Kontrol Sistemleri 1-7

24
ELM305 KONTROLSSTEMLER 1GiriveTanmlamalar TemelBilgiler SorumluÖretimGörevlisi TurulAdgüzel Tel:2033450 DersBilgileri DersSaati:Sal15:30 – 18:00 Yeri:ELK1 DanmaSaatleri:Sal 13:30– 15:00 Dokümaniletiimi:[email protected] BaarDeerlendirme BaarNotu= ArasnavNotux0.40+ DönemSonuSnavNotux0.60 GerekliÖnBilgiler MatlabTemel DorusalAdiDiferansiyelDenklemler LaplaceDönüümüveUygulamalar LineerCebir KompleksSaylar TemelKonuBalklar GiriveTanmlamalar(1H) TemelSinyalSistemKavramlarveAnalitikÇözümlemeler(1H) MatematikselModelleme(3H) BlokDiyagram– SinyalAkDiyagram(1H) DinamikSistemTepkisiAnalizi(3H) SistemPerformansAnalizi(1H) KararllkKavramveAnalizi(2H) DersKitab AutomaticControlSystems, F.Golnaraghi andB.C.Kuo,Wiley. OtomatikKontrolSistemleri,B.C.Kuo. ModernControlSystems, R. C.Dorf andR. H.Bishop,P.Hall. YardmcKaynaklar ModernControlEngineering, K. Ogata Tanmlamalar SistemNedir? Sistem,birarayageldiindeanlamlbirbütün oluturan,aralarndaetkileimolan,birbirine muhtaç,bamszbileenlertopluluu(radyo, otomobil,uçak,gemi,insan,ekonomi,toplum) KontrolSistemiNedir? Kontrolsistemi,bircihazveyasistemi, iletmek,yönetmek,yönlendirmekveya düzenlemekiçinkullanlanaraçveyaaraçlar (yükseltici,hzsabitleyici,otopilot,beyin...)

Transcript of Kontrol Sistemleri 1-7

Page 1: Kontrol Sistemleri 1-7

ELM305KONTROL�S�STEMLER�

1�Giri��ve�Tan�mlamalar

Temel�Bilgiler

• Sorumlu�Ö�retim�Görevlisi– Tu�rul�Ad�güzel–– Tel:�203�3450

• Ders�Bilgileri– Ders�Saati:�Sal��15:30 – 18:00– Yeri:�ELK�1– Dan��ma�Saatleri:�Sal� 13:30�– 15:00– Doküman�ileti�imi:�[email protected]

Ba�ar��De�erlendirme

Ba�ar��Notu�=�Aras�nav��Notu�x�0.40�+�

Dönem�Sonu�S�nav�Notu�x�0.60

Gerekli�Ön�Bilgiler

• Matlab�Temel• Do�rusal�Adi�Diferansiyel�Denklemler• Laplace�Dönü�ümü�ve�Uygulamalar�• Lineer�Cebir• Kompleks�Say�lar

Temel�Konu�Ba�l�klar�

• Giri��ve�Tan�mlamalar�(1H)• Temel�Sinyal�Sistem�Kavramlar��ve�Analitik�Çözümlemeler�(1H)• Matematiksel�Modelleme�(3H)• Blok�Diyagram��– Sinyal�Ak���Diyagram��(1H)• Dinamik�Sistem�Tepkisi�Analizi�(3H)• Sistem�Performans�Analizi�(1H)• Kararl�l�k�Kavram��ve�Analizi�(2H)

Ders�Kitab�

• Automatic�Control�Systems, F.�Golnaraghi and�B.C.�Kuo,�Wiley.• Otomatik�Kontrol�Sistemleri,�B.C.�Kuo.• Modern�Control�Systems, R. C.�Dorf and�R. H.�Bishop,�P.Hall.

Yard�mc��Kaynaklar

• Modern�Control�Engineering, K. Ogata

Tan�mlamalar

�Sistem�Nedir?Sistem,�bir�araya�geldi�inde�anlaml��bir�bütün�olu�turan,�aralar�nda�etkile�im�olan,�birbirine�muhtaç,�ba��ms�z�bile�enler�toplulu�u�(radyo,�otomobil,�uçak,�gemi,�insan,�ekonomi,�toplum)

�Kontrol�Sistemi�Nedir?Kontrol�sistemi,�bir�cihaz��veya�sistemi,�i�letmek,�yönetmek,�yönlendirmek�veya�düzenlemek�için�kullan�lan�araç�veya�araçlar�(yükseltici,�h�z�sabitleyici,�oto�pilot,�beyin�...)

Page 2: Kontrol Sistemleri 1-7

Tan�mlamalar

�Giri��(Input)Sisteme�veya�herhangi�bir�bile�enine,�belli�bir�fonksiyonu�yerine�getirmesi�amac�yla�uygulanan�tahrik,�sinyal,�girdi.

�Ç�k���(Output)Sistemde�veya�herhangi�bir�bile�ende,�ortaya�ç�kan�sonuç,�sinyal,�ç�kt�.

Tan�mlamalar

�Geribesleme�(Feedback)Sistemin�istenilen�i�levi�do�ru�bir��ekilde�gerçekle�tirmesini�sa�lamak�için,�ç�k��(lar)�n�bir�mekanizma�ile�ölçülmesi,�elde�edilen�ölçüm�de�erlerinin,�uygun�giri�ler�üretilmesi�amac�yla�kontrol�mekanizmas�na�iletilmesi.

Tan�mlamalar

�Eyleyici�(Actuator)Sisteme�uygulanan�giri�leri,�sistem�üzerinde�eylem�olu�turacak�i�leve�dönü�türen�bile�en�(motor,�kanatç�k,�dümen,�kas)

�Alg�lay�c��(Sensör)Sistemden�elde�edilen�ç�k��lar��kontrol�mekanizmas�n�n�anlayabilece�i�sinyale�dönü�türen�araç�(counter,�aç�ölçer,�gyro,�sinir�sistemi)

Tan�mlamalar

�Kontrol�Edici�(Controller)Sisteme�uygulanan�giri�i�de�erlendirip�sistemin�i�leyi�ini�yönlendiren�mekanizma

�Kararl�l�k�(Stability)Sistemin�belli�bir�davran���dengesini�kendili�inden�koruyabilme,�sürdürebilme�kabiliyeti

Temel�S�n�fland�rma

�Aç�k�Döngü�Kontrol�(Open�Loop)

�Geribeslemeli�Kontrol�(Closed�Loop)

KontrolEdici Eyleyici Sistem

Alg�lay�c�

Referans giri� �k�� Kontrolgiri�i

Eyleyengiri�

Ölçülenç�k��

KontrolEdici Eyleyici Sistem

Referans giri� �k�� Kontrolgiri�i

Eyleyengiri�

Örnek�Sistem

Yönelim�kontrol�sistemi

Örnek�Kontrol�Sistemi

Yalpalama�kontrol�sistemiPlant?Kontrol�tipi?Giri�?�Kontrol�giri�i?Eyleyici?�Eyleyen�giri�?Ç�k��?Alg�lay�c�?Ölçülen�ç�k��?

Kararl�l�k?

Örnek�Kontrol�Sistemi

Page 3: Kontrol Sistemleri 1-7

Örnek�Kontrol�Sistemi Örnek�Kontrol�Sistemi

Kontrol�Sistemi�Tasar�m�Süreci

a. system concept;b. detailed layout;c. schematic;d. functional block diagram

Antenna azimuth position control system:

Page 4: Kontrol Sistemleri 1-7

ELM305KONTROL�S�STEMLER�2�Temel�Gözden�Geçirme�Konular�

1

Temel�Bilgiler• Temel�fonksiyonlar• Karma��k�say�lar• Çok�kullan�lan�test�giri��sinyalleri• Diferansiyel denklemler• Laplace�transformu– özellikleri– ters transform– k�smi�kesirlere�ay�rma

• Matlab fonksiyonlar�

2

Temel�Fonksiyonlar

0

1lnln ln

Eksponansiyel Fonksiyon , /

( ) , 1Logaritma Fonksiyonu ln( ) ln ln ln

ln ln ln

ln ln , ln(1) 0

1

x

x y x y x y x y

x y xy

a

x x x

ee e e e e ee e e

x (xy) x yx x yy

(x ) a x

e x, e ex

� �

� �

� �

� �

� �

� �

� � �3

Süper�Denklem

• En�önemli�5�say�y��içerir:�0, 1, i, �, e.• En�önemli�3�i�lemi�içerir:�

+,�*,�exp• Denklem�tan�m��için�«e�ittir»�i�aretini�içerir.

* 1 0ie � � �

4

Temel�Fonksiyonlar

2 2

Çift Fonksiyon: ,Tek Fonksiyon: ,sin sin cos cossin cos 1sin sin cos cos sinsin sin cos cos sinsin 2 2sin coscos

f( x) f(x) xf( x) f(x) x

( x) x, ( x) xx x

(x y) x y x y (x y) x y x y x x x (x y)

� � �� � � �

� � � � �

� �� � �� � ��� cos cos sin sin

cos cos cos sin sinx y x y

(x y) x y x y� �

� � �5

Temel�Fonksiyonlar

x x,

xx,

xxx,

xxx

x x) (� x x) (�

-x)� ()�( xx

-x)� ()�( x-x

x)(x

x)(x

xxxxx

sin1csc

cos1sec

sincoscot

cossintan

coscossinsin

2sin

2sincos

2cos

2cossin

2cos121sin

2cos121cos

1cos2sin21sincos2cos

2

2

2222

����

�����

���

��

��

��

������

6

Temel�Fonksiyonlar1sin sin cos cos21cos cos cos cos21sin cos sin sin2

olarak tan�mlan�rsa 2 2

sin sin 2sin cos2 2

cos cos 2cos cos2 2

cos cos 2s

x y [ (x y) (x y)]

x y [ (x y) (x y)]

x y [ (x y) (x y)]

u v u vu x y, v x - y, x , y

u v u vu v

u v u vu v

u v

� � � � �

� � � �

� � � �

� �� � � � �

� �� �

� �� �

� � in sin2 2

u v u v� �

7

2 2

2 2

2

Sadele�tirme: cos sincos cos cos sin sin cos sin

cos sin tan

cos sin cos

sin cos sin sin cos cos sin

sin cos ;

A x B xC (x �) C � x C � x A x B x

BA C �, B C �, ise C A B , �A

A x B x A B (x �)

C (x �) C � x C � x A x B x

A C �, B C � C A

�� � � � �

� � � � �

� � � �

� � � � �

� � � � 2 tan

cos sin sin: :

AB , �B

A x B x C (x �)C genlik, � faz

� � �

� � �

Temel�Fonksiyonlar

8

Page 5: Kontrol Sistemleri 1-7

Temel�Fonksiyonlar

• F(t)=3sin��t�+4cos��t• F(t)=Asin(3t��)=Acos� sin3t�–Asin � cos3t• Acos � =3• Asin � =�4• A2=25,�A=5���• tan�� =������� �����

• F(t)=5sin(3t+ �����)

9

Karma��k�Say�lar• X2+1=0�� j2=�1 iken�x=j�veya�x=i�• X2+4=0,�ise x=2j,• z1=x1+jy1,�z2=x2+jy2• z1+�z2=�(x1+�x2)+j(y1�+ y2)• z1 z2=(x1+jy1)(x2+jy2)=(x1x2��y1y2)�+j(x1y2�+x2y1)

1 1 1 1 1 2 2

2 2 2 2 2 2 2

1 2 1 2 2 1 1 22 2 2 22 2 2 2

( )( )( )( )

z x jy x jy x jyzz x jy x jy x jyx x y y x y x yz j

x y x y

� � �� � �

� � �� �

� �� �

10

Karma��k�Say�lar�n�Polar�Gösterimi

• z=x+jy,�x=rcos�,�y=�rsin� olarak�tan�mlan�rsa;• z�=�r(cos�+j sin�� �� �� ��• Mutlak�de�eri�(modülü) r2=x2+y2

• Faz��(argüman�) �=�tan�1(y/x)• Örnek ««z=1+j»»

,...2,1,0,24

arg

2

���

nnz

z

��

11

• z=x+jy• ez =ex+jy=�ex�ejy=�ex�(cos y+jsin�y)• ejx�=cos x+jsin�x�=�cis(x)• |�ejx |�=�sqrt(cos2 x+�sin2�x)�=�1• z=r(cos�+jsin���r�ej�

• »»»�e1+j

• »»» e�3j

Euler�Formülü

12

Matlab�Fonksiyonlar�

13

Kutuplar�� S�f�rlar• G(s)�fonksiyonu�de�erinin�sonsuza�yakla�t����s�de�erine�G(s)�fonksiyonunun�«kutbu(pole)»�denir.

• G(s)�fonksiyonu�de�erinin�s�f�ra�yakla�t����s�de�erine�G(s)�fonksiyonunun�«s�f�r�(zero)»�denir.

� �r-inci mertebenden kutup p:

( )( ) ; 0,lim r

s pG s s p R R

� � � �

� �Tekil z s�f�r�:

( ) 0lims z

G s�

14

Matlabda�Kutuplar�� S�f�rlar2

2( )2

seG ss

��

15

Kontrol�Sistemlerinde�Kullan�lan�Temel�Sinyaller

16

Page 6: Kontrol Sistemleri 1-7

1.�Mertebeden�Diferansiyel�Denklem

• y’ + a y =�0;�y(0)=C, s�f�r giri�• Çözüm: y(t) = Ce-at

• y’ + a y =��(t);�y(0)=0, birim dürtü giri�• Birim dürtü tepkisi: h(t) = e-at

• y’ + a y =�f(t);�y(0)=C, s�f�rdan farkl� giri�

• «In circuit theory,�the�total�response�of�the�circuit�is�the superposition of�the�ZIR�and�the�ZSR»

Toplam tepki: y(t) = s�f�r giri� tepkisi (ZIR) + s�f�r durum tepkisi (ZSR) = Ce-at + h(t) * f(t)

• Yüksek�mertebeden LODE için:�Laplace kullan!17

• Tan�m:

01

0

00

( ) ( ) ( )

( ) ( ); ters LaplaceÖrnek

( ) ( ) 1

1 1 1( ) (1) 1

1( )

st

st st s

F s L f e f t dt

f t L F

f t u t

F s L e dt e e es s s

F ss

��

��� � � �

� �

� �

� � � � � � �

� �

Birim Basamak Fonksiyonu u(t)

Laplace�Transformu

18

3

3 3 ( 3)

0 0

( 3)

0

Örnek( )

( ) ( )

1 1 3 3

1( )3

1( )

t

t st t s t

s t

at

f t e

F s L e e e dt e dt

es s

F ss

L es a

� �� � �

�� �

� � �

� � �� �

� ��

��

� �

Laplace�Transformu

19

( ) birim dürtü 1

1( ) birim basamak

1 eksponansiyelat

t

u ts

es a

Laplace�Transformu

20

320

00

2

0

22

20

20

000

2122

211)(

111

11)(

)(

ssstdte

s

dttes

ets

dttetL

se

sdte

s

dtes

tes

tdtetL

ttf

st

ststst

stst

ststst

���

�����

�����

�����

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

Laplace�Transformu

21

� �

� �

� �

0

0

'

0

If { ( )} ( ) ise { ( )}???at z olarak tan�mlans�n:

( ) ( )

1( ) ( )

ss' olarak tan�mlans�n:a

1 1 1( ) ( ) ( ') ( )

st

zsa

s z

L f t F s L f at

L f at e f at dt

L f at e f z dza

sL f at e f z dz F s Fa a a a

��

��

��

��

� � �

Laplace�Transformu

22

220

20

2

2

02

2

2

0

2

02

0

000

sin

sin)1(

sin

sin)1(coscos

cos)1(sin1sin)(sin

sin)(

���

���

���

�������

�����

��

��

��

������

�����

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

stdte

stdte

s

tdtess

tdtess

tes

tdtes

tdtes

tes

tdtetL

ttf

st

st

st

ststst

ststst

Laplace�Transformu

23

( )

0 0

( )

0

2 2 2 2 2 2

( ) sin , ( ) cos

( )

1 1

1 1

( ) (cos sin ) (cos ) (sin )

j t st j t s j t

s j t

j t

f t t f t t

L e e e dt e dt

es j s j

s j s j s js j s j s j s s sL e L t j t L t jL t

� � �

� �

� �� � �

� � � � � �� � � �

� �� � �

� �

� �

� �

� � �� �

� �� � � �

� � � � � �

� � � �

� �

Laplace�Transformu

24

Page 7: Kontrol Sistemleri 1-7

Laplace�Tablosu

25

Laplace�Teoremleri

26

220

220

20

2

2

0

)(2

2

2

0

2)(

0

)(2

0

)(

0

)(

0

)(

0

)(cos

)(sin

)(sin)

)(1(

sin)()(

sin)1(cos)(

cos

cos)1(sin1

sin)sin(

��

���

���

���

�����

��

���

��

���

���

��

��

��

��

��

��

��

��

��

���

���

��

��

��

���

���

���

���

���

���

��

asastdte

astdte

astdte

as

tdteasas

tdteasas

teas

tdteas

tdteas

teas

tdteeteL

st

st

st

tas

tastas

tas

tastas

atstat

Laplace�Transformu

27

1 1 12 2 2 2 2

1 12 2 2 2 2 2

2 2 2

1 12 2 2 2 2 2

1 1 1 3 1( ) ( ) ( ) sin 39 3 3 3 3

3 2 1( ) ( )( 2) 3 ( 2) 3 ( 2) 3

1 1 cos3 sin 3 (cos3 sin 3 )3 3

3 2 1( ) (3 2 ) 3cos 2sin1 1 1

t t t

L L L ts s s

s sL Ls s s

e t e t e t t

s sL L t ts s s

� � �

� �

� � �

� �

� � �� � �� �

� �� � � � � �

� � � �

�� � � �

� � �

12

3 2( ) ???2 5

sLs s

� ��

� �

Laplace�Transformu

28

)0(')0()(

)]0()([)0(')(')0('

)(')()(')(")}("{

)0()()'()0()()'(

)()0()()0(

)()()()(')}('{

20

00

0

0

00

0

fsfsFs

fssFsfdttfesf

dttfestfedttfetfL

yssYyLxssXxL

ssFfdttfesf

dttfestfedttfetfL

st

ststst

st

ststst

���

�������

����

����

������

����

��

��

��

����

��

��

����

��

Laplace�Transformu

29

Laplace�Transformu� � � �

� � � � � �� �

� � � � � �

� �

2 2

2

2

2 2

y'' 9y 0, y 0 0, y' 0 2

L(y'') s Y s sy 0 y'(0) s Y s 2

L(y) Y s

[s Y s 2 9 Y s ] 0

(s 9)Y(s) 22 3Y(s)3 s 32y t sin 3t3

� � � �

� � � � �

� � �

� �

��

�30

Laplace�Transformu�Matlab

31

� � � �

� � � � � � � � � �� � � � � � � �� � � �� � � � � �

� �

� �

� � � �

2 2

2

2

2 2 2 2

t

y'' 2y' 5y 0; y 0 2, y' 0 4

L '' s Y s sy 0 y' 0 s Y s 2s 4

L y' sY s y 0 sY s 2

L y Y s

[s Y s 2s 4] 2[sY s 2] 5[Y s ] 0

(s 2s 5)Y s 2s2s s+1 2Y s 2

s2 2s 5 (s+1) 2 (s+1) 2y t e 2cos 2t – sin 2t

y

� � � � � �

� � � � � �

� � � �

� � � � � �

� � �

� � �� � � �

Laplace�Transformu

32

Page 8: Kontrol Sistemleri 1-7

Laplace�Transformu�Matlab

33

Page 9: Kontrol Sistemleri 1-7

• y”�2�y’�3�y=0, y(0)=�1,�y’(0)=�7• y”+2�y’�8�y=0,� y(0)=�1,�y’(0)=�8• y”+2�y’�3�y=0,� y(0)=�0,�y’(0)=�4• 4y”+4�y’�3�y=0,� y(0)=�8,�y’(0)=�0• y”+2�y’+�y=0,� y(0)=�1,�y’(0)=��2• y”+4�y=0,� y(0)=�1,�y’(0)=�1

Örnek�Problem�Laplace

2

3 2

3 2

0 00

1( ) , y(t) ???6

1 1( )6 ( 2)( 3) 2 3

her iki taraf� "s" ile çarp�l�p "s" yerine "0" verilsin:

1 1 ( 2)( 3) 2 3 6her iki taraf "s-2" il

s ss

sY ss s s

s s A B CY ss s s s s s s s s

s Bs CsA As s s s� ��

��

� �� �

� � � � �� � � � � �

�� � � � � �

� � � �

2 22

e çarp�l�p, "s" yerine "s 2" de�eri verilsin:

1 ( 2) ( 2) 3 ( 3) 3 10s ss

s A s C sB Bs s s s� ��

� � �� � � � �

� �

K�smi�Kesirler�Yöntemi

3

33 3

3 2

2 3

her iki taraf "s 3" ile çarp�l�p, "s" yerine "s 3" de�eri verilsin:

1 ( 3) ( 3)( 2) ( 2)

215

1 1 1 3 1 2 1( )6 6 10 2 15 3

1 3 2( )6 10 15

ss s

t t

s B s A sCs s s s

C

sY ss s s s s s

y t e e

���� ��

� � �

� � �� � �

� �

� �

�� � � � �

� � � �

� � � �

K�smi�Kesirler�Yöntemi

4

3

22

4 3 2

2 2

2 12

2 1

" 3 ' 2 4 , y(0) 1, y'(0) -14 11 3( 1) 2

37 13 4 12( )( 3)( 3 2)

( )3 2 1

A , B, C, D bir önceki yöntemle bulunabilir, A ???

ty y y t e

s Y s sY Ys s

s s s sY ss s s s

A A B C DY ss s s s s

� � � � � �

� � � � � � ��

� � � ��

� � �

� � � � �� � �

Tekrarlanan�Kesir

5

4 3 2

2 2

2 12

2

4 3 2 2 2 2

2 1 22

7 13 4 12( )( 3)( 3 2)

3 2 1her iki taraf "s " ile çarp�l�p, "s" yerine "s 0" de�eri verilsin:

7 13 4 12 ; 2( 3)( 3 2) 3 2 1

her iki

s s s sY ss s s s

A A B C Ds s s s s

s s s s Bs Cs DsA A s As s s s s s

� � � �� �

� � �

� � � � �� � �

� � � �� � � � � �

� � � � � �

4 3 2

12 20

taraf�n s'ye göre türevi al�n�rsa:

7 13 4 12 (2 ( 3) )( 3)( 3 2) ( 3)s

d s s s s s B s BsAds s s s s

� �� � � � � �� �� � � � � �

2

...

(2 ( 2) )...( 2)

s C s Css

� �� 2

(2 ( 1) )( 1)

s D s Dss� �

��

1 0A '( ) 3

sQ s

�� �

Tekrarlanan�Kesir

6

4 3 2

3 2

3 2 13 2

3

4 3 2 3 3 32

3 2 12

7 13 4 12( )( 3)( 3 2)

3 2 1her iki taraf "s " ile çarp�l�p, "s" yerine "s 0" de�eri verilsin:

7 13 4 12 ;( 3)( 3 2) 3 2 1

s s s sY ss s s s

A A A B C Ds s s s s s

s s s s Bs Cs DsA A s A ss s s s s s

� � � �� �

� � �

� � � � � �� � �

� � � �� � � � � � �

� � � � � � 3

4 3 2

2 120

2

her iki taraf�n s'ye göre türevi al�n�rsa:

7 13 4 12 2( 3)( 3 2) s

A

d s s s s A A sds s s s

� �� � � �� �� � � � �

1( , , , )f B C D s� 2 0

2 4 3 2

1 22 20

A '( ) 3

her iki taraf�n s'ye göre bir daha türevi al�n�rsa:

7 13 4 12 2 ( , , , )( 3)( 3 2)

s

s

Q s

d s s s s A f B C D sds s s s

� � �

� �� � � �� �� � � � �

1 0

1A ''( ) 3 2 s

Q s�

� �

Tekrarlanan�Kesir

7

Kısmi Kesirlere Ayırma Matlab

2

3 2ss s��

1 21s s�

8

Kısmi Kesirlere Ayırma Matlab

2

3

9 99

s ss s� ��

1.5 1.5 13 3s s s

�� �

� �

9

Page 10: Kontrol Sistemleri 1-7

Kısmi Kesirlere Ayırma Matlab

2

1 11 ( 1)s s

��

� �

10

2

0.5 2 0.5 3 23 2 1

Ys s s s s

� �� � � � �

� � �

11

Örnek�Problem�K�smi�Kesir

2

2

3

3 2 2

2

2

3 21)

9 92) 9

11 14 11 143) =4 4 ( 2)( 3 2)

4) 1

5) 2 2

ss ss s

s ss s

s s s s s ss

ss

s s

��� ��� �

� � � � � �

� �

12

Ba�lang�ç�De�er�Teoremi

( ) ( ) ( ) { ( )}olarak verilen laplace fonksiyonu F(s) "düzgün(proper) deg(num) deg(den)" tan�ml� ise, laplace fonksiyonu F(s) kullan�larak,zaman fonksiyonu f(t) ba�lang�ç de�eri

(

f t F s F s f t

f

� �

L

00 ) lim ( ) lim ( )

formülü kullan�larak elde edilebilir. st

f t sF s�

���� �

13

Son�De�er�Teoremi

( ) ( ) ( ) { ( )}olarak verilen laplace fonksiyonu F(s) " " tümü negatif gerçel k�sma sahipse, laplace fonksiyonu F(s) kullan�larak,zaman fonksiyonu f(t) yak�nsama de�eri(son de�er)

f t F s F s f t

kutuplarının

� �L

0(0 ) lim ( ) lim ( )

formülü kullan�larak elde edilebilir. t s

f f t sF s�

�� �� �

14

Örnek

2

2

0

1( )( 2)( 3)

( 1)(0 ) lim ( ) lim( 2)( 3)

2 1 2lim lim lim 15 6 2 5 2

(0 ) 1

( ) lim ( ) 0

s s

s s s

s

sY ss s

s sy sY ss s

s s ss s s

y

y sY s

�� ��

�� �� ��

��

� ��

� �� �

� �� � � �

� � ��

� � �

15

16

Örnek

1 2 2

21 2,3

6( )0; 2; 3( 2)( 3)

(0 ) 0( ) 1

6( )( 6) 0; 6

(0 ) 0( ) sdt uygulanamaz!

sY sp p ps s s

yy

sY ss s p p j

yy

��

� � � � � �� �

�� �

��

� � � � �

�� �

17

Page 11: Kontrol Sistemleri 1-7

Örnek

21,2 3 4

6( )0; 2; 3( 2)( 3)

(0 ) 0( ) sdt uygulanamaz!

Son de�erin bulunabilmesi için Y(s), 0 konumunda en fazla bir adet kutba sahip olmal�,

geri kalan tüm kutuplar negatif gerçel k�sma

sY sp p ps s s

yy

s

��

� � � � � �� �

�� �

�sahip olmal�!

18

Transfer�Fonksiyonu

� �� �

r giri�inden y ç�k���na olan transfer fonksiyonu: y ç�k���n�n Laplace transformunun, r giri�inin Laplace transformuna oran�d�r...

( )( ) ( ),( ) ( )

Dolay�s�yla s-bölgesinde ç�k��: ( ) ( ) (

y tY s G sR s r t

Y s G s R s

� �

LL

)olarak hesaplan�r.

19

Transfer�Fonksiyonu

Örnek: denklemin Laplace transformu al�n�rsa

( ) ( ) ( )Y/X için çözüm:

( ) 1 1, ( ) ( )( )

1giri�inden y ç�k���na olan T.F. (s)

TF'nun ters Laplace transformu birim dürtü t

y ky r

sY s kY s R s

Y s Y s R sR s s k s k

Gs k

� �

� �

� �� �

� ��

epkisini verir:( ) ( )kth t e u t��

20

Örnek

2

2

4

( ) 5 ( ) 4 ( ) ( ) 4 ( )

( ) 5 ( ) 4 ( ) ( ) 4 ( )Transfer Fonksiyonu:

( ) 4 4 1( )( ) 5 4 ( 1)( 4) 4

Birim Dürtü Tepkisi:( ) ( )t

y t y t y t r t r t

s Y s sY s Y s sR s R s

Y s s sG sR s s s s s s

h t e u t�

� � � �

� � � �

� �� � � �

� � � � �

�� � �

21

Giri���k���Sistemi

• Giri��ç�k���sistemi:

– Giri��olarak�birim�dürtü�sinyali�uygulan�yorsa,�r(t)=��(t),�sistemin�ç�k����dürtü�tepkisi,

– Giri��olarak�birim�basamak�sinyali�uygulan�yorsa,r(t)=u(t), sistemin�ç�k����basamak�tepkisi�olarak�adland�r�l�r.�

Giri�

�(t),u(t)

�k��

y(t)Sistem

22

( ) ( ), ( ) ( ) ( )( )

Y s G s Y s G s R sR s

� � R(s) G(s) Y(s)

1

1dürtü tepkisi( ) ( ) [ ( )]

1

r(t) (t) Y(s) G (s)R(s)R(s) , G (s)

y t h t G s

r(t) u(t) Y(s) G (s)R(s)

R(s) , s

� �� �

� �

� �

L

1

1

basam ak tepkisi1( ) [ ( ) ]

G (s)s

y t G ss

� L23

Kutuplar�� S�f�rlar• Kutuplar:�TF�sonsuza�götüren�s�de�erleri

– Kutuplar�=�TF�payda�polinomunun kökleri– Pay�ve�paydada�ayn��polinom çarpanlar��varsa�önce�bu�çarpanlar�sadele�tirilir

• S�f�rlar:�TF�s�f�r�yapan�s�de�erleri– Sonlu�de�ere�sahip,�pay�polinomu kökü�olan�s�f�rlar�d���nda,�«n»�payda�polinomunun mertebesi,�«m»�pay�polinomunun mertebesi�olmak�üzere,««n�m»»�tane�s�f�r�n�sonsuzda�oldu�u�varsay�l�r.

• Böylece�sistemin�n�kutbu ve n�s�f�r��bulunur• «n» sistemin�mertebesini�gösterir• «n�– m» sistemin�nispi�mertebesidir�(rltv order)

24

Örnek

)6)(4(

)1(10)( 2 ���

�sss

ssG

• Sistem�mertebesi:�n�=�4• m�=�1• Nispi�mertebe =�n�m�=�3• 4�kutup:�«0,��0,���4,���6»�konumlar�nda• 1�kutup�«�1»�konumunda• 3�s�f�r�sonsuzda!

25

Page 12: Kontrol Sistemleri 1-7

Kararl�l�k

• Sistem�s�n�rl��giri�lere�yine�s�n�rl��ç�k��lar�(yak�nsak),�sistem�BIBO�kararl�d�r

• Belirleme�kriteri:� TF�pay�payda�sadele�tirmeleri�yap�ld�ktan�sonra�geri�kalan�kutuplar�n�tamam��negatif�gerçel k�sma�sahipse�BIBO�kararl�!

� Herhangi�bir�sadele�tirme�yoksa???

26

Örnek

1 2

2

3 2

2

10( 1)( ) ( 4)( 6)10 3( )

( 2)( 5)1( )

4 6

( )10 ( 1)( 2)

kutuplar: 0, 1, 2s�f�rlar: , ,

s

sG ss s s

sG ss s

sG ss s

eG ss s ss

��

� ��

�� ��

�� �

�� �

� � �� � �

27

Örnek2

2

2

2 4

5 4 ( )1( 5 4) ( )

21 1( )

( 2)( 5 4) ( 2)( 1)( 4)1 113 62

2 1 41 1 1( ) ( ) ( ) ( )2 3 6

t

t t t

f f f e u t

s s F ss

F ss s s s s s

s s s

f t e u t e u t e u t

� � �

� � �

� � ��

� �� � � � � �

�� � �

� � �

� � � �

�� �

28

Örnek

2

2

2

( 1)

1

100( 2)( )( 4)( 1)

50 20 ( )4 1

50 20 20 20 1 4

( ) 50 ( 1) 20 ( 1)(30cos 2 10sin 2 ) ( )

s

s

s s s

t

t t

sG s es s s

es s s

se e es s s

g t u t e u tt t u t

� � �

� �

� �

� �

��

� �

� � �� �

�� � �

� �

� � � �

� �

�������

�����

29

22

1( )( 3 2)

sY s es s s

��� ������

� �2( 2) ( 2)1( ) ( 2) 1 22

t ty t u t e e� � � �� � � �

21 2t te e� �� �

30

Örnek

3 2

3 2

4 3 2

10 2 2 2

( ) 10 2 2 2

2( 10 2 1 ) ( 2)

( 2)10 2 2

y y y y y r r

Ys Y s s Y sY Y sR Rs

s s s Y s Rs

Y s sR s s s s

� � � � � �

� � � � � �

� � � � � �

��

� � � �

���� �� � �

31

Örnek

Page 13: Kontrol Sistemleri 1-7

Cdvi Cdt

�Ldiv Ldt

model denklemi

Rv iR�

�LvL

i�

�CvC

i

� �RvR

Direnç

Kullan�lan temel kanunlar

(Kirchhoff�Ak�m�Kanunu)(Kirchhoff�Voltaj�Kanunu)(Ohm Kanunu)

Endüktör Kondansatör

Temel Elektrik Bile�enler

i

2

��R

vv oi idt

dvC o �

ioo v

RCv

RCdtdv 11

��

)()(1)()(

0

trdttvLdt

tdvCR

tv too ��� �

�ovdtdiL

�dt

tdrtvLdt

tdvRdt

tvdC o

oo )()(1)(1)(2

2

���

��iv

�i

RC

�ov

L)(tr R C

RC Filtre:

RLC Filtre: KC Kanunu

KV ve Ohm Kanunu

Temel Elektrik Sistemleri

3

1 2

2

, : ötelenme de�erleri (m) : d��sal kuvvet (N)

kg : yay sabiti ( )

: gerilme kuvveti (N)

y yF

ks

k y�

1 2

21

, : ötelenme h�zlar� ( )

: viskoz sürtünme katsay�s� ( )

: viskoz sürtünme kuvveti (N)

mv vs

kgbs

b v�y

dtdyv ���

b

1v2v

F

21bv

121221 vvyyv ���� ��

21bvF �

F

2y

21ky 1221 yyy ��1y21.F k y�

model denklemik

Yay

Damper

Temel Mekanik Bile�enler (ötelenme hareketi):

4

2

2

2

: kütle (kg) : eylemsizlik kuvveti (N)

: ivme ( )

MM v

mas

dv d yadt dt

� �

�v�

F

MdtdvM

.

dvF Mdt

M a

Kütle

.F m a��� kütleye dü�en bile�ke kuvvet

Uygulanan Temel Kanun

Newton�2.�Kanunu

Temel Mekanik Sistemleri (ötelenme hareketi)

5

ymkyybr ��� ���

rkydtdyb

dtydm ���2

2

)()()()(2 sRskYsbsYsYms ���

kbsmssRsY

��� 2

1)()(

Newton 2. Kanunu uygulan�rsa

ZIC ile her iki taraf�n Laplace transformu

Örnek: Kütle-Yay-Damper

(Transfer Fonksiyonu)

: d��sal kuvvet (referans giri�): yay sabiti: viskoz sürtünme sabiti

rkb

)(tr)( ),( tyty �

k

mb

Temel Mekanik Sistemleri (ötelenme hareketi)

6

1 2

: tork (Nm), : aç�sal konum (rad)

T

21 2 1 ��1 2 T

model denklemi

21.T K�

1� 2� T

21.T b��1 2

1 1

21 2 1

, : aç�sal h�z (rad/s)� �

� � � �

2

2

: aç�sal ivme (1/s ) : dönen cismin eylemsizlik momenti (kg.m )J

.T J��

T

Temel Mekanik Bile�enler (dönme hareketi):

Yayk

b

Damper

Kütle eylemsizli�i

J

7

.T J��

Uygulanan Temel Kanun

: dönen kütleye uygulanan bile�ke momentler : aç�sal ivme : dönen cismin eylemsizlik momenti

T

J�

Temel Mekanik Sistemleri (dönme hareketi)

8

b

J

k

T

Örnek Kütle Yay Damper (Dönme Sistemi)

��� JkbT ���

Tkdtdb

dtdJ ���

2

2

)()()()(2 sTsksbssJs ���

2

( ) 1 (T ransfer Fonksiyonu)( )s

T s Js bs k

�� �

Newton 2. Kanunu – model denklemleri

ZIC için her iki taraf�n Laplace transformu

Temel Mekanik Sistemleri (dönme hareketi)

9

Page 14: Kontrol Sistemleri 1-7

Transfer fonksiyonu ile ilgili terimler

• p(s) – pay polinomu

• q(s) – karakteristik polinom

• q(s) – karakteristik polinomunun mertebesi = sistemin mertebesi

• q(s) = 0 – karakteristik denklem

• q(s) polinomunun kökleri – kutuplar

• p(s) polinomunun kökleri – s�f�rlar

Transfer Fonksiyonu

)()()(

sqspsG �

10

rdtdry

dtdy

dtyd

���� 2342

2

3412

)()()( 2 ��

���

sss

sRsYsG

3 , 1 , 0342 ������ sss

21 , 012 ���� ss

0342 ��� ss

3�

Im

eR1�

21

�kutups�f�r

ZIC alt�nda model denkleminin LT al�narak TF bul!

Kutuplar:

S�f�rlar:

Karakteristik denklem

Transfer fonksiyonu

Örnek

Kutup�S�f�r�haritas��(PZ�Map)

11

�f�=�K �y

Do�rusalla�t�rma (Do�rusal�Olmayan�Yay)

12

2

Do�rusal olmayan denklem( ) .f g y k y� �

TAYLOR�SER�S��AÇILIMI

� �������� � � ��� � � � �

� ����� � � � �� ������������������

Do�rusalla�t�rma

0 0 0( ) ( ) 2 . ( ) nonlineer terimlerf g y f y k y y y� � � � �

��0 0 0( ) 2 . ( )

Do�rusal yakla��k denklem

.

K yf

f f y k y y y

f K y

� � �

�����

13

Do�rusal�olmayan�giri��ç�k���ili�kisiT=�M�g�L�sin��

Do�rusala�yak�n�bölge�

Sarkaç�Sal�n�m�Modeli

14

Do�rusal�yakla��k�denklem

Yerçekiminin neden oldu�u nonlineer moment: T M g L sin Moment denkleminin 0 etraf�nda do�rusal yakla��k modeli:T M g L

için yakla��k modelin hatas�:4

T M g L sin( )=0.707MgL4nonlineer

� �� �

� �

� �

T M g L ( )=0.785MgL (%11 hata)4do�rusal�

15

Örnek�(Transfer�fonksiyonu�modelleme)

22 1 2

2 1 22

( )2( ) 6 5 3d x x d xx x x fdt dt�

� � � � �

21 1 2

1 1 22

( ) ( )7 4 2( ) 6 0d x t d x xx x xdt dt

�� � � � �

16

Örnek

221 1 2

1 1 2 1 1 1 2 1 22

222 1 2

2 1 2 2 1 2 1 2 22

22

1 1 1 1 2 2 2 1

( )7 4 2( ) 6 0 7 4 2( ) 6 ( ) 0

( )2( ) 6 5 3 2( ) 6 ( ) 5 3

(4 6 9)7 4 2 6 2 66 2

2

Laplace

Laplace

d x d x xx x x X s X X X s X Xdt dt

d x x d xx x x f X X s X X s X X Fdt dt

s sX s X X sX X sX X Xs

��� � � � � � � � � � � ��

��� � � � � � � � � � � ��

�� �

� � � � � � ��

22 1 2 1 2 22

2 12

21 1

2 2 2

1

14 3

2 6 6 5 3

(5 6 5) (6 2)

(4 6 9)(5 6 5) (6 2)6 2

(5 6 5)(4 6 9) (6 2)6 2

Transfer Fonksiyonu

( )ç�k�� hareketi 6 2( )giri� kuvveti ( ) 20 54

X X sX sX s X X Fs s X s X F

s ss s X s X Fs

s s s s s X Fs

X s sG sF s s s

� � � � � �

� � � � �

� �� � � � �

�� � � � � �

��

�� � �

� � 265 60 41s s� �

17

Page 15: Kontrol Sistemleri 1-7

Örnek: Süspansiyon

M

Mg

1y

2y

x

b K

�K

)( 12 yyK �)( 12 yyb �� �

1 2 1 2 1

2 1 2 1 2 2

Model denklemleri :( ) ( )

( ) ( )� �

Mg b y y K y y MyK x b y y K y y K y my

� � � � � ��� � � � � � ��

� � ��� � ��

araç gövdesi

m

)( 21 yyb �� � )( 21 yyK �

m

2( )�K x y�

M

tekerlek

18

Örnek

21 1

1 1 22

22 2

2 12

3 2 5( ) 6 0

4 5( ) 8

d ddt dtd ddt dt

� � � � �

� � � �

19

Örnek

221 1

1 1 2 1 1 1 2 12

222 2

2 1 2 2 1 22

22

1 1 1 1 2 2 1

22 2

2 1

3 2 5( ) 6 0 3 2 5( ) 6 0

4 5( ) 8 4 5( ) 8

3 6 73 6 2 5 5 05

3 6 7(4 8 5) 5 (4 8 5)5

Laplace

Laplace

d d s sdt dt

d d s sdt dt

s ss s

s ss s s s

�� � � � � � � � � � � �� � � ��

�� � � � � � � � �� � � � ��

�� �

� � � � � � � � � � � � � �

� �� � � � � � � � �1 1

2 2 2

1

14 3 2

5

(4 8 5)(3 6 7) 55

Transfer Fonksiyonu

( )ç�k�� hareketi 5( )giri� torku ( ) 12 48 91 86 10

s s s s

sG ss s s s s

� � � �

� � � � �� � �

�� � �

� � � � �

20

Örnek

11 1 1 2 1 2

0

22 2 1 2 1 2

0

( ) 12 ( ) 3 4( ( ) ( )) ( ( ) ( ))5

( )1 ( ( ) ( )) 4( ( ) ( )) 6 7 ( ) 05

t

t

di tL i t i t i t i t i t dt vdt

di tL i t i t dt i t i t i tdt

� � � � � �

� � � � � �

21

Örnek

11 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2

0

22 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2

0

( ) 1 12 ( ) 3 4( ( ) ( )) ( ( ) ( )) 2 3 4( ) ( )5 5

( )1 1( ( ) ( )) 4( ( ) ( )) 6 7 ( ) 0 ( ) 4( ) 6 7 05 5

30(

Laplacet

Laplacet

di ti t i t i t i t i t dt v I sI I I I I Vdt s

di ti t i t dt i t i t i t I I I I sI Idt s

s

� �� � � � � � � � � � � � �� ���

� �� � � � � � � � � � � � �� ���

�2 2

2 1 1 2

2 2 2

1 2 2 2

23 2

55 1 20 1 30 55 1) ( ) 05 5 20 1

15 30 1 20 1 15 30 1 30 55 1 20 15 5 5 20 1 5

Transfer Fonksiyonu

7 ( )7.eleman voltaj� 140 7( )giri� voltaj� ( ) 90 345 259

s s s sI I I Is s s

s s s s s s s sI I I I Vs s s s s

I s sG ss s s s

� � � � �� � � �

�� � � � � � � �

� � � ��

�� � �

� � � � 9

22

aR aL

ai�

�� �tea

�� �teb

m�

mJ( ) a

a a a a b

mb b m b

die t R i L edt

de k kdt�

� � �

� �

2

2

i a

m mm m

T k id dT J Bdt dt

����

� ���

Örnek: DC Motor

23

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

aa a a b a

mb b m b

a b m a a a a

di te t R i t e t Ldt

d te t k t kdt

E s k s s R I s L sI s

� � �

� �

� � � �

2

2

2

2

( ) ( ) ( )

( ) ( )

i a

m mm m

i a m m

m ma

i

T k id dT J Bdt dt

k I s J s s B s s

J s B sI s sk

� �

� � � �

�� �

Örnek: DC Motor

24

2

2

2

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )( ) ( )

Transfer Fonksiyonu:ç�k�� motor konumu ( )( )

giri� voltaj� ( ) ( )( )

m ma b m a a

i

i b a a m ma

i

i

a a a m m i b

J s B sE s k s s R L s sk

k k s R L s J s B sE s sk

ksG sE s R L s J s B s k k s

�� � � � �

� �� � �� �� ! "

�� �

� � �

Page 16: Kontrol Sistemleri 1-7

Örnek

1 12

y(t) ile ili�kilendirilmeli 2 0

1 2 1 21 2 1 1 1

u veya y cinsinden verilmeli 1 0

1( ) ( ) ( )* ( ) ( )

1* ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

tR C

C

tC R R R

C R R C

Lapla

u t v t v t y t i t dtC

v t v t y t u t v t v t y t v t v t y t i t R i t dtC

� � �

� � � � � � � � � �

�������

�������

1 2

2 2 2 2 2 2 2 22

1 2 2

?( , )

1 2

( ) ( ) ( )* ( )1( ) ( ) ( ) ( ) * ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) * ( ) ( )

ceTransformu

R R

C C R C

R

u y

C R

U s V s V s Y s

Y s I s I s C sY s V s I s R R C sY sC s

U s V s R C sY s Y s

V s V s Y s

� � �

� � � � �

� � �

� � �

�������������������������������������������

���

2 11 1

22 2 1 1 2 1 2 1

1

21 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2

( )( )

21 2 1 2 1 1 1 2 2

1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

CC

C C

R C C

I s RI s R

R C sY s Y s I s I s R C C s Y s C sY sC s

V s I s I s R R R C C s Y s RC sY s RC sY s

U s R R C C s Y s RC sY s RC sY s R

� � � � �

� �� � � � ��

� � � �

������������������

2

21 2 1 2 1 1 1 2 2 2

( ) ( )

( ) 1( )( ) ( ) 1

C sY s Y s

Y sG sU s R R C C s RC RC R C s

� �� � � � 2

Örnek

1

20

1

2

2 12

1 1

1

( )( )

1( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 1 ( )

( ) ( )1

in int

out out out

Laplace

in

out

u i R

u i R i dtC

U sI sR

R CsY s CsY s Y sI s G sR Cs U s RCsR

CsU s CsY sR RCs

� �

�� � � � �

��

� �

������������

1R

2R C

( )inu t( )outu t

1R

2R C

( )U s( )Y s

3

Blok�Diyagram��Gösterimi

( )G s

Bile�en, Sistem, Altsistem

( )X s

Sinyal�

1( )X s

2 ( )X s

3( )X s

( )E s

Toplama Noktas�

4

G1 G2G2

G1 G1G2

G1 G2 G1 G2 G1G1G21+

Kaskad Paralel Geribeslemeli

Blok�Diyagram��GösterimiTemel�Formlar�

5

Blok�Önüne

X1 YG

X2

X1

X2

YG

G

Blok�Arkas�na

X1

X2

YG

X1 YG

X2

1.�Toplama�Noktas�n��Blok�Önüne/Arkas�na�Ta��ma:

Blok�Diyagram��Temel���lemleri

6

2.�Ayr�lma�Noktas�n��Blok�Önüne/Arkas�na�Ta��ma:

Blok�Önüne

GX1

X2

YG

X1

X2

Y

Blok�Arkas�na

GX1

X2

Y

G

GX1

X2

Y

Blok�Diyagram��Temel���lemleri

7

3.�Toplama/Ayr�lma�Noktalar�n��Ta��ma:

Toplama�Noktalar�

X3

X1

X2

y X1

X3

Y

X2

Ayr�lma�Noktalar�

Y

X1 X2

Y

X1 X2

Blok�Diyagram��Temel���lemleri

8

1.��Birbirini�takip�eden�toplama�ve�ayr�lma�noktalar��yer�de�i�tirilemez

2.�Ayn��tipte�(toplama�veya�ayr�lma)�olan�noktalar�yer�de�i�tirebilir

3.��Bloklar�temel�blok�diyagram��formlar�na�sadele�tirilir

Blok�Diyagram��Temel���lemleri

9

Page 17: Kontrol Sistemleri 1-7

ÖrnekAyr�lma�noktas��ta��ma

G1 G2 G3 G4

H3

H2

H1

a b

G4

1

G1 G2 G3 G4

H3

H2

H1

10

ÖrnekToplama�noktas�n��yer�de�i�tirme Ayn��tipte�yer�de�i�tir!

G1 G2

G3

H1

G2

H1

G1

G3

G1

11

ÖrnekAyr�lma�noktas��ta��ma

G1 G2 G3 G4

H3

H2

H1

G4

1

G1 G2 G3 G4

H3

H2

H1

G3�G4�� � G3G4H3�

12

G1 G2

H2

H1

G4

1

G3�G4�� � G3G4H3�

G1

H1

G4

H2

G2G3�G4�� � G3G4H3�

2 3 4

3 4 3

2 3 4 2

3 4 4 3

1

11

G G GG G HG G G HG G G H

��

13

G1

H1

2 3 4

3 4 3

2 3 4 2

3 4 4 3

1

11

G G GG G HG G G HG G G H

��

H1

2 3 41

3 4 3

2 3 4 2

3 4 4 3

1

11

G G GGG G H

G G G HG G G H

��

2 3 41

3 4 3

2 3 4 2

3 4 4 3

2 3 41

3 4 31

2 3 4 2

3 4 4 3

1

11

111

1

G G GGG G H

G G G HG G G H

G G GGG G HH G G G HG G G H

��

��

��

14

G1 G2 G3 G4

H3

H2

H1

2 3 41

3 4 3

2 3 4 2

3 4 4 3

2 3 41

3 4 31

2 3 4 2

3 4 4 3

1

11

111

1

G G GGG G H

G G G HG G G H

G G GGG G HH G G G HG G G H

��

��

��

15

Sinyal�Ak���Diyagram��ModeliKarma��k�yap�da�sistemlerin�blok�diyagram��modellerinin�sadele�tirilmesi�zor!

Sinyal�ak���diyagram��verilen�sistemin�giri��ç�k���ili�kisini�belirleyen�transfer�fonksiyonunu�elde�etme�için�Mason�kural�ndan�faydalanan�do�rudan�bir�hesaplama�yakla��m��kullan�labilir!

Sinyal�ak����diyagram�nda�sistem�ili�kilerini�ifade�etmek�için�grafik�semboller�kullan�l�r.�

Sinyal�Ak���Diyagram�

Dü�üm�noktalar��sinyalleri�temsil�eder

Dü�ümleri�birle�tiren�kollar�sinyaller�aras�ndaki�kazanc�Temsil�eder.

G

16

Örnek

1 1 0 1 2

2 2 1

3 6 0 3 2

4 4 3 5 3

x G x H xx G xx G x G xx G x G x

� ��� �� �

Path — bir�dü�ümden�di�er�dü�üme�kadar�olan�kollar�yolu

Forward Path — giri��dü�ümünden�ç�k���dü�ümüne�ula�mak�için�ileri�yönde�(geribesleme olmaks�z�n)�kat�edilmesi�gereken�yok

Path�gain — bir�dü�ümden�di�er�dü�üme�olan�yolun�e�de�er�(total)�kazanc�

Forward Path�gain — tan�mlanan�ileri�yolun�e�de�er�(total)�kazanc�

Sinyal�Ak���Diyagram�

x3x1x0 x2 x41G2G 3G 4G

5G1H

6G

17

Page 18: Kontrol Sistemleri 1-7

Loop — bir�dü�ümden�ba�lay�p,�ayn��dü�üme�birden�fazla�kez�u�ramadan,�tekrar�ayn��dü�ümde�sonlanan�yol�

Loop�gain — Loop üzerindeki�kat�edilen�yolun�total�kazanc�

Touching�loops — birbiri�ile�ortak�dü�ümü�olan�looplar

Non�touching�loops — hiçbir�ortak�dü�ümü�olmayan�looplar

Sinyal�Ak���Diyagram�

18

1

1 2 3

k k

1

( )( ) (MASON KURALI)( )

1

k. forward path kazanc� p kofaktörü: 'dan p ' ya temas eden tüm loop terimleri ç�kar�larak

bulunur tüm loopla

m

k kk

k

k

PC sG sR s

L L L

p

L

�� �

� �� � � � �� �

� � �

2

r�n kazaçlar� toplam�

non-touching looplar�n kazançlar�n�n 2li kombinasyonlar� toplam�

non-touching looplar�n kazançlar�n�n 3lü kombinasyonlar� toplam�

3

L

L

� �

Sinyal�Ak���Diyagram�

19

Örnek

� �

1 4 1 2 3 2 3 2 3

1 1 2 3 4 2 5 4

1 2 3 1 3 4 1 3 2 2 3 2 4 1 3

1 2 3 2 3

2

1 1 2 3 4 5 4 2 34

0 4 1 3 2 2 3 2 4 1 3

1 ( ) 11 1 1

(1 )( )( )( ) 1

k kk

L G H L G H L G H

P G G G G P G G

L L L L L G H G H G H G G H HL G H

PG G G G G G G HX sG s

X s G H G H G H G G H H�

� � �

� �

� � � � � � � �

� � � � �

��

� � �� �

Sinyal�Ak���Diyagram�

x4x3x2x1x0 1G 2G 3G 4G

5G

3H

2H 1H

20

Blok�Diyagram�ndan�SFG��karma

Blok�Diyagram��– SFG��Grafiksel�Gösterim�Kar��l�klar�

ve

Blok�diyagram� Sinyal�Ak���Diyagram�

G(s) G(s)

Sinyal�Ak���Diyagram�

21

Örnek

C(s)R(s)G1 G2

H2

H1

G4G3

H3

E(s) X1

X2

X3

Sinyal�Ak���Diyagram�

G1 G4G3R(s) C(s)

H2

H1

H3

X1 X2 X3E(s)1 G2

TF�bulmakkülfetli!

MasonKural�!

22

1 1 2 3 4 3 2 2 3 2 3 3 4 1

1 2 3 4 3 2 3 2 3 4 1

1 1 2 3 4 1

1 2 3 4

1 2 3 4 3 2 3 2 3 4 1

L L1 ( )

; 1

( )( ) 1

L GG G G H G G H G G HGG G G H G G H G G H

P GG G G

GG G GC sGR s G G G G H G G H G G H

� � � � � � � �� � �

� �� � �

G1 G4G3R(s) C(s)

H2

H1

H3

X1 X2 X3E(s)1 G2

Sinyal�Ak���Diyagram�

23

24

� �1 2 3 4 1 31 1 1

1 1 2 3 2 2 2 1

3 3 3 2 2 22 4

4 4 3 2 1

1

1 2 3 4 4 2 2

1 1 2 2 3 3 4 3 2 1 1 1 3 3

Forward path 1 ( )1 01

( )( ) (Mason Kural�)( )

1

Nk k

k

Loop

L L L L L LL G HP GG G L G H

L G H G HP GL G H H H

PY sG sU s

GG G G G G HG H G H G H G H H H G H G H

� � � � � ��� � � �

� � � ��

�� �

��

� �

1G 2G 3G

4G

1H

2H

3H

1 1

( )U s ( )Y s

Page 19: Kontrol Sistemleri 1-7

Sistem�Dinamik�Tepkisi• Kal�c��durum�tepkisi:�sistem�tepkisinin��tan�ml��parças�

• Geçici�durum�tepkisi:�sisteme�giri��uygulamas�n�n�hemen�ard�ndan�geli�en�tepki�bölümü

• Sistemin�dinamik�tepkisini,�geçici�durum�tepkisi�ve�kal�c��durum�tepkisi�birlikte�olu�turur�

toplam tepki = s�f�r giri� tepkisi + s�f�r durum tepkisis�f�r giri� tepkisi: giri� yokken, sistem b.k. ba�l� tepkis�f�r durum tepkisi: sistem b.k. s�f�r iken, sadece giri�e ba�l� tepki

2

• Birim�basamak�sinyali

• Birim�dürtü�sinyali

0

us(t)

1

stu

tutu

s

s

1))((

)()(

L

( ) 0, 00

( ) 1 0

( ( )) 1, ( ) ( )

b

a

t

s

t ta

t dtb

t u t t dt

� ���

� � �

�� � ��

� �

L

�(t)

t

Tipik�Test�Sinyalleri

3

• Birim�rampa�sinyali:

• Birim�ivme�sinyali:

r(t)

2

1))((

)()()(

000

)(

str

dttututtr

ttt

tr

t

ss

���

��

��

L

3

2

1))((

)(

00

021

)(

sta

dttr

t

ttta

t

��

��

��

L

a(t)

t

t

0.5

10

4

• Birim�eksponansiyel sinyal:

• Birim�sinüzoidal�sinyal:

astue

atte

tue

sat

at

sat

��

��

��

��

1))((

0000

)(

L

22))()(sin(

000sin

)()sin(

���

��

���

��

��

stut

ttt

tut

s

s

L

0

1

t

5

• Birim�basamak�tepkisi:

Matlab komutu:�step• Birim�dürtü�tepkisi:

Matlab komutu:�impulse

H(s)U(s)=1

sY(s)=H(s)

1

s

1( ( )) i.c. 0giri� (t)

bdt L H s ç�k���� �

� � ��

1( ), s-bölgesinde bbt =

b.k. 0

sgiri� u ts

��� ��

H(s)U(s)=1 Y(s)=H(s)

6

Sistem�Dinamik�Tepkisi

• Birim�basamak�sinyali:�

• Basamak�tepkisi:� Y(s)=H(s)/s,�y(t)=L�1{H(s)/s}

• Birim�dürtü�sinyali:� �(t) 1

• Dürtü�tepkisi:�h(t)=�L�1 {H(s)}

• Matlab’da� “step”,�“impulse”,�“lsim”…

�L

1( ) ( )su t u ts

� �

7

• Sistem�birim�basamak�tepkisi�üzerinden�verilir.�• Tasar�ma�yönelik�kapal��döngü�sistem�için�incelenir.����������������������������������������������������������������������• Kal�c��durum�de�eri yss

• Kal�c��durum�hatas� ess

• Oturma�zaman� ts=�ç�k���n�kal�c��durum�de�erinin�belli�bir�tolerans�band�na�ilk�girdi�i�an!

� � � � � �� �tutyy st����

��input,lim

� � � � sstytee �����

��1lim

Zaman�Bölgesi�Tepki�Özellikleri

8 9

Page 20: Kontrol Sistemleri 1-7

max

max

max

Tepe zaman� ( )'nin maksimum de�erine ula�ma süresi

Tepe zaman�: ( );

max( );dolay�s�yla maksimum ç�k�� de�eri: ( )

Maksimum a�ma de�eri:

p

p

p

t y t

t t y yy y

y y t

M

� �

��

max

max max

Maksimum yüzde a�ma de�eri:1% x 100 x 100

1

p ss

ssp

ss

y y

y y yMy

� �

� �� �

10

maxE�er a�ma yoksa, de�erine an�nda ula��ld���ndan tepe zaman� yok!Dolay�s�yla herhangi bir a�ma da söz konusu de�il!

Gecikme zaman� ( )'nin de�erinin %50'sine

ilk ula�ma süresi. çok s�

d ss

y t

t y t y

� �

� k kar��la��lan bir tan�mlama de�il! bazen %50 yerine %X gecikme zaman� verilebilir.�

11

yükselme zaman�:

ç�k���n 0 1 de�erinden 0 9 de�erineula�mas�nda geçen süre. yükselme zaman� sistemin referans giri� de�i�imlerine

ne kadar h�zl� cevap verebildi�ini gösterir. a�ma olmas�

r

ss ss

t

. y . y

� durumunda de�erine ilk ula�ma an� da olarak tan�mlanabilir. , benzer de�erlendirme için kullan�l�r.

ss

r

d p

ytt t�

12 13

� �G s � �Y s� �U s � � 1U ss

� � � �� �

1 0

1 0

mmn

n s b s b s bG sd s s a s a

� � �� �

� � ���

� � � � 1Y s G ss

� � � � � �

� �

0

0 00

0 0 0

1

Kal�c� durum de�eri son de�er teoremi ile hesaplanabilir:

lim lim lim

Kal�c� durum hatas�:( ) ( ) ( )

lim lim ( ( ) ( )) lim ( ) lim ( ))

ss ss

ss t s s

ss t s s s

r y

by y t sY s G sa

e t r t y te e t s R s Y s sR s sY s

�� � �

�� � � �

� � � �

� �

� � � � ������ ��� �

1ss sse y� �

14

giri�: birim basamakbirim basamak tepkisi özellikleri

b.k. 0( ) 0.8

referans kal�c� durum de�eri: 10.2

0.92,

maksimum a�ma de�eri 0.92 0.8 0.120.12M.yüzde a�ma 15%0.8

ss

dss

ss dss ss

peak

y yy

e y yy

��

� � �

� � �

� � �

� �

15

16 17

Page 21: Kontrol Sistemleri 1-7

Kal�c��durum�hatas�(a)�basamak�tepkisi(b)�rampa�tepkisi

18

Birinci�mertebeden�sistem�basamak�tepkisi

Css(t) Ct(t)19

Sistem�kutuplar�n��kullanarak�tepki�analizi

�31 2 4( )

2 4 5KK K KC s

s s s s� � � �

� � ����������Css(t) Ct(t)

�2 4 5

1 2 3 4( ) t t tc t K K e K e K e� � �� � � ����������

20

Tepki�De�erlendirmesine�Göre�Sistem�S�n�fland�rma

• 1.�Mertebeden�Sistemler• 2.�Mertebeden�Sistemler• Yüksek�Mertebeden�Sistemler

21

c(t) �1� e�at

Birinci�mertebeden�sistem

C(s) � R(s)G(s) � as(s� a)

22

Zaman sabiti etkisi:

( ) (1 )Geçici rejim tepkisi:

( )( ) (1 )

Ba�lang�ç e�imi:

1( )

1(0)

de�eri küçüldükçe sistem tepkisidaha h�zl� bir �ekilde kal�c� durumai

n

t

n

n

t

t

y y Ku

y t K e

y ty t eK

d y t edtd ydt

� � �

� � �

� � � �

� ��

� ��

lerliyor!

0 2 4 6 8 10

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Zaman (sn)

Sist

em T

epki

si

Küçük �

1.�Mertebeden�sistem�basamak�tepkisi

Büyük �

1.�Mertebeden�sistem�basamak�tepkisi

Geçici�rejim�tepkisi�özellik�tan�mlamalar�:1. Zaman�sabiti,��1/a2. Yükselme�zaman�,�tr3. Oturma�zaman�,�ts

t � �� �� �� ��( 1 - e - t/ �) 0.6321 0.8647 0.9502 0.9817 0.9933

� �

� � � � � � � �

1kutup: 01

( ) (1 )t

y y K u

KG s ps

KY s G s U ss s

K Ks s s s

y t K e

� �

�� �

� � �

� � � ��

� � �� � �

� � !� � � �� �� � � ! ! �� � �" # !�" #

� � �

24

1.�Mertebeden�sistem�geçici�rejim�tepkisi�özellikleri:

1. Zaman�sabiti�(�),��1/aSistem�tepkisinin�ba�lang�ç�de�erinden�kal�c��durum�de�erine�%63 kadar�yakla�mas��için�geçen�süre.

2. Yükselme�zaman�,�tr�=�2.2/aSistem�tepkisinin�ba�lang�ç�de�erinden�kal�c��durum�de�erine�%10�ile�%90�aras�nda�yakla�mas��için�geçen�süre.

3. Oturma�zaman�,�ts =�4/aSistem�tepkisinin�ba�lang�ç�de�erinden�kal�c��durum�de�erine�%98�(veya�%95)�kadar�yakla�mas��için�geçen�süre.

25

Page 22: Kontrol Sistemleri 1-7

Deneysel�olarak�transfer�fonksiyonu�ç�kar�m�

�0

Sistem kal�c� durum tepkisi y 0.72

( )( )

1lim 0.72( )

Sistem zaman sabiti ç�k���n 0.63x0.72=0.45 ula�t��� süre:

1=0.13 7.7

5.5( )( 7.7)

ss

sss

KG ss a

K Ky ss a s a

a

G ss

��

��

� � ��

� � �

��

26

Örnek:Birinci�mertebeden�sistemin�transfer�fonksiyonu

G(s)=� ������

Sistemin�zaman�sabiti,�yükselme�zaman�,�oturma�zaman�n��hesaplay�n,�basamak�tepkisini�kabaca�çizin.�

501 2.220 ; 44

4 80

r

s

a

ms t msa a

t msa

� � � �

� �27

Kal�c��Durum�Hatas�

10

0

9( )10

1( ) 1( ) ( )

9( ) ( ). ( )( 10)

( ) 0.9(1 )( ) 0.9

1 9( ) ( ) ( )( 10)

1lim . ( )

t

sss

T ss

r t t R ss

C s T s R ss s

c t ec

E s R s C ss s s

e s E ss

��

� � �

� ��

� �� �

� � � ��

� �9

s�

0

0.1( 10) ss �

��

28

( )( )11( )

11

1ss

R sE sK

e tK

eK

��

��

��

( )( )1

( )0

Kt

ss

R sE s Ks

e t ee

��

��

29

Kal�c��Durum�Hatas�

Page 23: Kontrol Sistemleri 1-7

2.�Mertebeden�Sistem�Tepkisi

2.�Mertebeden�Sistem�Geçici�Rejim�Tepkisi�Performans�Parametreleri

A�ma

yP

tP0 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15Zaman

0

0.2K

0.4K

0.6K

0.8K

K

1.2K

Biri

m B

asam

ak T

epki

si

tStR

3

2.�Mertebeden�Sistem

� �

1 0 1 0

21 0 01 1 0

2 1,21 0 1

1 0

Sistem Modeli

KutuplarTransfer Fonksiyonu S�f�r

4

2

Sistem tepkisinin yak�nsamas� için:0, 0

y a y a y b u b u

b s b ba a aG s zps a s a b

a a

� � � �

� � � �� � ��� �

� �

�� � �

� � �

1 0 0

2 21 0 0

0 01 10 2

00

2. Mertebede

2

: Do�al frekans rad/s : Sönüm oran�

2 2 K : Kal�c� durum

n Sistem Sta

kaza

ndar

n

t Gös

terimi

c

n n na a b

n

nn n

y a y a y b u y y y K u

b ba aa Kaa

� � �

�� � �

� �

� � � � � � �

� � � � �

�� � �� �

2.�Mertebeden�Sistem�Kutuplar�2 2

22 2

2 2

1,2

2

2

( ) ( )

(

02

1)

2

n n n

nn n

n n

n n

y y y K uKG s q s s s

s s

p

� � �

� � �� �

� �

� � � �

� � � � �� � �

�� �� � �

�� �

Re

Im

�n

��n

1,2

1,2

Critically damped Kritik sönümlü ( 1)

Reel eksende ayn� konumda çift kutu

Unde

Overdamped Üstsönümlü ( 1)

rdamped Altsönümlü

Reel eksende iki ayr� kutup

( 1)

Kompleks konjuge iki ku

p

tup

np

p

� ��

� �21

d

n nj� �

� �� � � � ������

s�düzlemi

5

Üst�Sönümlü�Sistem�Tepkisi

2.�Mertebeden�Sistem�Tepki�Parametreleri

�2

1,2

1,2

2

1

Underdamped Altsönümlü ( 1)

Kompleks konjuge i1

1

sin( )

ki kutu

si (

p

n )

d

n n

d

n

dn

n

n

p j

p j

� �

� �

� �

� ���

���

��

�� � � � � �

� � �

� �

�� �

��

� �

�����

Re

Im

�n

��n

s�düzlemi

�n�

�� �

21d

n

� � ������

��

7

Page 24: Kontrol Sistemleri 1-7

Altsönümlü Sistem�Basamak�Tepkisi

• Birim Basamak Tepkisi (b.k.0; u(t)=1(t))

� �

� � � �

� � � �

2 2

1,22 21 2

*1 1

1

*1 1

1( ) ( ) ,( )( )2

, 12

( )

1 cos sin

1

d d

n nd

n n

d d d

j t j t

t nd d

d

K KY s G s p js s s p s ps s s

K A A KA js s j s j

y t K A e A e

K e t t

KK

� � � �

� � � �� �

�� � � � �

��� ��

� � � �

� � � � � �� �� � �

� �� � � � � �� �� � � � � �

� � �

� �� �� � �� �� �

� �� �

� �

�����������

� �2

1

2

1sin , tantde t� �

��

�� �� ��

� � � �� �� � �8

2.�Mertebeden�Sistem�Geçici�Rejim�Tepkisi�Performans�Parametreleri

A�ma

yP

tP0 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15Zaman

0

0.2K

0.4K

0.6K

0.8K

K

1.2K

Biri

m B

asam

ak T

epki

si

tStR

9

2

2

21

1

1

Tepkinin maks de�eri

( ) 1

A�ma de�eri

Maksimum Yüzde A�ma

A�ma de�eri% 100%(0)

100%

P P

P SS

SS

y y t K e

y y Ke

A�may y

e

!�

!�

!���

��

��

�� �� � �� �

� �

� � �

� �� � ��� �

� "

� � � �

� �

P

2

2

Tepe zaman� (t )

( ) 1 cos sin

( ) fonksiyonunun maks de�erini ald��� zaman

sin1

( ) 0

1

n

t nd d

d

nd

P

d P

Pd n

y t K e t t

y tdy Ke tdt

y tt

t

��

��� ��

� ��

� !

! !� � �

� �� �� � �� �� �

� �� �

��

��

� ��

Yükselme zaman� (t )R

Rd

t ! ���

Oturma zaman� (t )

: tan�mlanan band�n % de�eri olmak üzere100ln ( 1 )

(%5) 3 (%2) 4

S

s

s s

x

tx

t t

# # �

� �

� �$ �� �� �

� � 10