Intensità figura di diffrazione da una fenditura

Ettore Focardi 1

Si suppone di avere la fenditura divisa in un gran numero di piccole strisce di larghezza ∆y. Ogni striscia si comporta Come una sorgente di radiazione coerente e in un punto P dello schermo dà un contributo ∆E al campo elettrico totale. Il campo elettrico totale in P è dato dalla somma dei Contributi di tutte le strisce. I contributi di due strisce adiacenti sono sfasati di ∆φ=(2π/λ)∆y senθ. Per piccoli valori di θ si può ipotizzare che I valori di ∆E siano uguali per ogni striscia. Quando θ=0 i contributi ∆E sono allineati e E0=N∆E, N strisce In b) si ha ER (lunghezza corda)per un certo angolo θ, ΕR<E0. La differenza totale di fase tra le onde provenienti dai due Estremi della fenditura è:

φ=0

€

φ = NΔφ =2πλNΔysenθ =

2πλasenθ

Aumentando θ la catena dei vettori forma ad un certo punto un percorso chiuso, quindi a somma nulla ER=0, primo minimo:

€

2π =2πλasenθ →senθ =

λa

Intensità figura di diffrazione da una fenditura(2)

Ettore Focardi 2

Si possono ottenere l’ampiezza totale del campo ER e l’intensità della luce I in ogni punto P Sullo schermo considerando il caso in cui ∆y0 e N∞. In questo limite la catena dei vettori Dalle singole strisce è la curva continua rossa. La lunghezza dell’arco è E0. Per un generico θ si ha:

φ/2

φ

€

Rsen φ2

= ER /2

Ma E0=Rφ, quindi

€

ER = 2Rsen φ2

= 2(E0

φ)sen φ

2= E0[

sen φ2

φ2

]

Poichè nel punto P dello schermo l’intensità totale I ER2 è

€

∝

€

I = Imaxsen φ

2φ2

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

2

Imax intensità a θ=0

€

I = Imaxsen(πasenθ /λ)πasenθ /λ

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥

2Minimi per

€

πasenθλ

= mπ o senθ = m λa

m = ±1,±2,...

φ/2

Risoluzione di una fenditura

Ettore Focardi 3

La capacità degli strumenti ottici di distinguere oggetti vicini tra loro è limitata dalla natura Ondulatoria della luce. Due sorgenti di luce si trovano a grande distanza da fenditura larga a.

Per la diffrazione, l’imagine di ogni sorgente Consiste di una regione centrale luminosa con Frange laterali meno intense chiare e scure. Sullo schermo si osserva la somma delle due Figure di diffrazione. Se S1 e S2 sono distanti Tra loro, I loro massimi centrali non si Sovrappongono, immagini distinte, risolte. Se sono vicine, I due massimi si sovrappongono, Le immagini non sono risolte.

Criterio di Rayleigh : Le immagini sono considerate risolte se il massimo centrale di una coincide con il primo minimo dell’altra.

€

senθ =λa

λ<<a, senθ∼θ θmin=λ/a

Molti strumenti ottici utilizzano aperture circolari, in questo caso si trova θmin=1.22 λ/D D=diametro apertura

esempi

Ettore Focardi 4

1) Risoluzione limite di un microscopio. Per osservare un oggetto al microscopio viene usata luce di λ=589 nm. Se l’apertura dell’obbiettivo ha diametro 0.9 cm, trovare l’angolo limite di risoluzione.

€

θmin =1.22 589⋅ 10−9m

0.9⋅ 10−2m⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ = 7.98⋅ 10−5 rad

Due punti che sottendono all’obbiettivo un angolo minore non sono distinti 2)Risoluzione dell’occhio. Si calcoli per l’occhio l’angolo limite di risoluzione, limitandoci

alla sola diffrazione.

Utilizziamo luce di λ=500 nm e diametro pupilla di 2 mm.

€

θmin =1.22 λD

=1.22 500⋅ 10−9m

2⋅ 10−3m⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ = 3⋅ 10−4 rad

Con questo risultato si determina la separazione minima d tra due sorgenti puntiformi che l’occhio puo’ distinguere a distanza L.

€

senθmin ~ θmin =dL

d = Lθmin

Se L=25 cm è d=(25 cm)(3 10-4 rad)=8 10-3 cm spessore di un capello!!!

Reticolo di diffrazione

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Il reticolo di diffrazione, utile nell’analisi di sorgenti di luce, consiste in un gran numero di fenditure parallele equispaziate. Si puo’ costruire un reticolo a trasmissione incidendo righe || su lastra di vetro. Gli spazi tra le Righe sono trasparenti alla luce e quindi funzionano come fenditure equispaziate. Si puo’ costruire un reticolo a riflessione incidendo righe || su superficie materiale riflettente. La riflessione della luce da parte degli spazi tra le riche è di tipo speculare, mentre la riflessione Delle righe incise nel materiale è una riflessione diffusa. I reticoli, hanno una spaziatura fra le fenditure molto piccola (~µm).

Un’onda piana incide al piano del reticolo. Una lente convergente riunisce I raggi in P. La distribuzione di intensità osservata sullo Schermo è risultatto di effetti combinati di Interferenza e diffrazione. Ogni fenditura produce diffrazione e I fasci diffratti Inteferiscono tra loro . Quando lasciano le fenditure le onde hanno la stessa Fase che sarà diversa quando arrivano in P. La differenza di cammino tra fenditure adiacenti è d senθ d senθ = mλ (m=0,1,2…) max interf

€

⊥

Reticolo diffrazione(2)

Ettore Focardi 6

Si puo’ determinare la lunghezza d’onda, nota la spaziatura del reticolo e l’angolo θ. Se la radiazione incidente contiene diverse λ per ognuna di esse il massimo di ordine m si trova ad un angolo specifico. A θ=0 si osservano tutte le λ, si tratta del massimo di ordine zero (m=0). Il massimo del primo ordine (m=1) si trova ad un angolo dato da senθ=λ/d.

Distribuzione I reticolo da sorgente monocromatica in figura. Da notare come sono stretti I massimi principali e larghe le aree scure. Questo aspetto è in contrasto con le larghe frange Chiare della figura di interferenza. I reticoli reali hanno molte fenditure per cui I massimi sono Più evidenti.

Spettrometro a reticolo di diffrazione

Immagine fenditura osservata con un Microscopio, misurando l’angolo Si ha informazione della λ.

CD reticolo di diffrazione

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La luce riflessa dalla superficie di un CD è multicolore. La superficie di un CD è incisa con un solco a spirale (solchi adiacenti a distanza relativa ~ 1 µm. La superficie si comporta così come un reticolo a riflessione. Ogni regione del disco è un reticolo di diffrazione per la luce bianca e riflette colori differenti in differenti direzioni. Guardando una di queste regioni I colori cambiano spostando la sorgente di luce, il disco o l’osservatore.

Polarizzazione delle onde luminose

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Un fascio di luce ordinario consiste in un gran numero di onde emesse dagli atomi costituenti la sorgente di luce. Ogni atomo produce un’onda con una orientazione particolare del campo elettrico E, corrispondente alla direzione della vibrazione dell’atomo. La direzione di polarizzazione di ogni singola onda è definita come la direzione lungo la quale vibra il campo E,in figura è l’asse y.

Tuttavia una singola onda elettromagnetica può avere il suo vettore E nel piano yz, in una direzione che forma un qualunque angolo con l’asse y. Tutte le direzioni di vibrazione sono possibili e quindi l’onda e.m. risultante è una sovrapposizione delle onde prodotte dalle singole sorgenti atomiche. Risultato: onda luminosa non polarizzata (a). Un’onda è polarizzata linearmente se il campo risultante E vibra nella stessa direzione in ogni istante (b). Piano definito da E e da direzione di propagazione è detto piano di polarizzazione dell’onda. Piano xy nella figura.

È possibile produrre luce polarizzata da luce non polarizzata eliminando dal fascio tutte le onde tranne quelle i cui vettori E oscillano in un solo piano..

Polarizzazione per assorbimento selettivo

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Nel 1938 E.H. Land scoprì un materiale, polaroid, che polarizza la luce mediante assorbimento selettivo da parte di molecole orientate. Fabbricato in fogli sottili di idrocarburi sottoposti a tensione in modo da allineare le catene molecolari. Successivamente i fogli sono immersi in una soluzione contenente iodio con le molecole che diventano conduttrici, con conduzione lungo le Catene. Perciò le molecole assorbono con efficienza la luce con E || alla lunghezza e trasmettono Con E . La direzione alle catene è detta assse di trasmissione.

€

⊥

€

⊥Fascio di luce non polarizzata, incidente sulla prima lamina polarizzatrice, detta polarizzatore. L’asse è Verticale e quindi la luce trasmessa è polarizzata Verticalmente. Una seconda lamina polarizzatrice,

analizzatore, con asse che forma θ con quello del polarizzatore è posta sul fascio. E0, vettore campo trasmesso.

La componente di E0 || asse analizzatore, E0 cosθ passa. L’intensità del fascio trasmesso attraverso il polarizzatore è

Legge di Malus I=Imax cos2 θ Imax intensità fascio polarizzato su analizzatore

Poichè valor medio di cos2θ è ½, l’intensità della luce che attraversa un polarizzatore ideale è metà dell’intensità del fascio non polarizzato.

Polarizzazione per riflessione

Ettore Focardi 10

€

⊥

Quando un fascio di luce non polarizzata viene riflesso da una superficie, la luce riflessa può essere completamente polarizzata, parzialmente o non polarizzata a seconda dell’angolo di incidenza. Se l’angolo e 00 il fascio riflesso è non polarizzato, negli altri casi c’è un po’ di polarizzazione. Se un fascio di luce non polarizzata incide su di una superficie, I vettori E

possono essere descritti con 2 componenti: e || alla superficie. La polarizzazione del fascio può quindi essere descritta dalle componenti di E lungo questi assi. La componente || è riflessa più intensamente di quella fascio parz. polariz. Facciamo variare l’angolo di incidenza θ1 fino a che angolo tra fascio riflesso e rifratto è 900 (b). A questo angolo il fascio riflesso è completamente polarizzato (E|| alla superficie). Angolo di Brewster per riflessione θp. θp+900+θ2=1800, θ2=900-θp. usando la legge di Snell della rifrazione con n1=1 n2=n

€

⊥θp θp

€

n =senθ1senθ2

=senθ p

senθ2senθ2 = sen(900 −θ p ) = cosθ p → n = tanθ p Legge di Brewster

Occhiali da sole fatti con lenti polarizzate riducono il riverbero della luce riflessa. Asse verticale e assorbimento comp. orizzontale