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Licence L1-Math/Info – Alg` ebre II 2015-2016 Fiche 6 : Applications lin´ eaires II Exercice 1. Soit f l’application de R 2 dans R 5 d´ efinie pour tous α, β re´ els par f [(α, β)] = (α +2β,α,α + β, 3α +5β, -α +2β) a) Montrer que f est une application lin´ eaire. b) D´ eterminer Ker f et pr´ eciser sa dimension. c) D´ eterminer Im f et pr´ eciser sa dimension. Exercice 2. Dans R 3 , on consid` ere les vecteurs u = (2, 1, -1), v = (1, -1, 3), w = (3, 3, -5). On note F le sous-espace vectoriel engendr´ e par (u, v, w). a) D´ eterminer une base de F . b) Soit f : R 3 → R 3 l’application d´ efinie pour des r´ eels α, β, γ par f [(α,β,γ)] = (3α + γ,α - β + γ, -3α - 3β + γ). Montrer que f est une application lin´ eaire de R 3 dans R 3 . c) D´ eterminer une base de Ker f et une base de Im f . Pr´ eciser le rang de f . d) A-t-on R 3 = Kerf ⊕ Imf ? e) Les vecteurs u, v, w sont-ils des ´ el´ ements de Imf ? f) D´ eterminer une base et la dimension de F ∩ Imf Exercice 3. On consid` ere l’application lin´ aire φ (exercice TD5) donn´ ee par φ( e 1 ) = e 1 + e 2 φ( e 2 ) = e 1 - e 2 φ( e 3 ) = e 1 + λ e 3 . Comment choisir λ pour que φ soit injective ? surjective ? Exercice 4. Soit u l’application lin´ eaire de R 4 dans R 3 d´ efinie, pour tout (x,y,z,t) ∈ R 4 , par u(x,y,z,t)=(x + y + z + t, y - t, x - 2z +3t) . b) D´ eterminer une base et la dimension du noyau de u. Est-elle injective ? c) En d´ eduire que u est surjective. Exercice 5. Soit E = R n [X] l’espace vectoriel des polynˆ omes de degr´ e inf´ erieur ou ´ egal ` a n. Pour p ≤ n on note e p le polynˆ ome X P . Soit f l’application d´ efinie sur E par f (P )= Q avec Q(X)= P (X + 1) + P (X - 1) - 2P (X). a. Montrer que f est une application lin´ eaire de E dans E. b. Pour p ≤ n, calculer f (e p ) ; quel est son degr´ e? En d´ eduire ker f , Imf et le rang de f . c. Soit Q un polynˆ ome de Imf ; montrer qu’il existe un polynˆ ome unique P tel que : f (P )= Q et P (0) = P (0) = 0. Licence L1-Math/Info – Alg` ebre II 2015-2016 Exercice 6. a) Soit f une application lin´ eaire surjective de R 4 dans R 2 . Quelle est la dimension du noyau de f ? b) Soit g une application injective de R 26 dans R 100 . Quelle est la dimension de l’image de g ? c) Existe-t-il une application lin´ eaire bijective entre R 50 et R 72 ? Exercice 7. Soit B =(e 1 ,e 2 ,e 3 ) la base canonique de R 3 . Soit u l’endomorphisme de R 3 dont la matrice dans B est : A = 1 -1 2 -1 1 -2 2 -2 0 . a) Calculer le rang de A et en d´ eduire que dim(Keru) = 1. b) D´ eterminer un vecteur non nul f 1 appartenant ` aKeru. c) Trouver un vecteur f 2 non nul tel que u(f 2 )= -2f 2 . puis un vecteur f 3 non nul tel que u(f 3 )=4f 3 . d) Montrer que la famille B =(f 1 ,f 2 ,f 3 ) est une base de R 3 , et d´ eterminer la matrice de passage P de la base B ` a la base B . e) Calculer la matrice A de u dans la base B . f) Calculer A 100 , puis u 100 (x, y, z) pour (x, y, z) ∈ R 3 .
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Licence L1-Math/Info – Algebre II 2015-2016
Fiche 6 : Applications lineaires II
Exercice 1. Soit f l’application de R2 dans R5 definie pour tous α, β reels par
f [(α, β)] = (α+ 2β, α, α+ β, 3α+ 5β,−α+ 2β)
a) Montrer que f est une application lineaire.
b) Determiner Ker f et preciser sa dimension.
c) Determiner Im f et preciser sa dimension.
Exercice 2. Dans R3, on considere les vecteurs
u = (2, 1,−1), v = (1,−1, 3), w = (3, 3,−5).
On note F le sous-espace vectoriel engendre par (u, v, w).
a) Determiner une base de F .
b) Soit f : R3 → R3 l’application definie pour des reels α, β, γ par
f [(α, β, γ)] = (3α+ γ, α− β + γ,−3α− 3β + γ).
Montrer que f est une application lineaire de R3 dans R3.
c) Determiner une base de Ker f et une base de Im f . Preciser le rang de f .
d) A-t-on R3 = Kerf ⊕ Imf ?
e) Les vecteurs u, v, w sont-ils des elements de Imf ?
f) Determiner une base et la dimension de F ∩ Imf
Exercice 3. On considere l’application linaire φ (exercice TD5) donnee par
φ(~e1) = ~e1 + ~e2φ(~e2) = ~e1 − ~e2φ(~e3) = ~e1 + λ~e3
.
Comment choisir λ pour que φ soit injective ? surjective ?
Exercice 4. Soit u l’application lineaire de R4 dans R3 definie, pour tout (x, y, z, t) ∈ R4, par
u(x, y, z, t) = (x+ y + z + t, y − t, x− 2z + 3t) .
b) Determiner une base et la dimension du noyau de u. Est-elle injective ?
c) En deduire que u est surjective.
Exercice 5. Soit E = Rn[X] l’espace vectoriel des polynomes de degre inferieur ou egal a n. Pourp ≤ n on note ep le polynome XP . Soit f l’application definie sur E par f(P ) = Q avec Q(X) =P (X + 1) + P (X − 1)− 2P (X).
a. Montrer que f est une application lineaire de E dans E.
b. Pour p ≤ n, calculer f(ep) ; quel est son degre ? En deduire ker f , Imf et le rang de f .
c. Soit Q un polynome de Imf ; montrer qu’il existe un polynome unique P tel que : f(P ) = Q etP (0) = P ′(0) = 0.
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Exercice 6. a) Soit f une application lineaire surjective de R4 dans R2. Quelle est la dimension dunoyau de f ?
b) Soit g une application injective de R26 dans R100. Quelle est la dimension de l’image de g ?
c) Existe-t-il une application lineaire bijective entre R50 et R72 ?
Exercice 7. Soit B = (e1, e2, e3) la base canonique de R3. Soit u l’endomorphisme de R3 dont la matricedans B est :
A =
1 −1 2−1 1 −22 −2 0
.
a) Calculer le rang de A et en deduire que dim(Keru) = 1.
b) Determiner un vecteur non nul f1 appartenant a Keru.
c) Trouver un vecteur f2 non nul tel que u(f2) = −2f2. puis un vecteur f3 non nul tel que u(f3) = 4f3.
d) Montrer que la famille B′ = (f1, f2, f3) est une base de R3, et determiner la matrice de passage Pde la base B a la base B′.
e) Calculer la matrice A′ de u dans la base B′.f) Calculer A′100, puis u100(x, y, z) pour (x, y, z) ∈ R3.
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Exercices a preparer pour le controle.
Exercice 1. On considere B = {e1, e2, e3} la base canonique de R3 et l’endomorphisme f de R3 definipar
f(e1) = e1 , f(e2) = −e1 , f(e3) = e3 .
a) Determiner l’image par f d’un element (x, y, z) de R3.
b) Determiner le noyau et l’image de f et donner une base de chacun d’eux.
c) Montrer que f ◦ f = f .
Exercice 2. Soit E = Rn[X] l’espace vectoriel des polynomes de degre ≤ n, et f : E → E definie par :
f(P ) = P + (1−X)P ′.
Montrer que f est une application lineaire. Donner sa matrice dans la base canonique et donner une basede Imf et de ker f. L’application est-elle injective ? surjective ?
Exercice 3. Soit u l’endomorphisme de R3 defini, pour tout (x1, x2, x3) ∈ R3 par
u(x1, x2, x3) = (2x1 − x2 − x3,−x1 + 2x2 − x3,−x1 − x2 + 2x3) .
a) Quelle est la matrice M de u dans la base canonique ?
b) Determiner une base et la dimension de Keru.
c) En deduire rang(u).
d) Soit v = (α, β, γ) ∈ R3 tel que α + β + γ = 0. Montrer que u(v) = 3v. En deduire une solutionparticuliere du systeme
α = 2x1 − x2 − x3β = −x1 + 2x2 − x3γ = −x1 − x2 + 2x3 .
En utilisant la question b), trouver toutes les solutions du systeme precedent.
e) Si f1 = (1, 1, 1), f2 = (2,−1,−1) et f3 = (−1, 2,−1), montrer que B′ = {f1, f2, f3} est une base deR3.
f) Calculer les coordonnees des vecteurs u(f1), u(f2) et u(f3) dans la base B′. Quelle est la matriceN de u dans la base B′.
g) Calculer la matrice de changement de base P de la base canonique a la base B′.h) Calculer P−1.
i) Exprimer la matrice de u10 relativement a la base canonique en fonction de M . Calculer N10 et endeduire M10.
![[] édité le 24 septembre 2016 ......rp (f)Montrer qu’il existe un polynôme S tel que n R = XpqS (g)En déduire que le coe cient de Xr dans n est égal à 2. Exercice 2 [ 02365](https://static.fdocument.org/doc/165x107/60dbc33b3e837373ba4d1a69/-dit-le-24-septembre-2016-rp-fmontrer-quail-existe-un-polynme.jpg)