ΛΥΚΕΙΟ ΑΓ. ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΕΜΠΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ: 2012 - 2013

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΊΌΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ 2013ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 21/05/ 2013 ΧΡΟΝΟΣ: 2.30΄____________________________________________________________________________________________ΟΔΗΓΙΕΣ: Να γράφετε μόνο με μπλε μελάνι (μόνο τα σχήματα με μολύβι). Δεν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υλικού. Τα σχήματα των ασκήσεων να μεταφέρονται στο γραπτό σας. Επιτρέπεται η χρήση μη προγραμματιζόμενης υπολογιστικής μηχανής. Στο τέλος επισυνάπτεται τυπολόγιο το οποίο αποτελείται από μία σελίδα. Το εξεταστικό δοκίμιο αποτελείται από τρεις (3) σελίδες.

ΜΕΡΟΣ Α΄ (60 ΜΟΝΑΔΕΣ)Από τα δεκαπέντε (15) θέματα να λύσετε μόνο τα δώδεκα (12).Κάθε θέμα βαθμολογείται με πέντε (5) μονάδες.

1. Να αναλύσετε το κλάσμα σε άθροισμα απλών κλασμάτων.

2. Δίνεται η συνάρτηση . Να βρείτε: (α) το πεδίο ορισμού της (β) το πεδίο τιμών της (γ) τον τύπο της αντίστροφης συνάρτησης της.

3. Να βρείτε την πρώτη παράγωγο των συναρτήσεων:

(α) (β)

4. Να λύσετε την εξίσωση: .

5. Να υπολογίσετε τα όρια:

(α) (β)

6. Αριθμητικής προόδου ο πρώτος όρος είναι 4 και το άθροισμα των δέκα πρώτων όρων της είναι 130. Να βρείτε την πρόοδο.

7. Να λύσετε την εξίσωση: .

8. Να λύσετε την εξίσωση: .

Σελ. | 1

9. Κανονική τετραγωνική πυραμίδα έχει εμβαδόν παράπλευρης επιφάνειας και παράπλευρο ύψος . Να βρείτε τον όγκο της πυραμίδας.

10. Σε τρίγωνο δίνονται: και . Να βρείτε τις πλευρές του τριγώνου.

11. Αν η καμπύλη με εξίσωση περνά από το σημείο , να υπολογίσετε την τιμή του . Στη συνέχεια, να βρείτε την εξίσωση της κάθετης της καμπύλης στο σημείο .

12. Να εξετάσετε αν οι συναρτήσεις και είναι ίσες. Στην περίπτωση που είναι , να προσδιορίσετε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του για το

οποίο .

13. Σε κύλινδρο με όγκο και ύψος εγγράφεται κώνος ύψους , με την κορυφή του στο κέντρο της άνω βάσης του κυλίνδρου, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Αν η διαφορά των όγκων των δύο στερεών

είναι , να υπολογίσετε το .

14. Να αποδείξετε ότι:

15. Δίνεται η σχέση: . (α) Να δείξετε ότι . (β) Αν οι όροι αποτελούν τους τρεις πρώτους όρους αριθμητικής προόδου, να υπολογίσετε το άθροισμα των δεκαπέντε πρώτων όρων της προόδου.

ΜΕΡΟΣ Β΄ (40 ΜΟΝΑΔΕΣ)Από τα έξι (6) θέματα να λύσετε μόνο τα τέσσερα (4). Κάθε θέμα βαθμολογείται με δέκα (10) μονάδες.

1. Αριθμητική πρόοδος και φθίνουσα γεωμετρική πρόοδος έχουν τον ίδιο πρώτο όρο και ο πέμπτος όρος της Γ.Π. ισούται με 1. Η διαφορά της Α.Π. ισούται με τον τρίτο όρο της Γ.Π. και το άθροισμα των δύο πρώτων όρων της Γ.Π. ισούται με τον τρίτο όρο της Α.Π.. (α) Να σχηματίσετε τις δύο προόδους.

(β) Αν το άθροισμα των ν πρώτων όρων της Α.Π. και ισχύει η σχέση , να βρείτε το ν.

Σελ. | 2

x

2. Δίνεται η συνάρτηση: . (α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το πεδίο τιμών της.

(β) Να δείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης της πιο πάνω καμπύλης στο σημείο είναι η . (γ) Αν η εφαπτομένη της καμπύλης στο τέμνει τους άξονες και στα σημεία και αντίστοιχα, να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου , όπου η αρχή των αξόνων.

3. Αν , να δείξετε:

(α) .

(β) .

(γ) Αν επιπλέον ισχύει , να δείξετε ότι: .

4. Μία κορυφή ενός ρόμβου είναι η . Η εξίσωση μίας διαγωνίου του είναι και η εξίσωση μίας πλευράς του είναι . Να βρείτε: (α) την εξίσωση της άλλης διαγωνίου του ρόμβου (β) το σημείο τομής των διαγωνίων του (γ) τις συντεταγμένες των άλλων κορυφών του (δ) το εμβαδόν του.

5. Να δείξετε τις ταυτότητες:

(α) .

(β) . (γ) Χρησιμοποιώντας τα πιο πάνω να λύσετε την εξίσωση:

.

6. Στο πιο κάτω σχήμα είναι:

Το σχήμα στρέφεται πλήρως γύρω από τον άξονα . Να υπολογίσετε το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας και τον όγκο του στερεού που παράγεται.

Σελ. | 3

ΟΙ ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ Η ΣΥΝΤΟΝΙΣΤΡΙΑ Β.Δ. Η ΔΙΕΥΘΥΝΤΡΙΑ

.............................. …………………………….. ………………………Νικόλαος Γερμανός Μάρω Χρίστου - Ροΐδη Ολυμπία Ιωάννου

…………………………Μαρίνα Στυλιανίδη

Σελ. | 4