gkalios.blogspot.com

Γιώργος Γκάλιος

166

8.2 H ΠΕΡΙΟ∆ΟΣ ΤΟΥ ΑΠΛΟΥ ΕΚΚΡΕΜΟΥΣ

Στην ερίτωση ου o5θ < , το µήκος τόξου ου διανύει η µάζα του εκκρεµούς µορεί να ροσεγγιστεί µε το µήκος της αντίστοιχης χορδής και να θεωρήσουµε ότι η κίνησή της γίνεται σε ευθεία γραµµή. Τότε η δύναµη εαναφοράς γράφεται

mg

F mgsin x DxΣ = − θ ≈ − = −l

(µε D mg= l )

διότι x

sinθ ≈l

, όταν 1θ , όου x η αόσταση αό τη θέση ισορροίας. Η

ιδιοερίοδος ου υολογίζεται µε τον τρόο αυτό είναι άλι

0

mT 2 2

D g= π = π

l

Πολλές φορές η αραάνω ανάλυση οδηγεί στο εσφαλµένο συµέρασµα ότι η εξίσωση της εριόδου ισχύει µε αµελητέο σφάλµα µόνον όταν η

γωνία είναι 5oθ < . Θα δούµε στη συνέχεια όου υολογίζεται η ακριβής ερίοδος του αλού εκκρεµούς ότι αυτό δεν είναι αληθές. Το σφάλµα είναι ολύ µικρό ακόµη και για γωνία 30ο . Αλά στην ερίτωση ολύ µικρής γωνίας µορούµε να θεωρούµε ότι η κίνηση της µάζας είναι ευθύγραµµη.

Η ερίοδος ου υολογίζεται αό την εξίσωση = πl

0T 2

g, φαίνεται ότι είναι

ανεξάρτητη αό την αρχική γωνία θ0

, γεγονός ου δεν είναι αληθές. Στη

συνέχεια θα ροσδιοριστεί η ακριβής έκφραση της εριόδου του εκκρεµούς

συναρτήσει της γωνίας θ0

και θα υολογιστεί η αόκλιση αό την

ροσέγγιση της αρµονικής ταλάντωσης. Η διαφορική εξίσωση της κίνησης του εκκρεµούς ου βρέθηκε στην ροηγούµενη αράγραφο είναι:

′′θ + θ =l

g(t) sin (t) 0

Πριν καταλήξουµε στην τελική µορφή είχαµε την ισοδύναµη µορφή

ω+ θ =l

d gsin 0

dt ή ( ) sin ( )

gt tω θ′ = −

l (8.4)

Χωρίς να ειλυθεί η αρχική διαφορική εξίσωση θα υολογίσουµε* µε αευθείας ολοκλήρωση της εξ. (8.4) την ερίοδο του εκκρεµούς για

οοιαδήοτε αρχική γωνία θ0

. Η γωνιακή ειτάχυνση γράφεται:

ω ω θ ω′ω = = = ω

θ θ

d d d d

dt d dt d

* Στην §8.2.7 περιγράφεται µια γενικότερη µέθοδος υπολογισµού της περιόδου που µπορεί να

εφαρµοστεί σε οποιοδήποτε είδος τροχιάς του σωµατιδίου (πέραν της κυκλικής).

gkalios.blogspot.com

Γιώργος Γκάλιος

167

και η εξ.(8.4) γίνεται: ω ⋅ ω = − θ θl

gd sin d ή ω ⋅ ω = − θ θ +∫ ∫

l

gd sin d C , οότε

ω

= θ +l

2 gcos C

2 (8.5)

Με αρχικές συνθήκες θ = θ

0(0) και ω =(0) 0 , ροσδιορίζεται η σταθερά C

= − θl

0

gC cos

Έτσι η εξ.(8.5) µεταίτει στην

ω = θ − θ0

2gcos cos

l (8.6)

Η εξ. (8.6) µορεί να ροκύψει ευκολότερα εφαρµόζοντας την αρχή διατήρησης της µηχανικής ενέργειας µεταξύ των θέσεων ου καθορίζουν η

αρχική γωνία θ0

και µια τυχαία γωνία θ > θ >0

0 . Έτσι ροκύτει

− θ = υ + − θl l2

0

1mg (1 cos ) m mg (1 cos )

2

Αντικαθιστώντας τη γραµµική ταχύτητα µε lυ ω= και µετά αό αλές

ράξεις φθάνουµε εύκολα στην

ω = θ − θl

0

2gcos cos .

Ας σηµειωθεί ότι για ≤ θ ≤ θ0

0 , ισχύει θ ≤ θ ≤0

cos cos 1. Εφόσον η γωνία

µειώνεται ξεκινώντας αό την τιµή θ0

, ο ρυθµός µεταβολής της µέχρι το

εκκρεµές να φτάσει στην θέση ισορροίας θα είναι αρνητικός, οότε

αντικαθιστώντας στην εξ.(8.6) την γωνιακή ταχύτητα µε θ

ω = −d

dt, έχουµε:

θ

− = θ − θl

0

d 2gcos cos

dt (8.7)

Ο χρόνος ου ααιτείται για να φτάσει το εκκρεµές αό την γωνία θ = θ

0 έως

την θέση ισορροίας θ = 0 , είναι το ένα τέταρτο της εριόδου. Συνεώς αν χωρίσουµε τις µεταβλητές στην εξ.(8.7) µορούµε να ολοκληρώσουµε ως εξής:

0

T 04

0 0

ddt

2g cos cosθ

θ= −

θ − θ∫ ∫l0

0 0

dT 4

2g cos cos

θθ

⇒ =θ − θ∫l

gkalios.blogspot.com

Γιώργος Γκάλιος

168

Χρησιµοοιώντας την τριγωνοµετρική ταυτότητα θ

θ = − 2cos 1 2sin2

, η

τελευταία εξίσωση αίρνει την µορφή:

0

0 2 20

g dT 2

sin sin2 2

θθ

=θ θ−

∫l (8.8)

Θέτουµε: θ

= 0k sin2

και

θ θ= ⇒ θ =

1sin ksinu cos d kcosudu

2 2 2⇒ θ =

θ2kcosudu

d

cos2

⇒ θ =− 2 2

2kcosudud

1 k sin u.

Αντικαθιστώντας και αλλάζοντας τα όρια ολοκλήρωσης* στην εξ.(8.8)

φτάνουµε στην

22

2 20

2

0

du 2K(k )T 4 2

g g1 k sin u

ή 2K(k )

T T

π

= = ππ−

=π

∫l l

(8.9)†

όου το

2

2

2 20

duK(k )

1 k sin u

π

=−∫ µε

θ= 0k sin

2

είναι ένα λήρες ελλειτικό ολοκλήρωµα ρώτου είδους.

* για 0θ = προκύπτει sin 0 sink u= , οπότε 0u = και για 0θ θ= , 0sin sin2

k uθ

= και

δεδοµένου ότι 0sin2

kθ

= θα έχουµε 2

uπ

=

† παρατηρούµε ότι για 0k = , η ολοκλήρωση δίνει τον προσεγγιστικό τύπο της περιόδου

0 2l

Tg

π=

gkalios.blogspot.com

Γιώργος Γκάλιος

169

Πολλοί ισχυρίζονται ότι όταν δεν γνωρίζουµε ένα ολοκλήρωµα …. τότε το βαφτίζουµε µε ένα όνοµα και το θεωρούµε γνωστό. Ωστόσο θα δούµε στην εόµενη ενότητα ότι το ολοκλήρωµα αυτό είναι τόσο γνωστό όσο και οι

συναρτήσεις sinx , arctanx , xe κ.ο.κ. Μορούµε να ούµε ότι η εξίσωση (8.9) είναι και η τελική εξίσωση για την

ερίοδο του εκκρεµούς. Οι τιµές του ολοκληρώµατος ( )2K k εριέχονται είτε

σε ίνακες είτε σε υολογιστικά ρογράµµατα. Στο ρόγραµµα Mathematica

η εντολή υολογισµού του ολοκληρώµατος ( )2K k είναι

EllipticK ( )2k

Χρησιµοοιώντας το Mathematica µορούµε να υολογίσουµε τον λόγο

=π

2

0

T 2K(k )

T συναρτήσει της αρχικής γωνίας ταλάντωσης θ

0. Το αοτέλεσµα

φαίνεται στο σχήµα ου ακολουθεί.

0 20 40 60 80θ0 HdegL

1

1.025

1.05

1.075

1.1

1.125

1.15

1.175

TêTo

Σχήµα 1: Ο λόγος 2

0

2 ( )T K k

T π= της περιόδου του εκκρεµούς T προς την κλασική

προσεγγιστική έκφραση της περιόδου 0 2l

Tg

π= , συναρτήσει της αρχικής γωνίας

0θ .

Όταν χρησιµοοιούµε την ροσεγγιστική σχέση για την ερίοδο 0

T 2g

= πl

,

τότε η σχετική αόκλιση αό την ραγµατική ερίοδο T υολογίζεται αό την εξίσωση

0

2

T T1

T 2K(k )

− π= −

gkalios.blogspot.com

Γιώργος Γκάλιος

170

0 20 40 60 80

θ0HdegL

0

2.5

5

7.5

10

12.5

15

∆TêTH%L

Σχήµα 2: Η σχετική απόκλιση(%) από την πραγµατική περίοδο T όταν

χρησιµοποιούµε την προσεγγιστική σχέση για την περίοδο 0 2l

Tg

π= , συναρτήσει

της γωνίας πλάτους 0θ .

Πίνακας 1: Ενδεικτικές τιµές του λόγου 2

0

2 ( )T K k

T π= και της σχετικής απόκλισης

0 100%T T

T

−, µε 0 2

lT

gπ= .

0θ 0T T ( )%T T∆

10ο 1.00191 0.19

20ο 1.00767 0.76

30ο 1.01741 1.71

40ο 1.03134 3.04

50ο 1.04978 4.74

60ο 1.07318 6.82

90ο 1.18034 15.28

Παρατηρούµε ότι η εξίσωση 0 2l

Tg

π= ροσεγγίζει ικανοοιητικά την

ραγµατική ερίοδο και για αρκετά µεγάλες γωνίες 0θ . Έτσι, .χ. για αρχική

γωνία ταλάντωσης 0 30oθ = η σχετική % αόκλιση αό την ραγµατική

ερίοδο είναι µικρότερη του 2%.