GRAEVINSKI FAKULTET 13.2.2014.UNIVERZITETA U BEOGRADU

MATEMATIKA 3

1. Nai taqke na krunici x2 + 8x + y2 4y + 15 = 0 koje se nalaze na najmaem inajveem rastojau od koordinatnog poqetka.

2. Funkciju f(x) = x x2, 0 x razviti u sinusni Furijeov red. Koristei

se dobijenim razvojem sumirati redn=1

(1)n1

(2n 1)3.

3. Nai opxte rexee diferencijalne jednaqine

(ex + 1)y 2y exy = 0,

ako je poznato da je eno partikularno rexee oblika yp = aex + b, gde su a i brealni parametri.

4. Izraqunati zapreminu tela odreenog sistemom nejednakosti:

x2 + y2 + z2 1, (z 1)2 3x2 + 3y2.

GRAEVINSKI FAKULTET 12.7.2014.UNIVERZITETA U BEOGRADU

MATEMATIKA 3

1. Nai taqku na hiperboli 7x2 4y2 = 28 najbliu pravoj 2x+ y + 2 = 0.

2. Odrediti oblast konvergencije i sumu stepenog redan=1

(1)n+1x2n+1

4n2 1.

3. Nai opxte rexee diferencijalne jednaqine y + 4y = cosx+ sin2 x.

4. Nai integral

Szdxdy, gde je S spona strana elipsoida x2 + 2y2 + 3z2 = 1.

GRAEVINSKI FAKULTET 19.9.2014.UNIVERZITETA U BEOGRADU

MATEMATIKA 3

1. Data je funkcija u(x, y) = f(yx

), gde je f dva puta diferencijabilna funkcija.

Odrediti funkciju u ako vai

2u

x2+

2u

y2= 0, u(1, 0) = 0, u(1, 1) =

4.

2. Razviti funkciju f(x) = x 2x2 u kosinusni Furijeov red na [0, 1] i nacrtati

egov grafik. Zatim nai sume S1 =n=1

1

n2, S2 =

n=1

(1)n

n2.

3. Nai opxte rexee diferencijalne jednaqine

(2x+ 1)y 4(2x+ 1)y + 8y = 4 8x .

Zatim odrediti partikularno rexee koje zadovoava uslove y(1) = 1, y(1) = 0.

4. Nai zapreminu tela ograniqenog povrxima 2z = x2 + y2, (x2 + y2)2 = 2xy, z = 0.

GRAEVINSKI FAKULTET 27.9.2014.UNIVERZITETA U BEOGRADU

MATEMATIKA 3

1. Data je diferencijabilna funkcija u = u(x, y), gde je x = cos, y = sin.Izraqunati vrednost izraza:

xu

y yu

x.

2. Nai oblast konvergencije i sumu stepenog reda

n=0

n+ 3n

(2n)!!xn .

3. Nai opxte rexee diferencijalne jednaqine

x2y 2xy + (x2 + 2)y = x3ex

uvodei smenu y = xz(x).

4. a) Nai povrxinu oblasti D R2 odreene sistemom nejednakosti:

x2 + y2 1, x2 + y2 2y, x 0, y 0 .

b) Nai zapreminu i povrxinu omotaqa tela T definisanog nejednakostima:

x2 + y2 1, x2 + y2 2y, 0 z xy, x 0, y 0 .

GRAEVINSKI FAKULTET 30.1.2015.UNIVERZITETA U BEOGRADU

MATEMATIKA 3

1. Nai lokalne ekstremume funkcije u = xyz, ako je x y z = 2, x+ y z = 6.

2. Razviti funkciju

f(x) =

{2x, x 03x, 0 x

u Furijeov red i na osnovu toga izraqunati sumu redak=1

1

(2k 1)2.

3. Nai opxte rexee diferencijalne jednaqine

(1 + x2)2y + 2x(1 + x2)y + y = 1

uvodei novu nezavisno promenivu formulom x = tg t (/2 < t < /2).

4. Dat je elipsoid S :x2

a2+

y2

b2+

z2

c2= 1.

a) Izraqunati

T

z2dxdydz , po telu T :x2

a2+

y2

b2+

z2

c2 1, z 0.

b) Izraqunati

S+

dydz

x+

dxdz

y+

dxdy

z, po spoaxoj strani povrxi S.