝑙𝑜𝑔2 50

2ℓ = 50 ℓ ≅ 6 𝑏𝑖𝑡𝑠/𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎

(b) Qual a taxa de amostragem mınima necessaria e qual a taxa de bit resultante? R: 𝑓𝑎 = 2𝑓𝑚 𝑓𝑎 = 2 ∗ 4000 = 8𝑘𝑕𝑧 𝑅 = 𝑓𝑎 ∗ ℓ = 8000 ∗ 6 = 48𝑘𝑏𝑝𝑠 (c) Qual a taxa de sımbolos do sistema 16-PAM? R:

𝑅𝑠 = 𝑅𝑘 = 48𝑘

log2 𝑀 = 48𝑘

log2 16 = 48𝑘4 = 12𝑘 𝑠𝑖𝑚𝑏𝑜𝑙𝑜𝑠/𝑠

7. Um sinal de voz tem uma durac ao total de 10 s. Ele e amostrado a uma taxa de 8 kHz, quantizado e

depois codificado. A relac ao sinal-ruıdo (de quantizac ao) necessaria e de 40 dB. Calcule a capacidade mınima de armazenamento necessaria para acomodar este sinal digitalizado

Informação: (𝑆

𝑁)𝑑𝐵 = 1,8 + 6𝑙

R: 40 = 1,8 + 6ℓ

ℓ = 38,26 = 6,367 ≅ 7 𝑏𝑖𝑡𝑠/𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎

𝐶𝑎𝑝 = Δ𝑡 ∗ 𝑓 ∗ ℓ = 10 ∗ 8𝑘 ∗ 7 = 560𝑘𝑏

8. Um sinal analogico e amostrado a taxa de Nyquist fs e quantizado em L nıveis. Determine o tempo de

durac ao τ de 1 bit do sinal binario codificado. R: ℓ = log2 𝐿

𝜏 = 1𝑓𝑠 ∗ ℓ = 1

(𝑓𝑠 ∗ log2 𝐿 )


9. A relac ao sinal-ruıdo de quantizac ao SN R em um sistema PCM pode ser definida como a raza o da

pot encia media do sinal pela potencia media do ruıdo de quantizac ao. Para um sinal de modulaca o senoidal de escala cheia de amplitude A, mostre que

𝑆𝑁𝑅 = 𝑆

𝑁 =

3

2𝐿2

Ou

𝑆

𝑁 𝑑𝐵

= 1,76 + 20𝑙𝑜𝑔𝐿

em que L e a quantidade de nıveis de quantizac ao.

R:

𝑃𝑠 =𝐴2

2 (potência média de sinal)

𝜎2 =𝑞2

12 (potência média do ruído de quantização)

𝑞 = 2𝐴𝐿

𝑆

𝑁 =

𝑃𝑆𝜎2 =

𝐴2

2

𝑞2

12

=

𝐴2

2

2𝐴

𝐿

2

12

=

𝐴2

2

4𝐴2

𝐿2

12

𝑆

𝑁 =

𝐴2

2

4𝐴2

12𝐿2

=

𝐴2

2

𝐴2

3𝐿2

= 𝐴

2

2 ∗ 3𝐿2

𝐴2

𝑆

𝑁 =

3

2𝐿2

10. Um sinal x(t) limitado em faixa a 3 kHz e amostrado a uma taxa 33, 33% mais alta do que a taxa de

Nyquist. O erro maximo aceitavel na amplitude da amostra (o erro maximo devido a quantizaca o) e 0, 5% do valor de pico de amplitude mp . As amostras quantizadas s ao codificadas em binario.

Obtenha a taxa de amostragem necessaria, o numero de bits necessario para codificar cada amostra e a taxa de bits do sinal PCM resultante. R: 𝑓𝑎 = 2𝑓𝑚 ∗ 1,3333 = 8𝑘𝑕𝑧 𝑒 = 𝑝𝑉𝑝𝑝

0,005 ∗ 𝑚𝑝 = 𝑝2𝑚𝑝

𝑝 = 0,0052 = 0,0025

ℓ = log2 1

2𝑝 = log2 1

2 ∗ 0,0025 = log2 200

2ℓ = 200 ℓ = 8 𝑏𝑖𝑡𝑠/𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎 𝑅 = ℓ ∗ 𝑓𝑎 = 8 ∗ 8000 = 64𝑘 𝑏𝑝𝑠


11. Considere um sinal de audio com componentes espectrais limitadas a faixa de frequencias de 300 a

3300 Hz. Um sinal PCM e gerado com uma taxa de amostragem de 8000 amostras/s. A relaca o sinal-ruıdo de quantizac ao requerida e de 30 dB. (a) Qual e a quantidade mınima de nıveis de quantizac ao uniforme necessaria e qual e o menor numero de bits por amostra necessario?

R:

(𝑆

𝑁)𝑑𝐵 = 1,76 + 20𝐿𝑜𝑔𝐿

Log𝐿 =(30− 1,76)

20 = 1,412

𝐿 = 101,1412 = 25,82 ≅ 26

ℓ = log2 26 2ℓ = 26 ℓ = 5 𝑏𝑖𝑠𝑡/𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎

(b) Calcule a largura de faixa mınima necessaria ao sistema. R: 𝑅 = 𝑓𝑎 ∗ ℓ = 8000 ∗ 5 = 40𝑘 𝑏𝑖𝑡𝑠/𝑠 Para o sistema: 20k btis/s Informac ao: Utilize a express ao da relac ao sinal-ruıdo de quantizac ao apresentada no exercıcio 9.

12. O padr ao ASCII (American Standard Code for Information Interchange ) possui 128 caracteres,

que s ao codificados em binario. Se um certo computador gera 100.000 caracteres por segundo, determine: (a) O numero de bits requeridos por caracter. R:

7𝑏𝑖𝑡𝑠

𝑐𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟

(b) O numero de bits por segundo requeridos para transmitir a saıda do computador e a largura de banda mınima requerida para transmitir este sinal. R: R = 100000*7 = 700k kbps

𝐵𝑤 = 𝑅2 = 350𝑘𝑕𝑧

(c) Para ter a capacidade de detecca o de erro simples, um bit adicional (bit de paridade) e inserido no codigo em cada caracter. Calcule novamente os itens (a) e (b) considerando esta informaca o. R: 8 𝑏𝑡𝑖𝑠/𝑐𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟 𝑅 = 100000 ∗ 8 = 800 𝑘𝑏𝑝𝑠

𝐵𝑤 = 𝑅2 = 400𝑘𝑕𝑧

13. Um aparelho de CD grava sinais de audio utilizando modulac ao PCM. Assuma que a largura de

banda do sinal de audio vale 15 kHz. (a) Qual a taxa de Nyquist utilizada? R: 𝑓𝑎 = 2𝑓𝑚 = 2 ∗ 15000 = 30000𝑕𝑧


(b) Se as amostras de Nyquist s ao quantizadas em L = 65.536 nıveis e ent ao codificadas em binario, determine o numero de bits necessarios para codificar uma amostra. R: ℓ = log2 65536 2ℓ = 65536 ℓ = 16 𝑏𝑖𝑡𝑠/𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎 (c) Determine a taxa de bits necessaria para codificar o sinal de audio. R: 𝑅 = ℓ ∗ 𝑓𝑎 = 16 ∗ 30𝑘 = 480 𝑘𝑏𝑝𝑠 (d) Por raz oes praticas, sinais s ao amostrados a uma taxa superior a taxa de Nyquist. Aparelhos de CD utilizam 44.100 amostras por segundo. Se L = 65.536, determine a taxa de bits requerida para a codificac ao deste sinal e a largura de banda necessaria para se transmitir este sinal codificado. R: 𝑅 = ℓ ∗ 𝑓𝑎 = 16 ∗ 44100 = 705600 𝑏𝑝𝑠

𝐵𝑤 = 𝑅2 = 352800 𝑕𝑧

14. Dado o fluxo de dados 1110010100, esboce a sequ encia de pulsos transmitida para cada codigo de

linha a seguir: (a) NRZ-L


(b) NRZ-M

(c) Unipolar RZ


(d) Bipolar RZ

(e) AMI


(f ) Manchester

(g) Manchester diferencial


15. A forma de onda de sinalizac ao RZ AMI que representa a sequencia binaria 0100101011 e transmitida

em um canal com muito ruıdo. A forma de onda recebida e mostrada na Fig. 1, a qual contem um unico erro. Localize a posic ao deste erro e justifique sua resposta.

t

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0

Figura 1: Forma de onda da sequencia recebida.

R: Intervalo 7.

16. Quatro canais s ao multiplexados usando TDM. Se a capacidade individual dos canais for 100 bytes/s e

multiplexarmos 1 byte por canal, apresente:

(a) o esquema de viagem dos frames no enlace. R:

(b) o tamanho de cada frame. R: 4 bytes (c) o tempo de durac ao de um frame. R:

𝑇𝐹 = 1100 𝐹/𝑠 = 0,01𝑠

(d) a taxa de transmiss ao de dados no enlace. R:

𝑇𝑎𝑥𝑎 = 400𝑏𝑦𝑡𝑒𝑠

𝑠= 3,2𝑘𝑏𝑝𝑠


17. Um MUX combina quatro canais de 100 kbps usando um time slot de 2 bits.

(a) Apresente a saıda para quatro entradas arbitrarias (considere tr es frames de saıda). R:

(b) Qual e a taxa de transmiss ao de frames? R:

𝑇𝑎𝑥𝑎 = (4 ∗ 100)

4 = 50 𝑘 𝐹𝑟𝑎𝑚𝑒𝑠/𝑠

(c) Qual e o tempo de durac ao de um frame? R:

𝑇𝐹 = 150𝑘 = 0,02𝑚𝑠

(d) Qual e a taxa de transmiss ao de dados? R: 𝑅 = 4 ∗ 100𝑘𝑏𝑝𝑠 = 400𝑘𝑏𝑝𝑠 (e) Qual e o tempo de durac ao de um bit? R:

𝑇𝑏 = 1400𝑘 = 2,5𝜇𝑠

18. Dois canais, o primeiro com uma taxa de transmiss ao de 100 kbps e o segundo com uma taxa de

transmiss ao de 200 kbps, s ao multiplexados.

(a) Como isto pode ser feito? R: O primerio canal com 1 time slot e o segundo canal com 2 time slot. (b) Qual e a taxa de transmiss ao de frames? R:

𝑡𝑎𝑥𝑎 =(100𝑘 + 100𝑘)

2 = 100 𝐹𝑟𝑎𝑚𝑒𝑠/𝑠

(c) Qual e o tempo de durac ao de um frame? R:

𝑇𝐹 = 1100𝑘𝑏𝑝𝑠 = 0,01 𝑚𝑠

(d) Qual e a taxa de transmiss ao do enlace? R: 𝑅 = 100𝑘 + 200𝑘 = 300𝑘𝑏𝑝𝑠


19. Cinco fontes de dados s ao multiplexadas atraves de TDM. Cada fonte produz 100 caracteres/s.

Assuma que a intercalac ao dos canais acontece em bytes e que cada frame requer um bit de sincronismo. Determine:

(a) a taxa de transmiss ao de frames; R

𝑅𝐹 = 500𝑘5 = 100 𝐹𝑟𝑎𝑚𝑒𝑠/𝑠

(b) a taxa de transmiss ao do enlace. R: 𝑅 = 100(5 ∗ 8 + 1) = 4000 + 1 = 4,1𝑘 𝑏𝑝𝑠

20. Sobre a linha T-1, responda:

(a) Qual e o tempo de durac ao de um frame? R: (b) Qual e o overhead gerado (numero de bits extras por segundo)? R:

21. Considere a transmiss ao digital por um modem discado, onde o canal esta limitado a |f | < 3 kHz .

Para transmitirmos a uma taxa de 16 kbps usando um cosseno levantado com fator de roll-off r = 0, 5 qual deve ser a ordem da modulac ao? R:

𝑊 =1

2(1 + 𝑟)𝑅𝑠

𝑅𝑠 = 2𝑊(1 + 𝑟) = 2 ∗ 3000

(1 + 0,5) = 60001,5 = 4𝑘

𝑅𝑠 = 𝑅𝑘

𝑘 = 𝑅𝑅𝑠 = 16𝑘

4𝑘 = 4𝑘

log2 𝑀 = 4 𝑀 = 24 = 16 − 𝑃𝐴𝑀

22. Qual a largura de banda mınima de um sistema necessaria para transmitir, sem IIS, um sinal a

10 Mbps usando uma modulac ao 16-PAM ? Qual deve ser o fator de roll-off se a largura de banda do sistema for 1, 375 MHz? R:

𝑅𝑠 = 𝑅𝑘 = 10𝑀

log2 16 = 2,5𝑀 𝑠𝑖𝑚𝑏𝑜𝑙𝑜𝑠/𝑠

𝑟 = 𝑊 −𝑊0

𝑊0 =

𝑊 − 𝑅𝑠

2

𝑅𝑠

2

=(1,375 − 1,25)

1,25 = 0,1

23. Considere a transmiss ao de uma modulac ao 32-PAM por um modem discado, onde o canal esta

limitado a |f | < 3 kHz . Qual a maior taxa de bits possıvel para transmiss ao sem IIS? R:

𝑊 =𝑅𝑠

2

𝑅𝑠 = 2𝑊 = 2 ∗ 3000 = 6000 𝑠𝑖𝑚𝑏𝑜𝑙𝑜𝑠/𝑠 𝑅 = 𝑅𝑆 ∗ 𝑘 = 6000 ∗ log2 32 = 6000 ∗ 5 = 30𝑘𝑏𝑝𝑠


24. Um canal de comunicac ao com largura de faixa de 75 kHz e necessario para transmitir dados binarios

em uma taxa de 0, 1 Mbps usando pulsos cosseno levantado. Determine o fator de amortecimento r. R:

𝑊 =𝑅𝑆

2 =𝑅𝑏

2 = 0,1𝑀2 = 0,05𝑀𝑏𝑝𝑠

𝑊 =1

2 𝑟+ 1 𝑅𝑠

𝑟 =(𝑊 −𝑊0)

𝑊0 =

(75𝑘 − 50𝑘)50𝑘 = 0,5

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