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1 Hooke’s Law: Modulus of Elasticity Below the yield stress Elasticity of Modulus or Modulus Youngs = = E Eε σ Strength is affected by alloying, heat treating, and manufacturing process but stiffness (Modulus of Elasticity) is not. Lecture Power Points to accompany Beer/Johnston/DeWolf MECHANICS OF MATERIALS, 3rd ed.
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Hooke’s Law: Modulus of Elasticity

• Below the yield stress

Elasticity of Modulus or Modulus Youngs=

=E

Eεσ

• Strength is affected by alloying, heat treating, and manufacturing process but stiffness (Modulus of Elasticity) is not.

Lecture Power Points to accompanyBeer/Johnston/DeWolfMECHANICS OF MATERIALS, 3rd ed.

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Elastic vs. Plastic Behavior• If the strain disappears when the

stress is removed, the material is said to behave elastically.

• When the strain does not return to zero after the stress is removed, the material is said to behave plastically.

• The largest stress for which this occurs is called the elastic limit.

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Deformations Under Axial Loading

AEP

EE ===

σεεσ

• From Hooke’s Law:

• From the definition of strain:

Lδε =

• Equating and solving for the deformation,

AEPL

• With variations in loading, cross-section or material properties,

∑=i ii

iiEALPδ

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Thermal Stresses• A temperature change results in a change in length or

thermal strain. There is no stress associated with the thermal strain unless the elongation is restrained by the supports.

( )coef.expansion thermal=

=∆=

α

δαδAEPLLT PT

• Treat the additional support as redundant and apply the principle of superposition.

( ) 0

0

=+∆

=+=

AEPLLT

PT

α

δδδ

• The thermal deformation and the deformation from the redundant support must be compatible.

( )( )TE

AP

TAEPPT

∆−==

∆−==+=

ασ

αδδδ 0

5

5

Poisson’s Ratio• For a slender bar subjected to axial loading:

0=== zyx

x Eσσσε

• The elongation in the x-direction is accompanied by a contraction in the other directions. Assuming that the material is isotropic (no directional dependence),

0≠= zy εε

• Poisson’s ratio is defined as

x

z

x

y

εε

εε

ν −=−==strain axialstrain lateral

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Generalized Hooke’s Law• For an element subjected to multi-axial loading,

the normal strain components resulting from the stress components may be determined from the principle of superposition. This requires:

1) strain is linearly related to stress2) deformations are small

EEE

EEE

EEE

zyxz

zyxy

zyxx

σνσνσε

νσσνσε

νσνσσε

+−−=

−+−=

−−+=

• With these restrictions:

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Shearing Strain• A cubic element subjected to a shear stress will

deform into a rhomboid. The corresponding shearstrain is quantified in terms of the change in angle between the sides,

( )xyxy f γτ =

• A plot of shear stress vs. shear strain is similar the previous plots of normal stress vs. normal strain except that the strength values are approximately half. For small strains,

zxzxyzyzxyxy GGG γτγτγτ ===

where G is the modulus of rigidity or shear modulus.

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Relation Among E, ν, and G• An axially loaded slender bar will

elongate in the axial direction and contract in the transverse directions.

( )ν+= 12GE

• Components of normal and shear strain are related,

• If the cubic element is oriented as in the bottom figure, it will deform into a rhombus. Axial load also results in a shear strain.

• An initially cubic element oriented as in top figure will deform into a rectangular parallelepiped. The axial load produces a normal strain.

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Stress Concentration: Hole

Discontinuities of cross section may result in high localized or concentrated stresses. ave

maxσσ

=K

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Stress Concentration: Fillet

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dureza dos materiais

• propriedade característica de um material (sólido), que expressa a sua resistência a deformações permanentes e está directamente relacionada com a força de ligação dos átomos

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A Escala de Mohs quantifica a dureza dos minerais, isto é, a resistência que um determinado mineral oferece ao risco, ou seja, a retirada de partículas da sua superfície.

Por exemplo: O diamante risca o vidro, portanto, este é mais duro que o vidro.

Esta escala foi criada em 1812 pelo mineralogista alemão Friedrich Mohs com 10 minerais de diferentes durezas existentes na crosta terrestre. Atribuiu valores de 1 a 10. O valor de dureza 1 foi dado ao material menos duro que é o talco, e o valor 10 dado ao diamante que é a substância mais dura existente na natureza.

Esta escala não corresponde à dureza absoluta de um material (por exemplo, o diamante tem dureza absoluta 1500 vezes superior ao talco).

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13

A Escala de Mohs

CDiamante (é o mineral natural mais duro) 10

Al2O3Corindo (safira e rubi são formas de corindo) 9

Al2[(F,OH)2SiO4]Topázio (a Esmeralda também possui esta dureza) 8

SiO2Quartzo (capaz de arranhar o vidro. Ex.: Ametista) 7

KAlSi3O8Feldspato / Ortoclase (pode ser arranhado com uma liga de aço)6

Ca5(PO4)3(OH, F, Cl)Apatite (pode ser arranhada dificilmente com uma faca de cozinha)5

CaF2Fluorite (pode ser arranhada com uma faca de cozinha) 4

CaCO3Calcite (pode ser arranhado com uma moeda de cobre) 3

CaSO4·2H2O Gesso (pode ser arranhado com unha com um pouco mais de dificuldade) 2

Mg3Si4O10(OH)2Talco (pode ser arranhado facilmente com a unha)1

Fórmula química Mineral Dureza

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A escala de dureza Mohs é usada em mineralogia, no entanto, existem outras escalas de dureza utilizadas em ciência dos materiais,

utilizando os chamados ensaios de penetração para a medição da dureza: Dureza Brinell

Dureza RockwellDureza Rockwell superficial

Dureza Vickersetc.

São comuns usar os seguintes processos:

BorrachasIRHD

Alumínio, Borrachas, Couro, ResinasBarcol

Polímeros, Elastómeros, BorrachasShore

Metais, CerâmicosKnoop

Metais, CerâmicosVickers

Metais Rockwell

Metais Brinell

MateriaisDureza

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16

O durómetro Shore foi desenvolvido em 1920, pelo fabricante de instrumentos Albert F. Shore, e é amplamente utilizado na medição da

dureza de polímeros, elastómeros e borrachas.

O método consiste em medir a profundidade da impressão deixada no material com a aplicação da carga e é dependente de outros factores além da dureza, como das propriedades viscoelásticas e da duração do ensaio.

Existem diversas escalas utilizadas em materiais com propriedades diferentes. As mais comuns são a A e D, sendo a A utilizada em plásticos

macios e a D em plásticos rígidos. No entanto, a norma ASTM D 2240 contém 12 escalas, dependentes da intenção de uso, sendo elas: A, B, C, D, DO, E, M, O, OO, OOO, OOO-S e R. Cada escala resulta em um valor entre

0 e 100, sendo que valores maiores indicam um material mais duro.

A "dureza" de um pneu de automóvel varia entre 50A e 70A, dependendo da aplicação.

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DURÓMETRO SHORE "A" PARA BORRACHASDIGITAL PORTÁTIL

DURÓMETRO SHORE "A" PARA BORRACHASPORTÁTIL

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Dureza Brinell

Este método foi proposto em 1900, pelo engenheiro sueco Johan August Brinell

● penetrador esférico com 10 mm de diâmetro, feito de aço de elevada dureza ou de carboneto de tungsténio

A carga aplicada varia entre 500 e 3000 kgf e, durante o teste, a carga é mantida constante por um período entre 10 e 30 segundos.

O número Brinell de dureza (HB) é função da carga aplicada e do diâmetro da impressão resultante:

onde P é o valor da carga aplicada (em kgf), D é o diâmetro do penetrador e d é o diâmetro da impressão resultante, ambos em milímetros.

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DURÓMETRO DE BANCADA PARA MEDIÇÃO

DE

DUREZA ROCKWELL NORMAL (HRC-HRB-

HRA) e SUPERFICIAL (HRN - HRT)

E

DUREZA BRINELL (31,25 KGF, 62,5 KGF e

187,5 KGF)

EM UM SÓ APARELHO

Universal Hardness Testing Machine• Brinell, DIN EN 10003 ASTM E-10 • Vickers, DIN EN ISO 6507 ASTM E-92• Rockwell, DIN EN 10109 ASTM E-18 • Plastics test, DIN 53456 • Ceramic and stone tests

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Os ensaios de Dureza:

• são simples e de baixo custo

• não são destrutivos – o material não é fracturado ou excessivamente deformado, sendo deixada apenas uma pequena impressão

• outras propriedades mecânicas podem ser obtidas através dos ensaios de dureza, como a tensão máxima de tracção, que pode ser obtida, para a maioria dos aços, através da seguinte equação:

TS (MPa) = 3,45HB

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Dureza Vickers

Neste método usa-se como penetrador:

● uma pirâmide de diamante com ângulo de diedro de 136º

Calcula-se a área A da superfície impressa pela medição das suas diagonais.

A dureza Vickers HV é dada por:

onde

O mesmo penetrador pode ser usado nos ensaios de diversos materiais, independentemente da dureza; é uma das escalas mais amplas entre as usadas para medição de dureza.

A grande vantagem deste método é a pequena impressão deixada, sendo que este procedimento é utilizado em ensaios de micro e nano-dureza, na qual é possível analisar cerâmicose finíssimas camadas de revestimento.

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Dureza Rockwell

Procedimento do Ensaio1. Na superfície limpa, aplica-se uma pré-carga de 10 kgf2. Aplica-se uma carga nominal que pode variar entre 60, 100 ou 150 kgf3. Depois de aproximadamente 10 segundos é retirada a carga 4. Finalmente, é realizada a leitura da dureza do material directamente na

máquina, por isso, é um método directo de medição de dureza e um dos mais utilizados nas industrias.

HR = E - e

e = permanent increase in depth of penetration due to major load F1 measured in units of 0.002 mmE = a constant depending on form of indenter: 100 units for diamond indenter, 130 units for steel ball indenter

HR = Rockwell hardness number

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23

51353-363533,251187

52365-373633,201226

54379-393763,151265

56393-403883,201315

58410-414013,051364

60429-424153,001413

62449-444292,951472

64466-464402,911530

65480-474512,881579

67495-484622,851638

68510-494732,811687

70526-504852,781756

72542-514952,751815

74558-525072,721874

76574-535172,691933

78593-545302,662011

80612-555422,632089

82632-565552,602148

84652-575682,57-

87672-585822,54-

89693-595952,51-

91715-606112,48-

93738-616242,45-

96762-626392,43-

98787-636532,40-

100813-646682,37-

102840-656822,35-

103870-666972,30-

104903-677122,30-

105940-68---

DHVHRBHRCHBmmMPa

ShoreVickersRockwellBrinellTensão Máxima de Tração

-11869-1185,45411

-12170-1215,40411

-12371-1235,35421

-12673-1265,30431

-12874-1285,25441

-13175-1315,20450

-13476-1345,15460

-13777-1375,10470

-14078-1405,05480

-14379-1435,00490

-14681-1464,95490

-14982-1494,90500

-15283-1524,85510

-15684-1564,80520

-15985-1594,75528

-16386-1634,70549

-16787-1674,65559

-17088-1704,60569

-17489-1744,55589

-17890-1784,50598

-18391-1834,45608

-18792-1874,40628

3119293121924,35647

3219794131974,30667

-20195142014,25677

3320796152074,20696

3421297162124,15716

-21798172174,10735

3522399182234,05755

-229100192294,00775

DHVHRBHRCHBmmMPa

ShoreVickersRockwellBrinellTensão Máxima de Tração

24

24

130150140101/2" steel ballV

13010090101/2" steel ballS

1306050101/2" steel ballR

130150140101/4" steel ballP

13010090101/4" steel ballM

1306050101/4" steel ballL

Soft bearing metals, plasticsand

other very soft materials

130150140101/8" steel ballK

Aluminium, zinc, lead1306050101/8" steel ballH

Phosphor bronze, beryllium copper, malleable irons130150140101/16" steel ballG

Annealed copper alloys, thin soft sheet metals1306050101/16" steel ballF

Cast iron, aluminium and magnesium alloys, bearing metals13010090101/8" steel ballE

Thin steel and medium case hardened steel and pearlitic malleable iron1001009010Diamond coneD

Steel, hard cast irons, case hardened steel and other materials harder than 100 HRB10015014010Diamond coneC

Copper alloys, soft steels, aluminium alloys, malleable irons13010090101/16" steel ballB

Cemented carbides, thin steel and shallow case hardened steel100605010Diamond coneA

Typical ApplicationValue

ofE

Total Load

Fkgf

Major LoadF1kgf

MinorLoadF0kgf

IndenterScale

Rockwell Hardness Scales

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Vickers and Knoop Microhardness Testing and Case Depth Analysis

www.hardnesstesters.com/automatic-microhardness-tester-MS250ASW.htm

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Microhardness Test

http://www.gordonengland.co.uk/hardness/microhardness.htm