HMY 102

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Δρ. Σταύρος Ιεζεκιήλ

iezekiel@ucy.ac.cy

Green Park, Γραφείο 111

Τηλ. 22892190

Διάλεξη 10 –Εισαγωγή στην ημιτονοειδή ανάλυση στην σταθερή κατάσταση

1

Μέρος Α

- Ωμικά Κυκλώματα

(Διαλέξεις 01 – 06)

• Βασικά στοιχεία κυκλωμάτων (αντιστάσεις, πήγες)• Τάση, ρεύμα, ισχύς και ο νόμος του Ohm• Τοπολογίες (κλάδοι, κόμβοι, βρόχοι κτλ.)• Οι νόμοι του Kirchhoff (τάση και ρεύμα)• Αντιστάσεις σε σειρά και παράλληλα• Διαίρεση τάσης και ρεύματος• Πραγματικές πηγές και μετασχηματισμό πηγών• Κομβική ανάλυση• Ανάλυση πλεγμάτων• Επαλληλία και τα θεωρήματα Thevenin και Norton

2

Μέρος Β

- Μεταβατική Ανάλυση (Τransient Analysis)(Διαλέξεις 07 – 09)

• Πηνία και πυκνωτές (L & C)

• Κυκλώματα πρώτης τάξης (RL & RC)

• Κυκλώματα δεύτερης τάξης (RLC)

• Φυσική απόκριση

• Βηματική απόκριση

3

Μέρος Γ

Ημιτονοειδής ανάλυση στην σταθερή κατάσταση

(Sinusoidal analysis in the steady-state)

• Tο ημιτονοειδές σήμα

• Εναλλασσόμενο ρεύμα

• Φάσορες

• Σύνθετη αντίσταση και σύνθετη αγωγιμότητα

• Συντονισμός

• Ηλεκτρική ισχύς κυκλωμάτων εναλλασσόμενου

ρεύματος

4

5

+

-

VA

Πηγή τάσης DC

Σταθερή τάση

+

-

Πηγή τάσης ΑC

Προσδιορίζουμε το

πλάτος και τη

συχνότητα της τάσης.

Συνεχές ρεύμα - εναλλασσόμενο ρεύμα

Direct current (DC) – alternating current (AC)

Και οι δύο πηγές είναι σημαντικές (για

διάφορους λόγους, ανάλογα με την

εφαρμογή)

6Copyright Wendell Dalit http://www.youtube.com/watch?v=iEJNJ0rFSe8

7

Γενικά, δεν έχει σημασία αν χρησιμοποιείτε το ημίτονο ή συνημίτονο για την πηγή -

και οι δύο συναρτήσεις είναι αρμονικές. Η μόνη διαφορά είναι η φάση.

( ) ( )tt ωω sin90cos 0 =−

Το ημιτονοειδές σήμα

( ) ( ) ( ) φωφωφω sinsincoscoscos ttt −=+

( ) ( ) ( ) φωφωφω sincoscossinsin ttt +=+

8

φ

( ) ( )φω += tVtv pk cos

t

pkVpkpkpk VV 2=−

2pk

rms

VV =

Τάση

κορυφής

Τάση από

κορυφή σε

κορυφή

fT

ππω 22 ==γωνιακή συχνότητα

( )tVpk ωcos

μετατόπιση φάσης (phase shift)

T περίοδος

9

Όταν παίρνουμε το παράγωγο ενός ημιτονοειδούς σήματος, το αποτέλεσμα είναι επίσης

ένα ημιτονοειδές σήμα. Σε κυκλώματα, αυτό είναι σημαντικό επειδή έχουμε πηνία και

πυκνωτές.

( ) ( )φω += tVtv cos0

( )dt

dvCti =v

+

-

i

v

+

- i

L

( )dt

diLtv =

( ) ( )φω += tIti cos0

( ) ( )φωω +−= tCVti sin0

( ) ( )φωω +−= tLItv sin0

10

Η ημιτονοειδής συνάρτηση είναι πολύ σημαντική στον τομέα της ηλεκτρολογίας για

πολλούς λόγους.

Γεννήτρια AC. Περιστροφή του

αγωγού μέσω του μαγνητικού

πεδίου είναι ένα παράδειγμα

απλής αρμονικής κίνησης. Αυτό

οδηγεί σε μια ημιτονοειδή τάση.

Παράδειγμα: Τριφασική γεννήτρια

1. Ηλεκτρική ισχύ

11

Οι περιοδικές κυματομορφές μπορούν να εκφραστούν με τη σειρά Fourier

Για παράδειγμα, ένα

τετραγωνικό κύμα

μπορεί να γραφτεί ως

το άθροισμα των

ημιτονοειδών

κυμάτων τα οποία

είναι περιττά

πολλαπλάσιά της

θεμελιώδους

συχνότητας

2. Τηλεπικοινωνίες και επεξεργασία σημάτων

12

vS(t)

+

-

L

i

R

Παράδειγμα – Κύκλωμα RL (σειρά)

( )tVtvS ωcos)( 0=

Ο διακόπτης κλείνει όταν 0=t

Είδαμε στο προηγούμενο μάθημα ότι η πλήρης λύση είναι

( ) ( )

++

+=

−φωφ

ωte

LR

Vti L

Rt

coscos222

0

μεταβατικό μέρος

(transient component)

σταθερή κατάσταση

(steady state)

( )φω +=+ tVRidt

diL m cos

13

Είναι σημαντικό να αναφερθούν τα ακόλουθα χαρακτηριστικά για τη λύση σταθερής

κατάστασης:

1. Και η λύση σταθερής κατάστασης είναι ημιτονοειδής συνάρτηση

2. Η συχνότητα του σήματος απόκρισης (output signal) είναι ίδια με τη συχνότητα

του σήματος πηγής.

3. Το μέγιστο πλάτος (εύρος) της σταθερής κατάστασης (steady state response)

γενικά διαφέρει του εύρους της πηγής.

4. Η γωνία φάσης του σήματος εξόδου (output signal), γενικά, διαφέρει από τη

γωνία φάσης της πηγής.

( ) ( )φωω

++

= tLR

Vti cos

222

0

−= −

R

Lωφ 1tan

Στη σταθερή κατάσταση, έχουμε

14

Σε ένα γραμμικό σύστημα στη σταθερή κατάσταση και με ημιτονοειδής διέγερση,

όλα τα σήματα θα είναι ημιτονοειδείς και θα έχουν την ίδια συχνότητα με τη

διέγερση, με την μόνη διαφορά να είναι ότι η φάση και το πλάτος να είναι

διαφορετικά από τη διέγερση.

Γραμμικό

κύκλωμα

σήμα εισόδου σήμα εξόδου

• Η φάση του σήματος εξόδου μετατοπίζεται

σε σχέση με εκείνη του σήματος εισόδου.

• Το πλάτος του σήματος εξόδου είναι

διαφορετικό από εκείνο της εισόδου.

15

Όπως γνωρίζουμε, γραμμικά κυκλώματα ικανοποιούν την αρχή της επαλληλίας. Αυτό

είναι χρήσιμο για την ανάλυση της απόκρισης ενός κυκλώματος σε δύο διαφορετικά

σήματα.

Γραμμικό

κύκλωμα

Γραμμικό

κύκλωμα

Γραμμικό

κύκλωμα+ +

16

Εάν ενδιαφερόμαστε μόνο με τη λύση της σταθερής κατάστασης, θεωρούμε ότι

μπορούμε να εκφράσουμε όλα τα χρονικά μεταβαλλόμενα σήματα με την χρήση

μιγαδικών αριθμών (phasors). Αυτό σημαίνει ότι αντί των διαφορικών εξισώσεων,

μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αλγεβρικές εξισώσεις.

Ανάλυση με τη χρήση των μιγαδικών αριθμών

ωjdt

d ↔

( )n

n

n

jdt

d ω↔

( ) xejdt

xdxjej

dt

dxex tjtjtj 22

2

2

ωωωω ωωω −=====

Η διαφοροποίηση είναι ισοδύναμη με

πολλαπλασιασμό με το jω.

17

( )( )( )tj

tj

S

e

eV

tVtv

ω

ω

ω

VRe

Re

cos)(

0

0

=

=

=

vS(t)+

-

L

i

R

( )( )( )

( )( )tj

tjj

tj

e

eeI

eI

tIti

ω

ωφ

φω

φω

IRe

Re

Re

cos)(

0

0

0

=

=

=

+=+

( )

( )tj

tj

tj

ej

edt

d

edt

d

dt

di

ω

ω

ω

ω I

I

I

Re

Re

Re

=

=

=

V φάσορα

τάσης

φάσορα

ρεύματος I

18

Οι μιγαδικοί αριθμοί μπορούν να γραφτούν σε πολική μορφή

tje ωΟ μιγαδικός αριθμός έχει μέτρο 1 και γωνία tωΆρα είναι διάνυσμα που περιστρέφεται αριστερόστροφα με γωνιακή συχνότητα ω

tjte tj ωωω sincos +=

Συνεπώς, μια σύνθετη τάση V exp(jωt) (ή σύνθετο ρεύμα I exp(jωt) ) θα

περιστρέφεται αριστερόστροφα στο μιγαδικό επίπεδο. Συνήθως, υποθέτουμε ότι

γνωρίζουμε τη συχνότητα, και έτσι αγνοούμε την περιστροφή του διανύσματος.

Επίσης, ο όρος exp(jωt) είναι κοινός σε όλους τους μεταβλητές στη σταθερή

κατάσταση, και έτσι δεν το χρησιμοποιούμε στις πράξεις.

19

vS(t)+

-

L

i

R

dt

diLtRitvS += )()(

( ) ( ) ( )( )( )tj

tjtjtj

eLjR

LejReeω

ωωω

ωω

I

IIV

+=+=

Re

.Re.ReRe

( ) IIV ZLjR =+= ω20

σύνθετη αντίσταση

impedance

ZIV = YVI =

σύνθετη αγωγιμότητα

admittance

jXRZ +=

YZ

1=

αντίσταση

resistance

jBGY +=

=R

αντίδραση

reactance=X

αγωγιμότητα

conductance=G

ενδοτικότητα

susceptance=B

Μονάδες: ohm (Ω) Μονάδες: siemen (S)

Υπενθύμιση. Οι έννοιες αυτές εφαρμόζονται μόνο για τη σταθερή κατάσταση

και ημιτονοειδές σήματα

21

vS(t)+

-

L

i R +

-

V I LjRZ ω+=

LjR ω+= V

I

222

0

LR

V

LjRLjR ωωω +=

+=

+=

VVI

( )

−=+∠−∠=+

∠=∠ −

R

LLjR

LjR

ωωω

1tan0VV

I

( )

−+

== −

R

Lt

LR

Veti mtj ωω

ωω 1

222tancosRe)( I

22

Διανυσματικό διάγραμμα (διάγραμμα φάσορα)

Re

Im

LjR ω+= V

I

V

Re

Im

R

Ljω

Επίπεδο της σύνθετης αντίστασης

0V=V

LjRZ ω+=

23

Re

Im

R

V0

0=ω∞→ω

LR /=ω

222

0

LR

V

ω+=I

−= −

R

Lω1tanarg I

Ο φάσορας του ρεύματος έχει εξάρτηση με την συχνότητα Σύνθετη αντίσταση των παθητικών στοιχείων

24

Το πηνίο

vS(t)

+

-

L

i

dt

diLtvS =)(

( )

( )tj

tj

tj

ej

edt

d

edt

d

dt

di

ω

ω

ω

ω I

I

I

Re

Re

Re

=

=

=

( )( )( )tj

tj

S

e

eV

tVtv

ω

ω

ω

VRe

Re

cos)(

0

0

=

=

=

( ) ( ) ( )tjtjtj eLjLeje ωωω ωω IIV Re.ReRe ==

IV Ljω=

25

Η σύνθετη αντίσταση του πηνίου είναι LjZ ω=090∠= LZ ω

900

Re

Im

I

V

Re

Im

IV Ljω=

090+∠=∠ IV

Voltage leads current

26

Ο πυκνωτής

vS(t)

+

-

C

i

dt

dvCti S=)(

Με την αντικατάσταση της σύνθετης τάσης και ρεύμα έχουμε:

VI Cjω=

CjωI

V =∴

27

C

j

CjZ

ωω−== 1

Η σύνθετη αντίσταση του πυκνωτή είναι

900

0901 −∠=C

Zω

Re

Im

IVCjω

1= 090−∠=∠ IV

I

V

Re

Im

Current leads

voltage

28

Η αντίσταση

vS(t)

+

-

R

iiRtvS =)(

RIV =

RZ =

GRZY === /1/1

IV

Re

Im

Η τάση και το

ρεύμα έχουν

την ίδια φάση

29

RiRv =

C

Ldt

diLv =

dt

dvCi =

RZ =

LjZ ω=

CjZ

ω1=

0→ω

0→ω

0→ω

RZ = RZ =

0=Z

S/C

∞→Z

∞→Z

S/C

O/C

O/C

0→Z

∞→ω

∞→ω

∞→ω

30

Σημαντικό: Η ανάλυση εναλλασσώμενων κυκλωμάτων χρησιμοποιώντας φάσορες

(phasors) είναι παρόμοια με την ανάλυση σταθερών κυκλωμάτων (DC) και έτσι όλα

τα θεωρήματα και τεχνικές που μάθαμε μέχρι τώρα όπως (θεώρημα Thevenin,

Norton, επαλληλία και ανάλυση πλέγματος) μπορούν να εφαρμοστούν όμως

χρησιμοποιώντας τους φάσορες τάσης και ρεύματος (phasor voltages and phasor

currents) και τις σύνθετες αντιστάσεις αντί τις αντιστάσεις.

v

+

-

i

R

iRv =V

+

-

I

ZZIV =

ACDC

Ανάλυση των κυκλωμάτων εναλλασσόμενου ρεύματος

31

ACDCR

iRv = vGi =

Z

ZIV = YVI =

i1i2

i3

i4

i5iN

i6

∑=

=N

nni

1

0

KCL

Ohm’s

law

+

+

+-

-

-

v2

v3v1 ∑

=

=N

nnv

1

0

+ -vn

KVL

∑=

=N

nnx

1

0

( )( )[ ]tj

tXx nn

ωφω

expRe

cos

nX=+=

KVLfor

KCLfor

nn

nn

vx

ix

==

32

Re

Im

X1

X2

X3

X4

0=+++ 4321 XXXX

Άθροισμα όλων των φάσορων

33

( )

( )[ ]

( )

( )

( )( )t

tj

tj

tj

tj

tXx

N

n

N

n

N

n

N

nn

N

nn

∀==

=

=

=

+=

∑

∑

∑

∑∑

=

=

=

==

0

expRe

expRe

expRe

expRe

cos

1

1

1

11

X

X

X

X

n

n

n

ω

ω

ω

ω

φωψj

N

n

xe==∑=1

nXX

Άθροισμα όλων των φάσορων

( )( )( )( )

t

tjx

tj

∀=+=

0

expRe

expRe

ψωω X

Άθροισμα όλων των τάσεων (ή ρευμάτων)

( ) ttj ∀≠+ 0exp ψω

01

==∴ ∑=

N

nnXX

34

Ο νόμος ρεύματος του Kirchhoff για κυκλώματα AC

I1I2

I3

I4

I5 IN

I6

01

=∑=

N

nnI

Άθροισμα όλων των φάσορων

Το άθροισμα όλων των φάσορων ρεύματος σε

οποιοδήποτε κόμβο σε ένα κύκλωμα είναι ίσο

με το μηδέν.

35

Ο νόμος τάσης του Kirchhoff για κυκλώματα AC

01

=∑=

N

nnV

Άθροισμα όλων των φάσορων

Το άθροισμα όλων των φάσορων τάσης σε

οποιοδήποτε βρόχο σε ένα κύκλωμα είναι ίσο

με το μηδέν.

+

+

+

+

-

-

-

-

V1

V2

V3

V4

04321 =+++ VVVV

36

Παραδείγματα - Στοιχεία σε σειρά και παράλληλα

Z1

Y1 Y2

Z2 ZN

∑=

=N

nnTOTAL ZZ

1

YN ∑=

=N

nnTOTAL YY

1

37

Παραδείγματα - Διαίρεση τάσης και διαίρεση ρεύματος

VS

Z1

Z2

+

-

S2 VV21

2

ZZ

Z

+=

Z1 Z2

IX

XX2 III21

1

21

2

ZZ

Z

YY

Y

+=

+=

38

Παράδειγμα – Κομβική ανάλυση

VS

Z1

Z2

+ Z3

Χ

-

000

321

=−+−+−ZZZ

XXXS VVVV

39

Παράδειγμα – Ανάλυση πλεγμάτων

VS

Z1

Z2

+

Z3

-

( ) 21 ZZ 211S IIIV −+=

Ι1Ι2

( ) 0321 =+− ZZ 22 III