1

A incapacidade da Física clássica em explicar certosfenómenos levou ao desenvolvimento de duas teorias querevolucionaram a Física no início do século XX:

A Teoria da Relatividade de Einstein

A Física Quântica

Em particular, foi a impossibilidade de se conseguir explicarclassicamente as seguintes experiências

• radiação do corpo negro

• efeito foto-eléctrico

que levou ao desenvolvimento da Física Quântica .

Introdução à Física Quântica

2

Radiação do corpo negroQualquer objecto a uma temperatura superior ao zero absoluto (T > 0K) emite radiação. Essa radiação é produzida pelas suascargas eléctricas em movimento acelerado

Quando a temperatura é elevada (~ 500 ºC), o objecto emite radiação na zona do vermelho e, à medida que a temperatura aumenta, a radiação vai mudando para comprimentos de onda menores (maiores frequências)

O espectro de energiaradiada por unidade de tempo é contínuo e depende da temperatura T e do comprimento de onda λ da radiação emitida

3

Radiação do corpo negro (cont.)

Intensidade da radiação em função do comprimento de onda, para 4 temperaturas. A quantidade de radiação emitida (a área definida porcada curva) aumenta quando a temperatura aumenta

4

Radiação do corpo negro (cont.)

Como a radiação também depende das propriedades da superfície do objecto (emissividade) , a melhor maneira de simular um corpo negro é usar um objecto cuja superfície não influencie a radiação, ou seja, um sistema que se aproxime do corpo negro ideal

Uma boa aproximação é uma cavidade com uma abertura muito pequena: a radiação emitida vai depender apenas da temperatura no interior da cavidade

Aproximação do corpo negro ideal: a luz (radiação) que entra pela abertura é reflectida pelas paredes interiores. Em cada reflexão, parte dessa luz é também absorvida. Ao fim de algumas reflexões, toda a luz incidente foi absorvida. Então, toda a radiação que for emitida e sair pela abertura é apenas função da temperatura no interior da cavidade.

5

• Dependência de λ MAX com a temperatura:

Radiação do corpo negro (cont.)

• Energia radiada por unidade de tempo pela superfície de um corpo:

Lei de Stefan

4... TAeWrad σ=

-4-28 K Wm1067.5 −×=σ

1 0 ≤≤ e

0=e

1=e

Emissividade

Corpo negro2

T

BMAX =λ

m.K 10898.2 3−×=B

Lei de Wien

W(λ)

λ

6

Comparação dos resultadosexperimentais com a curvaprevista pelo modelo clássicode Rayleigh-Jeans para a distribuição da radiaçãoemitida por um corpo negro

Justificação clássica para estaradiação:

-os átomos e moléculas à superfíciedo objecto vibram mais quando a temperatura aumenta; esta vibraçãoimplica a emissão de radiação.

A descrição clássica conduz à lei de Rayleigh-Jeans:

Radiação do corpo negro (cont.)

( ) νννν ddn 2~Nº de osciladorescom frequênciasentre ν e ν+dν

( ) νννν dkTdW 2~

( ) ( ) λλ

λλ dkTdW4

1~

Espectro de potência tendoem conta queE(oscilador)=kT

( )λW

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Radiação do corpo negro (cont.)Problema com a descrição clássica :

• para os λ grandes, a teoria clássica está de acordo com os resultados experimentais

• mas quando λ → 0, a intensidade da radiação → ∞( catástrofe do ultra-violeta )

1900, Max Planck

E E

Descrição ClássicaEspectro contínuoDepende da amplitude

Descrição QuânticaEspectro discretoDepende da frequência

E0

E1

E2

E3

E4

E5

E6

hν

8

Considerações acerca das moléculas à superfície do corpo negro (Planck):

Representação pictóricados fotões (“pacotes” de luz). Cada fotão possuiuma energia discretadada por h ν .

As moléculas só podem radiar(emitir radiação) em níveis discretosde energia En, com

En = n h ν

sendo n um inteiro positivo (númeroquântico) e ν a frequência de vibração das moléculas

As moléculas emitem (e absorvem) energia em pacotes discretoschamados fotões , cuja energia éigual a h ν

Radiação do corpo negro (cont.)

9

Níveis de energiapossíveis para umamolécula (exemplo). As transições permitidascom ∆n = 1 estãoindicadas.

As moléculas têm energiasquantizadas. Uma molécula no estadon = 3 terá uma energia E3 = 3 h ν .

Se essa molécula emitir um fotão, a molécula passa para o estado n = 2 , que tem uma energia E2 = 2 h ν ⇒ a energia de um fotão correspondentea diferenças energéticas entreestados quânticos adjacentes é iguala E = h ν .

A molécula emite (ou absorve) energia apenas quando muda de estado quântico. Se permanecer num dado estado, não existetransferência de energia.

Níveis discretos de energia

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E

E0

E1

E2

E3

E4

E5

E6

hν

Descrição QuânticaEspectro discretoDepende da frequência

−=

−=

KT

nhC

KTCP n

n

νεexpexp

Z

KT

nhC

KT

nhCP

n

n

1

exp

1

1exp 1

0n

0n0

≡

−

=

⇒=

−⇒=

∑

∑∑

∞

=

∞

=

∞

=

ν

ν

Z

KT

nhnh

PEZ

KTP nn

n

n

∑∑

−

==⇒

−

=

νν

ε

εexp.exp

Radiação do corpo negro – cálculo da energia média de 1 oscilador

11

−≡=

−

=∑∑∑

KT

hx

x

nxh

Z

KT

nhnh

En

nνν

νν

exp ;

exp.

xxxx

n

n

−=+++=∑

∞

= 1

1...1

0

2

( )20 1

1

1

1

xxdx

dx

dx

d

n

n

−=

−=∑

∞

=

∑

∑

∑∑

==−

n

n

n

n

x

xdx

dxh

x

nxxhE

νν

1

( )

−

=−

=

111

x

h

x

xhE

νν

1exp −

=

kT

h

hE

ν

ν

Radiação do corpo negro – cálculo da energia média de 1 oscilador

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1exp −

=

kT

h

hE

ν

νkTE =

Limite clássicohν << kT

( ) νννν ddn2~

Nº de osciladorescom frequênciasentre ν e ν+dν

( ) ννν

νπνν d

kT

h

h

cdu

2

3

1exp

8

−

= ( )

4

1exp

8λ

λ

λ

λπλλd

kT

hc

hc

du

−

=

Radiação do corpo negro – espectro de potência

Densidade de energia

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Espectro de potência emitida porunidade de área considerando <E>=KT modelo clássico de Rayleigh-Jeans (físicamente impossível !)

( )λW

( )4

1exp

2λ

λ

λ

λπλλd

kT

hc

hc

cdw

−

=

Espectro de potência emitida por unidadede área, considerando a lei de Planck (1900) (em perfeito acordo com osresultados experimentais).

1exp −

=

kT

h

hE

ν

ν

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( )[ ]( )[ ]

=

=−∂

∂

→

−

→

−

kT

hcy

yey

kT

hcmínwmáx

y

λ

λλ

λ01

.1exp

5

5

( )4

1exp

2λ

ν

λ

λπλλd

kT

hc

hc

cdw

−

=

Radiação do corpo negro – Lei de Wien

Solução (numérica)

96,41

≅=Tk

hcy

MAXλ T

BMAX =λ m.K 10898.2

.96,4

3−×==k

hcB

Lei de Wien

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Radiação do corpo negro – Lei de Stefan

( ) ννν

νπνν d

kT

h

h

cdw

2

2

1exp

2

−

=

( )( )

4

0

3

23

4

.1exp

.2Tdy

y

y

ch

kTw

−= ∫

∞πdy

h

kTd

kT

hy == ν

ν ;

• Energia radiada por unidade de tempo pelasuperfície de um corpo negro de área A

Lei de Stefan

4.. TAWrad σ= -4-28 K Wm1067.5 −×=σ

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A temperatura da pele humana é aproximadamente igual a 35 ºC. Qual é o comprimento de onda para o qual se verifica o máximo daradiação emitida?

A partir da lei de Wien :

λλλλmáx . T = 0,2898 . 10-2 m K

λλλλmáx = 0,2898 . 10-2 m K / 308 K= 9,4 . 10-6 m= 960 nm

O máximo da radiação é emitida para um comprimento de ondana região dos infra-vermelhos:

Espectro visível

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Admitindo que o filamento de tungsténio de uma lâmpada de incandescência se comporta como um corpo negro, determine o comprimento de onda para o qual se verifica o máximo de intensidade da radiação emitida se a temperatura do filamento for igual a 2900 K

Espectro visível

A partir da lei de Wien :

λλλλmáx . T = 0,2898 . 10-2 m K

λλλλmáx = 0,2898 . 10-2 m K / 2900 K = 1 . 10-6 m = 1000 nm

Embora a lâmpada de incandescência emita luz branca(frequências na banda visível do espectro), o máximo de intensidade emitida acontece para a região dos infra-vermelhos⇔⇔⇔⇔ a maior parte da radiação é emitida sob a forma de calor

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• Quando não incide luz na célula, não se regista emissão de electrões a partir dasuperfície E e, portanto, a indicação no amperímetro é A = 0

• Quando luz monocromática com um comprimento de onda adequado incide naplaca E, verifica-se emissão de electrões quevão incidir na placa C. A corrente (foto-electrónica) é medida no amperímetro

No fim do séc. XIX, algumas experiências(Heinrich Hertz, 1887) demonstraram quequando se fazia incidir luz na superfície de alguns metais, estes emitiam electrões(efeito foto-eléctrico )

Efeito foto-eléctrico

+ -

Luz

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A tensão aplicada V (multiplicada pelacarga do electrão) é igual à energia com que os electrões deixam a superfície E .

Experimentalmente, é possível verificarque o potencial de paragem V0 (quemultiplicado pela carga eléctrica é igual àenergia dos electrões emitidos) éindependente da intensidade da radiaçãoincidente.

Efeito foto-eléctrico (cont.)

+ -

Luz

Dispositivo paraobservação do efeitofoto-eléctrico

Os foto-electrões saem da placa E com uma certa quantidade de energia. Se a tensão aplicada V aumentar (note-se que a polarização é inversa), então quando V for igual à energia dos fotoelectrões, a corrente (foto)eléctrica será igual a zero: os foto-electrões não terão energia(cinética) suficiente para atingir a placa C

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Efeito foto-eléctrico - Experiência vs. Teoria clássica

+ -

Luz

Existência de Corrente eléctrica Experiência Teoria clássica

Depende da intensidade da luz?

Depende da frequência da luz?

NÃO

NÃOSIM

SIM

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Efeito foto-eléctrico – Interpretação quântica (Einstein 1905)

1. A luz é constituída por fotões de Energia: E=hν

2. A intensidade luminosa é determinada pelo número de fotões

W0 – Energia mínimapara libertar oselectrões

Frequência mínima para libertar os electrões dada por

hν0 = W0

Energia cinética de um electrão libertado por um fotão de frequência ν > ν0

EC= hν - W0 = h.(ν – ν0)

Experimentalmente, a E cinmáxvaria linearmente com a frequência da luz incidente

declive = h

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Diferentes metais diferenteslimiares (função de trabalho)

Diferentes metais

w0

Efeito foto-eléctrico (cont.)

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Uma superfície de sódio é iluminada com radiação com um comprimento de onda de 300 nm. A função de trabalho para o sódio é de 2,64 eV. Calcule:

a) a energia cinética dos foto-electrões emitidos

b) o comprimento de onda crítico ( λλλλ c ) para o sódio

a) A energia dos fotões incidentes é igual a E = hνννν = hc/ λλλλ

E = (6,626 . 10-34 Js) (3,0 . 108 m/s) / 300 . 10-9 m

= 6,626 . 10 -19 J = 6,626 x 10 -19 J / 1,60 . 10 -19 J/eV = 4,14 eV

Usando Emáx = h νννν - ϕϕϕϕ temos Emáx = 4,14 – 2,46 = 1,68 eV

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b) O comprimento de onda crítico pode ser calculado a partirde λλλλ

c= hc/ ϕϕϕϕ

Como ϕϕϕϕ = 2,46 eV = (2,46eV) (1,60 . 10 -19 J/eV) = 3,94 . 10 -19 J

vem λλλλc

= h c/ ϕϕϕϕ = (6,626.10-34 Js) (3,0.108 m/s) / 3, 94.10-19 J

= 5,05 . 10 -7 m = 505 nm

Este comprimento de onda corresponde a uma radiação naregião verde do espectro visível:

Espectro visível