Kontrol Sistemleri 1-7
-
Upload
caner-oender -
Category
Documents
-
view
194 -
download
2
Transcript of Kontrol Sistemleri 1-7
ELM305KONTROL�S�STEMLER�
1�Giri��ve�Tan�mlamalar
Temel�Bilgiler
• Sorumlu�Ö�retim�Görevlisi– Tu�rul�Ad�güzel–– Tel:�203�3450
• Ders�Bilgileri– Ders�Saati:�Sal��15:30 – 18:00– Yeri:�ELK�1– Dan��ma�Saatleri:�Sal� 13:30�– 15:00– Doküman�ileti�imi:�[email protected]
Ba�ar��De�erlendirme
Ba�ar��Notu�=�Aras�nav��Notu�x�0.40�+�
Dönem�Sonu�S�nav�Notu�x�0.60
Gerekli�Ön�Bilgiler
• Matlab�Temel• Do�rusal�Adi�Diferansiyel�Denklemler• Laplace�Dönü�ümü�ve�Uygulamalar�• Lineer�Cebir• Kompleks�Say�lar
Temel�Konu�Ba�l�klar�
• Giri��ve�Tan�mlamalar�(1H)• Temel�Sinyal�Sistem�Kavramlar��ve�Analitik�Çözümlemeler�(1H)• Matematiksel�Modelleme�(3H)• Blok�Diyagram��– Sinyal�Ak���Diyagram��(1H)• Dinamik�Sistem�Tepkisi�Analizi�(3H)• Sistem�Performans�Analizi�(1H)• Kararl�l�k�Kavram��ve�Analizi�(2H)
Ders�Kitab�
• Automatic�Control�Systems, F.�Golnaraghi and�B.C.�Kuo,�Wiley.• Otomatik�Kontrol�Sistemleri,�B.C.�Kuo.• Modern�Control�Systems, R. C.�Dorf and�R. H.�Bishop,�P.Hall.
Yard�mc��Kaynaklar
• Modern�Control�Engineering, K. Ogata
Tan�mlamalar
�Sistem�Nedir?Sistem,�bir�araya�geldi�inde�anlaml��bir�bütün�olu�turan,�aralar�nda�etkile�im�olan,�birbirine�muhtaç,�ba��ms�z�bile�enler�toplulu�u�(radyo,�otomobil,�uçak,�gemi,�insan,�ekonomi,�toplum)
�Kontrol�Sistemi�Nedir?Kontrol�sistemi,�bir�cihaz��veya�sistemi,�i�letmek,�yönetmek,�yönlendirmek�veya�düzenlemek�için�kullan�lan�araç�veya�araçlar�(yükseltici,�h�z�sabitleyici,�oto�pilot,�beyin�...)
Tan�mlamalar
�Giri��(Input)Sisteme�veya�herhangi�bir�bile�enine,�belli�bir�fonksiyonu�yerine�getirmesi�amac�yla�uygulanan�tahrik,�sinyal,�girdi.
�Ç�k���(Output)Sistemde�veya�herhangi�bir�bile�ende,�ortaya�ç�kan�sonuç,�sinyal,�ç�kt�.
Tan�mlamalar
�Geribesleme�(Feedback)Sistemin�istenilen�i�levi�do�ru�bir��ekilde�gerçekle�tirmesini�sa�lamak�için,�ç�k��(lar)�n�bir�mekanizma�ile�ölçülmesi,�elde�edilen�ölçüm�de�erlerinin,�uygun�giri�ler�üretilmesi�amac�yla�kontrol�mekanizmas�na�iletilmesi.
Tan�mlamalar
�Eyleyici�(Actuator)Sisteme�uygulanan�giri�leri,�sistem�üzerinde�eylem�olu�turacak�i�leve�dönü�türen�bile�en�(motor,�kanatç�k,�dümen,�kas)
�Alg�lay�c��(Sensör)Sistemden�elde�edilen�ç�k��lar��kontrol�mekanizmas�n�n�anlayabilece�i�sinyale�dönü�türen�araç�(counter,�aç�ölçer,�gyro,�sinir�sistemi)
Tan�mlamalar
�Kontrol�Edici�(Controller)Sisteme�uygulanan�giri�i�de�erlendirip�sistemin�i�leyi�ini�yönlendiren�mekanizma
�Kararl�l�k�(Stability)Sistemin�belli�bir�davran���dengesini�kendili�inden�koruyabilme,�sürdürebilme�kabiliyeti
Temel�S�n�fland�rma
�Aç�k�Döngü�Kontrol�(Open�Loop)
�Geribeslemeli�Kontrol�(Closed�Loop)
KontrolEdici Eyleyici Sistem
Alg�lay�c�
Referans giri� �k�� Kontrolgiri�i
Eyleyengiri�
Ölçülenç�k��
KontrolEdici Eyleyici Sistem
Referans giri� �k�� Kontrolgiri�i
Eyleyengiri�
Örnek�Sistem
Yönelim�kontrol�sistemi
Örnek�Kontrol�Sistemi
Yalpalama�kontrol�sistemiPlant?Kontrol�tipi?Giri�?�Kontrol�giri�i?Eyleyici?�Eyleyen�giri�?Ç�k��?Alg�lay�c�?Ölçülen�ç�k��?
Kararl�l�k?
Örnek�Kontrol�Sistemi
Örnek�Kontrol�Sistemi Örnek�Kontrol�Sistemi
Kontrol�Sistemi�Tasar�m�Süreci
a. system concept;b. detailed layout;c. schematic;d. functional block diagram
Antenna azimuth position control system:
ELM305KONTROL�S�STEMLER�2�Temel�Gözden�Geçirme�Konular�
1
Temel�Bilgiler• Temel�fonksiyonlar• Karma��k�say�lar• Çok�kullan�lan�test�giri��sinyalleri• Diferansiyel denklemler• Laplace�transformu– özellikleri– ters transform– k�smi�kesirlere�ay�rma
• Matlab fonksiyonlar�
2
Temel�Fonksiyonlar
0
1lnln ln
Eksponansiyel Fonksiyon , /
( ) , 1Logaritma Fonksiyonu ln( ) ln ln ln
ln ln ln
ln ln , ln(1) 0
1
x
x y x y x y x y
x y xy
a
x x x
ee e e e e ee e e
x (xy) x yx x yy
(x ) a x
e x, e ex
� �
�
� �
� �
� �
� �
� �
� � �3
Süper�Denklem
• En�önemli�5�say�y��içerir:�0, 1, i, �, e.• En�önemli�3�i�lemi�içerir:�
+,�*,�exp• Denklem�tan�m��için�«e�ittir»�i�aretini�içerir.
* 1 0ie � � �
4
Temel�Fonksiyonlar
2 2
Çift Fonksiyon: ,Tek Fonksiyon: ,sin sin cos cossin cos 1sin sin cos cos sinsin sin cos cos sinsin 2 2sin coscos
f( x) f(x) xf( x) f(x) x
( x) x, ( x) xx x
(x y) x y x y (x y) x y x y x x x (x y)
� � �� � � �
� � � � �
� �� � �� � ��� cos cos sin sin
cos cos cos sin sinx y x y
(x y) x y x y� �
� � �5
Temel�Fonksiyonlar
x x,
xx,
xxx,
xxx
x x) (� x x) (�
-x)� ()�( xx
-x)� ()�( x-x
x)(x
x)(x
xxxxx
sin1csc
cos1sec
sincoscot
cossintan
coscossinsin
2sin
2sincos
2cos
2cossin
2cos121sin
2cos121cos
1cos2sin21sincos2cos
2
2
2222
����
�����
���
��
��
��
������
6
Temel�Fonksiyonlar1sin sin cos cos21cos cos cos cos21sin cos sin sin2
olarak tan�mlan�rsa 2 2
sin sin 2sin cos2 2
cos cos 2cos cos2 2
cos cos 2s
x y [ (x y) (x y)]
x y [ (x y) (x y)]
x y [ (x y) (x y)]
u v u vu x y, v x - y, x , y
u v u vu v
u v u vu v
u v
� � � � �
� � � �
� � � �
� �� � � � �
� �� �
� �� �
� � in sin2 2
u v u v� �
7
2 2
2 2
2
Sadele�tirme: cos sincos cos cos sin sin cos sin
cos sin tan
cos sin cos
sin cos sin sin cos cos sin
sin cos ;
A x B xC (x �) C � x C � x A x B x
BA C �, B C �, ise C A B , �A
A x B x A B (x �)
C (x �) C � x C � x A x B x
A C �, B C � C A
�� � � � �
� � � � �
� � � �
� � � � �
� � � � 2 tan
cos sin sin: :
AB , �B
A x B x C (x �)C genlik, � faz
� � �
� � �
Temel�Fonksiyonlar
8
Temel�Fonksiyonlar
• F(t)=3sin��t�+4cos��t• F(t)=Asin(3t��)=Acos� sin3t�–Asin � cos3t• Acos � =3• Asin � =�4• A2=25,�A=5���• tan�� =������� �����
• F(t)=5sin(3t+ �����)
9
Karma��k�Say�lar• X2+1=0�� j2=�1 iken�x=j�veya�x=i�• X2+4=0,�ise x=2j,• z1=x1+jy1,�z2=x2+jy2• z1+�z2=�(x1+�x2)+j(y1�+ y2)• z1 z2=(x1+jy1)(x2+jy2)=(x1x2��y1y2)�+j(x1y2�+x2y1)
1 1 1 1 1 2 2
2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 2 1 1 22 2 2 22 2 2 2
( )( )( )( )
z x jy x jy x jyzz x jy x jy x jyx x y y x y x yz j
x y x y
� � �� � �
� � �� �
� �� �
10
Karma��k�Say�lar�n�Polar�Gösterimi
• z=x+jy,�x=rcos�,�y=�rsin� olarak�tan�mlan�rsa;• z�=�r(cos�+j sin�� �� �� ��• Mutlak�de�eri�(modülü) r2=x2+y2
• Faz��(argüman�) �=�tan�1(y/x)• Örnek ««z=1+j»»
,...2,1,0,24
arg
2
���
�
nnz
z
��
11
• z=x+jy• ez =ex+jy=�ex�ejy=�ex�(cos y+jsin�y)• ejx�=cos x+jsin�x�=�cis(x)• |�ejx |�=�sqrt(cos2 x+�sin2�x)�=�1• z=r(cos�+jsin���r�ej�
• »»»�e1+j
• »»» e�3j
Euler�Formülü
12
Matlab�Fonksiyonlar�
13
Kutuplar�� S�f�rlar• G(s)�fonksiyonu�de�erinin�sonsuza�yakla�t����s�de�erine�G(s)�fonksiyonunun�«kutbu(pole)»�denir.
• G(s)�fonksiyonu�de�erinin�s�f�ra�yakla�t����s�de�erine�G(s)�fonksiyonunun�«s�f�r�(zero)»�denir.
� �r-inci mertebenden kutup p:
( )( ) ; 0,lim r
s pG s s p R R
�
� � � �
� �Tekil z s�f�r�:
( ) 0lims z
G s�
�
14
Matlabda�Kutuplar�� S�f�rlar2
2( )2
seG ss
�
��
15
Kontrol�Sistemlerinde�Kullan�lan�Temel�Sinyaller
16
1.�Mertebeden�Diferansiyel�Denklem
• y’ + a y =�0;�y(0)=C, s�f�r giri�• Çözüm: y(t) = Ce-at
• y’ + a y =��(t);�y(0)=0, birim dürtü giri�• Birim dürtü tepkisi: h(t) = e-at
• y’ + a y =�f(t);�y(0)=C, s�f�rdan farkl� giri�
• «In circuit theory,�the�total�response�of�the�circuit�is�the superposition of�the�ZIR�and�the�ZSR»
Toplam tepki: y(t) = s�f�r giri� tepkisi (ZIR) + s�f�r durum tepkisi (ZSR) = Ce-at + h(t) * f(t)
• Yüksek�mertebeden LODE için:�Laplace kullan!17
• Tan�m:
01
0
00
( ) ( ) ( )
( ) ( ); ters LaplaceÖrnek
( ) ( ) 1
1 1 1( ) (1) 1
1( )
st
st st s
F s L f e f t dt
f t L F
f t u t
F s L e dt e e es s s
F ss
��
�
��� � � �
� �
�
� �
� � � � � � �
� �
�
�
Birim Basamak Fonksiyonu u(t)
Laplace�Transformu
18
3
3 3 ( 3)
0 0
( 3)
0
Örnek( )
( ) ( )
1 1 3 3
1( )3
1( )
t
t st t s t
s t
at
f t e
F s L e e e dt e dt
es s
F ss
L es a
� �� � �
�� �
�
� � �
� � �� �
� ��
��
� �
Laplace�Transformu
19
( ) birim dürtü 1
1( ) birim basamak
1 eksponansiyelat
t
u ts
es a
�
�
Laplace�Transformu
20
320
00
2
0
22
20
20
000
2122
211)(
111
11)(
)(
ssstdte
s
dttes
ets
dttetL
se
sdte
s
dtes
tes
tdtetL
ttf
st
ststst
stst
ststst
���
�����
�����
�����
�
�
��
�
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
Laplace�Transformu
21
� �
� �
� �
0
0
'
0
If { ( )} ( ) ise { ( )}???at z olarak tan�mlans�n:
( ) ( )
1( ) ( )
ss' olarak tan�mlans�n:a
1 1 1( ) ( ) ( ') ( )
st
zsa
s z
L f t F s L f at
L f at e f at dt
L f at e f z dza
sL f at e f z dz F s Fa a a a
��
��
��
��
�
�
�
� � �
�
�
�
Laplace�Transformu
22
220
20
2
2
02
2
2
0
2
02
0
000
sin
sin)1(
sin
sin)1(coscos
cos)1(sin1sin)(sin
sin)(
���
���
���
�������
�����
�
��
��
��
������
�����
�
�
�
�
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
stdte
stdte
s
tdtess
tdtess
tes
tdtes
tdtes
tes
tdtetL
ttf
st
st
st
ststst
ststst
Laplace�Transformu
23
( )
0 0
( )
0
2 2 2 2 2 2
( ) sin , ( ) cos
( )
1 1
1 1
( ) (cos sin ) (cos ) (sin )
j t st j t s j t
s j t
j t
f t t f t t
L e e e dt e dt
es j s j
s j s j s js j s j s j s s sL e L t j t L t jL t
� � �
�
�
� �
� �� � �
� � � � � �� � � �
� �� � �
�
� �
� �
� �
� � �� �
� �� � � �
� � � � � �
� � � �
� �
Laplace�Transformu
24
Laplace�Tablosu
25
Laplace�Teoremleri
26
220
220
20
2
2
0
)(2
2
2
0
2)(
0
)(2
0
)(
0
)(
0
)(
0
)(cos
)(sin
)(sin)
)(1(
sin)()(
sin)1(cos)(
cos
cos)1(sin1
sin)sin(
��
���
���
���
�����
��
���
��
���
�
���
��
��
��
��
��
��
��
��
��
���
���
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
��
��
���
���
���
���
���
���
��
asastdte
astdte
astdte
as
tdteasas
tdteasas
teas
tdteas
tdteas
teas
tdteeteL
st
st
st
tas
tastas
tas
tastas
atstat
Laplace�Transformu
27
1 1 12 2 2 2 2
1 12 2 2 2 2 2
2 2 2
1 12 2 2 2 2 2
1 1 1 3 1( ) ( ) ( ) sin 39 3 3 3 3
3 2 1( ) ( )( 2) 3 ( 2) 3 ( 2) 3
1 1 cos3 sin 3 (cos3 sin 3 )3 3
3 2 1( ) (3 2 ) 3cos 2sin1 1 1
t t t
L L L ts s s
s sL Ls s s
e t e t e t t
s sL L t ts s s
� � �
� �
� � �
� �
� � �� � �� �
� �� � � � � �
� � � �
�� � � �
� � �
12
3 2( ) ???2 5
sLs s
� ��
� �
Laplace�Transformu
28
)0(')0()(
)]0()([)0(')(')0('
)(')()(')(")}("{
)0()()'()0()()'(
)()0()()0(
)()()()(')}('{
20
00
0
0
00
0
fsfsFs
fssFsfdttfesf
dttfestfedttfetfL
yssYyLxssXxL
ssFfdttfesf
dttfestfedttfetfL
st
ststst
st
ststst
���
�������
����
����
������
����
�
��
�
��
��
����
��
��
����
��
Laplace�Transformu
29
Laplace�Transformu� � � �
� � � � � �� �
� � � � � �
� �
2 2
2
2
2 2
y'' 9y 0, y 0 0, y' 0 2
L(y'') s Y s sy 0 y'(0) s Y s 2
L(y) Y s
[s Y s 2 9 Y s ] 0
(s 9)Y(s) 22 3Y(s)3 s 32y t sin 3t3
� � � �
� � � � �
�
� � �
� �
��
�30
Laplace�Transformu�Matlab
31
� � � �
� � � � � � � � � �� � � � � � � �� � � �� � � � � �
� �
� �
� � � �
2 2
2
2
2 2 2 2
t
y'' 2y' 5y 0; y 0 2, y' 0 4
L '' s Y s sy 0 y' 0 s Y s 2s 4
L y' sY s y 0 sY s 2
L y Y s
[s Y s 2s 4] 2[sY s 2] 5[Y s ] 0
(s 2s 5)Y s 2s2s s+1 2Y s 2
s2 2s 5 (s+1) 2 (s+1) 2y t e 2cos 2t – sin 2t
y
�
� � � � � �
� � � � � �
� � � �
�
� � � � � �
� � �
� � �� � � �
�
Laplace�Transformu
32
Laplace�Transformu�Matlab
33
• y”�2�y’�3�y=0, y(0)=�1,�y’(0)=�7• y”+2�y’�8�y=0,� y(0)=�1,�y’(0)=�8• y”+2�y’�3�y=0,� y(0)=�0,�y’(0)=�4• 4y”+4�y’�3�y=0,� y(0)=�8,�y’(0)=�0• y”+2�y’+�y=0,� y(0)=�1,�y’(0)=��2• y”+4�y=0,� y(0)=�1,�y’(0)=�1
Örnek�Problem�Laplace
2
3 2
3 2
0 00
1( ) , y(t) ???6
1 1( )6 ( 2)( 3) 2 3
her iki taraf� "s" ile çarp�l�p "s" yerine "0" verilsin:
1 1 ( 2)( 3) 2 3 6her iki taraf "s-2" il
s ss
sY ss s s
s s A B CY ss s s s s s s s s
s Bs CsA As s s s� ��
��
� �� �
� � � � �� � � � � �
�� � � � � �
� � � �
2 22
e çarp�l�p, "s" yerine "s 2" de�eri verilsin:
1 ( 2) ( 2) 3 ( 3) 3 10s ss
s A s C sB Bs s s s� ��
�
� � �� � � � �
� �
K�smi�Kesirler�Yöntemi
3
33 3
3 2
2 3
her iki taraf "s 3" ile çarp�l�p, "s" yerine "s 3" de�eri verilsin:
1 ( 3) ( 3)( 2) ( 2)
215
1 1 1 3 1 2 1( )6 6 10 2 15 3
1 3 2( )6 10 15
ss s
t t
s B s A sCs s s s
C
sY ss s s s s s
y t e e
���� ��
�
� � �
� � �� � �
� �
� �
�� � � � �
� � � �
� � � �
K�smi�Kesirler�Yöntemi
4
3
22
4 3 2
2 2
2 12
2 1
" 3 ' 2 4 , y(0) 1, y'(0) -14 11 3( 1) 2
37 13 4 12( )( 3)( 3 2)
( )3 2 1
A , B, C, D bir önceki yöntemle bulunabilir, A ???
ty y y t e
s Y s sY Ys s
s s s sY ss s s s
A A B C DY ss s s s s
� � � � � �
� � � � � � ��
� � � ��
� � �
� � � � �� � �
Tekrarlanan�Kesir
5
4 3 2
2 2
2 12
2
4 3 2 2 2 2
2 1 22
7 13 4 12( )( 3)( 3 2)
3 2 1her iki taraf "s " ile çarp�l�p, "s" yerine "s 0" de�eri verilsin:
7 13 4 12 ; 2( 3)( 3 2) 3 2 1
her iki
s s s sY ss s s s
A A B C Ds s s s s
s s s s Bs Cs DsA A s As s s s s s
� � � �� �
� � �
� � � � �� � �
�
� � � �� � � � � �
� � � � � �
4 3 2
12 20
taraf�n s'ye göre türevi al�n�rsa:
7 13 4 12 (2 ( 3) )( 3)( 3 2) ( 3)s
d s s s s s B s BsAds s s s s
�
� �� � � � � �� �� � � � � �
2
...
(2 ( 2) )...( 2)
s C s Css
�
� �� 2
(2 ( 1) )( 1)
s D s Dss� �
��
1 0A '( ) 3
sQ s
�� �
Tekrarlanan�Kesir
6
4 3 2
3 2
3 2 13 2
3
4 3 2 3 3 32
3 2 12
7 13 4 12( )( 3)( 3 2)
3 2 1her iki taraf "s " ile çarp�l�p, "s" yerine "s 0" de�eri verilsin:
7 13 4 12 ;( 3)( 3 2) 3 2 1
s s s sY ss s s s
A A A B C Ds s s s s s
s s s s Bs Cs DsA A s A ss s s s s s
� � � �� �
� � �
� � � � � �� � �
�
� � � �� � � � � � �
� � � � � � 3
4 3 2
2 120
2
her iki taraf�n s'ye göre türevi al�n�rsa:
7 13 4 12 2( 3)( 3 2) s
A
d s s s s A A sds s s s
�
�
� �� � � �� �� � � � �
1( , , , )f B C D s� 2 0
2 4 3 2
1 22 20
A '( ) 3
her iki taraf�n s'ye göre bir daha türevi al�n�rsa:
7 13 4 12 2 ( , , , )( 3)( 3 2)
s
s
Q s
d s s s s A f B C D sds s s s
�
�
� � �
� �� � � �� �� � � � �
1 0
1A ''( ) 3 2 s
Q s�
� �
Tekrarlanan�Kesir
7
Kısmi Kesirlere Ayırma Matlab
2
3 2ss s��
1 21s s�
�
8
Kısmi Kesirlere Ayırma Matlab
2
3
9 99
s ss s� ��
1.5 1.5 13 3s s s
�� �
� �
9
Kısmi Kesirlere Ayırma Matlab
2
1 11 ( 1)s s
��
� �
10
2
0.5 2 0.5 3 23 2 1
Ys s s s s
� �� � � � �
� � �
11
Örnek�Problem�K�smi�Kesir
�
2
2
3
3 2 2
2
2
3 21)
9 92) 9
11 14 11 143) =4 4 ( 2)( 3 2)
4) 1
5) 2 2
ss ss s
s ss s
s s s s s ss
ss
s s
��� ��� �
� � � � � �
�
� �
12
Ba�lang�ç�De�er�Teoremi
( ) ( ) ( ) { ( )}olarak verilen laplace fonksiyonu F(s) "düzgün(proper) deg(num) deg(den)" tan�ml� ise, laplace fonksiyonu F(s) kullan�larak,zaman fonksiyonu f(t) ba�lang�ç de�eri
(
f t F s F s f t
f
� �
�
L
00 ) lim ( ) lim ( )
formülü kullan�larak elde edilebilir. st
f t sF s�
�
���� �
13
Son�De�er�Teoremi
( ) ( ) ( ) { ( )}olarak verilen laplace fonksiyonu F(s) " " tümü negatif gerçel k�sma sahipse, laplace fonksiyonu F(s) kullan�larak,zaman fonksiyonu f(t) yak�nsama de�eri(son de�er)
f t F s F s f t
kutuplarının
� �L
0(0 ) lim ( ) lim ( )
formülü kullan�larak elde edilebilir. t s
f f t sF s�
�� �� �
14
Örnek
2
2
0
1( )( 2)( 3)
( 1)(0 ) lim ( ) lim( 2)( 3)
2 1 2lim lim lim 15 6 2 5 2
(0 ) 1
( ) lim ( ) 0
s s
s s s
s
sY ss s
s sy sY ss s
s s ss s s
y
y sY s
�
�� ��
�� �� ��
�
�
��
� ��
� �� �
� �� � � �
� � ��
� � �
15
16
Örnek
1 2 2
21 2,3
6( )0; 2; 3( 2)( 3)
(0 ) 0( ) 1
6( )( 6) 0; 6
(0 ) 0( ) sdt uygulanamaz!
sY sp p ps s s
yy
sY ss s p p j
yy
�
�
��
� � � � � �� �
�� �
��
� � � � �
�� �
17
Örnek
21,2 3 4
6( )0; 2; 3( 2)( 3)
(0 ) 0( ) sdt uygulanamaz!
Son de�erin bulunabilmesi için Y(s), 0 konumunda en fazla bir adet kutba sahip olmal�,
geri kalan tüm kutuplar negatif gerçel k�sma
sY sp p ps s s
yy
s
�
��
� � � � � �� �
�� �
�sahip olmal�!
18
Transfer�Fonksiyonu
� �� �
r giri�inden y ç�k���na olan transfer fonksiyonu: y ç�k���n�n Laplace transformunun, r giri�inin Laplace transformuna oran�d�r...
( )( ) ( ),( ) ( )
Dolay�s�yla s-bölgesinde ç�k��: ( ) ( ) (
y tY s G sR s r t
Y s G s R s
�
� �
�
LL
)olarak hesaplan�r.
19
Transfer�Fonksiyonu
Örnek: denklemin Laplace transformu al�n�rsa
( ) ( ) ( )Y/X için çözüm:
( ) 1 1, ( ) ( )( )
1giri�inden y ç�k���na olan T.F. (s)
TF'nun ters Laplace transformu birim dürtü t
y ky r
sY s kY s R s
Y s Y s R sR s s k s k
Gs k
� �
� �
� �� �
� ��
�
epkisini verir:( ) ( )kth t e u t��
20
Örnek
2
2
4
( ) 5 ( ) 4 ( ) ( ) 4 ( )
( ) 5 ( ) 4 ( ) ( ) 4 ( )Transfer Fonksiyonu:
( ) 4 4 1( )( ) 5 4 ( 1)( 4) 4
Birim Dürtü Tepkisi:( ) ( )t
y t y t y t r t r t
s Y s sY s Y s sR s R s
Y s s sG sR s s s s s s
h t e u t�
� � � �
� � � �
� �� � � �
� � � � �
�
�� � �
21
Giri���k���Sistemi
• Giri��ç�k���sistemi:
– Giri��olarak�birim�dürtü�sinyali�uygulan�yorsa,�r(t)=��(t),�sistemin�ç�k����dürtü�tepkisi,
– Giri��olarak�birim�basamak�sinyali�uygulan�yorsa,r(t)=u(t), sistemin�ç�k����basamak�tepkisi�olarak�adland�r�l�r.�
Giri�
�(t),u(t)
�k��
y(t)Sistem
22
( ) ( ), ( ) ( ) ( )( )
Y s G s Y s G s R sR s
� � R(s) G(s) Y(s)
1
1dürtü tepkisi( ) ( ) [ ( )]
1
r(t) (t) Y(s) G (s)R(s)R(s) , G (s)
y t h t G s
r(t) u(t) Y(s) G (s)R(s)
R(s) , s
�
�
� �� �
�
� �
� �
�
L
1
1
basam ak tepkisi1( ) [ ( ) ]
G (s)s
y t G ss
�
�
�
� L23
Kutuplar�� S�f�rlar• Kutuplar:�TF�sonsuza�götüren�s�de�erleri
– Kutuplar�=�TF�payda�polinomunun kökleri– Pay�ve�paydada�ayn��polinom çarpanlar��varsa�önce�bu�çarpanlar�sadele�tirilir
• S�f�rlar:�TF�s�f�r�yapan�s�de�erleri– Sonlu�de�ere�sahip,�pay�polinomu kökü�olan�s�f�rlar�d���nda,�«n»�payda�polinomunun mertebesi,�«m»�pay�polinomunun mertebesi�olmak�üzere,««n�m»»�tane�s�f�r�n�sonsuzda�oldu�u�varsay�l�r.
• Böylece�sistemin�n�kutbu ve n�s�f�r��bulunur• «n» sistemin�mertebesini�gösterir• «n�– m» sistemin�nispi�mertebesidir�(rltv order)
24
Örnek
)6)(4(
)1(10)( 2 ���
�sss
ssG
• Sistem�mertebesi:�n�=�4• m�=�1• Nispi�mertebe =�n�m�=�3• 4�kutup:�«0,��0,���4,���6»�konumlar�nda• 1�kutup�«�1»�konumunda• 3�s�f�r�sonsuzda!
25
Kararl�l�k
• Sistem�s�n�rl��giri�lere�yine�s�n�rl��ç�k��lar�(yak�nsak),�sistem�BIBO�kararl�d�r
• Belirleme�kriteri:� TF�pay�payda�sadele�tirmeleri�yap�ld�ktan�sonra�geri�kalan�kutuplar�n�tamam��negatif�gerçel k�sma�sahipse�BIBO�kararl�!
� Herhangi�bir�sadele�tirme�yoksa???
26
Örnek
1 2
2
3 2
2
10( 1)( ) ( 4)( 6)10 3( )
( 2)( 5)1( )
4 6
( )10 ( 1)( 2)
kutuplar: 0, 1, 2s�f�rlar: , ,
s
sG ss s s
sG ss s
sG ss s
eG ss s ss
�
��
� ��
�� ��
�� �
�� �
� � �� � �
27
Örnek2
2
2
2 4
5 4 ( )1( 5 4) ( )
21 1( )
( 2)( 5 4) ( 2)( 1)( 4)1 113 62
2 1 41 1 1( ) ( ) ( ) ( )2 3 6
t
t t t
f f f e u t
s s F ss
F ss s s s s s
s s s
f t e u t e u t e u t
�
� � �
� � �
� � ��
� �� � � � � �
�� � �
� � �
� � � �
�� �
28
Örnek
�
2
2
2
( 1)
1
100( 2)( )( 4)( 1)
50 20 ( )4 1
50 20 20 20 1 4
( ) 50 ( 1) 20 ( 1)(30cos 2 10sin 2 ) ( )
s
s
s s s
t
t t
sG s es s s
es s s
se e es s s
g t u t e u tt t u t
�
�
�
� � �
� �
� �
� �
��
� �
� � �� �
�� � �
� �
� � � �
� �
�������
�
�����
29
22
1( )( 3 2)
sY s es s s
��� ������
� �2( 2) ( 2)1( ) ( 2) 1 22
t ty t u t e e� � � �� � � �
21 2t te e� �� �
30
Örnek
3 2
3 2
4 3 2
10 2 2 2
( ) 10 2 2 2
2( 10 2 1 ) ( 2)
( 2)10 2 2
y y y y y r r
Ys Y s s Y sY Y sR Rs
s s s Y s Rs
Y s sR s s s s
� � � � � �
� � � � � �
� � � � � �
��
� � � �
���� �� � �
31
Örnek
Cdvi Cdt
�Ldiv Ldt
�
model denklemi
Rv iR�
�
�LvL
i�
�CvC
i
� �RvR
Direnç
Kullan�lan temel kanunlar
(Kirchhoff�Ak�m�Kanunu)(Kirchhoff�Voltaj�Kanunu)(Ohm Kanunu)
Endüktör Kondansatör
Temel Elektrik Bile�enler
i
2
��R
vv oi idt
dvC o �
ioo v
RCv
RCdtdv 11
��
)()(1)()(
0
trdttvLdt
tdvCR
tv too ��� �
�ovdtdiL
�dt
tdrtvLdt
tdvRdt
tvdC o
oo )()(1)(1)(2
2
���
��iv
�i
RC
�
�ov
L)(tr R C
RC Filtre:
RLC Filtre: KC Kanunu
KV ve Ohm Kanunu
Temel Elektrik Sistemleri
3
1 2
2
, : ötelenme de�erleri (m) : d��sal kuvvet (N)
kg : yay sabiti ( )
: gerilme kuvveti (N)
y yF
ks
k y�
1 2
21
, : ötelenme h�zlar� ( )
: viskoz sürtünme katsay�s� ( )
: viskoz sürtünme kuvveti (N)
mv vs
kgbs
b v�y
dtdyv ���
b
1v2v
F
21bv
121221 vvyyv ���� ��
21bvF �
F
2y
21ky 1221 yyy ��1y21.F k y�
model denklemik
Yay
Damper
Temel Mekanik Bile�enler (ötelenme hareketi):
4
2
2
2
: kütle (kg) : eylemsizlik kuvveti (N)
: ivme ( )
MM v
mas
dv d yadt dt
�
� �
�v�
F
MdtdvM
.
dvF Mdt
M a
�
�
Kütle
.F m a��� kütleye dü�en bile�ke kuvvet
Uygulanan Temel Kanun
Newton�2.�Kanunu
Temel Mekanik Sistemleri (ötelenme hareketi)
5
ymkyybr ��� ���
rkydtdyb
dtydm ���2
2
)()()()(2 sRskYsbsYsYms ���
kbsmssRsY
��� 2
1)()(
Newton 2. Kanunu uygulan�rsa
ZIC ile her iki taraf�n Laplace transformu
Örnek: Kütle-Yay-Damper
(Transfer Fonksiyonu)
: d��sal kuvvet (referans giri�): yay sabiti: viskoz sürtünme sabiti
rkb
)(tr)( ),( tyty �
k
mb
�
�
Temel Mekanik Sistemleri (ötelenme hareketi)
6
1 2
: tork (Nm), : aç�sal konum (rad)
T
21 2 1 ��1 2 T
model denklemi
21.T K�
1� 2� T
21.T b��1 2
1 1
21 2 1
, : aç�sal h�z (rad/s)� �
� � � �
�
�
�
�
2
2
: aç�sal ivme (1/s ) : dönen cismin eylemsizlik momenti (kg.m )J
�
.T J��
T
Temel Mekanik Bile�enler (dönme hareketi):
Yayk
b
�
Damper
Kütle eylemsizli�i
J
7
.T J��
Uygulanan Temel Kanun
: dönen kütleye uygulanan bile�ke momentler : aç�sal ivme : dönen cismin eylemsizlik momenti
T
J�
Temel Mekanik Sistemleri (dönme hareketi)
8
b
J
k
T
Örnek Kütle Yay Damper (Dönme Sistemi)
��� JkbT ���
Tkdtdb
dtdJ ���
2
2
)()()()(2 sTsksbssJs ���
2
( ) 1 (T ransfer Fonksiyonu)( )s
T s Js bs k
�� �
Newton 2. Kanunu – model denklemleri
ZIC için her iki taraf�n Laplace transformu
�
�
Temel Mekanik Sistemleri (dönme hareketi)
9
Transfer fonksiyonu ile ilgili terimler
• p(s) – pay polinomu
• q(s) – karakteristik polinom
• q(s) – karakteristik polinomunun mertebesi = sistemin mertebesi
• q(s) = 0 – karakteristik denklem
• q(s) polinomunun kökleri – kutuplar
• p(s) polinomunun kökleri – s�f�rlar
Transfer Fonksiyonu
)()()(
sqspsG �
10
rdtdry
dtdy
dtyd
���� 2342
2
3412
)()()( 2 ��
���
sss
sRsYsG
3 , 1 , 0342 ������ sss
21 , 012 ���� ss
0342 ��� ss
3�
Im
eR1�
21
�kutups�f�r
ZIC alt�nda model denkleminin LT al�narak TF bul!
Kutuplar:
S�f�rlar:
Karakteristik denklem
Transfer fonksiyonu
Örnek
Kutup�S�f�r�haritas��(PZ�Map)
11
�f�=�K �y
Do�rusalla�t�rma (Do�rusal�Olmayan�Yay)
12
2
Do�rusal olmayan denklem( ) .f g y k y� �
TAYLOR�SER�S��AÇILIMI
� �������� � � ��� � � � �
�
� ����� � � � �� ������������������
Do�rusalla�t�rma
0 0 0( ) ( ) 2 . ( ) nonlineer terimlerf g y f y k y y y� � � � �
��0 0 0( ) 2 . ( )
Do�rusal yakla��k denklem
.
K yf
f f y k y y y
f K y
� � �
�
�����
13
Do�rusal�olmayan�giri��ç�k���ili�kisiT=�M�g�L�sin��
Do�rusala�yak�n�bölge�
Sarkaç�Sal�n�m�Modeli
14
Do�rusal�yakla��k�denklem
Yerçekiminin neden oldu�u nonlineer moment: T M g L sin Moment denkleminin 0 etraf�nda do�rusal yakla��k modeli:T M g L
için yakla��k modelin hatas�:4
T M g L sin( )=0.707MgL4nonlineer
�
�
� �� �
� �
� �
�
T M g L ( )=0.785MgL (%11 hata)4do�rusal�
�
15
Örnek�(Transfer�fonksiyonu�modelleme)
22 1 2
2 1 22
( )2( ) 6 5 3d x x d xx x x fdt dt�
� � � � �
21 1 2
1 1 22
( ) ( )7 4 2( ) 6 0d x t d x xx x xdt dt
�� � � � �
16
Örnek
�
�
221 1 2
1 1 2 1 1 1 2 1 22
222 1 2
2 1 2 2 1 2 1 2 22
22
1 1 1 1 2 2 2 1
( )7 4 2( ) 6 0 7 4 2( ) 6 ( ) 0
( )2( ) 6 5 3 2( ) 6 ( ) 5 3
(4 6 9)7 4 2 6 2 66 2
2
Laplace
Laplace
d x d x xx x x X s X X X s X Xdt dt
d x x d xx x x f X X s X X s X X Fdt dt
s sX s X X sX X sX X Xs
��� � � � � � � � � � � ��
�
��� � � � � � � � � � � ��
�� �
� � � � � � ��
22 1 2 1 2 22
2 12
21 1
2 2 2
1
14 3
2 6 6 5 3
(5 6 5) (6 2)
(4 6 9)(5 6 5) (6 2)6 2
(5 6 5)(4 6 9) (6 2)6 2
Transfer Fonksiyonu
( )ç�k�� hareketi 6 2( )giri� kuvveti ( ) 20 54
X X sX sX s X X Fs s X s X F
s ss s X s X Fs
s s s s s X Fs
X s sG sF s s s
� � � � � �
� � � � �
� �� � � � �
�� � � � � �
��
�� � �
� � 265 60 41s s� �
17
Örnek: Süspansiyon
M
Mg
1y
2y
x
b K
�K
)( 12 yyK �)( 12 yyb �� �
�
1 2 1 2 1
2 1 2 1 2 2
Model denklemleri :( ) ( )
( ) ( )� �
Mg b y y K y y MyK x b y y K y y K y my
� � � � � ��� � � � � � ��
� � ��� � ��
araç gövdesi
m
)( 21 yyb �� � )( 21 yyK �
m
2( )�K x y�
M
tekerlek
18
Örnek
21 1
1 1 22
22 2
2 12
3 2 5( ) 6 0
4 5( ) 8
d ddt dtd ddt dt
�
� � � � �
� � � �
19
Örnek
�
�
221 1
1 1 2 1 1 1 2 12
222 2
2 1 2 2 1 22
22
1 1 1 1 2 2 1
22 2
2 1
3 2 5( ) 6 0 3 2 5( ) 6 0
4 5( ) 8 4 5( ) 8
3 6 73 6 2 5 5 05
3 6 7(4 8 5) 5 (4 8 5)5
Laplace
Laplace
d d s sdt dt
d d s sdt dt
s ss s
s ss s s s
�
�� � � � � � � � � � � �� � � ��
�
�� � � � � � � � �� � � � ��
�� �
� � � � � � � � � � � � � �
� �� � � � � � � � �1 1
2 2 2
1
14 3 2
5
(4 8 5)(3 6 7) 55
Transfer Fonksiyonu
( )ç�k�� hareketi 5( )giri� torku ( ) 12 48 91 86 10
s s s s
sG ss s s s s
� � � �
� � � � �� � �
�� � �
� � � � �
20
Örnek
11 1 1 2 1 2
0
22 2 1 2 1 2
0
( ) 12 ( ) 3 4( ( ) ( )) ( ( ) ( ))5
( )1 ( ( ) ( )) 4( ( ) ( )) 6 7 ( ) 05
t
t
di tL i t i t i t i t i t dt vdt
di tL i t i t dt i t i t i tdt
� � � � � �
� � � � � �
�
�
21
Örnek
11 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2
0
22 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2
0
( ) 1 12 ( ) 3 4( ( ) ( )) ( ( ) ( )) 2 3 4( ) ( )5 5
( )1 1( ( ) ( )) 4( ( ) ( )) 6 7 ( ) 0 ( ) 4( ) 6 7 05 5
30(
Laplacet
Laplacet
di ti t i t i t i t i t dt v I sI I I I I Vdt s
di ti t i t dt i t i t i t I I I I sI Idt s
s
� �� � � � � � � � � � � � �� ���
� �� � � � � � � � � � � � �� ���
�
�2 2
2 1 1 2
2 2 2
1 2 2 2
23 2
55 1 20 1 30 55 1) ( ) 05 5 20 1
15 30 1 20 1 15 30 1 30 55 1 20 15 5 5 20 1 5
Transfer Fonksiyonu
7 ( )7.eleman voltaj� 140 7( )giri� voltaj� ( ) 90 345 259
s s s sI I I Is s s
s s s s s s s sI I I I Vs s s s s
I s sG ss s s s
� � � � �� � � �
�� � � � � � � �
� � � ��
�� � �
� � � � 9
22
aR aL
ai�
�� �tea
�
�� �teb
m�
mJ( ) a
a a a a b
mb b m b
die t R i L edt
de k kdt�
� � �
� �
2
2
i a
m mm m
T k id dT J Bdt dt
����
� ���
Örnek: DC Motor
23
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
aa a a b a
mb b m b
a b m a a a a
di te t R i t e t Ldt
d te t k t kdt
E s k s s R I s L sI s
�
� � �
� �
� � � �
2
2
2
2
( ) ( ) ( )
( ) ( )
i a
m mm m
i a m m
m ma
i
T k id dT J Bdt dt
k I s J s s B s s
J s B sI s sk
�
� �
� � � �
�� �
Örnek: DC Motor
24
2
2
2
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )( ) ( )
Transfer Fonksiyonu:ç�k�� motor konumu ( )( )
giri� voltaj� ( ) ( )( )
m ma b m a a
i
i b a a m ma
i
i
a a a m m i b
J s B sE s k s s R L s sk
k k s R L s J s B sE s sk
ksG sE s R L s J s B s k k s
�� � � � �
� �� � �� �� ! "
�� �
� � �
Örnek
1 12
y(t) ile ili�kilendirilmeli 2 0
1 2 1 21 2 1 1 1
u veya y cinsinden verilmeli 1 0
1( ) ( ) ( )* ( ) ( )
1* ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
tR C
C
tC R R R
C R R C
Lapla
u t v t v t y t i t dtC
v t v t y t u t v t v t y t v t v t y t i t R i t dtC
� � �
� � � � � � � � � �
�
�
�������
�������
1 2
2 2 2 2 2 2 2 22
1 2 2
?( , )
1 2
( ) ( ) ( )* ( )1( ) ( ) ( ) ( ) * ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) * ( ) ( )
ceTransformu
R R
C C R C
R
u y
C R
U s V s V s Y s
Y s I s I s C sY s V s I s R R C sY sC s
U s V s R C sY s Y s
V s V s Y s
� � �
� � � � �
� � �
� � �
�������������������������������������������
���
2 11 1
22 2 1 1 2 1 2 1
1
21 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2
( )( )
21 2 1 2 1 1 1 2 2
1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
CC
C C
R C C
I s RI s R
R C sY s Y s I s I s R C C s Y s C sY sC s
V s I s I s R R R C C s Y s RC sY s RC sY s
U s R R C C s Y s RC sY s RC sY s R
� � � � �
� �� � � � ��
� � � �
������������������
2
21 2 1 2 1 1 1 2 2 2
( ) ( )
( ) 1( )( ) ( ) 1
C sY s Y s
Y sG sU s R R C C s RC RC R C s
�
� �� � � � 2
Örnek
1
20
1
2
2 12
1 1
1
( )( )
1( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 1 ( )
( ) ( )1
in int
out out out
Laplace
in
out
u i R
u i R i dtC
U sI sR
R CsY s CsY s Y sI s G sR Cs U s RCsR
CsU s CsY sR RCs
�
� �
�
�� � � � �
��
� �
������������
1R
2R C
�
( )inu t( )outu t
1R
2R C
�
( )U s( )Y s
�
3
Blok�Diyagram��Gösterimi
( )G s
Bile�en, Sistem, Altsistem
( )X s
Sinyal�
�
1( )X s
2 ( )X s
3( )X s
( )E s
Toplama Noktas�
4
G1 G2G2
G1 G1G2
G1 G2 G1 G2 G1G1G21+
Kaskad Paralel Geribeslemeli
Blok�Diyagram��GösterimiTemel�Formlar�
5
Blok�Önüne
X1 YG
X2
X1
X2
YG
G
Blok�Arkas�na
X1
X2
YG
X1 YG
X2
1.�Toplama�Noktas�n��Blok�Önüne/Arkas�na�Ta��ma:
Blok�Diyagram��Temel���lemleri
�
�
6
2.�Ayr�lma�Noktas�n��Blok�Önüne/Arkas�na�Ta��ma:
Blok�Önüne
GX1
X2
YG
X1
X2
Y
Blok�Arkas�na
GX1
X2
Y
G
GX1
X2
Y
Blok�Diyagram��Temel���lemleri
�
�
7
3.�Toplama/Ayr�lma�Noktalar�n��Ta��ma:
Toplama�Noktalar�
X3
X1
X2
y X1
X3
Y
X2
Ayr�lma�Noktalar�
Y
X1 X2
Y
X1 X2
Blok�Diyagram��Temel���lemleri
8
1.��Birbirini�takip�eden�toplama�ve�ayr�lma�noktalar��yer�de�i�tirilemez
2.�Ayn��tipte�(toplama�veya�ayr�lma)�olan�noktalar�yer�de�i�tirebilir
3.��Bloklar�temel�blok�diyagram��formlar�na�sadele�tirilir
Blok�Diyagram��Temel���lemleri
9
ÖrnekAyr�lma�noktas��ta��ma
G1 G2 G3 G4
H3
H2
H1
a b
G4
1
G1 G2 G3 G4
H3
H2
H1
10
ÖrnekToplama�noktas�n��yer�de�i�tirme Ayn��tipte�yer�de�i�tir!
G1 G2
G3
H1
G2
H1
G1
G3
G1
11
ÖrnekAyr�lma�noktas��ta��ma
G1 G2 G3 G4
H3
H2
H1
G4
1
G1 G2 G3 G4
H3
H2
H1
G3�G4�� � G3G4H3�
12
G1 G2
H2
H1
G4
1
G3�G4�� � G3G4H3�
G1
H1
G4
H2
G2G3�G4�� � G3G4H3�
2 3 4
3 4 3
2 3 4 2
3 4 4 3
1
11
G G GG G HG G G HG G G H
�
��
13
G1
H1
2 3 4
3 4 3
2 3 4 2
3 4 4 3
1
11
G G GG G HG G G HG G G H
�
��
H1
2 3 41
3 4 3
2 3 4 2
3 4 4 3
1
11
G G GGG G H
G G G HG G G H
�
��
2 3 41
3 4 3
2 3 4 2
3 4 4 3
2 3 41
3 4 31
2 3 4 2
3 4 4 3
1
11
111
1
G G GGG G H
G G G HG G G H
G G GGG G HH G G G HG G G H
�
��
��
��
14
G1 G2 G3 G4
H3
H2
H1
2 3 41
3 4 3
2 3 4 2
3 4 4 3
2 3 41
3 4 31
2 3 4 2
3 4 4 3
1
11
111
1
G G GGG G H
G G G HG G G H
G G GGG G HH G G G HG G G H
�
��
��
��
15
Sinyal�Ak���Diyagram��ModeliKarma��k�yap�da�sistemlerin�blok�diyagram��modellerinin�sadele�tirilmesi�zor!
Sinyal�ak���diyagram��verilen�sistemin�giri��ç�k���ili�kisini�belirleyen�transfer�fonksiyonunu�elde�etme�için�Mason�kural�ndan�faydalanan�do�rudan�bir�hesaplama�yakla��m��kullan�labilir!
Sinyal�ak����diyagram�nda�sistem�ili�kilerini�ifade�etmek�için�grafik�semboller�kullan�l�r.�
Sinyal�Ak���Diyagram�
Dü�üm�noktalar��sinyalleri�temsil�eder
Dü�ümleri�birle�tiren�kollar�sinyaller�aras�ndaki�kazanc�Temsil�eder.
G
16
Örnek
1 1 0 1 2
2 2 1
3 6 0 3 2
4 4 3 5 3
x G x H xx G xx G x G xx G x G x
� ��� �� �
Path — bir�dü�ümden�di�er�dü�üme�kadar�olan�kollar�yolu
Forward Path — giri��dü�ümünden�ç�k���dü�ümüne�ula�mak�için�ileri�yönde�(geribesleme olmaks�z�n)�kat�edilmesi�gereken�yok
Path�gain — bir�dü�ümden�di�er�dü�üme�olan�yolun�e�de�er�(total)�kazanc�
Forward Path�gain — tan�mlanan�ileri�yolun�e�de�er�(total)�kazanc�
Sinyal�Ak���Diyagram�
x3x1x0 x2 x41G2G 3G 4G
5G1H
6G
17
Loop — bir�dü�ümden�ba�lay�p,�ayn��dü�üme�birden�fazla�kez�u�ramadan,�tekrar�ayn��dü�ümde�sonlanan�yol�
Loop�gain — Loop üzerindeki�kat�edilen�yolun�total�kazanc�
Touching�loops — birbiri�ile�ortak�dü�ümü�olan�looplar
Non�touching�loops — hiçbir�ortak�dü�ümü�olmayan�looplar
Sinyal�Ak���Diyagram�
18
1
1 2 3
k k
1
( )( ) (MASON KURALI)( )
1
k. forward path kazanc� p kofaktörü: 'dan p ' ya temas eden tüm loop terimleri ç�kar�larak
bulunur tüm loopla
m
k kk
k
k
PC sG sR s
L L L
p
L
�
�� �
�
� �� � � � �� �
� � �
�
�
2
r�n kazaçlar� toplam�
non-touching looplar�n kazançlar�n�n 2li kombinasyonlar� toplam�
non-touching looplar�n kazançlar�n�n 3lü kombinasyonlar� toplam�
3
L
L
�
� �
Sinyal�Ak���Diyagram�
19
Örnek
� �
1 4 1 2 3 2 3 2 3
1 1 2 3 4 2 5 4
1 2 3 1 3 4 1 3 2 2 3 2 4 1 3
1 2 3 2 3
2
1 1 2 3 4 5 4 2 34
0 4 1 3 2 2 3 2 4 1 3
1 ( ) 11 1 1
(1 )( )( )( ) 1
k kk
L G H L G H L G H
P G G G G P G G
L L L L L G H G H G H G G H HL G H
PG G G G G G G HX sG s
X s G H G H G H G G H H�
� � �
� �
� � � � � � � �
� � � � �
��
� � �� �
Sinyal�Ak���Diyagram�
x4x3x2x1x0 1G 2G 3G 4G
5G
3H
2H 1H
20
Blok�Diyagram�ndan�SFG��karma
Blok�Diyagram��– SFG��Grafiksel�Gösterim�Kar��l�klar�
ve
Blok�diyagram� Sinyal�Ak���Diyagram�
G(s) G(s)
Sinyal�Ak���Diyagram�
21
Örnek
C(s)R(s)G1 G2
H2
H1
G4G3
H3
E(s) X1
X2
X3
Sinyal�Ak���Diyagram�
G1 G4G3R(s) C(s)
H2
H1
H3
X1 X2 X3E(s)1 G2
TF�bulmakkülfetli!
MasonKural�!
22
1 1 2 3 4 3 2 2 3 2 3 3 4 1
1 2 3 4 3 2 3 2 3 4 1
1 1 2 3 4 1
1 2 3 4
1 2 3 4 3 2 3 2 3 4 1
L L1 ( )
; 1
( )( ) 1
L GG G G H G G H G G HGG G G H G G H G G H
P GG G G
GG G GC sGR s G G G G H G G H G G H
� � � � � � � �� � �
� �� � �
G1 G4G3R(s) C(s)
H2
H1
H3
X1 X2 X3E(s)1 G2
Sinyal�Ak���Diyagram�
23
24
� �1 2 3 4 1 31 1 1
1 1 2 3 2 2 2 1
3 3 3 2 2 22 4
4 4 3 2 1
1
1 2 3 4 4 2 2
1 1 2 2 3 3 4 3 2 1 1 1 3 3
Forward path 1 ( )1 01
( )( ) (Mason Kural�)( )
1
Nk k
k
Loop
L L L L L LL G HP GG G L G H
L G H G HP GL G H H H
PY sG sU s
GG G G G G HG H G H G H G H H H G H G H
�
� � � � � ��� � � �
� � � ��
�� �
��
� �
1G 2G 3G
4G
1H
2H
3H
1 1
( )U s ( )Y s
Sistem�Dinamik�Tepkisi• Kal�c��durum�tepkisi:�sistem�tepkisinin��tan�ml��parças�
• Geçici�durum�tepkisi:�sisteme�giri��uygulamas�n�n�hemen�ard�ndan�geli�en�tepki�bölümü
• Sistemin�dinamik�tepkisini,�geçici�durum�tepkisi�ve�kal�c��durum�tepkisi�birlikte�olu�turur�
toplam tepki = s�f�r giri� tepkisi + s�f�r durum tepkisis�f�r giri� tepkisi: giri� yokken, sistem b.k. ba�l� tepkis�f�r durum tepkisi: sistem b.k. s�f�r iken, sadece giri�e ba�l� tepki
2
• Birim�basamak�sinyali
• Birim�dürtü�sinyali
0
us(t)
1
stu
tutu
s
s
1))((
)()(
�
�
L
( ) 0, 00
( ) 1 0
( ( )) 1, ( ) ( )
b
a
t
s
t ta
t dtb
t u t t dt
�
�
� ���
� � �
�� � ��
� �
L
�(t)
t
Tipik�Test�Sinyalleri
3
• Birim�rampa�sinyali:
• Birim�ivme�sinyali:
r(t)
2
1))((
)()()(
000
)(
str
dttututtr
ttt
tr
t
ss
�
���
�
��
�
��
L
3
2
1))((
)(
00
021
)(
sta
dttr
t
ttta
t
�
�
��
�
�
��
��
L
a(t)
t
t
0.5
10
4
• Birim�eksponansiyel sinyal:
• Birim�sinüzoidal�sinyal:
astue
atte
tue
sat
at
sat
��
��
��
�
�
��
1))((
0000
)(
L
22))()(sin(
000sin
)()sin(
���
��
���
�
��
��
stut
ttt
tut
s
s
L
0
1
t
5
• Birim�basamak�tepkisi:
Matlab komutu:�step• Birim�dürtü�tepkisi:
Matlab komutu:�impulse
H(s)U(s)=1
sY(s)=H(s)
1
s
1( ( )) i.c. 0giri� (t)
bdt L H s ç�k���� �
� � ��
1( ), s-bölgesinde bbt =
b.k. 0
sgiri� u ts
��� ��
H(s)U(s)=1 Y(s)=H(s)
6
Sistem�Dinamik�Tepkisi
• Birim�basamak�sinyali:�
• Basamak�tepkisi:� Y(s)=H(s)/s,�y(t)=L�1{H(s)/s}
• Birim�dürtü�sinyali:� �(t) 1
• Dürtü�tepkisi:�h(t)=�L�1 {H(s)}
• Matlab’da� “step”,�“impulse”,�“lsim”…
�L
1( ) ( )su t u ts
� �
7
• Sistem�birim�basamak�tepkisi�üzerinden�verilir.�• Tasar�ma�yönelik�kapal��döngü�sistem�için�incelenir.����������������������������������������������������������������������• Kal�c��durum�de�eri yss
• Kal�c��durum�hatas� ess
• Oturma�zaman� ts=�ç�k���n�kal�c��durum�de�erinin�belli�bir�tolerans�band�na�ilk�girdi�i�an!
� � � � � �� �tutyy st����
��input,lim
� � � � sstytee �����
��1lim
Zaman�Bölgesi�Tepki�Özellikleri
8 9
max
max
max
Tepe zaman� ( )'nin maksimum de�erine ula�ma süresi
Tepe zaman�: ( );
max( );dolay�s�yla maksimum ç�k�� de�eri: ( )
Maksimum a�ma de�eri:
p
p
p
t y t
t t y yy y
y y t
M
�
� �
��
max
max max
Maksimum yüzde a�ma de�eri:1% x 100 x 100
1
p ss
ssp
ss
y y
y y yMy
� �
� �� �
10
maxE�er a�ma yoksa, de�erine an�nda ula��ld���ndan tepe zaman� yok!Dolay�s�yla herhangi bir a�ma da söz konusu de�il!
Gecikme zaman� ( )'nin de�erinin %50'sine
ilk ula�ma süresi. çok s�
d ss
y t
t y t y
� �
�
� k kar��la��lan bir tan�mlama de�il! bazen %50 yerine %X gecikme zaman� verilebilir.�
11
yükselme zaman�:
ç�k���n 0 1 de�erinden 0 9 de�erineula�mas�nda geçen süre. yükselme zaman� sistemin referans giri� de�i�imlerine
ne kadar h�zl� cevap verebildi�ini gösterir. a�ma olmas�
r
ss ss
t
. y . y
�
� durumunda de�erine ilk ula�ma an� da olarak tan�mlanabilir. , benzer de�erlendirme için kullan�l�r.
ss
r
d p
ytt t�
12 13
� �G s � �Y s� �U s � � 1U ss
�
� � � �� �
1 0
1 0
mmn
n s b s b s bG sd s s a s a
� � �� �
� � ���
� � � � 1Y s G ss
�
� � � � � �
� �
0
0 00
0 0 0
1
Kal�c� durum de�eri son de�er teoremi ile hesaplanabilir:
lim lim lim
Kal�c� durum hatas�:( ) ( ) ( )
lim lim ( ( ) ( )) lim ( ) lim ( ))
ss ss
ss t s s
ss t s s s
r y
by y t sY s G sa
e t r t y te e t s R s Y s sR s sY s
�� � �
�� � � �
�
� � � �
� �
� � � � ������ ��� �
1ss sse y� �
�
14
giri�: birim basamakbirim basamak tepkisi özellikleri
b.k. 0( ) 0.8
referans kal�c� durum de�eri: 10.2
0.92,
maksimum a�ma de�eri 0.92 0.8 0.120.12M.yüzde a�ma 15%0.8
ss
dss
ss dss ss
peak
y yy
e y yy
��
� � �
�
� � �
�
� � �
� �
15
16 17
Kal�c��durum�hatas�(a)�basamak�tepkisi(b)�rampa�tepkisi
18
Birinci�mertebeden�sistem�basamak�tepkisi
Css(t) Ct(t)19
Sistem�kutuplar�n��kullanarak�tepki�analizi
�31 2 4( )
2 4 5KK K KC s
s s s s� � � �
� � ����������Css(t) Ct(t)
�2 4 5
1 2 3 4( ) t t tc t K K e K e K e� � �� � � ����������
20
Tepki�De�erlendirmesine�Göre�Sistem�S�n�fland�rma
• 1.�Mertebeden�Sistemler• 2.�Mertebeden�Sistemler• Yüksek�Mertebeden�Sistemler
21
c(t) �1� e�at
Birinci�mertebeden�sistem
C(s) � R(s)G(s) � as(s� a)
22
Zaman sabiti etkisi:
( ) (1 )Geçici rejim tepkisi:
( )( ) (1 )
Ba�lang�ç e�imi:
1( )
1(0)
de�eri küçüldükçe sistem tepkisidaha h�zl� bir �ekilde kal�c� durumai
n
t
n
n
t
t
y y Ku
y t K e
y ty t eK
d y t edtd ydt
�
�
�
�
�
�
� � �
� � �
� � � �
� ��
� ��
�
�
lerliyor!
0 2 4 6 8 10
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Zaman (sn)
Sist
em T
epki
si
Küçük �
1.�Mertebeden�sistem�basamak�tepkisi
Büyük �
1.�Mertebeden�sistem�basamak�tepkisi
Geçici�rejim�tepkisi�özellik�tan�mlamalar�:1. Zaman�sabiti,��1/a2. Yükselme�zaman�,�tr3. Oturma�zaman�,�ts
t � �� �� �� ��( 1 - e - t/ �) 0.6321 0.8647 0.9502 0.9817 0.9933
� �
� � � � � � � �
1kutup: 01
( ) (1 )t
y y K u
KG s ps
KY s G s U ss s
K Ks s s s
y t K e
� �
�� �
� � �
� � � ��
� � �� � �
� � !� � � �� �� � � ! ! �� � �" # !�" #
� � �
�
24
1.�Mertebeden�sistem�geçici�rejim�tepkisi�özellikleri:
1. Zaman�sabiti�(�),��1/aSistem�tepkisinin�ba�lang�ç�de�erinden�kal�c��durum�de�erine�%63 kadar�yakla�mas��için�geçen�süre.
2. Yükselme�zaman�,�tr�=�2.2/aSistem�tepkisinin�ba�lang�ç�de�erinden�kal�c��durum�de�erine�%10�ile�%90�aras�nda�yakla�mas��için�geçen�süre.
3. Oturma�zaman�,�ts =�4/aSistem�tepkisinin�ba�lang�ç�de�erinden�kal�c��durum�de�erine�%98�(veya�%95)�kadar�yakla�mas��için�geçen�süre.
25
Deneysel�olarak�transfer�fonksiyonu�ç�kar�m�
�0
Sistem kal�c� durum tepkisi y 0.72
( )( )
1lim 0.72( )
Sistem zaman sabiti ç�k���n 0.63x0.72=0.45 ula�t��� süre:
1=0.13 7.7
5.5( )( 7.7)
ss
sss
KG ss a
K Ky ss a s a
a
G ss
��
�
�
��
� � ��
� � �
��
26
Örnek:Birinci�mertebeden�sistemin�transfer�fonksiyonu
G(s)=� ������
Sistemin�zaman�sabiti,�yükselme�zaman�,�oturma�zaman�n��hesaplay�n,�basamak�tepkisini�kabaca�çizin.�
501 2.220 ; 44
4 80
r
s
a
ms t msa a
t msa
�
�
� � � �
� �27
Kal�c��Durum�Hatas�
�
10
0
9( )10
1( ) 1( ) ( )
9( ) ( ). ( )( 10)
( ) 0.9(1 )( ) 0.9
1 9( ) ( ) ( )( 10)
1lim . ( )
t
sss
T ss
r t t R ss
C s T s R ss s
c t ec
E s R s C ss s s
e s E ss
�
�
��
� � �
� ��
� �� �
� � � ��
� �9
s�
0
0.1( 10) ss �
��
28
( )( )11( )
11
1ss
R sE sK
e tK
eK
��
��
��
( )( )1
( )0
Kt
ss
R sE s Ks
e t ee
�
��
��
29
Kal�c��Durum�Hatas�
2.�Mertebeden�Sistem�Tepkisi
2.�Mertebeden�Sistem�Geçici�Rejim�Tepkisi�Performans�Parametreleri
A�ma
yP
tP0 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15Zaman
0
0.2K
0.4K
0.6K
0.8K
K
1.2K
Biri
m B
asam
ak T
epki
si
tStR
3
2.�Mertebeden�Sistem
� �
1 0 1 0
21 0 01 1 0
2 1,21 0 1
1 0
Sistem Modeli
KutuplarTransfer Fonksiyonu S�f�r
4
2
Sistem tepkisinin yak�nsamas� için:0, 0
y a y a y b u b u
b s b ba a aG s zps a s a b
a a
� � � �
� � � �� � ��� �
� �
�� � �
� � �
1 0 0
2 21 0 0
0 01 10 2
00
2. Mertebede
2
: Do�al frekans rad/s : Sönüm oran�
2 2 K : Kal�c� durum
n Sistem Sta
kaza
ndar
n
t Gös
�
terimi
c
n n na a b
n
nn n
y a y a y b u y y y K u
b ba aa Kaa
� � �
�� � �
� �
� � � � � � �
� � � � �
�� � �� �
2.�Mertebeden�Sistem�Kutuplar�2 2
22 2
2 2
1,2
2
2
( ) ( )
(
02
1)
2
n n n
nn n
n n
n n
y y y K uKG s q s s s
s s
p
� � �
� � �� �
� �
� � � �
� � � � �� � �
�� �� � �
�� �
Re
Im
�n
��n
1,2
1,2
Critically damped Kritik sönümlü ( 1)
Reel eksende ayn� konumda çift kutu
Unde
Overdamped Üstsönümlü ( 1)
rdamped Altsönümlü
Reel eksende iki ayr� kutup
( 1)
Kompleks konjuge iki ku
p
tup
np
p
�
�
�
�
�
�
� ��
� �21
d
n nj� �
� �� � � � ������
s�düzlemi
5
Üst�Sönümlü�Sistem�Tepkisi
2.�Mertebeden�Sistem�Tepki�Parametreleri
�2
1,2
1,2
2
1
Underdamped Altsönümlü ( 1)
Kompleks konjuge i1
1
sin( )
ki kutu
si (
p
n )
d
n n
d
n
dn
n
n
p j
p j
� �
� �
� �
� ���
�
���
��
�� � � � � �
� � �
� �
�� �
��
� �
�����
Re
Im
�n
��n
s�düzlemi
�n�
�� �
21d
n
�
� � ������
��
7
Altsönümlü Sistem�Basamak�Tepkisi
• Birim Basamak Tepkisi (b.k.0; u(t)=1(t))
� �
� � � �
� � � �
2 2
1,22 21 2
*1 1
1
*1 1
1( ) ( ) ,( )( )2
, 12
( )
1 cos sin
1
d d
n nd
n n
d d d
j t j t
t nd d
d
K KY s G s p js s s p s ps s s
K A A KA js s j s j
y t K A e A e
K e t t
KK
� � � �
�
� � � �� �
�� � � � �
��� ��
� � � �
�
�
� � � � � �� �� � �
� �� � � � � �� �� � � � � �
� � �
� �� �� � �� �� �
� �� �
� �
�����������
� �2
1
2
1sin , tantde t� �
��
�� �� ��
� � � �� �� � �8
2.�Mertebeden�Sistem�Geçici�Rejim�Tepkisi�Performans�Parametreleri
A�ma
yP
tP0 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15Zaman
0
0.2K
0.4K
0.6K
0.8K
K
1.2K
Biri
m B
asam
ak T
epki
si
tStR
9
2
2
21
1
1
Tepkinin maks de�eri
( ) 1
A�ma de�eri
Maksimum Yüzde A�ma
A�ma de�eri% 100%(0)
100%
P P
P SS
SS
y y t K e
y y Ke
A�may y
e
!�
�
!�
�
!���
��
��
�� �� � �� �
� �
� � �
� �� � ��� �
� "
� � � �
� �
P
2
2
Tepe zaman� (t )
( ) 1 cos sin
( ) fonksiyonunun maks de�erini ald��� zaman
sin1
( ) 0
1
n
t nd d
d
nd
P
d P
Pd n
y t K e t t
y tdy Ke tdt
y tt
t
�
��
��� ��
� ��
� !
! !� � �
�
�
� �� �� � �� �� �
� �� �
��
��
� ��
�
Yükselme zaman� (t )R
Rd
t ! ���
�
Oturma zaman� (t )
: tan�mlanan band�n % de�eri olmak üzere100ln ( 1 )
(%5) 3 (%2) 4
S
s
s s
x
tx
t t
# # �
� �
� �$ �� �� �
� � 10