Lentilles -...

Lentilles I77. Phare.

Un phare est constitué par un filament lumineux de 1 cm de long et par une lentille de diamètre 2 cm. Lorsque celle-ci est à 11 cm du filament, elle en donne une image nette sur un écran situé à 110 cm de la lentille.

1) Quelle est la taille de cette image ? 2) Quelle est la distance focale de la lentille ? 3) Le filament étant à 10 cm de la lentille, quelle est la taille de la région éclairée à 100 mètres de la lentille ?

DS : lentilles, page 1

II64. Lunette. Une lunette est constituée d’un objectif de

distance focale f1’ = 30 cm et de rayon r1 = 4 cm , d’un diaphragme de rayon r = 1 cm qui ne laisse passer que les rayons situés à son niveau à moins de 1 cm de son axe et d’un oculaire de distance focale f2’ = 2 cm. La distance entre le diaphragme et l’objectif est 30 cm et celle entre le diaphragme et l’oculaire est 2 cm. L’objectif, le diaphragme et l’oculaire ont même axe.

30 cm 2 cm

1) Une étoile envoie des rayons parallèles entre eux et inclinés sur l’axe d’un angle α = 0,001 radian. En quel point (position longitudinale et transversale) se forme l’image que donne l’objectif de cette étoile ?

2) Déterminer l’image que donne la lunette de l’étoile. 3) On appelle grossissement le rapport des angles sous lequel on voit un objet à travers l’instrument et à l’œil nu.

Quel est le grossissement de la lunette ? 4) En raison du diaphragme, seules sont visibles à travers la lunette les étoiles dont la direction fait avec l’axe un

angle borné par β. Calculer β. 5) On regarde dans la lunette à l’envers. Que devient le grossissement ? 6) Où se trouve le cercle oculaire, c’est-à-dire l’image que l’oculaire donne de l’objectif ? Quel est son rayon ? 7) On veut que la lunette donne d’un objet situé à 10,3 m de l’objectif une image à l’infini. Quel est le sens et la

grandeur du déplacement de l’oculaire nécessaire ? 8) Dessiner la marche du faisceau de rayons venant de l’étoile située dans une direction inclinée sur l’axe de l’angle

β. En déduire le rayon minimum de l’oculaire pour que celui-ci ne gêne pas la vision.

III50. Lunette. Une lunette est constituée d’un objectif formé par une lentille mince convergente L1, de distance focale f’1 = 10 cm et

de diamètre d’ouverture d1 = 3 cm, et d’un oculaire formé par une lentille mince convergente L2, de distance focale f’2 = 2 cm et de diamètre d’ouverture d2 = 1 cm. La distance entre L1 et L2 est réglable. Le lunette est réglée de façon à donner d’un objet à l’infini une image à l’infini.

1) Calculer la distance L entre les deux lentilles. 2) Soit un objet AB frontal à distance finie. On appelle A1B1 l’image qu’en donne l’objectif et A’B’ l’image qu’en

donne le viseur. Calculer le grandissement ' 'A BAB

γ = .

3) Si A se déplace de , son image A’ se déplace de . Calculer le grandissement axial de la lunette, c’est-à-

dire

A∆ 'A∆'AgA

∆=∆

. Pour trouver la relation entre A et A’, on pourra utiliser les formules de Newton.

4) Soit un objet à l’infini dans une direction faisant l’angle α avec l’axe ; son image est à l’infini dans une direction

faisant l’angle avec l’axe. Calculer le grossissement 'α 'G . α=α

5) Comme les rayons lumineux sont obligés de traverser l’objectif, ils sont obligés, après avoir traversé l’oculaire, de passer par l’image que l’oculaire donne de l’objectif, qu’on appelle cercle oculaire. Déterminer la position du centre C du cercle oculaire.

6) Déterminer le diamètre dC du cercle oculaire. 7) Dessiner avec soin la marche d’un faisceau lumineux arrivant parallèle sur l’objectif, incliné alors d’un angle α

sur l’axe et éclairant tout l’objectif. Pour cela, représenter les rayons extrêmes de ce faisceau et hachurer la région où il y a de la lumière.

IV35. Viseur. 1) Un viseur est constitué d’un objectif formé par une lentille mince convergente L1, de distance focale f’1 = 10 cm et

de diamètre d’ouverture d1 = 3 cm, et d’un oculaire formé par une lentille mince convergente L2, de distance focale f’2 = 2 cm et de diamètre d’ouverture d2 = 1 cm. La distance entre L1 et L2 est réglable. Le viseur est réglé de façon que ce viseur donne d’un objet réel situé à 20 cm de l’objectif une image à l’infini. Quelle est la distance L entre L1 et L2 ?

2) Un objet AB situé à 20 cm de l’objectif est vu sous l’angle à travers le viseur. Calculer la puissance du viseur 'α'P

ABα= en dioptries.

3) Comme les rayons lumineux sont obligés de traverser l’objectif, ils sont obligés, après avoir traversé l’oculaire, de passer par l’image que l’oculaire donne de l’objectif, qu’on appelle cercle oculaire. Déterminer la position du centre C du cercle oculaire.

4) En accommodant, l’observateur peut voir net des objets situés à une distance de lui comprise entre δ = 12,5 cm et l’infini. Dans quelle région doit se trouver un objet pour que l’œil placé en C puisse le voir net à travers le viseur en accommodant, C étant l’image que l’oculaire donne du centre optique de l’objectif ?

V59. Correction de la vue par une lentille. 1) On modélise un œil myope par une lentille mince, le cristallin, placée à la distance d = 23 mm d’un écran, la

rétine. Cet œil est capable de voir nets les objets situés à une distance comprise entre ∆ = 1 mètre et δ = 0,1 mètre en faisant varier la vergence du cristallin. Dans quel intervalle peut-il la faire varier ?

2) Quelle lentille faut-il accoler à l’œil pour qu’il soit capable, en accommodant, de voir nets les objets entre l’infini et la distance la plus courte possible ? Quelle est cette dernière distance ?

VI91. Mesure de distance focale d’une lentille. 1) Pour mesurer la distance focale 1f ′ d'une lentille convergente, l'on forme avec cette lentille sur un écran l'image

d'un objet transversal de longueur 20 mm. Lorsque cette image, renversée, mesure aussi 20 mm, la distance entre l'objet et l'image est d = 124 cm. Déterminer 1f ′ .

2) On accole à cette lentille une autre lentille. Lorsque l'image, renversée, du même objet mesure 20 mm, sa distance à l'objet est d’ = 248 cm. Quelle est la distance focale 2f ′ de la seconde lentille ?

VII75. Appareil photographique. Un appareil photographique est constitué d'une lentille mince de vergence +20 dioptries qui donne sur la pellicule

une image nette de l'objet photographié. 1) Quelle est la distance entre l'objectif et la pellicule pour photographier une montagne de 500 m de haut située à 10

km ? 2) Quelle est la taille de l'image de la montagne sur la pellicule ? 3) Quelle est la distance entre l'objectif et la pellicule pour photographier une fleur de 0,1 m de haut située à 1 m de

l’objectif ? 4) Quelle est la taille de l'image de la fleur sur la pellicule ? 5) On appelle tirage la distance dont on a déplacé l'objectif par rapport à la pellicule par rapport au cas de la mise au

point sur un objet à l’infini. Calculer le tirage lors de la photographie de la fleur. 6) Le tirage peut varier entre zéro et cette valeur. Dans quel intervalle peut varier la distance entre un objet à

photographier et l’objectif pour que la mise au point soit possible ? 7) On accole à l'objectif une bonnette, constituée par une lentille de vergence + 2 dioptries. A quelle distance de

l'objectif faut-il que se trouve la fleur photographiée nette lorsque la distance entre l'objectif et la pellicule est celle de la question 1) ?

8) Quelle est alors la taille de son image sur la pellicule ? 9) A quelle distance de l'objectif faut-il que se trouve la fleur photographiée nette lorsque la distance entre l'objectif

et la pellicule est celle de la question 3) ? 10) Dans quel cas, avec ou sans bonnette, la mise au point doit-elle être la plus précise ? 11) On appelle amplitude dioptrique la variation de l'inverse de la distance entre l'objet photographié et l'objectif

quand on fait varier la distance entre la pellicule et l'objectif. Montrer que la bonnette ne modifie pas l'amplitude dioptrique.

12) Dans des bonnes conditions d'éclairage, l'œil ne peut séparer deux détails que s'il les voit sous un angle supérieur à α = 3.10–4 radian . Quelle est la taille du plus petit détail qu'il peut discerner sur une photographie située à 25 cm de son œil ?

13) Même question en regardant la photographie à travers une lentille de vergence +50 dioptries placée à 2 cm d'elle ?

VIII52. Lunette astronomique. On observe deux étoiles et à l’aide d’une lunette astronomique et d’un détecteur. Les deux étoiles et

sont considérées ponctuelles et à l’infini, séparées par une distance angulaire θ , l’étoile étant située dans la direction de l’axe optique de la lunette.

aE bE aE bEaE

La lunette astronomique d’axe optique z z (Figure 1) est constituée d’un objectif assimilé à une lentille mince convergente de diamètre et de distance focale image

′1L 1 50 cmD = 1 7,5mf ′ = associé à une lentille divergente

de distance focale image 2L

2 0, 025mf ′ = − . On désigne respectivement par et , par et , et , les centres optiques, les foyers objet et image des lentilles et .

1O 2O 1F 1F ′ 2F 2F ′1L 2L


1. Quelle est la forme et la direction des faisceaux lumineux des ondes 1 et 2, respectivement émises par les étoiles et , lorsqu’elles parviennent sur la lunette ? aE bE

2. On appelle l’image de l’étoile à travers la lentille . De même, désigne l’image de à travers . 1A aE 1L 1B bE 1La) Dans quel plan se situent et ? Donner la distance algébrique 1A 1B 1 1A B . b) La lentille est placée peu avant le plan où se forment les images et . On appelle respectivement et

les images de et à travers la lunette. Sachant que

2L 1A 1B 2A

2B aE bE2 2

1 12A B

A B= , exprimer et calculer la distance 2 1O A .

3. On définit la distance focale f ′ de la lunette par la relation 2 2A B f ′= θ . a) Calculer la distance focale f ′ de la lunette. b) Calculer 1 2AA . c) Quel est l’intérêt d’ajouter la lentille ? Quel est son inconvénient ? 2L4. On place dans le plan où se forment les images et , une caméra à DTC (Dispositif à Transfert de Charge).

Ce récepteur d’images est composé d’une matrice rectangulaire de 768 détecteurs élémentaires, appelés pixels, de forme carrée, de côtés . On suppose que la lunette est librement orientable.

2A 2B512×

1 9 ma = µ

Une image parfaite à travers la lunette d’un point situé à l’infini, produit sur le détecteur un signal donnant une image dont la dimension ne peut être inférieure à la taille d’un pixel.

Exprimer et calculer en seconde d’arc, la limite de séparation angulaire de deux étoiles due au récepteur d’image. Quelle est la plus grande valeur de séparation angulaire décelable de deux étoiles en minute d’arc ?

minθmaxθ

IX22. Microscope. Un microscope porte les indications suivantes : sur son objectif : x40 ; sur son oculaire: x10. La notice du

constructeur précise : ouverture numérique de l'objectif , intervalle optique . La signification de ces indications sera précisée dans la suite. On modélise ce microscope par deux lentilles minces convergentes, l’objectif, de centre optique et de foyers et , et l’oculaire, de centre optique et de foyers et .

L’intervalle optique

0 0,65ω = 16 cm∆ =

1O 1F 1F ′ 2O 2F 2F ′

1 2F F′∆ = est positif, c’est-à-dire dans le sens de propagation de la lumière. Soit un objet réel AB, perpendiculaire à l'axe optique, A étant sur l'axe, un peu plus loin de l'objectif que le foyer

objet de cet objectif ; l’objectif donne de AB une image intermédiaire A1B1 ; l’oculaire donne de A1B1 une image A'B'. Nous supposerons cette image à l’infini. Elle est observée par un œil situé au voisinage du foyer image de l'oculaire. Cet œil est dit emmétrope, car il est capable d’accommoder pour voir nets les objets situés entre la distance et l'infini.

25 cmδ =

1) Faire un schéma qualitatif du dispositif, sans chercher à respecter les proportions entre les longueurs données par l’énoncé, et tracer la marche de deux rayons lumineux issus du point B, l'un émis parallèlement à l'axe optique, l'autre passant par . 1F

2) L'indication portée sur l'oculaire (x10) est le grossissement commercial de l’oculaire, c’est-à-dire le rapport de l'angle sous lequel on voit l'image à l'infini d'un objet à travers l'oculaire seul (et non à travers le microscope) et de l'angle α sous lequel on voit ce même objet à l'œil nu lorsqu'il est situé à la distance minimale de vision distincte. Déterminer

2 10G =′α

2f ′ , distance focale image de l'oculaire. 3) L'indication portée sur l'objectif (x40) est la valeur absolue du grandissement 1 1 1 /A B ABγ = de l'objectif :

1 40γ = . Calculer 1f ′ , distance focale image de la lentille équivalente à l'objectif . 4) Calculer la distance entre l'objet et l’objectif. 1O A5) Calculer la latitude de mise au point, c’est-à-dire la variation de la distance compatible avec une vision nette

de l'image finale par l'observateur, dont l'œil est au foyer image de l'oculaire. Interpréter le résultat obtenu. 1O A

6) Calculer dans le cas d'une image finale à l'infini le grossissement commercial G du microscope.


7) L'ouverture numérique du microscope, , correspond à , n indice du milieu dans lequel plonge l'objectif, angle maximum des rayons issus de A arrivant sur l'objectif. Calculer pour un objectif plongé dans l'air. Le microscope est-il utilisé dans les conditions de Gauss ? Quel est l'ordre de grandeur du diamètre de la monture de l'objectif ?

0ω sinn uu u

D

8) Déterminer la position C et le diamètre d du cercle oculaire, image de la monture de l'objectif à travers l'oculaire. Quel est l'intérêt de placer l'œil sur le cercle oculaire ?

X42. L’objectif photographique. Dans tout le problème, on supposera l'approximation de Gauss valable. Les lentilles seront désignées par la lettre L, leurs foyers objet et image étant respectivement F et F', leur centre optique O, leur distance focale image f'. On notera A et A' respectivement, le couple de points conjugués objet et image.

1° Objectif simple. Un objectif photographique est modélisé par une lentille mince de distance focale image f' = 50 mm. La mise au point s'effectue en déplaçant l'objectif par rapport à la pellicule (P). a. Où faut il placer la pellicule pour photographier un immeuble de 20 m de haut, situé à 1 km du centre O ? Calculer la grandeur de son image. ' 'A Bb. Le tirage de l'appareil est la distance dont il faut déplacer l’objectif par rapport à la pellicule pour photographier un objet à distance finie au lieu d’un objet à l’infini. Le tirage maximum permet de photographier un objet situé à

de l’objectif. Quel est ce tirage maximum ?

t

0,9mδ =c. On suppose la mise au point faite sur l'infini. L'objectif possède un diaphragme à iris d'ouverture réglable, placé contre la lentille. Son diamètre D s'exprime en fonction de la distance focale f' et de l'ouverture n suivant la relation D = f’/n. La structure du film étant granulaire, la tache image correspondant à un objet ponctuel a le diamètre d'un grain a = 25 µm = 25. 10–6 m. Déterminer l'ensemble des positions d'un objet A sur l'axe optique donnant une image aussi nette que pour un point à l'infini. Application numérique : Calculer la distance minimale de cet objet au centre optique, l'ouverture étant n = 16.

d. On appelle limite de résolution, la distance minimale de deux objets A et B dans un plan perpendiculaire à l'axe, dont les images A' et B’ sont distinctes sur la pellicule. Cette distance A'B' doit être supérieure au grain de la pellicule a. Déterminer cette limite en fonction de a, f',AF . Application numérique : Comment placer l'objectif par rapport à A pour que cette limite de résolution soit la plus faible possible. La calculer.

2° Téléobjectif. Pour augmenter le grandissement de l'image et abaisser la limite de résolution, il faut utiliser des objectifs de grande focale, ce qui conduit à des appareils encombrants et lourds. On préfère utiliser deux lentilles, L1 convergente de distance focale f’1 = 50 mm et L2 divergente, placée derrière, de distance focale f’2 = – 20 mm. La distance des centres optiques est O1O2 = 35 mm. a. Calculer numériquement la position du foyer image F' du système, c’est-à-dire l’image du point à l’infini dans le système. b. Déterminer la grandeur de l'image de l'objet AB défini en 1° a. c. Quelle serait la distance focale d'une lentille convergente unique donnant une image de même grandeur ? Intérêt du dispositif ?

3° Aberration chromatique. La vergence d’une lentille d’indice n et dont les faces ont pour sommets S1 et S2 et pour centres C1 et C2 est

1 1 2 2

1 1( 1)V n

S C S C

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠.

Pour corriger le chromatisme de l'objectif, on associe deux lentilles L1 et L2, respectivement convergente et divergente.


Les centres optiques étant pratiquement confondus (lentilles accolées) :

L1 est d'un verre d'indice 1 11 1 1 12 1,515 4,5.10 mB 5 -2C Bλ

−= + = =n C ;

L2 est d'un verre d'indice 2 12 2 2 22 1,652 7, 4.10 mB 5 -2C Bλ

−= + = =n C .

a. Donnez sans démonstration la vergence de la lentille unique équivalente en fonction de f'1 et f’2 ? b. L1 est équiconvexe, ses rayons de courbure égaux ont pour valeur absolue R1. L2, accolée, a un rayon de courbure arithmétique R1, sa face non accolée a un rayon de courbure algébrique R2. Calculer R1 et R2 pour que la lentille équivalente ait une distance focale f' = 5 cm, indépendante de la longueur d'onde.

Réponses I. 1) 10 cm ; 2) 10 cmf ′ = ; 3) . 10mD ′α =II. 1) dans le plan du diaphragme, à

0,3 mm de l’axe ; 2) à l’infini dans une direction inclinée de 0,015 radian sur

l’axe ; 3) 1

215fG

f′

= =′ ; 4)

10, 0333 radr

fβ = =′ ; 5)

151

=G ; 6)

2,133 cm derrière l’oculaire ; rayon 0,267 cm ; 7) reculer l’oculaire de 0,9 cm ; 8) . 2min 1, 33 cmr =

2 cm 30 cm

III. 1) ; 2) 1 2 12 cmL f f′ ′= + = 2

10,2f

f′

γ = − = −′ ; 3)

22

21

0, 04f

gf

′= =

′ ; 4) 1

25fG

f′

= =′ ; 5)

22

22 1

0, 4 cmfF CFO

′−′ = = ; 6) 1 2

10,6 cmC

d fdf′

= =′ ; 7) voir

ci-contre.

IV. 1) L = 2f1’ + f2’ = 22 cm ; 2) 2

1 50 dioptriesPf

= =′ ;

3) 2

22

2 1

'' 0 f ,2 cmFO−= =F C ; 4) à une distance de l’objectif

du viseur comprise entre 19,685 et 20 cm.

Figure 3

r2,min

V. 1) entre 01 1 44,5dioptriesV et d

= + =∆ 1

1 1 53,5dioptriesV ; 2) V ; d

= + =δ

= − ∆ = −2 1/ 1dioptrie

2

1 0,111m1/V

′δ = =+ δ

.

VI. 1) 31 cm4Df ′ = = ; 2) 2 62 cmf ′ = − .

VII. 1) 50 mm ; 2) 2,5mmf ABA B ; 3) D

′ ⋅′ ′ = = 1 5,263mm1/

pV p

′ = =+

; 4) ; 5)

; 6) entre l’infini et 1 m ; 7)

5,26mmA B′ ′ =

2,63mm 1 0,5m1/

pp V

= = −′ −′ ′ = ; 8) A B ; 9) 10mm

1 0,333m1/

pp V

= = −′ −; 10) avec la bonnette, la mise au point doit être plus précise ; 12)AB ;

13) AB .

75 m= δα = µ

f ′= α = µ6 m

• VIII. 1) envoie un faisceau de rayons parallèles à l’axe ; envoie un faisceau de rayons parallèles entre eux et faisant l’angle avec l’axe ; 2.a) et sont dans le plan focal image de L ,

aE bEθ 1A 1B 1 1 7,5mf ′ = derrière cette lentille ;

1 1 1A B f ′= θ ; 2.b) 2 1O 0,0125mA = ; 3.a) 12 15mf f′ ′= = ; 3.b) 1 2 0, 0125mAA ; 3.c) L réduit la taille du dispositif et le champ transversal ; 4) θ ;

== =

2

min 2 2 / 0,124 secondeA B f ′7 2 2

max 6.10 768 512 1,9minute−θ = × + = .

IX. 1) voir ci-contre ; 2) 22

2,5 cmfGδ′ = = ; 3)

11

0, 4 cmf∆′ = =γ

; 4) O 0 ; 5) 1, ; 6) 1 , 41cmA = 54 mµ

2 1 400G G= γ = ; 7) u ; conditions de Gauss 40,5DS : lentilles, page 5

A

B

1F ′1F 2 1F A=

1B

2F ′

= °

non vérifiées ; ; 8) 12 tan 0,7 cmD O A u= = 2O 2,88 cmC = 0,106 cm= ;d ; l’œil recueille toute la lumière.

X. 1° a. 50 mm derrière L ; 1 mmA B′ ′ = ; b. 2, ; c. 94 mm2

6,25 mfpna′

− > = ; d. .a FAABf

> ′ ; optimum

0, 85 mAF = ; alors ; 0,425 mmAB =

2° a. 1 95 mmO F ′ = ; b. 4 mm ; c. 14 200 mmf f ′′ = = ; moins encombrant.

3° a. 1 2

1 1 1V

f f f= = +′ ′ ′

; b. ( ) ( ) 11 1 2

22 1 1 1,185 cm

BC C

B⎡ ⎤′= − − − =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

R f ; 12

1 25, 48 cm

2 / 1RR

B B= =

−.


Corrigé I.

1) 110 1011

pp′

γ = = = : l’image du filament mesure 10 cm de long.

2) 1 1 1 1 1 10 cm110 11

fpf p

′= − = − ⇒ =′ ′ −

3) L’image du filament est à l’infini ; sa taille est . A D , elle éclaire sur une largeur D .

/ 0,1radiaAB f′ ′α = = n =′α =

100m10m

II. 1) La figure 1 montre que mm3,0001,0300111 =×=′= αfBA : l’image intermédiaire

B1 de l’étoile est dans le plan du diaphragme, à 0,3 mm de l’axe. B à l’∞

B1

B' à l’∞

A1 = F2 α'

Figure 1

α

B1

A1 = F'1 2) La figure 2 montre que radian015,020

3,0

2

11 ==′

=′fBA

α : l’image B' de l’étoile à

travers la lunette est à l’infini dans une direction inclinée de 0,015 radian sur l’axe.

3) 152

1 =′′

=′

=ff

G . αα

4) Seules sont visibles les étoiles dont l’image intermédiaire est à l’intérieur du

diaphragme : rad0333,0301

111 ==

′=≤≤

frrBA βα .

5) D’après le principe du retour inverse de la lumière, 151

=G . Figure 2

6) Le centre du cercle oculaire est l’image O'1 que donne l’oculaire de O1 ; son rayon est la taille de l’image du rayon de l’objectif : 1r ′ 1r

cm267,0154

3215/324

cm133,21532

21

321

111

1

11

2

12

===′

=′

==+

−

=

′+

=′=′

pprr

fp

pOO

Le cercle oculaire est 2,133 cm derrière l’oculaire et a pour rayon 0,267 cm.

7) cm9,0100030.

2

112

1111 =−

−=′′−=′ AFfAFAF . A1 doit coïncider avec F2, donc il faut reculer l’oculaire de 0,9 cm.

8) La distance à l’axe d’un point d’un rayon varie linéairement avec l’abscisse de ce point sur l’axe ; appliquons cette propriété au rayon extrême, passant par le bas de l’objectif et le haut du diaphragme :

( )

( )

1 2min

1 2

1 22min

1

4 1 21 130

r r r rf f

r r fr rf

+ −=′ ′

′+= +′

+ ×= + = , 33 cm

′

2 cm 30 cm

Figure 3

r2,min

1 2F F′ =III. 1) Pour que F soit confondu avec F1 2, il faut que . 1 2 12 cmL f f′ ′= + =

2) La figure montre que 2

1

' ' 0,2A B ffAB′

γ = = − = −′ .


3) 2

1 1 1 1

22 1 2 2

F A F A f

F A F A f

⎧⎪ ′ ′⋅ = −⎪⎪⎨⎪ ′ ′ ′⋅ = −⎪⎪⎩

Comme et sont confondus, en prenant le rapport membre à membre : 2F 1F ′2

2 22

1 1

'0, 04

F A fg

F A f

′= = =

′.

4) D’un objet à l’infini vu sous l’angle α, l’objectif donne une image intermédiaire ; l’oculaire en donne

une image à l’infini vue sous l’angle

1 1 1AB f ′= α

1 1

2' AB

fα = ′ . D’où 1

2

' 5fGf′α= = =′α

.

5) La position et la grandeur du cercle oculaire peuvent être déterminées en utilisant les formules de Newton :

22 1 2 2FO FC f′ ′⋅ = −

2 22

22 1

2 0, 4 cm10

fF CFO

′−′ = = − =−

.

6) 2 1 22

1 1 1

3 2 0,6 cm10

CC

d f d fdd f f

′ ′ ×γ = = ⇒ = = =′ ′ .

7) Voir ci-contre. L’angle d’inclinaison est très exagéré (parce que le dessin est alors plus facile à réaliser), ce qui oblige à dessiner un oculaire dont le diamètre d’ouverture est plus grand qu’en réalité.

IV. Viseur. 1) L’objectif travaille dans la situation de la méthode de

Silbermann, formant d’un objet réel qui lui est distant de 2f1’ une image réelle située en F2 à 2f1’ de lui. L = 2f1’ + f2’ = 22 cm.

2) 1 1AB AB=1 1

2

ABf

′α = ′

2

1 50 dioptriesPAB f

′α= = =′ .

3) En utilisant les formules de Newton, 22 1 2 2. ' 'FO F C f= − , d’où

2 22

22 1

' 2' 020

f ,2 cmFO−= = − =

−F C .

4) 2 2

22 2 1

22 2

11 1 1

1 1

2 4012,5 cm 0,2 12,5 12, 3 cm cm12, 3 123

40 1270 10 12310 cm 9,685 cm

123 123 1270

fCA F A F AF A

fF A F A

F A

′′ ′ ′= − ⇔ = − = − ⇔ = − = − =−′ ′

′ ×′ = + = ⇔ = − = − = −′

Donc, en accommodant, on peut voir net à une distance de l’objectif du viseur comprise entre 19,685 et 20 cm. La profondeur de champ est faible, ce qui explique la précision des pointés longitudinaux réalisés avec un viseur.

V. 1) Sans accommodation, 0

1 1 1 1 1 1 44,5dioptries0, 023 1

p d p Vp dp

′ = = −∆ = − = + = + =′ ∆

.

En accommodant au maximum, 11 1 1 1 1 1 53,5dioptries

0, 023 0,1p d p V

p dp′ = = −δ = − = + = + =

′ δ.

2) Première solution : la lentille accolée à l’œil, de vergence V , donne d’un objet à l’infini une image situé à la distance ∆ de l’œil, donc

2

2 2 21m 1/ 1dioptrief V f′ ′= −∆ = − = = − ; en accommodant au maximum, on voit

un objet distant de dont la lentille donne une image distant de δ , d’où ′δ

22

1 1 1 1 1 1 0,111m1/ 1 1/0,1

p p Vp Vp

′ ′ ′= −δ = −δ = − = − δ =′ ′ δ + δ − +δ

= = .

Deuxième solution : le cristallin et la lentille équivalent à une lentille unique ; sans accommodation, ( )0 2 21/ 1/ 1/ 1/ 1/ 1dioptriep p d V V d V d d′= ∞ = + = = − + ∆ = − ∆ = − . En accommodant au


maximum, on voit à la distance : ′δ 1 21 1V Vd

+ = +′δ. Or 1

1 1Vd

= +δ

et 21V = −∆

, d’où

1 1 1 0,111m′= − ⇒ δ =′ δ ∆δ

.

VI. 1) C’est la méthode de Silbermann : 124 31 cm

4 4Df ′ = = = .

2) La distance focale de l’ensemble est 248 62 cm4 4Df′′ = = = . Comme les vergences de lentilles accolées

s’ajoutent, 21 2 2 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 162 cm

62 31 62 62f

f f f f f f− ′= + ⇒ = − = − = = − ⇒ = −′ ′ ′ ′ ′ ′

VII. 1) L’objet est pratiquement à l’infini, donc le film est dans le plan focal image, soit à 1/50 m = 50 mm de l’objectif.

2) 0, 05 500 0,0025m 2,5mm10000

AB A B f ABA BD Df

′ ′ ′ ⋅ ×′ ′= α = ⇒ = = = =′

.

A

B

D

f ' α A'

3) 1 1 1 0, 05263m 5,263mm1/

V pp V pp

′− = = = =′ +

. B'

4) 5,2630,1 m 5,26mm1

A B p A BAB p′ ′ ′ ′ ′= = = .

5) Le tirage est la différence entre les valeurs de calculées aux questions 3) et 1) soit 5 . p ′ 2,63 50 2,63mm− =6) On peut photographier des objets dont la distance à l’objectif est comprise entre l’infini et 1 m. 7) Comme deux lentilles accolées équivalent à une lentille dont la vergence est la somme de leurs vergences,

max1 1 1 1

20 2 22dioptries 0,5m1/0, 05 221/

V p ppp p V

− = = + = = = = = −′ ′ −−

.

8) 0,050,1 0, 01m 10mm0,5

pA B ABp′′ ′ = = × = = .

9) min1 1

0, 333m1/0,05263 221/

p pp V

= = = = −′ −−

10) Avec la bonnette, la mise au point doit être plus précise, car l’intervalle de p correspondant au tirage est beaucoup plus petit : une petite erreur sur l’évaluation de entraînera une photographie floue. p

11) min max min maxmin max

1 1 1 1 1 1V Vp p pp p

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜− = + − + = −⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠′ ′ p. Comme

min max

1 1p p

−′ ′

est le même en présence

ou en l’absence de la bonnette, qui fait varier V , min max

1 1p p

− est le même en présence ou en l’absence de la bonnette.

12) . 4250 3.10 0, 075mm 75 mAB −= δα = × = = µ

13) . 420 3.10 0, 006mm 6 mAB f −′= α = × = = µ

VIII. 1) envoie un faisceau de rayons parallèles à l’axe; envoie un faisceau de rayons parallèles entre eux et faisant

l’angle avec l’axe. aE bEθ

2.a) et sont dans le plan focal image de , 1A 1B 1L 1 7,5mf ′ = derrière cette lentille. 1 1 1A B f ′= θ . 2.b) On peut appliquer à la seconde lentille :

• soit les formules de Descartes :

2 2 2 21 1 1 1 12 0, 025m O 0,0125mp O A f A

p pp f p f′ ′γ = = − = ⇒ − = = − = =

′ ′ ′ ′ 2 1

• soit les formules de Newton 2x f

xf′

γ = − = −′

. /2 0, 025/2 0, 0125m 2 2 0,025 0, 05mx f x f′ ′= − = − = − = − = × =

2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 10, 025 0, 05 0, 025m 0,025 0, 0125 0, 0125mO A O F F A O A O F F A′ ′= + = − + = = + = − = .

3.a) 2 2 2 2 1 11

1 12 15

A B A B A Bf f

A B′ ′= = × = =

θ θm .


3.b) 1 2 1 2 2 2 0, 0125 0, 025 0,0125mA A AO O A= + = − + = . 3.c)Pour obtenir une image de même taille avec une seule lentille de distance focale 1f ′ , il faut que 1 15mf f′ ′= = .

La présence de réduit la taille du dispositif de 15 à 7,5 m. Par contre, elle réduit aussi le champ transversal, limité à la largeur de .

2L2L

4) . 6 7 7min 2 2 / 9.10 /15 6.10 rad 6.10 180 60 60/ 0,124 secondeA B f − − −′θ = = = = × × × π =

7 2 2 4 4max 6.10 768 512 5,54.10 rad 5,54.10 180 60/ 1,9minute− − −θ = × + = = × × π = .

IX. 1) Voir ci-contre. 2)

1 1 1 12

2 2

22

25 2,5 cm10

A B A BG

f f

fG

′α δ′α = α = =′ ′δ α

δ′ = = =

= A

B

1F ′1F 2 1F A=

1B

2F ′

3) 1 1 1 11 1

11

16 0,4 cm40

A B F A fAB f

′ ∆′γ = = = = =′ γ

.

4) 1 1 1 1 1 0,41cm1 1 1 116 0, 4 0, 4

ppp f

p f

− = ⇒ = = = −′ ′ − −

′ ′ +

: . 1O 0,41cA = m

5) ( )2

22 2 1 2 2 1

2,5. 025

,25 cmF A f F A −′ ′ ′= − = =−

F A

( )2 21

1 1 11 1

0, 416 0,25 16,25 cm F 0,009846 cm

16,25f

F A AF A

′′ = + = = − = − =

′

au lieu de 2

10, 4F , d’où la latitude de mise au point due à la capacité de l’œil d’accommoder

.

0, 01cm16

A = − =

µ0, 01 0, 009846 0, 000154 cm 1,54 m− = =

La mise au point n’est pas facile, car l’on ne voit net dans le microscope que pour une position très précise de l’objectif par rapport à l’objet.

Si on regarde un milieu transparent, on ne voit net qu’une très mince tranche de ce milieu, d’épaisseur de l’ordre du micromètre.

6) 1 12 1

1 110 40 400

/ /A BG G .

AB A B AB′ ′α α= = × = γ = × =δ δ

= = °7) u . Les conditions de Gauss ne sont pas vérifiées avec une seule lentille. ( )arcsin 0,65 40,5( )12 tan 2 0, 41 tan 40,5 0,7 cmD O A u= = × × ° = .

8) ( )

( )

2 22

2 22 1

2,5 0, 38 cm O 2,88 cm16 0, 4

fF C . C

FO

′′ = − = − = =

− +

2

2

0,7 0, 38 0,106 cm2,5

d F C dD f

′ ×= ⇒ = =′

.

L’œil, s’il est placé sur le cercle oculaire, recueille toute la lumière : on voit tout ce qu’on peut voir.

X. 1° Objectif simple.

a. La pellicule doit être dans le plan focal image de L, 50 mm derrière L. . A B f α′ ′ ′= α

A’O

Pour l’immeuble considéré, 20 0, 02 rad ; 1 mm1000

A Bα ′ ′= = = . B’

b. Comme 2.FAF A f′ ′ ′= − , est compris entre 0 et t250 2,94 mm

900 50=

−

/2dc. /2D

f ′ p ′


2 2

1

1 1 1

50 6250 mm 6,25 m16 0, 025

d p fD p

fd Dp

pp fDfd apDf fpa na

′ ′−= ′′⎛ ⎞⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ′⎝ ⎠

= +′ ′′

= − <

′ ′− > = = = =

×

La netteté est acceptable, compte tenu du grain de la pellicule, si l’objet est situé à une distance de l’objectif supérieure à 6,25 m.

d.

. .

A B f OFxAB FA

AB f a FAA B a AB

FA f

γ′ ′

= = − = −

′′ ′ = > ⇔ > ′

Cette limite de résolution est la plus faible quand est minimum soit pour FA 0, 85 mAF = .

Alors, 0, 025 850 0, 425 mm50

AB ×> =

2° Téléobjectif. a. L1 donne d’un objet à l’infini une image intermédiaire . L1 1F B′ 2 en donne une image . La formule de

conjugaison de LF B′ ′

2 donne :

2 12 22 1

22 1

1 1 1 1 160 mm 95 mm1 1 1 1

50 35 20

O F O FO F fO F

fO F

′ ′− = ⇒ = = = ⇒ =′ ′′ + −

−′′

b. L’image intermédiaire mesure . 1 1 1F B f α=′ ′

La formule de grandissement de L2 donne 22

2 1

604

50 35O F

O F

′= = =

−′γ , d’où A’B’= 14f α′ .

La taille de l’immeuble est de 4 mm. c. Il faut une lentille de distance focale f ′ telle que . 1 14 4 200f f f fα α′ ′= ⇒ = =′ ′ mmLe téléobjectif a pour longueur 35 + 60 = 95 mm, alors qu’un objectif simple de même performance a pour longueur

200 mm. Il est moins encombrant, tant en longueur qu’en largeur et en poids.

3° Aberration chromatique.

a. 1 2

1 1 1V

f f f= = +′ ′ ′

b. Posons 2 2R S C= 2 , positif si la face arrière est concave et négatif si elle est convexe.

( ) ( )1 21 1

1 2 11 1n nR R 2

1Rf

⎛ ⎟⎜= − − − + ⎟⎜ ⎟⎜′⎞

⎝ ⎠ qui, si l’on exprime l’indice en fonction de la longueur d’onde, est de la

forme 2ba +λ

. La lentille est achromatique si et 0b = 1af

= ′ , soit :

11 2

1 1 2 1 2

2 1 1 1 1 20

Bb B B

R R R R R B⎛ ⎞⎟⎜= − + = ⇒ + =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ 2 1R


( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

11 2 1 2

1 1 2 1

11 1 2

2

12

1

2

1 2 1 1 2 21 1 1 1

4,52 1 1 2 5 0,515 0,652 1,185 cm

7,41,185

5, 48 cm2 4,52 117, 4

Ba C C C C

R R R R BfB

R f C CB

RR B

B

⎛ ⎞⎟⎜= = − − − + = − − −⎟⎜ ⎟⎜′ ⎝ ⎠⎡ ⎤ ⎡ ⎤′= − − − = × × − × =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

= = =× −−

2 1R

La lentille L2 est donc biconcave. La petitesse de implique que cet achromat ne peut travailler que dans des conditions de faible ouverture.

1R


Lentilles -...

Documents

Transcript of Lentilles -...