Graad 11 Hoofstuk 5 Trigonomotrie _____________________________________________________________________________

Dag 50 - 18 Junie Hersiening van graad 10: Trigonometriese verhoudings

sin θ = y

r

cos θ = x

r

tan θ = y

x

sec 𝜃 = 1

cos 𝜃 =

𝑟

𝑥

cosec 𝜃 = 1

sin 𝜃 =

𝑟

𝑦

cot 𝜃 = 1

tan 𝜃 =

𝑥

𝑦

In graad 10 het jy dalk ook die volgende formules geleer:

sin θ = 𝑡

𝑠

cos θ = 𝑎

𝑠 𝑎 = 𝑥; 𝑡 = 𝑦; 𝑟 = 𝑠

tan θ = 𝑡

𝑎

Ons gaan van nou af slegs met 𝑥; 𝑦; 𝑟 werk.

Pyth: 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2

y

x O

θ y

r

x

A S

T C

0

II I

III IV

lle trig funksies + in +

an + os +

180o 0o 360o

270o

90o

Graad 11 Hoofstuk 5 Trigonometrie

Grey Kollege 2

Hersieningsvoorbeelde:

1. As sinθ = 3

5 en 0 270o o , bepaal die waarde van

a. sinθ + cosθ b. 2tanθ + 3cosθ

Oplossing.

2 2 2 x y r (Pyth Stelling) 2 2 2

2

2

( 3) 5

9 25

16

4

x

x

x

x

Slegs x = - 4

a. sinθ + cosθ

3 4

5 5

7

5

b. 2tanθ + 3cosθ

3 42 3

4 5

6 12

4 5

5(6) 4(12)

20

30 48

20

18

20

9

10

θ

P(x, -3)

y

x 0

Graad 11 Hoofstuk 5 Trigonometrie

Grey Kollege 3

Oefening 1 bl 105 no b, d, f

Graad 11 Hoofstuk 5 Trigonometrie

Grey Kollege 4

Dag 51 - 19 Junie

1. Reduksieformules

II 180o I (θ)

sin 180 sin

cos 180 cos

tan 180 tan

o

o

o

sin(360 ) sin

cos(360 ) cos

tan(360 ) tan

o

o

o

sin 180 sin

cos 180 cos

tan 180 tan

o

o

o

sin(360 ) sin

cos(360 ) cos

tan(360 ) tan

o

o

o

III 180o IV 360o

y

x

A S

T C

0

II I

III IV

lle trig funksies + in +

an + os +

180o 0o

360o

270o

90o

𝜃 180𝑜 − 𝜃

180𝑜 + 𝜃 360𝑜 − 𝜃

Graad 11 Hoofstuk 5 Trigonometrie

Grey Kollege 5

Voorbeelde Vereenvoudig:

1. tan(180𝑜+𝜃). sin(360𝑜−𝜃)

tan(360𝑜−𝜃)

=tan 𝜃.(− sin 𝜃)

−tan 𝜃

= sin 𝜃

2. 1 − tan2(360𝑜 − 𝜃)

= 1 − (− tan 𝜃)2 = 1 − tan2 𝜃

3. Skryf sin 312o as ‘n funksie van ‘n skerphoek.

sin 312

sin(360 48 )

sin 48

o

o o

o

Oefening 2 bl 108 no b, d, f, h

Vereenvoudig die volgende:

Graad 11 Hoofstuk 5 Trigonometrie

Grey Kollege 6

Dag 52 - 22Junie Negatiewe hoeke:

– hoeke is hoeke van die x – as in ‘n kloksgewyse rigting na OP, die eindstraal. OP = r eenhede. (die radius van die sirkel.).

sin(−𝑥) = − sin 𝑥 cos(−𝑥) = cos 𝑥 tan(−𝑥) = − tan 𝑥

360o

‘n Hoek groter as 360 o . Die hoek sal ‘n volle omwenteling van 360 o voltooi en verder roteer om die verlangde hoek te vorm.

sin(360 ) sin

cos(360 ) cos

tan(360 ) tan

o

o

o

Voorbeelde Skryf elk as ‘n funksiewaarde van slegs θ NB: (θ - 180o) is nie ‘n reduksieformule nie, tel net 360o by.

1) sin( 180 )

sin( 180 360 )

sin( 180 )

sin(180 )

sin

o

o o

o

o

1.2. sin( 360 )

sin( 360 360 )

sin

o

o o

y

x 0 - θ

P

Graad 11 Hoofstuk 5 Trigonometrie

Grey Kollege 7

3) tan( 180 )

tan( 180 360 )

tan( 180 )

tan(180 )

tan

o

o o

o

o

1.4. tan(360 )

tan(360 360 )

tan

o

o o

1.3. cos( 180 )

cos(180 )

cos

o

o

1.5

cos 400

cos(400 360 )

cos 40

o

o o

o

Voorbeeld 1. Skryf cos 140o as ‘n funksie waarde van ‘n skerphoek.

cos140

cos(180 40 )

cos 40

o

o o

o

Oefening 3 bl 111 no b, f, j, k, l, m

Vereenvoudig die volgende:

Graad 11 Hoofstuk 5 Trigonometrie

Grey Kollege 8

Dag 53 - 23 Junie Ko – funksies

sin ↔ cos sin(90𝑜 − 𝜃) = cos 𝜃 sin(90𝑜 + 𝜃) = cos 𝜃 cos (90𝑜 − 𝜃) = sin 𝜃 cos (90𝑜 + 𝜃) = − sin 𝜃 NB: 1. Wanneer die funksiewaarde van (180o – θ); (180o + θ); (360o + θ); (360o – θ) en (– θ) bepaal

word, verander die funksies nooit. 2. Wanneer die funksiewaarde van (90o – θ); (90o + θ) en (θ – 90o) bepaal word, verander die

funksie na die ko-funksie. 3. Vir (θ – 90o) (90o – θ)

bv. sin( 90 )

sin[ (90 )]

sin(90 )

cos

o

o

o

of cos( 90 )

cos[ (90 )] d.w.s. cos( )

cos(90 ) cos

sin

o

o

o

Voorbeeld:

1. sin(90𝑜+𝜃). sin(360𝑜−𝜃)

cos(90𝑜−𝜃).cos(360𝑜−𝜃)

=cos 𝜃.(− sin 𝜃)

sin 𝜃.cos 𝜃

= −1

Oefening 4 bl 114 no a) 2, 4, 6, b) 2, 3

Vereenvoudig die volgende: a)

b)

Graad 11 Hoofstuk 5 Trigonometrie

Grey Kollege 9

Dag 54 - 24 Junie Spesiale hoeke

Voorbeelde:

1. Bereken cos 120 o sonder die gebruik van ‘n sakrekenaar.

NB: cos(180 ) coso o o

cos120

cos(180 60 )

cos 60

1

2

o

o o

o

2. Bereken sonder die gebruik van ‘n sakrekenaar 2sin 300 cos 240 .tan 225o o o . Oplossing

2sin 300 cos 240 .tan 225

sin(360 60 ).sin(360 60 ) cos(180 60 ). tan(180 45 )

( sin 60 )( sin 60 ) ( cos60 )(tan 45 )

3 3 11

2 2 2

3 1

4 2

1

4

o o o

o o o o o o o o

o o o o

r = 2

O x

y

(√4; √0) = (2; 0)

(√3; √1) = (√3; 1)

(√2; √2)

(√1; √3) = (1; √3)

(√0; √4) = (0; 2)

0𝑜

30𝑜

45𝑜

60𝑜 90𝑜

45o

1

45o

1

30o

60o

1

2

Graad 11 Hoofstuk 5 Trigonometrie

Grey Kollege 10

Nog Voorbeelde

1) sin( 30 ) of sin( 30 )

sin( 30 360 ) sin 30

1sin 330

2

sin(360 30 )

sin 30

1

2

o o

o o o

o

o o

o

2) cos( 240 )

cos( 240 360 )

cos120

cos(180 60 )

cos60

3

2

o

o o

o

o o

o

of

cos( 240 )

cos 240

cos(180 60 )

( cos 60 )

3

2

o

o

o o

o

3) tan( 315 )

tan( 315 360 )

tan 45

1

o

o o

o

of

tan( 315 )

tan 315

tan(360 45 )

( tan 45 )

1

o

o

o o

o

Oefening 5 bl 118 no b, f, j, n Bereken sonder die gebruik van ‘n sakrekenaar