Generadores, Base y Dimensi n - Blog de ESPOL | blog.espol.edu.ec/daancres/files/2015/06/pres_...

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  • Generadores, Base y Dimension

    Prof. Derwis Rivas

    Apuntes del Postgrado en Ingeniera

    02 Junio 2008

    Derwis Rivas Algebra Lineal

  • Generadores

    Definicion (Combinacion Lineal)

    Dada una familia de vectores v1, v2, v3, ..., vn de un espaciovectorial V (k). Una expresion de la forma

    1v1 + 2v2 + + nvn

    donde 1, 2, 3, ..., n son escalares del cuerpo K es unacombinacion lineal de v1, v2, v3, ..., vn.Al vector v V tal que

    v = 1v1 + 2v2 + + nvn

    se llama vector combinacion lineal de los vectores v1, v2, v3, ...,vn.

    Derwis Rivas Algebra Lineal

  • Ejemplo

    En el espacio M(R)22 cualquier matriz(

    a bc d

    )

    es

    combinacion lineal de las matrices(

    1 00 0

    )

    ,

    (0 10 0

    )

    ,

    (0 01 0

    )

    ,

    (0 00 1

    )

    En efecto,(

    a bc d

    )

    = a(

    1 00 0

    )

    +b(

    0 10 0

    )

    +c(

    0 01 0

    )

    +d(

    0 00 1

    )

    Derwis Rivas Algebra Lineal

  • Ejemplo

    En el espacio de los polinomios Pn, cualquier polinomio sepuede escribir como combinacion lineal de los monomios 1, x,x2, x3, ..., xn.

    Ejemplo

    Encuentra los escalares 1 y 2 que permiten expresar elvector (2, 3) como combinacion lineal de los vectores (1, 3),(2, 5).

    Derwis Rivas Algebra Lineal

  • Definicion (Conjunto Generador)

    Se dice que los vectores v1, v2,...,vn en un espacio vectorialV (K ) generan a V si todo vector v en V se puede escribircomo combinacion lineal de los vectores v1, v2,...,vn. Es decir,si existen escalares 1, 2, 3,...,n tal que

    v = 1v1 + 2v2 + + nvn

    para todo vector v V .

    Derwis Rivas Algebra Lineal

  • Ejemplo

    El conjunto

    S ={(

    1 00 0

    )

    ,

    (0 10 0

    )

    ,

    (0 01 0

    )

    ,

    (0 00 1

    )}

    genera

    todo el espacio M(R)22. En efecto, toda matriz 2 2 seexpresa como combinacion lineal de ellos.

    Ejemplo

    El conjunto S = {1, x , x2, x3, ..., xn} genera al espacio Pn.

    Derwis Rivas Algebra Lineal

  • Ejemplo

    El conjunto de vectores S = {(1, 0), (0, 1), (1, 2), (3, 4)} generaal espacio IR2. En efecto, note que todo vector de IR2 se puedeexpresar como combinacion lineal de esta vectores:

    (a, b) = a(1, 0) + b(0, 1) + 0(1, 2) + 0(3, 4).

    Como puede verse no hay nada especial con los vectores(1, 2) y (3, 4). Estos vectores pueden ser reemplazados porcualquier par de vectores y el resultado sigue siendo valido.Mas aun, se pueden seguir agregando mas vectores alconjunto S y el resultado no vara siempre que cada escalarque sea multiplo de el sea cero.

    Derwis Rivas Algebra Lineal

  • El siguiente teorema es un metodo para encontrar subespaciosde un espacio vectorial V .

    Definicion (Espacio generado)

    Sean los vectores v1, v2,...,vk en un espacio vectorial V (K ). Elespacio generado por S = {v1, v2, ..., vk} es el conjunto decombinaciones lineales de v1, v2,...,vk . Es decir,

    gen{v1, v2, ..., vk} = {v V : v = 1v1 + 2v2 + + kvk}

    Derwis Rivas Algebra Lineal

  • Ejemplo

    Los monomios 1, x, x2 generan el subespacio de polinomiosde grado menor o igual a 2. Esto es:

    gen = {1, x , x2} = {p(x) : p(x) = a0 + a1x + a2x2} = P2

    Notese que los escalares son a0, a1, a2. Hemos usado estanotacion por la costumbre de denotar polinomios de estaforma. Claramente, este conjunto no es el unico conjunto quegenera a P2. Por ejemplo, el conjunto {1, x , x2, x3, x4} tambiengenera a P2. En efecto, cualquier polinomio de grado 2 sepuede expresar de la forma:

    p(x) = a0 + a1x + a2x2 + 0x3 + 0x4.

    En los ejemplos anteriores se aprecia que el conjunto degeneradores de un subespacio no es unico.

    Derwis Rivas Algebra Lineal

  • Independencia Lineal

    Definicion (Dependencia e independencia lineal)

    Consideremos una coleccion de n vectores en un espaciovectorial V : v1, v2, ..., vn. Se dice que los vectores sonlinealmente independiente o constituyen un conjuntolinealmente independiente si para toda combinacion lineal

    1v1 + 2v2 + + nvn = 0

    se tiene que 1 = 2 = ... = n = 0. Si los vectores no sonlinealmente independientes se dice que son linealmentedependientes

    Ejemplo

    Un vector v no nulo v 6= 0 en V (K ) es siempre linealmenteindependiente. En efecto,

    v = 0 = 0Derwis Rivas Algebra Lineal

  • El siguiente teorema nos dice cuando dos vectores sonlinealmente dependientes

    Teorema

    Dos vectores en un espacio vectorial son linealmentedependientes si y solo si uno es multiplo escalar del otro. Esdecir, dos vectores u, v son linealmente dependientes si, y solosi existe un escalar tal que u = v.

    Ejemplo

    Los vectores(

    2 34 1

    )

    y(

    1 3/22 1/2

    )

    son linealmente

    dependientes.

    Derwis Rivas Algebra Lineal

  • Teorema (Soluciones de un sistema lineal homogeneo)

    1 Un sistema lineal homogeneo tiene unicamente la soluciontrivial si el rango de la matriz asociada al sistema es mayoro igual al numero de incognitas.

    2 Un sistema lineal homogeneo tiene varias soluciones,aparte de la solucion trivial, si el rango de la matriz esmenor que el numero de incognitas.

    Derwis Rivas Algebra Lineal

  • Ejemplo

    Demuestra que los vectores (1, 3) y (3, 4) son linealmenteindependientes.

    Ejemplo

    Demuestra que los vectores (1, 4), (3,2) y (1, 3) sonlinealmente dependientes.

    Ejemplo

    Demuestra que los vectores(

    1 31 2

    )

    ,(

    2 11 1

    )

    y(

    3 12 1

    )

    son linealmente independientes.

    Derwis Rivas Algebra Lineal

  • Ejemplo

    Demuestra que los vectores 1, x, x2 y x3 son linealmentedependientes.

    Ejemplo

    Demuestra que los vectores x 2x2, x2 4x, 7x + 8x2 sonlinealmente dependientes.

    Derwis Rivas Algebra Lineal

  • Base y Dimension

    Definicion (Base y Dimension)

    Un subconjunto B = {v1, v2, ..., vn} de un espacio vectorial Ves una base de V si

    1 v1, v2, ..., vn es una coleccion de vectores linealmenteindependientes

    2 gen{v1, v2, ..., vn} = V .

    En este caso se dice que V es un espacio de dimension n y sedenota dim(V ) = n. A estos espacios se les llama espacios dedimension finita. Un espacio vectorial que no tenga una basede dimension finita se les llama espacio de dimension infinita.La dimension del espacio vectorial cero es cero (a pesar deque el espacio vectorial cero no tiene base).

    Derwis Rivas Algebra Lineal

  • Ejemplo

    El conjunto B = {(1, 0), (0, 1)} es una base para el espacio R2

    y se llama la base estandar de IR2. Lo que significa quedim(IR2) = 2.

    Ejemplo

    El conjunto B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0,0,1)} es una base para elespacio R2 y se llama la base estandar de IR3. Lo que significaque dim(IR3) = 3.

    Ejemplo

    En general, el conjunto B = {e1, e2, ..., en} donde cada

    ej = (0, 0, ..., 0, 1j

    , 0, ..., 0, 0)

    para j = 1, ..., n. Es la base estandar de IRn Lo que significaque dim(IRn) = n.

    Derwis Rivas Algebra Lineal

  • Ejemplo

    El conjunto B = 1, x , x2, x3, ..., xn es la base estandar de Pn.De modo que dim(Pn) = n + 1. En particular el espacio P3 esgenerado por {1, x , x2, x3} de modo que dim(P3) = 4, elespacio P2 es generado por {1, x , x2} de modo quedim(P2) = 3.

    Ejemplo

    Consideremos las matrices Eij ={

    1, en la posicion ij ;0, en otro lado.

    . El

    conjunto B = {E11, E12, E13, ..., Emn} es la base estandar delespacio M(K )mn. Lo que significa que dim(M(K )mn) = mn.

    Derwis Rivas Algebra Lineal

  • Ejemplo

    El espacio de los polinomios de cualquier grado es un espaciode dimension infinita.

    Ejemplo

    El espacio de las funciones continuas es un espacio dedimension infinita.

    Ejemplo

    El espacio de las funciones continuas con derivadas continuasde primer orden es un espacio de dimension infinita.

    Derwis Rivas Algebra Lineal

  • Ademas de las bases estandar un espacio vectorial puedetener muchas otras bases.

    Ejemplo

    Demuestre que los vectores (1, 2) y (3, 2) constituyen una basepara IR2.

    Ejemplo

    Demuestre que el conjunto A = {1 + x ,1 + x , x2} constituyenuna base para P2.

    Observacion

    En estos Ejemplos hemos presentados dos bases distintas quegeneran a los espacios IR2 y P2 respectivamente. Notese queambas bases tienen la misma cantidad de vectores que lasbases estandar. Esto no es casualidad, esto es consecuenciadel siguiente teorema.

    Derwis Rivas Algebra Lineal

  • Teorema

    Si un espacio vectorial V tiene una base con n elementos (loque es igual a decir que dim(V ) = n), entonces cualquier otrabase de V tambien tiene n elementos.

    Ejemplo

    El conjunto {1, x + 1, x2 + 2x} puede ser una base para P3?

    Derwis Rivas Algebra Lineal

  • El siguiente teorema determina el numero de vectoreslinealmente independientes en un espacio vectorial dedimension finita.

    Teorema

    Un conjunto de n vectores en un espacio V de dimension m eslinealmente dependiente si n > m.

    Como consecuencia de este teorema tenemos el siguientecorolario

    Corolario

    Un conjunto de n vectores en un espacio de dimension nconstituye una base para V si ellos son linealmenteindependientes.

    Ejemplo

    Los vectores (1, 2, 3), (2,1, 3) y (1, 3,2) constituyen unabase para IR3?

    Derwis Rivas Algebra Lineal

  • Teorema

    Sean V un espacio vectorial de dimension n, S un subconjuntode k < n vectores de V y W el subespacio de V generado porS. Si S es linealmente independiente entonces S es una basepara W y dim(W ) < dim(V ).