Lecture 4

Διάλεξη 4ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ TOY ΑΠΟΛΥΤΩΣ ΣΤΕΡΕΟΥ/

ΑΚΑΜΠΤΟΥ (RIGID) ΣΩΜΑΤΟΣ-ΙΙ

Θεώρημα Προβολών Ταχυτήτων

Bv�

Av�

2B

1A

2A

Τα μέτρα των προβολών των ταχυτήτων

δύο σημείων πάνω στην ευθεία που ενώνει τα

σημεία είναι ίσα

( )1 2 / / /

/ / / 1 20

A A B B A B A B

B A B A B A B

A A v e v r e

v e r e B B

ω

ω

= ⋅ = + × ⋅

= ⋅ + × ⋅ = +

��

��

1θ

2θ

1B

2

1 2cos cosAv vθ θΒ=

Στιγμιαίο Κέντρο Περιστροφής

• Για κάθε σώµα που εκετελεί επίπεδη

κίνηση πάντα υπάρχει ένα σηµείο στο

επίπεδο όπου η ταχύτητα είναι στιγµιαία 0

•Αυτό το σηµείο λέγεται στιγµιαίο κέντρο

µηδενικής ταχύτητας

•Μπορεί να είναι µέσα στο σώµα ή απ’

έξω!

• Η εύρεση αυτού του σηµείου απλοποιεί

την ανάλυση καθώς το σώµα φαίνεται να

περιστρέφεται γύρω από αυτό το σηµείο

στιγµιαία.

Στιγμιαίο Κέντρο Περιστροφής: Εντοπισμός

Εντοπισµός του IC όταν γνωρίζουµε τα , Av ω��

Από τον ορισµό η ταχύτητα ενός σηµείου του σώµατος είναι πάντα κάθετη

στο σχετικό άνυσµα θέσης από το IC στο σηµείο.

Σε αυτή την περίπτωση το IC βρίσκεται στην γραµµή

που είναι κάθετη στο , σε απόσταση /

/A C Ar v ω=v�

Τροχιά IC

που είναι κάθετη στο , σε απόσταση

από το A.

Παρατηρήστε ότι το IC βρίσκεται πάνω και δεξιά

από το Α αφού η προκαλεί CW γωνιακή

ταχύτητα γύρω από το IC.

//A C Ar v ω=

Av�

ω�

Av�

Στιγμιαίο Κέντρο Περιστροφής: Εντοπισμός

Μια άλλη περίπτωση είναι όταν είναι γνωστές οι ταχύτητες δύο σηµείων

του σώµατος, έστω , A B

v v� �

Σε αυτή την περίπτωση το IC , βρίσκεται στην τομή

των κάθετων στις ταχύτητες και .Av�

Bv�

Eρώτηση: Tι γίνεται αν δύο σηµεία έχουν

παράλληλες ταχύτητες;

Bv� Τότε το IC βρίσκεται στο άπειρο και η

γωνιακή ταχύτητα είναι 0


• Αν τα ανύσματα ταχυτήτων των A και B είναι κάθετα

στην γραμμή AB, το IC βρίσκεται στην τομή τυης

γραμμής AB με την γραμμή που ενώνει τα άκρα των

ανυσμάτων ταχυτήτων A and B.

• Αν όμως τα μέτρα των ταχυτήτων είναι ίδια τότε το IC

Παράλληλες ταχύτητες: Εξαιρέσεις


βρίσκεται στο άπειρο και η γωνιακή ταχύτητα είναι

μηδενική.


• Αν τα ανύσματα ταχυτήτων των A και B είναι κάθετα

στην γραμμή AB, το IC βρίσκεται στην τομή τυης

γραμμής AB με την γραμμή που ενώνει τα άκρα των

ανυσμάτων ταχυτήτων A and B.


βρίσκεται στο άπειρο και η γωνιακή ταχύτητα είναι

μηδενική.

Παράλληλες ταχύτητες: Εξαιρέσεις


Η ταχύτητα ενός σημείου σώματος που εκτελεί γενική επίπεδη κίνηση μπορεί να

υπολογισθεί εύκολα όταν εντοπιστεί ο στιγμιαίος πόλος μηδενικής ταχύτητας.

Αφού το σώμα περιστρέφεται γύρω από το IC σε

κάθε στιγμή, το μέτρο της ταχύτητας κάθε σημείου

είναι v = ω r, όπου r είναι η ακτινική απόσταση

του IC από το σημείο.

Ανάλυση Ταχυτήτων

του IC από το σημείο.

Η διεύθυνση της ταχύτητας είναι κάθετη στην

αντίστοιχη ακτινική γραμμή.

• Η επιτάχυνση δεν είναι µηδέν. Έτσι αυτό

το σηµείο δεν µπορεί να χρησιµοποιηθεί

ως ένα στιγµιαίο σηµείο µηδενικής

επιτάχυνσης κατά τρόπο ανάλογο της

χρήσης του για την εύρεση της ταχύτητας.

Παράδειγμα Ι

• To στιγμιαίο κέντρο περιστροφής βρίσκεται στην τομή των

καθέτων των ταχυτήτων μεταξύ των A και B .

θω

cosl

v

AC

v AA == ( ) ( )

θ

θθω

tan

cossin

A

AB

v

l

vlBCv

=

==

• Οι ταχύτητες των σημείων στην ράβδο είναι σαν να

περιστρέφονται γύρω από το C.

15 - 10

περιστρέφονται γύρω από το C.

Παράδειγμα ΙΙ

Ένα σύστημα συνδέσμων εκτελεί κίνηση όπως στο σχήμα.

Η ταχύτητα του στηρίγματος είναι vD, is 3 m/s.

Βρείτε τις γωνιακές ταχύτητες των συνδέσμων ΑΒ και BD.

Λύση

Εντοπισµός του στιγµιαίου κέντρου µηδενικής ταχύτητας του συνδέσµου BD και

επίλυση για τις γωνιακές ταχύτητες.

Λύση


•Αφού το σηµείο D κινείται προς τα δεξιά, αναγκάζει τον σύνδεσµο AB

να περιστρέφεται CW γύρω από το σηµείο Α .

• Το στιγµιαίο κέντρο µηδενικής ταχύτητας για το BD βρίσκεται στην τοµή

των γραµµών που είναι κάθετες στα vB and vD.

• Παρατηρείστε ότι η vB είναι κάθετη στο AB. Για αυτό το λόγο το

στιγµιαίο κέντρο µηδενικής ταχύτητας βρίσκεται πάνω στην ευθεία του

συνδέσµου AB.


Αφού το µέτρο του vD είναι γνωστό, η γωνιακή

ταχύτητα του συνδέσµου BD µπορεί να βρεθεί από

v = ω r .

rB/IC = 0.4 tan 45° = 0.4 m

rD/IC = 0.4/cos 45° = 0.566 m

vD = ωBD rD/IC .

ωBD = vD/rD/IC = 3/0.566 = 5.3 rad/s

ωAB = vB/rB/A = (rB/IC)ωBD/rB/A = 0.4(5.3)/0.4 = 5.3 rad/s

Ο σύνδεσμος AB περιστρέφεται γύρω από το A.

Παράδειγμα ΙΙΙ

Λύση:

• To σημείο C βρίσκεται σε επαφή με την

σταθερή κάτω ράγα και ταυτόχρονα έχει

μηδενική ταχύτητα. Αυτό είναι και το

στιγμιαίο κέντρο μηδενικής ταχύτητας.

• Υπολογίζουμε την γωνιακή ταχύτητα γύρω

από το C βάσει της ταχύτητας στο A.

15 - 14

Το διπλό γρανάζει κυλάει πάνω

στην κάτω οδοντοτή ράγα. Η

ταχύτητα του κέντρου του είναι

1.2 m/s.

Υπολογίστε (a) την γωνιακή

ταχύτητητα του γραναζιού και (β)

τις ταχύτητες της πάνω ράγας R

και του σημείου D του γραναζιού.

• Υπολογίζουμε τις ταχύτητητες στα B και D

βάσει της περιστροφής των γύρω από το

C.

Παράδειγμα ΙΙΙ

• Η γωνιακή ταχύτητα γύρω από το C βάσει της

ταχύτητας στο A.

srad8m 0.15

sm2.1====

A

AAA

r

vrv ωω

• Ταχύτητες στα B και D βάσει της περιστροφής τους

15 - 15

• Ταχύτητες στα B και D βάσει της περιστροφής τους

γύρω από το C.

( )( )srad8m 25.0=== ωBBR rvv

( )ivR

��

sm2=

( )

( )( )srad8m 2121.0

m 2121.02m 15.0

==

==

ωDD

D

rv

r

( )( )sm2.12.1

sm697.1

jiv

v

D

D��

�

+=

=

Παράδειγμα ΙV

2 - 16

Στην θέση που δίνεται, ο σύνδεσµος AB

έχει γωνιακή ταχύτητα 4 rad/s CW.

Υπολογίστε την γωνιακή ταχύτητα των

συνδέσµων BD και DE.


Διεύθυνση( ) (0.25 m)(4 rad/s) 1 m/sB ABAB ω= = =vΤαχύτητα στο B:

1 0.06 mtan 21.8

0.15 mβ −= = °

vD

vB

Διεύθυνση του D

ωωωωAB= 4 rad/s

ββββ


vB

Bββββ

Το στιγµιαίο κέντρο C είναι στην τοµή των

γραµµών κάθετων στις ταχύτητες vB and vD.

C 0.1 m 0.1 m0.25 m

tan tan 21.8°

0.25 m 0.25 m0.2693 m

cos cos21.8°

BC

DC

β

β

= = =

= = =100 mm

vD

D

cos cos21.8°β

1 m/s (0.25 m) BDω=

4 rad/sBDω =Υπολογισµός ωDE

0.25 m( ) (4 rad/s)

cosD BDv DC ω

β= =

1 m/s 0.15 m( )

cos cosD DE DEv DE ω ω

β β= ⇒ = ⇒ 6.67 rad/sDEω =

( )B BDv BC ω= ⇒

Υπολογισµός του ωBD

Lecture 4

Documents

Transcript of Lecture 4