ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΙΝΗΣΗΣ (EULER-LAGRANGE)

ΣΤΗΝ ΥΠΟΘΕΤΙΚΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΟΥ Η LAGRANGIAN

ΕΞΑΡΤΑΤΑΙ ΚΑΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ!

ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ

Θεωρούμε το σύστημα ενός σωματιδίου, το οποίο κινείται σε μια διάσταση και του

οποίου η συνάρτηση Lagrange δεν εξαρτάται μόνον από τη θέση του σωματιδίου ( )x t και

την ταχύτητά του ( )x t (όπως απαιτούμε για μια Lagrangian) αλλά και από την επιτάχυνσή

του (t)x . Έχουμε δηλαδή την (υποθετική) Lagrangian , )x xL(x, .

Ξεκινώντας από την αρχή του Hamilton:

, ) 0dt x x L(x,

(1)

βρείτε την εξίσωση της κίνησης του εν λόγω σωματιδίου.

Η ΛΥΣΗ

Η δράση κατά την κίνηση του σωματιδίου από την αρχική θέση (χρονική στιγμή 1t ) στην

τελική (χρονική στιγμή 2t ), είναι:

2

1

1 2[ ; , ] , )

t

t

S x t t dt x x L(x,

(2)

Θεωρώντας μια άλλη δυνατή κίνηση του σωματιδίου που ξεκινάει από την ίδια θέση και

καταλήγει στη ίδια θέση, η νέα δράση θα είναι:

2

1

1 2[ ; , ] , )

t

t

S x t t dt x x x x L(x+ x,

(3)

όπου:

( ) ( ) ( )x t x t x t

( ) ( ) ( )x t x t x t

( ) ( ) ( )x t x t x t

Επιπλέον θα έχουμε και τις ακόλουθες συνοριακές συνθήκες:

1 2( ) ( ) 0x t x t

1 2( ) ( ) 0x t x t

(4.1)

(4.2)

Η μεταβολή στη δράση θα δίνεται από τη σχέση:

1 2 1 2[ ; , ] [ ; , ]S S x t t S x t t ή

2

1

, ) , )]

t

t

S dt x x x x x x [L(x+ x, L(x,

(5)

Αναπτύσσοντας σε σειρά Taylor την Lagrangian , )x x x x L(x+ x, και

κρατώντας μόνο τους όρους πρώτης τάξης, έχουμε:

, ) , )x x x x x x x x

x x x

L L LL(x+ x, L(x, x

(6)

Βάζοντας τη σχέση (6) στη σχέση (5), έχουμε:

2

1

, ) , )]

t

t

S dt x x x x x xx x x

L L L

[L(x, x L(x,

ή

2

1

]

t

t

S dt x xx x x

L L L

[ x

(7)

Είναι: ( )d dx

xdt dt x και επίσης: ( )

d dxx

dt dt x

Από τους κανόνες παραγώγισης έχουμε:

( ) ( )

d dx

dt x x dt x

L L Lx x

ή

( ) ( )

d dx

x dt x dt x

L L Lx x

(8)

Και επίσης:

( ) ( )

d dx

dt x x dt x

L L Lx x

ή

( ) ( )

d dx

x dt x dt x

L L Lx x

(9)

Εισάγοντας τις σχέσεις (8) και (9) στη σχέση (7) παίρνουμε:

2

1

]

t

t

S dt x xx x x

L L L

[ x

ή

2

1

( ) ( ) ( ) ( ) ]

t

t

d d d dS dt

x dt x dt x dt x dt x

L L L L L

[ x x x x x

(10)

Οι όροι: ( )d

dt x

Lx και ( )

d

dt x

Lx όταν ολοκληρωθούν ως προς t καταλήγουν

στους: x

Lx και

x

Lx αντίστοιχα, οι οποίοι λόγω των συνοριακών συνθηκών (4.1) και

(4.2) έχουν μηδενική συνεισφορά στη μεταβολή της δράσης. Πράγματι είναι:

22 2

11 1

( ) ( ) 0

tt t

tt t

ddt d

dt x x x

L L Lx x x

Και επίσης:

22 2

11 1

( ) ( ) 0

tt t

tt t

ddt d

dt x x x

L L Lx x x

Έτσι λοιπόν η σχέση (10) απλουστεύεται στη μορφή:

2

1

( )] ( )

t

t

d dS dt

x dt x dt x

L L L

{[ x x}

(11)

Ο όρος: ( )d

dt x

Lx γράφεται:

2

2( ) [ ( ) ( )

d d d d

dt x dt dt x dt x

L L Lx x] - x

(12)

Με τη βοήθεια της σχέσης (12), η σχέση (11) γράφεται:

2

1

2

2( )] [ ( ) ( )

t

t

d d d dS dt

x dt x dt dt x dt x

L L L L

{[ x x]+ x}

(13)

Παρατηρούμε και πάλι ότι ο όρος: [ ( )d d

dt dt x

Lx] όταν ολοκληρωθεί δίνει:

22 2

11 1

[ ( ) ] [ ( ) ] ( ) 0

tt t

tt t

d d d ddt d

dt dt x dt x dt x

L L L

x x x

(λόγω της συνοριακής συνθήκης (4,1)).

Η σχέση λοιπόν (13) καταλήγει στη:

2

1

2

2( ) ( )]

t

t

d dS dt

x dt x dt x

L L L

[ x

(14)

Τώρα και σύμφωνα με την αρχή του Hamilton, η πραγματική τροχιά του σωματιδίου

είναι αυτή για την οποία η δράση καθίσταται στατική ή άλλως η μεταβολή της δράσης

μηδενίζεται. Έχουμε λοιπόν:

0S ή

2

1

2

2( ) ( )] 0

t

t

d ddt

x dt x dt x

L L L

[ x

(15)

Η σχέση (15) πρέπει να ισχύει για οιαδήποτε μεταβολή x και αν θεωρήσουμε, οπότε

πρέπει (υποχρεωτικά) να είναι:

2

2( ) ( ) 0

d d

x dt x dt x

L L L

Τελικά λοιπόν η εξίσωση της κίνησης για το σωματίδιο με την υποθετική Lagrangian

, )x xL(x, θα δίνεται από τη σχέση:

2

2( ) ( ) 0

d d

dt x dt x x

L L L (16)

Παρατηρήσεις:

Η παραπάνω εξίσωση (16), όπως εύκολα διαπιστώνει κανείς είναι τέταρτης τάξης ως

προς το χρόνο. Έτσι για την λύση θα χρειαζόμασταν τέσσερεις αρχικές συνθήκες (Δεν θα

αρκούσε μόνο η γνώση της αρχικής θέσης και της αρχικής ταχύτητας του σωματιδίου).

Για παράδειγμα ας πάρουμε την περίπτωση του αρμονικού ταλαντωτή και ας

προσθέσουμε έναν επιπλέον όρο της μορφής:

22( )

2

mx

, όπου το γ είναι μία παράμετρος με

διαστάσεις χρόνου. Έτσι λοιπόν έχουμε την (υποθετική για χάρη του παραδείγματός μας)

Lagrangian:

2 22 2 2, ) ( ) ( )

2 2 2

m m mx x x x x

L(x,

(18)

Έχουμε λοιπόν:

2m xx

L

22 2

2( )

dm x m x

dt

mxx

L

( )d

mxdt x

L

2m xx

L

Η διαφορική εξίσωση (16) γράφεται:

2

2( ) ( ) 0

d d

dt x dt x x

L L L ή

2 0m x mx m x και τελικά:

2 2 0x x x (19)

Βλέπουμε ότι πράγματι καταλήγουμε σε μια διαφορική εξίσωση τέταρτης τάξης ως προς

το χρόνο. Η χαρακτηριστική εξίσωση της (19) είναι:

2 4 2 2 0 (20)

Προκειμένου να λύσουμε την (20) (διτετράγωνη), θέτουμε: 2 , οπότε έχουμε τη

δευτεροβάθμια :

2 2 2 0 ,

με λύσεις:

2 2

1 2

1 1 4

2

και

2 2

2 2

1 1 4

2

Οι ρίζες λοιπόν της διτετράγωνης είναι:

2 2

1

1 1 4

2

,

2 2

2

1 1 4

2

,

2 2 2 2

3

1 1 4 1 4 1

2 2i

,

2 2 2 2

4

1 1 4 1 4 1

2 2i

Η γενική λοιπόν λύση της (19) είναι:

2 2 2 2 2 2 2 21 1 4 1 1 4 1 4 1 1 4 1

2 2 2 2

1 2 3 4( ) Ct t i t i t

x t e C e C e C e

Βέβαια, όπως γνωρίζουμε από τη θεωρητική μηχανική, η Lagrangian ενός συστήματος

είναι στη γενικότερη περίπτωση συνάρτηση των γενικευμένων συντεταγμένων και των

γενικευμένων ταχυτήτων (πρώτων παραγώγων των γενικευμένων συντεταγμένων) και

ενδεχομένως και του χρόνου. Δεν υπεισέρχονται όροι δεύτερης (επιτάχυνσης) ή ανώτερης

τάξης παραγώγου. Έτσι, πχ. στην μονοδιάστατη περίπτωση κίνησης ενός σωματιδίου η

εξίσωση Euler-Lagrange έχει τη μορφή:

( ) 0d

dt x x

L L (21)

Η διαφορική εξίσωση (21) είναι δεύτερης τάξης ως προς το χρόνο και επομένως η

γνώση δύο αρχικών συνθηκών (αρχική θέση, αρχική ταχύτητα) επαρκούν για την πλήρη

επίλυση του προβλήματος.

ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ

ΜΑΗΣ 2015