Kalathakis Maths

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  • . 1 - 1

    www.mathematica.gr . -

    x + y =

    1. x, y x + y = . : 48 2 3 . 2x+3y=48 , ( ) : (x,y)=(0,16) (3,14) ( 6,12) (9,10) (12,8) (15,6) (18,4) (21,2) (24, 0) . ( ) 2. , x + y = (x, y) . 3. x + y = , . , x y, (x, y) .

    . : 48 2x

    y3

    4. , . , , x + y = . (x, y) . x + y = : () : x + y = . .

    x+ y =, 0 0 , . ( ==0 ) :

    1) 0 , : x+ y =

    y x

    . ( : y = x+ ) .

    =

    y ' y

    0,

    =0 ,

    y x

    ( : y=x ) (0,0)

    0 , , =0 ,

    y

    ( y= ) xx .

    2) =0 , ( 0 ) , : x

    ( x= )

    y ' y x ' x ,0

    .

    1.1

  • . 1 - 2

    www.mathematica.gr . -

    y=- x+ y=x+

    y x y=x

    y

    y

    x x

    .

    1. 2x2

    x +y = x + y = , ,

    , 2x2 : x +y =

    x +y =

    . . ( ) . : )

    : 1. . 2. , , . 3. , 4. 5.

    x 2y 5 x 5 2y

    4x y 6 4(5 2y) y 6

    x 5 2y x 5 2y

    20 8y y 6 7y 6 20

    x 5 2y

    y 2

    x 5 2 2 x 1

    y 2 y 2

    A (x,y)=(1,2)

    x=1 ,y=2 :

    1 2 2 5 5 5

    4 1 2 6 6 6

  • . 1 - 3

    www.mathematica.gr . -

    )

    . : 1. , . 2. x , 5 (-4) , : 3. , ( ) , . 4. , 5. .

    4x 3y 11 5 4x 3y 11

    5x 7y 17 4 5x 7y 17

    20x 15y 55

    20x 28y 68

    4x 3y 11 4x 3y 11

    13y 13 y 1

    4x 3 1 11 4x 8 x 2

    y 1 y 1 y 1

    (x , y) = (2,1) ( . )

    1. , . .

    2 y 1x 52 0

    2 7

    y 6x 68

    3 2

    2 y 1x 5 214 14 14 0

    2 7 1

    y 6x 6 86 6 6

    3 2 1

    7(x 5) 2(2y 1) 28 0

    2(x 6) 3( y 6) 48

    7x 35 4y 2 28 0

    2x 12 3y 18 48

    7x 4y 5

    2x 3y 18

    2 7x 4y 5

    7 2x 3y 18

    14x 8y 10

    14x 21y 126

    7x 4y 5

    29y 116

    7x 4y 5

    y 4

    7x 4( 4) 5

    y 4

    7x 21

    y 4

    x 3

    y 4

    2. . .

    3 5 1 1 1+ =1 3 + 5 =1 =

    3 + 5 =1 = 2 - 2 + 3 - 2 + 3 - 2 ....

    2 1 1 1 1 2 - = 5 = -1- = 5 2 - = 5 =

    - 2 + 3 - 2 + 3 + 3

    1= 2 1 5

    - 2 - 2 = = 2 2

    1 + 3 = -1 = -4= -1

    + 3

  • . 1 - 4

    www.mathematica.gr . -

    1. 1 2 , . ( , ) . , ( , ) , ( , ) . 1 , 2 , . ( , ) .

    .. x y 4

    x y 2

    x y = 4 1

    x + y = 2 2

    (3 , -1)

    1 ,

    2

    2. 1 , 2 . . ..

    x y 4

    x y 2

    y x 4

    y x 2

    , -1 . , , .

    3. 1 , 2 (), . . ..

    x y 4

    2x 2y 8

    x y 4

    x y 4

    . y=-x+4 , .

    : ,

    , ,

    , .

  • . 1 - 5

    www.mathematica.gr . -

    .

    : 1 1

    2 2

    D

    . (Determinant)

    1 2 2 1D = - ) Cramer ( )

    : x +y =

    x +y =

    :

    1. :

    D= =-

    .

    D , Dx , Dy :

    D 0 , , : yx

    DDx = , y =

    D D

    D=0 , , .

    .

    :

    : D=0 ( Dx0 Dy0 ), .

    D= D = Dy = 0, , ====0 0 0,

    .

    - .

    ,

    :

    D , Dx , Dy .

    D.

    , :

    D . yx

    DDx = , y =

    D D

    D . .

    () .

    : Cramer , , :

    2. x :

    D = = -

    x

    ( D

    x )

    3. y:

    y

    D = =-

    ( D

    y )

  • . 1 - 6

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    1. : 2x y 7

    3x 5y 4

    D = 2 1

    3 5 = 10 3 = 13 0 , xD =

    7 1

    4 5 = 35 4 = 39 , yD =

    2 7

    3 4 = 8 21 = 13

    : (x, y) = yx

    DD,

    D D

    = 39 13, 13 13

    = (3, 1)

    2. :

    : D = 1

    1 = 1 = ( 1)( + 1) , xD =

    2 1

    1 = 3 1 = ( 1)( + + 1)

    yD = 2

    1 1 =

    2 = (1-) = - ( 1) .

    ) D 0 ( 1)( + 1) 0 1 0 + 1 0 1 1 ,

    , : (x, y) = =

    ) = 1, x y 1

    x y 1

    x + y = 1 y = 1 - x .

    , (x,y) =( , 1- ) , R .

    ) = 1, x y 1

    x y 1

    x y 1

    x y 1

    x y 1

    1 1

    ,

    3. x , .

    : 2 22

    x x xD D D DD DD D D .

    D 0 . H :

    2 2 2 2 2 2

    x x x x x x

    2 2 2 2 2 2 2 2 2

    x x x x x y x y

    yx

    D D D DD DD D D 2D 2D 2D 2DD 2DD 2D D

    D 2DD D D 2DD D D 2D D D 0 (D D ) (D D ) (D D ) 0

    DD Dx=D Dy=D , 1 1 (x , y) (1,1)

    D D

    2x y

    x y 1

    2 2

    yxDD

    , D D

    2 1,

    1 1

  • . 1 - 7

    www.mathematica.gr . -

    2. 3x3

    3 3

    :

    :

    1 1 1 1

    2 2 2 2

    3 3 3 3

    + y + = (1)

    + y + = (2)

    + y + = (3)

    1.

    ,

    .

    .

    2.

    (1), (2) (1), (3), 2

    y . y, (1) x .

    1.

    3 .

    2. .

    x + y + = 4

    -x -2y +2 = 6

    2x +3y + = 4

    )3(

    )2(

    )1(

    x (1) (2) : (+) x + y + = 4

    -x -2y +2 = 6

    -y +3 =10

    x (1) (3) :

    x + y + = 4 (-2)

    2x +3y + = 4 1

    2x 2y 2 8

    ( ) 2x 3y 4

    y 4

    : x + y + = 4

    -y +3 = 10

    y - = -4

    )3(

    )2(

    )1(

    y (2) (3) : y 3 10

    ( ) y 4

    2 6

    : x + y + = 4

    -y +3 = 10

    2 = 6

    x = 2

    y = -1

    = 3

    ( . )

    :

    1. 0 (0,0,0) ( ) . ( ) 2. 3x3 3x3 . . 3. 3x2 : 2x2 , .

  • . 1 - 8

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    2x2

    1. . i)

    5yx4

    4yx2 ii)

    12y5x2

    0y

    1

    x

    1

    iii)

    59y5x33

    4y

    2

    1x

    iv)

    1y4x2

    7y6x3 v)

    853

    523

    4

    2

    1

    yx

    xy

    xx

    2. : i) (x 2)(x y) 0

    x y 2

    ii)

    3 4

    3 4

    x 8y 0

    3x 20y 4

    iii)

    x 1 x y

    3x 5y 8

    3. : i) 2x 3y 4

    4x 6y 8

    ii) 2x y 4

    4x 2y 5

    4. ) N (-1,4) (2,-7). ) (2x-3y+1)2 + (4x+y-5)2 = 0 ) |2x-3y+1| + |4x+y-5| = 0

    5.

    2 1 x 4 y 1

    2 x 2 y 2 , (x,y) = (1,-1) , .

    6. : )

    )

    )

    yzx

    yzx

    z

    yx

    7. o : i) xxx

    x1x12

    2

    ii) 16x1xx1

    x1xx12

    2

    8. : 2

    2

    1 x 1 x0

    1 x 1 x

    9. : i)

    5xy

    15y45x ii)

    33y6x3

    1y32x

    10. : x+y=2 4x+y=4 ) (x0 ,y0 ) .

    ) x0 > 2 y0 > 0 ;

    11. R .

    i)

    3y3x6

    1yx2 ii)

    0y2x

    1y)5(x2 iii)

    1y)1(x2

    2y2x)1( iv)

    1yx2

    yx)1( 2

    v) 3x + y = 3

    x + 3y =

    vi) 2x + y = 0

    6x + 9y = 3

    vii) x - 2y = 5

    x + 2y =

  • . 1 -