Informationsblatt - Freie...
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Informationsblatt zum Seminar zur Analysis WS 2008 Vortagsthemen 1. π ist irrational 2. e ist transzendent 3. Die Keplerschen Gesetze 4. Picard-Iteration 5. Der Fixpunktsatz von Brouwer 6. Die Euler-Chakteristik 7. Folgerungen 8. Der Fundamentalsatz der Algebra 9. Ebene Kurven und Raumkurven 10. Der Vierscheitelsatz 11. Isoperimetrie des Kreises 12. Fraktale I 13. Fraktale II 14. Eindimensionale Variationsprobleme 15. Spezielle Variationsprobleme 16. Eulers elastische Kurven – oder: Variationsprinzipien in der Physik 17. Fl¨ achen im R 3 18. Spezielle Fl¨ achen 19. Erste Variation der Oberfl¨ ache 20. Hindernisse f¨ ur Fl¨ achen • Zeit und Ort: • Jeder Vortrag soll nicht l¨ anger als 60min dauern; gelegentlich werden 2 Vortr¨ age hintereinander stattfinden.
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Informationsblatt
zum Seminar zur Analysis WS 2008
Vortagsthemen
1. π ist irrational
2. e ist transzendent
3. Die Keplerschen Gesetze
4. Picard-Iteration
5. Der Fixpunktsatz von Brouwer
6. Die Euler-Chakteristik
7. Folgerungen
8. Der Fundamentalsatz der Algebra
9. Ebene Kurven und Raumkurven
10. Der Vierscheitelsatz
11. Isoperimetrie des Kreises
12. Fraktale I
13. Fraktale II
14. Eindimensionale Variationsprobleme
15. Spezielle Variationsprobleme
16. Eulers elastische Kurven – oder: Variationsprinzipien in der Physik
17. Flachen im R3
18. Spezielle Flachen
19. Erste Variation der Oberflache
20. Hindernisse fur Flachen
• Zeit und Ort:
• Jeder Vortrag soll nicht langer als 60min dauern; gelegentlich werden 2 Vortrage hintereinanderstattfinden.
Thema 1: π ist irrational
Es soll folgender Satz bewiesen werden:
Die Zahl π ist irrational.
Literatur: [14], Kapitel 16, S. 321–326
(Fitza)
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Thema 2: e ist transzendent
Eine reelle Zahl x heisst algebraisch, falls sie sich als Losung eine Gleichung der Form
anxn + an−1xn−1 + . . . + a1x + an = 0, ai ∈ Z, a0 6= 0,
schreiben lasst. Falls nicht, so heisst sie transzendent, denn nach L. Euler ”uberschreiten sie dieWirksamkeit algebraischer Methoden“.
Es ist folgender Satz zu beweisen:
Die Zahl e ist transzendent.
Literatur: [14], Kapitel 21, S. 435–444
[3], Kapitel 2, S. 82–85
(Husung)
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Thema 3: Die Keplerschen Gesetze
Es sind die drei Keplerschen Gesetze aus der Newtonschen Mechanik des Zweikorperproblemsherzuleiten.
• Erstes Keplersches Gesetz
Die Planetenbahnen sind Ellipsenbahnen mit der Sonne in einem Brennpunkt.
• Zweites Keplersches Gesetz
Die vom Fahrstrahl pro Zeit dt uberstrichene Flache dF ist konstant:
dF
dt= const
• Drittes Keplersches Gesetz
Das Quadrat der Umlaufzeit T ist proportional zur dritten Potenz der grossen Halbachsea der Ellipsenbahn:
T 2
a3= const
Literatur: [5], Kapitel 16-17, S. 125–143
[9], Kapitel 1, S. 1–22 (M. Hartmann)
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Thema 4: Picard-Iteration
Es ist folgender Satz zu beweisen:
Sei G ⊂ R × Rn offen, und sei f : G → Rn eine stetige Funktion, die lokal einer Lipschitz-Bedingung genugt. Dann gibt es zu jedem (a, c) ∈ G ein ε > 0 und eine Losung
ϕ : [a− ε, a + ε] −→ Rn
der Differentialgleichungy′(x) = f(x, y)
mit der Anfangsbedingung ϕ(a) = c.
Literatur: [7], § 10, S. 96–111
[16], § 6, S.64–71, §,11, S. 132–134
(Leder)
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Thema 5: Der Fixpunktsatz von Brouwer
Es ist folgender Satz zu beweisen:
Sei B ⊂ R2 die abgeschlossene Einheitskreisscheibe im R2. Dann hat jede stetige Abbildungf : B → B mindestens einen Fixpunkt, d.h. es existiert ein Punkt x ∈ B mit der Eigenschaft
f(x) = x.
Literatur: [3], Kapitel V, S. 192–195
(Neubert)
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Thema 6: Die Euler-Charakterstik
Zu beweisen sind folgende Satze:
1. Eulersche Polyederformel
Die Anzahl der Ecken E, der Kanten K und der Flachen F eines einfachen Polyedersgenugen
E −K + F = 2.
Mit Hilfe dieser Formel beweist man, dass es genau 5 regulare Polyeder (PlatonischeKorper) gibt: das Tetraeder, das Hexaeder, das Oktaeder, das Dodekaeder und das Ikosaeder.
2. Eulersche Flachenformel
Die Anzahl der Ecken E, der Kanten K und der Flachen F eines eines Netzwerkes einergeschlossenen Flache vom Geschlecht p genugen
E −K + F = 2− 2p.
Literatur: [3], Kapitel V, S. 180–186, 195–198
(L. Gellert)
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Thema 7: Folgerungen
Zu beweisen sind folgende Satze:
1. Der Jordansche Kurvensatz
Jede einfach geschlossene Kurve C teilt die Punkte der Ebene in zwei getrennte Gebiete,deren gemeinsamer Rand C ist.
Dabei beschranken wir uns auf den Fall polygonaler Kurven.
2. Der Funffarbensatz
Jede Landkarte auf einer Kugeloberflache kann mit hochstens 5 Farben so gefarbt werden,dass keine zwei benachbarten Gebiete die gleiche Farbe haben.
Fur den Beweis dieser Aussage benotigen wir die Eulersche Flachenformel.
Literatur: [3], Kapitel V, S.186–189, 200–204
(Schwarz)
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Thema 8: Der Fundamentalsatz der Algebra
Zu beweisen ist folgender Satz:
Ist fur n ≥ 1 und beliebge komplexe Zahlen an−1, . . . , a0
f(z) = zn + an−1zn−1 + . . . + a1z
1 + a0 ,
so gibt es eine komplexe Zahl α mit f(α) = 0.
Weitere Schwerpunkte:
• Einfuhrung in die Theorie der komplexen Zahlen
• Vorstellen der Losungsformeln fur n = 2, 3, 4
Literatur: [3], Kapitel V, S. 204–206
[13], Kapitel 15, 162–181
(Kraft, event. Gellert)
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Thema 9: Ebene Kurven und Raumkurven
In diesem Vortrag werden die Grundlagen der Theorie regularer Kurven im R3 vorgestellt.
Schwerpunkte:
• Parametrisierte Kurven, Beispiele
• Parameterwechsel, regulare Parametrisierung
• Bogenlange und Bogenlangenparametrisierung
• Krummung κ und Torsion τ
• Frenetsche Gleichungen
Literatur: [1], Kapitel 2, S. 25–36, S. 39–42, S. 65–69
[2], S. 15–35
[8], Kapitel 1-2
(Roth)
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Thema 10: Der Vierscheitelsatz
Es ist folgender Satz zu beweisen:
Jede dreimal stetig differenzierbare Eilinie besitzt wenigstens vier Scheitel, d.h. Stellen mitκ′(s) = 0.
Dabei heisst die Kurve c = c(s) eine Eilinie, falls sie eine stetig differenzierbare Randkurve einesebenen, beschrankten und konvexen Bereichs B ⊂ R2 ist.
Literatur: [1], Abschnitt 2.2, 39–61
[2], § 12, S. 35–37
[15], § 26, S. 105–120
(Geschwandtner)
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Thema 11: Isoperimetrie des Kreises
Es soll folgender Satz bewiesen werden:
Der Kreis schliesst unter allen einfach geschlossenen ebenen Kurven vorgeschriebener Lange dengrossten Flacheninhalt ein. Insbesondere gilt die isoperimetrische Ungleichung
L2 − 4πA ≥ 0
fur den vorgeschriebenen Umfang L und den eingeschlossenen Inhalt A einer einfach geschlossenenKurve, und Gleichheit gilt dann und nur dann, wenn die Kurve ein Kreis ist.
Vorgestellt sollen insbesondere Gelenkverfahren von Steiner sowie (Steiner’s Beweis) sowie dessenVervollstandigung nach Courant/Hilbert.
Literatur: [2], § 28, S. 65–67
[3], Kapitel VII, § 7, S. 277–285
[10], Kapitel 6, S. 213–235
(Balestrieri, event. Kraft)
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Thema 12: Fraktale I
Schwerpunkte:
• Beispiele
• Fraktale und Selbstahnlichkeit
• Dimension von Fraktalen
Literatur: [11], Kapitel 14, S. 151–159
(Berndt, Frey)
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Thema 13: Fraktale II
Schwerpunkte:
• Fraktale als Fixpunktmengen
• Metrische Raume und kompakte Teilmengen
• Random-Fraktale
Literatur: [11], Kapitel 14, S. 151–159
(Berndt, Frey)
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Thema 14: Eindimensionale Variationsprobleme
Schwerpunkte:
• Funktionale und Funktionenraume
• Variation eines Funktionals
• Euler-Lagrange-Gleichungen
Literatur: [6], Abschnitt 3,4,5, S. 2–17 (bis Theorem 3)
(Feil, Lanaus)
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Thema 15: Spezielle Variationsprobleme
Schwerpunkte:
• Euler-Lagrange-Gleichungen fur spezielle Integranden
• Variable Endpunkte
• Beispiele, insb. das Problem der Brachystochrone
Literatur: [3], § 10, S. 288–291
[6], S. 18–22, S. 25–26
(Klebanov)
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Thema 16: Eulers elastische Kurven
Eine ebene Kurve[0, 1] 3 x 7→ (x, u(x)) ∈ R2
mit Krummung κ(x) heisst eine elastische Kurve, falls u fur das Funktional der Gesamtkrummung
K[u] :=
1∫0
κ(x)2√
1 + u′(x)2 dx
stationar ist, d.h. wenn die erste Variation fur u verschwindet.
Es ist folgender Satz zu beweisen:
Es gibt ein αmax = 1.343799725..., so dass fur 0 ≤ |α| < αmax das Naviersche Randwertproblem
1√1 + u′(x)2
d
dx
(κ′(x)√
1 + u′(x)2
)+
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κ(x)3 = 0, x ∈ (0, 1)
zu den vorgeschriebenen Randwerten
u(0) = u(1) = 0, κ(0) = κ(1) = α ∈ R
genau zwei Losungen unter den glatten symmetrischen Graphen hat. Ferner gelten:
− Fur |α| = αmax gibt es genau eine Losung;
− fur α = 0 gibt es nur die triviale Losung u ≡ const;
− fur |α| > αmax gibt es keine Losung.
Literatur: [4], Theorem 1, kein erste Variation
oder (leichter): Prinzip der kleinsten Wirkung, Lagrangefunktion, Hamiltonfunktion und Gesamtenergieeines mechanischen Systems, Energieerhaltung
[6], Abschnitte 21, 22 (erstes Beispiel) (Agnes Busa)
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Thema 17: Flachen im R3
Schwerpunkte:
• Parametrisierungen von Flachen, Parameterwechsel
• Kurven auf Flachen
• Erste Fundamentalform, Winkelmessung, Flacheninhalt
• Spharisches Bild, zweite Fundamentalform
• Beispiele
Literatur: [1], Abschnitt 3.3, 3.4, 3.5, S. 110–122
[2], Kapitel 4, S. 99–104
[8], Kapitel 5
(Brzezinski)
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Thema 18: Spezielle Flachen
Schwerpunkte:
• Hauptkrummungen
• Mittlere und Gaussche Krummung
• Regelflachen, Drehflachen
Literatur: [2], Kapitel 4, S. 99–104
[1], § 3.8.1, § 3.8.3, S. 146–149, S. 156–158
(Jansch)
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Thema 19: Erste Variation der Oberflache
Schwerpunkte
• Erste Variation der Oberflache
• Minimalflachen
• Der rotationssymmetrische Fall
• Beispiele
Literatur: [2], § 115
[3], § 11
[10], Kapitel 5 (Nuske)
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Thema 20: Hindernisse fur Flachen
Unter Verwendung eines einzigen ”geometrischen Maximumprinzips“ beweisen wir folgende,inhaltlich verschiedene Aussagen:
1. Existenz des Katenoids:
Fur
r < r0 = min
cos t
t: t > 0
gibt es keine beschrankte Minimalflache, deren Rand aus den Kreisen
k± =
(x1)2 + (x2)2 = r2 , x3 = ±1
.
2. Satz von Alexandrov:
Ist Ω ⊂ R3 ein beschranktes offenes Gebiet und ∂Ω eine C2-Hyperflache it konstanter mittlererKrummung, dann ist Ω eine offene Kugel Br(x0) fur ein r > 0 und ein x0 ∈ R3.
Literatur: [12], Abschnitt 10.2, S. 175–179
(Klobertanz)
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Literatur
[1] Bar, C.: Elementare Differentialgeometrie. Walter de Gruyter, 2000.
[2] Blaschke, W.; Leichtweiss, K.: Elementare Differentialgeometrie. Springer, 1973.
[3] Courant, R; Robbins, H.: Was ist Mathematik?. Springer, 2001.
[4] Deckelnick, K.; Grunau, H.-Ch.: Boundary value problems for the one-dimensionalWillmore equation. Calculus of variations and partial differential equations 30, 293–314,2007.
[5] Fließbach, T.: Mechanik. Spektrum Akademischer Verlag, 2003.
[6] Fomin, I.M.; Gelfand, I.M.: Calculus of variations. Prentice-Hall, Inc., 1963.
[7] Forster, O.: Analysis 2. Verlag Vieweg, 1991.
[8] Frohlich, S.: Differentialgeometrie I. Vorlesungsskript SS 2007, http://page.mi.fu-berlin.de/sfroehli/ss2007/ss2007.html.
[9] Hilbert, D.; Cohn-Vossen, S.: Anschauliche Geometrie. Springer, 1996.
[10] Hildebrandt, S.; Tromba, A.: The parsimonious universe. Shape and form in thenatural world. Coperinucus Springer, 1996.
[11] Hutchinson, J.E.: Introduction to mathematical analysis. Vorlesungsskript, 1995/96.
[12] Eschenburg, J.-H.; Jost, J.: Differentialgeometrie und Minimalflachen. Springer, 2007.
[13] Pieper, H.: Die komplexen Zahlen. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1984.
[14] Spivak, M. Calculus. Publish or Perrisch, Inc., 1994.
[15] Strubecker, K.: Differentialgeometrie I. Kurventheorie der Ebene und des Raumes.Sammlung Goschen, Walter de Gruyter, 1964.
[16] Walter, W.: Gewohnliche Differentialgleichungen. Springer, 2000.
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