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Generadores, Base y Dimensi´ on Prof. Derwis Rivas Apuntes del Postgrado en Ingenier´ ıa 02 Junio 2008 Derwis Rivas Algebra Lineal
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Generadores, Base y Dimension
Prof. Derwis Rivas
Apuntes del Postgrado en Ingenierıa
02 Junio 2008
Derwis Rivas Algebra Lineal
Generadores
Definicion (Combinacion Lineal)
Dada una familia de vectores v1, v2, v3, ..., vn de un espaciovectorial V (k). Una expresion de la forma
α1v1 + α2v2 + · · · + αnvn
donde α1, α2, α3, ..., αn son escalares del cuerpo K es unacombinacion lineal de v1, v2, v3, ..., vn.Al vector v ∈ V tal que
v = α1v1 + α2v2 + · · · + αnvn
se llama vector combinacion lineal de los vectores v1, v2, v3, ...,vn.
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Ejemplo
En el espacio M(R)2×2 cualquier matriz(
a bc d
)
es
combinacion lineal de las matrices(
1 00 0
)
,
(0 10 0
)
,
(0 01 0
)
,
(0 00 1
)
En efecto,(
a bc d
)
= a(
1 00 0
)
+b(
0 10 0
)
+c(
0 01 0
)
+d(
0 00 1
)
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Ejemplo
En el espacio de los polinomios Pn, cualquier polinomio sepuede escribir como combinacion lineal de los monomios 1, x,x2, x3, ..., xn.
Ejemplo
Encuentra los escalares α1 y α2 que permiten expresar elvector (2, 3) como combinacion lineal de los vectores (1, 3),(2, 5).
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Definicion (Conjunto Generador)
Se dice que los vectores v1, v2,...,vn en un espacio vectorialV (K ) generan a V si todo vector v en V se puede escribircomo combinacion lineal de los vectores v1, v2,...,vn. Es decir,si existen escalares α1, α2, α3,...,αn tal que
v = α1v1 + α2v2 + · · · + αnvn
para todo vector v ∈ V .
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Ejemplo
El conjunto
S =
{(1 00 0
)
,
(0 10 0
)
,
(0 01 0
)
,
(0 00 1
)}
genera
todo el espacio M(R)2×2. En efecto, toda matriz 2 × 2 seexpresa como combinacion lineal de ellos.
Ejemplo
El conjunto S = {1, x , x2, x3, ..., xn} genera al espacio Pn.
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Ejemplo
El conjunto de vectores S = {(1, 0), (0, 1), (1, 2), (3, 4)} generaal espacio IR2. En efecto, note que todo vector de IR2 se puedeexpresar como combinacion lineal de esta vectores:
(a, b) = a(1, 0) + b(0, 1) + 0(1, 2) + 0(3, 4).
Como puede verse no hay nada especial con los vectores(1, 2) y (3, 4). Estos vectores pueden ser reemplazados porcualquier par de vectores y el resultado sigue siendo valido.Mas aun, se pueden seguir agregando mas vectores alconjunto S y el resultado no varıa siempre que cada escalarque sea multiplo de el sea cero.
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El siguiente teorema es un metodo para encontrar subespaciosde un espacio vectorial V .
Definicion (Espacio generado)
Sean los vectores v1, v2,...,vk en un espacio vectorial V (K ). Elespacio generado por S = {v1, v2, ..., vk} es el conjunto decombinaciones lineales de v1, v2,...,vk . Es decir,
gen{v1, v2, ..., vk} = {v ∈ V : v = α1v1 + α2v2 + · · · + αkvk}
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Ejemplo
Los monomios 1, x, x2 generan el subespacio de polinomiosde grado menor o igual a 2. Esto es:
gen = {1, x , x2} = {p(x) : p(x) = a0 + a1x + a2x2} = P2
Notese que los escalares son a0, a1, a2. Hemos usado estanotacion por la costumbre de denotar polinomios de estaforma. Claramente, este conjunto no es el unico conjunto quegenera a P2. Por ejemplo, el conjunto {1, x , x2, x3, x4} tambiengenera a P2. En efecto, cualquier polinomio de grado 2 sepuede expresar de la forma:
p(x) = a0 + a1x + a2x2 + 0x3 + 0x4.
En los ejemplos anteriores se aprecia que el conjunto degeneradores de un subespacio no es unico.
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Independencia Lineal
Definicion (Dependencia e independencia lineal)
Consideremos una coleccion de n vectores en un espaciovectorial V : v1, v2, ..., vn. Se dice que los vectores sonlinealmente independiente o constituyen un conjuntolinealmente independiente si para toda combinacion lineal
α1v1 + α2v2 + · · · + αnvn = 0
se tiene que α1 = α2 = ... = αn = 0. Si los vectores no sonlinealmente independientes se dice que son linealmentedependientes
Ejemplo
Un vector v no nulo v 6= 0 en V (K ) es siempre linealmenteindependiente. En efecto,
αv = 0 ⇒ α = 0Derwis Rivas Algebra Lineal
El siguiente teorema nos dice cuando dos vectores sonlinealmente dependientes
Teorema
Dos vectores en un espacio vectorial son linealmentedependientes si y solo si uno es multiplo escalar del otro. Esdecir, dos vectores u, v son linealmente dependientes si, y solosi existe un escalar α tal que u = αv.
Ejemplo
Los vectores(
2 3−4 1
)
y(
1 3/2−2 1/2
)
son linealmente
dependientes.
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Teorema (Soluciones de un sistema lineal homogeneo)
1 Un sistema lineal homogeneo tiene unicamente la soluciontrivial si el rango de la matriz asociada al sistema es mayoro igual al numero de incognitas.
2 Un sistema lineal homogeneo tiene varias soluciones,aparte de la solucion trivial, si el rango de la matriz esmenor que el numero de incognitas.
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Ejemplo
Demuestra que los vectores (1, 3) y (3, 4) son linealmenteindependientes.
Ejemplo
Demuestra que los vectores (1, 4), (3,−2) y (−1, 3) sonlinealmente dependientes.
Ejemplo
Demuestra que los vectores(
1 3−1 2
)
,(
2 11 1
)
y(
3 12 1
)
son linealmente independientes.
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Ejemplo
Demuestra que los vectores 1, x, x2 y x3 son linealmentedependientes.
Ejemplo
Demuestra que los vectores x − 2x2, x2 − 4x, −7x + 8x2 sonlinealmente dependientes.
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Base y Dimension
Definicion (Base y Dimension)
Un subconjunto B = {v1, v2, ..., vn} de un espacio vectorial Ves una base de V si
1 v1, v2, ..., vn es una coleccion de vectores linealmenteindependientes
2 gen{v1, v2, ..., vn} = V .
En este caso se dice que V es un espacio de dimension n y sedenota dim(V ) = n. A estos espacios se les llama espacios dedimension finita. Un espacio vectorial que no tenga una basede dimension finita se les llama espacio de dimension infinita.La dimension del espacio vectorial cero es cero (a pesar deque el espacio vectorial cero no tiene base).
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Ejemplo
El conjunto B = {(1, 0), (0, 1)} es una base para el espacio R2
y se llama la base est andar de IR2. Lo que significa quedim(IR2) = 2.
Ejemplo
El conjunto B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0,0,1)} es una base para elespacio R2 y se llama la base estandar de IR3. Lo que significaque dim(IR3) = 3.
Ejemplo
En general, el conjunto B = {e1, e2, ..., en} donde cada
ej = (0, 0, ..., 0, 1︸︷︷︸
j
, 0, ..., 0, 0)
para j = 1, ..., n. Es la base est andar de IRn Lo que significaque dim(IRn) = n.
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Ejemplo
El conjunto B = 1, x , x2, x3, ..., xn es la base est andar de Pn.De modo que dim(Pn) = n + 1. En particular el espacio P3 esgenerado por {1, x , x2, x3} de modo que dim(P3) = 4, elespacio P2 es generado por {1, x , x2} de modo quedim(P2) = 3.
Ejemplo
Consideremos las matrices Eij =
{1, en la posicion ij ;0, en otro lado.
. El
conjunto B = {E11, E12, E13, ..., Emn} es la base est andar delespacio M(K )mn. Lo que significa que dim(M(K )mn) = mn.
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Ejemplo
El espacio de los polinomios de cualquier grado es un espaciode dimension infinita.
Ejemplo
El espacio de las funciones continuas es un espacio dedimension infinita.
Ejemplo
El espacio de las funciones continuas con derivadas continuasde primer orden es un espacio de dimension infinita.
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Ademas de las bases estandar un espacio vectorial puedetener muchas otras bases.
Ejemplo
Demuestre que los vectores (1, 2) y (3, 2) constituyen una basepara IR2.
Ejemplo
Demuestre que el conjunto A = {1 + x ,−1 + x , x2} constituyenuna base para P2.
Observacion
En estos Ejemplos hemos presentados dos bases distintas quegeneran a los espacios IR2 y P2 respectivamente. Notese queambas bases tienen la misma cantidad de vectores que lasbases estandar. Esto no es casualidad, esto es consecuenciadel siguiente teorema.
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Teorema
Si un espacio vectorial V tiene una base con n elementos (loque es igual a decir que dim(V ) = n), entonces cualquier otrabase de V tambien tiene n elementos.
Ejemplo
¿El conjunto {1, x + 1, x2 + 2x} puede ser una base para P3?
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El siguiente teorema determina el numero de vectoreslinealmente independientes en un espacio vectorial dedimension finita.
Teorema
Un conjunto de n vectores en un espacio V de dimension m eslinealmente dependiente si n > m.
Como consecuencia de este teorema tenemos el siguientecorolario
Corolario
Un conjunto de n vectores en un espacio de dimension nconstituye una base para V si ellos son linealmenteindependientes.
Ejemplo
¿Los vectores (1, 2, 3), (2,−1, 3) y (−1, 3,−2) constituyen unabase para IR3?
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Teorema
Sean V un espacio vectorial de dimension n, S un subconjuntode k < n vectores de V y W el subespacio de V generado porS. Si S es linealmente independiente entonces S es una basepara W y dim(W ) < dim(V ).
Ejemplo
En un espacio de dimension n un vector no nulo genera unsubespacio de dimension 1 (¿por que?). En particular, el vector(1, 2) genera un subespacio de dimension 1 en el espacio IR2.A saber, el subespacio
W = {(x , y) : (x , y) = α(1, 2)} = {(x , y) : x = α, y = 2α}
= {(x , y) : y = 2x}
¡Una recta que pasa por el origen! tal como esperabamos.Recuerda que en IR2 los unicos subespacios propios son lasrectas que pasan por el origen.
EjemploDerwis Rivas Algebra Lineal
![Espacios Vectoriales · Generadores de un espacio vectorial Semana 7 [15/39] Caracterización de base Proposición V espacio vectorial, B = {vi}n i=1 ⊆ V es una base si y sólo](https://static.fdocument.org/doc/165x107/5eb8ecd4d3e35825951055c0/espacios-vectoriales-generadores-de-un-espacio-vectorial-semana-7-1539-caracterizacin.jpg)
