Concepto de funcin:En matemticas, se dice que una magnitud o cantidad es funcin de otra si el valor de la primera depende exclusivamente del valor de la segunda. Por ejemplo el rea A de un crculo es funcin de su radio r: el valor del rea es proporcional al cuadrado del radio, A = r2. Del mismo modo, la duracin T de un viaje de tren entre dos ciudades separadas por una distancia d de 150 km depende de la velocidad v a la que este se desplace: la duracin es inversamente proporcional a la velocidad, d / v. A la primera magnitud (el rea, la duracin) se la denomina variable dependiente, y la cantidad de la que depende (el radio, la velocidad) es la variable independiente.Dominio de una funcin:La manera habitual de denotar una funcinfes:f:ABaf(a),dondeAes eldominiode la funcinf, suprimerconjunto o conjunto de partida; yBes elcodominiodef, susegundoconjunto o conjunto de llegada. Porf(a) se denota la regla oalgoritmopara obtener laimagende un cierto objeto arbitrarioadel dominioA, es decir, el (nico) objeto deBque le corresponde. En ocasiones esta expresin es suficiente para especificar la funcin por completo, infiriendo el dominio y codominio por el contexto. En el ejemplo anterior, las funciones cuadrado e inicial, llmeselesfyg, se denotaran entonces como:f:ZNkk2, o sencillamentef(k) =k2;g:VAp Inicial dep;si se convieneV= {Palabras del espaol} yA= {Alfabeto espaol}.

Rango de una funcin: (conocida tambin comocampo de valoresorango) de unafuncines elconjuntoformado por todos los valores que puede llegar a tomar la funcin. Se puede denotar como,o bieny formalmente est definida por:

Adicionalmente, es posible hablar de laimagen de un elemento(del dominio) para hacer referencia al valor que lecorrespondebajo la funcin. Esto es, sies una funcin, entonces la imagen del elementoes el elemento.

Funcin inyectiva:Enmatemticas, unafuncinesinyectivasi a elementos distintos del conjunto(dominio) les corresponden elementos distintos en el conjunto(imagen) de. Es decir, cada elemento del conjunto Y tiene a lo sumo una antiimagen en X, o, lo que es lo mismo, en el conjunto X no puede haber dos o ms elementos que tengan la misma imagen.As, por ejemplo, la funcin de nmeros reales, dada porno es inyectiva, puesto que el valor 4 puede obtenerse comoy. Pero si el dominio se restringe a los nmeros positivos, obteniendo as una nueva funcinentonces s se obtiene una funcin inyectiva.Funcin sobre-eyectiva:

Ejemplo de funcin sobreyectiva.Enmatemtica, unafuncinessobreyectiva(epiyectiva,suprayectiva,suryectiva,exhaustivaosubyectiva), si est aplicada sobre todo elcodominio, es decir, cuando cada elemento de "Y" es la imagen de como mnimo un elemento de "X".Formalmente,

Funcin sobre eyectiva:Funcin biyectiva

Ejemplo de funcin biyectiva de dosconjuntos finitos, donde se puede ver que.Enmatemticas, unafuncinesbiyectivasi es al mismo tiempoinyectivaysobreyectiva; es decir, si todos los elementos delconjunto de salidatienen unaimagendistinta en elconjunto de llegada, y a cada elemento del conjunto de llegada lecorrespondeunelemento del conjuntode salida.Formalmente, dada una funcin:

La funcin es biyectiva si se cumple la siguiente condicin:

Es decir, si para tododese cumple que existe un nicode, tal que la funcin evaluada enes igual a.Dados dos conjuntosefinitos, entonces existir una biyeccin entre ambossi y slo sietienen el mismo nmero de elementos.Representaciones de funciones:Enmatemticas, lagrfica de una funcin:

es la representacin grfica de lacorrespondenciaentre los elementos delconjuntodominioy los delconjunto imagen. Es el conjunto formado por todos lospares ordenados(x,f(x)) de la funcinf; es decir, como un subconjunto delproducto cartesianoXY.Las nicas funciones que se pueden trazar de forma completa son las de una sola variable, con un sistema decoordenadas cartesianas, donde cada abscisa representa un valor de la variable del dominio y cada ordenada representa el valor correspondiente del conjunto imagen. Si la funcin escontinua, entonces la grfica formar unalnea rectaocurva.En el caso de funciones de dos variables es posible visualizarlas de forma unvoca mediante una proyeccin geomtrica, pero a partir de tres variables tan solo es posible visualizar cortes (con un plano) de la funcin para los que los valores de todas las variables, excepto dos, permanezcan constantes.El concepto de grfica de una funcin se generaliza a la grfica de unarelacin. Notar que si bien cada funcin tiene una nica representacin grfica, pueden existir varias funciones que tengan la misma, pero con dominios ycodominiosdiferentes.Funcin creciente y decreciente:Definicin funciones crecientes y decrecientesUna funcinfescrecientees un intervalo si para cualquier par de nmerosx1,x2del intervalo..Una fucinfesdecrecientees un intervalo si para cualquier par de nmerosx1,x2del intervalo,.Sea f una funcin continua con ecuaciny=f(x), definida en un intervalo[a,b]. La siguiente es la representacin grfica de f en el intervalo[a,b].En la grfica anterior puede observarse que la funcin f es:1.) Creciente en los intervalos(a,x3),(x5,x6)2.) Decreciente en los intervalos(x3,x5),(x6,b)Criterio de crecimiento y decrecimientoSeafuna funcin continua en el intervalo cerradoy derivable en el intervalo abierto.1. Sies creciente en2. Sies decreciente en3. Sies constante enEjemplo 1Determinemos los intervalos en que crece o decrece la funcin con ecuacinf(x) = 1 / 2(x2 4x+ 1).Para ello calculemos la primera derivada def:f'(x) =x 2.Comof'(x) > 0x 2 > 0, o sea six> 2, entonces f es creciente parax> 2.Comof'(x) < 0x 2 < 0, o sea six< 2, entonces f es decreciente parax< 2.En la grfica de la funcin puede observarse lo obtenido anteriormente.

Ejemplo 2Determinar los intervalos en que crece o decrece la funcin f con ecuacinf(x) = (x+ 1) / (x 1), con x 1.La derivada de f esf'(x) = 2 / (x 1)2.Como(x 1)2es mayor que cero para x en los Reales, x 1, y adems 2 < 0entoncesf'(x) < 0para todo x en los Reales (x 1), por lo que la funcin f es decreciente para x en los Reales, x 1 . La siguiente, es la grfica de dicha funcin:

Funciones par e impar:Funciones pares[editar]

Grfica de una funcin par.Unafuncin pares cualquier funcin que satisface la relaciny sixes deldominiodefentonces-xtambin.Desde un punto de vista geomtrico, una funcin par essimtricacon respecto al ejey, lo que quiere decir que sugrficano se altera luego de unareflexinsobre el ejey.Ejemplos de funciones pares son elvalor absoluto,x2,x4,cos(x), ycosh(x).Definicin formal[editar]El trminofuncin parsuele referirse a una clase especial de funciones de variable real: una funcines una funcin par si parase cumple la siguiente relacin:

La definicin anterior puede generalizarse a funciones sobre dominios ms generales. SiAes un conjunto con cierta estructura algebraica en la que existan inversos aditivos (por ejemplo, los nmeros complejosC), una funcin par sera toda funcin:

que cumpla:

La definicin de funcin par presupone que sientonces necesariamente, de no ser as no se podra definir.Ejemplo[editar]La funcin:

es par ya que para cualquier valor dexse cumple:

Demostrando que la funcin es par.Six=2, entonces:

Funciones impares[editar]

Grfica de una funcin imparUnafuncin impares cualquier funcin que satisface la relacin:

para todoxen eldominiodef.Desde un punto de vista geomtrico, una funcin impar posee una simetra rotacional con respecto al origen de coordenadas, lo que quiere decir que sugrficano se altera luego de unarotacinde 180 grados alrededor del origen.Ejemplos de funciones impares sonx,x3,seno(x),sinh(x), y laerf(x).Funcin peridica:Enmatemtica, unafuncinesperidicasi los valores de la funcin se repiten conforme se aade a la variable independiente un determinadoperodo, o sea:

dondePes el perodo.De la misma manera, pero en un contextofsico, lasondas peridicasson aquellasondasque muestran periodicidad respecto del tiempo,es decir, describen ciclos repetitivos. En una onda peridica se cumple:

donde el periodo propio fundamental,es la frecuencia de la componente fundamental de la onda peridica yun nmero entero.Toda onda peridica es, por definicin, unaonda determinista, por cuanto puede ser descrita matemticamente (mediante unmodelo matemtico).

Funcin inversa:

Se llamafuncin inversa o reciproca defa otra funcinf1que cumple que:Si f(a) = b, entoncesf1(b) = a.Veamos un ejemplo a partir de la funcin f(x) = x + 4

Podemos observar que:El dominio def1es el recorrido def.El recorrido def1es el dominio def.Si queremos hallar el recorrido de una funcin tenemos que hallar el dominio de su funcin inversa.Si dosfuncionessoninversassucomposicines lafuncin identidad.(fof1) (x) = (f1of) (x) = xLas grficas defyf-1son simtricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

Hay que distinguir entre lafuncin inversa,f1(x), y lainversa de una funcin,.Clculo de la funcin inversa1.Se escribe la ecuacin de la funcin con x e y.2.Se despeja la variable x en funcin de la variable y.3.Se intercambian las variables.EjemplosCalcular la funcin inversa de:1.

Vamos a comprobar el resultado para x = 2

2.

3.

Funcin variable real:FUNCIN REAL DE VARIABLE REALSe llamafuncin real de variable reala toda funcin definida de un subconjuntoDde los nmeros reales, en el conjuntoRde los nmeros reales, tal que a cada elementoxdeDle corresponde uno y slo un elementoydeR:Para que una funcin quede correctamente definida es necesario determinar:El conjunto inicial o dominio de la funcin.El conjunto final o imagen de la funcin.La regla por la cual se asigna a cada elemento del conjunto origen un solo elemento del conjunto imagen.As, por ejemplo, la funcin definida por:asigna a cada nmero real su cuadrado.Tiene por conjunto origen o campo de existencia todos los nmeros reales, pues dado cualquier nmero realx, siempre es posible calcular su cuadrado, siendo el resultado otro nmero real.Tiene por conjunto imagen todos los nmeros reales positivos, puesto que el cuadrado de un nmero siempre es positivo:

La regla de asignacin es dado cualquier nmero realx, calcular su cuadrado para obtener la imagen.Ejemplo:Hallar el campo de existencia de la funcinfdefinida por

Resolucin:La funcin anterior asigna a cada nmerox, el valor

El campo de existencia est formado por todos los nmeros realesx, para los que su imagen est definida mediante la funcinf.

aquellos que anulen el denominador, puesto que la expresin 1/0 no es un nmero real. El denominadorx- 2 se anula cuandox= 2.Por tanto, el campo de existencia de la funcin esR- {2}.Su representacin mediante intervalos esC.E.= (-, 2)(2, +)

Resolucin:

cero, puesto que las races cuadradas de los nmeros negativos no tienen sentido en el conjunto de los nmeros reales.

LuegoC.E.= (-, -3][3, +).

Por tanto, al campo de existencia pertenecen todos los nmeros reales excepto el 3 y el -2.

Funcin lineal:Engeometray ellgebra elemental, unafuncin lineales unafuncin polinmicade primer grado; es decir, unafuncincuya representacin en elplano cartesianoes unalnea recta. Esta funcin se puede escribir como:

dondemybson constantesrealesyxes una variable real. La constantemes lapendientede la recta, ybes el punto de corte de la recta con el ejey. Si se modificamentonces se modifica la inclinacin de la recta, y si se modificab, entonces la lnea se desplazar hacia arriba o hacia abajo.Algunos autores llamanfuncin lineala aquella conb= 0de la forma:

mientras que llamanfuncin afna la que tiene la forma:

cuandobes distinto de cero.

Ejemplo[editar]

Dosrectasy susecuacionesencoordenadas cartesianas.Una funcin lineal de una nica variable dependientexes de la forma:

que se conoce comoecuacin de la rectaen el planox,y.En la figura se ven dos rectas, que corresponden a las ecuaciones lineales siguientes:

en esta recta el parmetrom= 1/2 por tanto dependiente1/2, es decir, cuando aumentamosxen una unidad entoncesyaumenta en 1/2 unidad, el valor debes 2, luego la recta corta el ejeyen el puntoy= 2.En la ecuacin:

la pendiente de la recta es el parmetrom= -1, es decir, cuando el valor dexaumenta en una unidad, el valor deydisminuye en una unidad; el corte con el ejeyes eny= 5, dado que el valor deb= 5.En una recta el valor demse corresponde al ngulode inclinacin de la recta con el eje de lasxa travs de la expresin:

Funcin cuadrtica:Enmatemticas, unafuncin cuadrticaofuncin de segundo gradoes unafuncin polinmicadefinida como:

Grficasde funciones cuadrticas.

Una funcin cuadrtica es aquella que puede escribirse de la forma: f(x) = ax2 + bx + c donde a, b y c son nmeros reales cualquiera y a distinto de cero ya que si es cero nunca ser unaparbola. Este tipo de funciones tiene como caracterstica que cuando a>0 elvrticede laparbolase encuentra en la parte inferior de la misma y cuando a 0, se puede comprobar que esta ecuacin tiene tres races reales. Por lo tanto debera ser ms fcil que en el primer ejemplo encontrar una.Puesto que est en forma reducida se sustituyex=u+v,U=u,V=v.U+V= 4 yUV= 125.UyVson las races deX - 4X+ 125 = 0, ecuacin de segundo grado cuyo discriminante es negativo. Por lo tanto no tiene races reales. Este mtodo nos permite encontrar las races, todas reales, pasando obligatoriamente por losnmeros complejos.Esta constatacin fue un argumento a favor de los complejos: son herramientas imprescindibles para resolver ecuaciones, aunque slo tengan soluciones reales.HallamosU= 2 - 11i yV= 2 + 11i. Extraerraces cbicasen los complejos no es lo mismo que en los reales. Hay dos mtodos: unogeomtrico, que utiliza el argumento y el mdulo (se divide el argumento por tres, y se toma la raz cbica del mdulo), y otroalgebraico, que emplea las partes real e imaginaria:Escrbaseu=a+bi. Entoncesu = 2 - 11i equivale al sistema:a - 3ab = 2 (parte real)3ab-b = - 11 (parte imaginaria)a +b = 5 (mdulo)Se obtienea= 2 yb= -1, o seau= 2 - i, yves suconjugado:v= 2 + i.En conclusin,x0=u+v= (2 - i) + (2 + i) = 4, lo que se verifica de inmediato.Las otras races son:x1= (2 - i) +(2 + i) = - 2 + 3yx2= (2 - i) +(2 + i) = - 2 - 3,donde es igual a -1/2 + 3/2i yes igual a -1/2 - 3/2i.Cuando es negativo,UyVson conjugados, y por lo tanto tambin lo sonuyv(con tal de bien escoger la raz cbica, recordando queuv= -p/3); as estamos seguros de obtener unxreal, y de hecho tambinx1yx2.Nota: Toda ecuacin cbica completa tiene otra equivalente incompleta o completa condicionada (familia de cbicas), que se puede observar mediante el cambio de variablex=z+k. Con esto podemos encontrar otrafrmula generalpara las ecuaciones cbicas, diferente a las frmulas deCardanooTartaglia.

Funciones definidas a trozos:Enmatemticas, unafuncin definida a trozos(tambin denominadafuncin por partes,funcin seccionadaofuncin definida por tramos) es unafuncincuya definicin (la regla que define la dependencia), llamadaregla de correspondencia, cambia dependiendo del valor de lavariable independiente.Formalmente, unafuncin realf (definida a trozos) de unavariablereal x es la relacin cuya definicin est dada por variosconjuntosdisjuntos de su dominio (conocidos como subdominios).La palabra "A trozos" se usa para describir cualquier propiedad de una funcin definida a trozos que se cumple para cada trozo aunque podra no cumplirse para todo el dominio de f. Una funcin esdiferenciable a trozosocontinuamente diferenciable a trozossi cada trozo es diferenciable a lo largo del dominio. EnAnlisis Convexo, la nocin de la derivada puede ser reemplazada por la desubderivadapara funciones definidas a trozos. Una funcin f definida a trozos puede estar representada por variasexpresiones matemticas(algebraicas y/o trascendentales) de cualquier tipo.Funciones de parte enteraEnmatemtica, lasfuncionesde parte entera son funciones:

que toman unnmero realy devuelven unnmero enteroms prximo, sea por exceso o por defecto.Segn la forma de considerar el nmero entero ms prximo a un nmero real dado, se pueden considerar varias funciones: Funcin piso(osuelo), que a cada nmero real asigna el nmero entero ms prximo por defecto, es decir, el mayor nmero entero igual o menor que ese nmero real. (por ejemplo, si tenemos el caso [-2.4], este se acercaria al valor -3; o aplicandolo a un caso positivo sera [1.5], este se acercaria al valor 1). Algunos lenguajes de programacin tienen una implementacin nativa llamada generalmenteflooroFloor(suelo en ingls). Funcin techo, que a cada nmero real asigna el nmero entero mas prximo por exceso, es decir, el menor nmero entero igual o mayor que ese nmero real. Algunos lenguajes de programacin tienen una implementacin nativa llamada generalmenteceiloCeil(porceiling, techo en ingls). Redondeo, que a cada nmero real asigna el nmero entero ms prximo segn su parte decimal. Truncamiento, que a cada nmero real asigna el nmero entero resultado de ignorar su parte decimal.Un concepto relacionado con estas funciones es lafuncin de parte decimal, cuya representacin es la de unaonda de sierra.