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Ejemplo de proceso aleatorio Definici ´ on del experimento aleatorio Cuatro posibles resultados: ω 1 , ω 2 , ω 3 , ω 4 Probabilidades: P(ω 1 )= P(ω 2 )= P(ω 3 )= P(ω 4 )= 1 4 Descripci ´ on anal´ ıtica del proceso X (t , w 1 )= 1, si t ≥ 0 0, si t < 0 X (t , w 2 )= 2, si t ≥ 0 0, si t < 0 X (t , w 3 )= e -t , si t ≥ 0 0, si t < 0 X (t , w 4 )= sin(t ), si t ≥ 0 0, si t < 0 Grado Ing. Telem´ atica (UC3M) Teor´ ıa de la Comunicaci´ on Procesos Aleatorios 1 / 14 Se ˜ nales del proceso aleatorio -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ........................................ . ....................................................................................................................................................................................................... . ........................................ . ....................................................................................................................................................................................................... . ........................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. . . . . . .................................................................................................................................... ........................................ ......................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tiempo (t) .. X(t, ω 1 ) .. X(t, ω 2 ) .. X(t, ω 3 ) .. X(t, ω 4 ) Grado Ing. Telem´ atica (UC3M) Teor´ ıa de la Comunicaci´ on Procesos Aleatorios 2 / 14
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Ejemplo de proceso aleatorio
Definicion del experimento aleatorioCuatro posibles resultados: !1, !2, !3, !4Probabilidades: P(!1) = P(!2) = P(!3) = P(!4) = 1
4Descripcion analıtica del proceso
X(t, w1) =
!1, si t ! 00, si t < 0
X(t, w2) =
!2, si t ! 00, si t < 0
X(t, w3) =
!e!t, si t ! 00, si t < 0
X(t, w4) =
!sin(t), si t ! 00, si t < 0
Grado Ing. Telematica (UC3M) Teorıa de la Comunicacion Procesos Aleatorios 1 / 14
Senales del proceso aleatorio
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
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Tiempo (t)
. .............................................. X(t, !1)
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Grado Ing. Telematica (UC3M) Teorıa de la Comunicacion Procesos Aleatorios 2 / 14
Realizacion del proceso aleatorio si ! = !1
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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-0.5
0
0.5
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Tiempo (t)
. .............................................. X(t, !1)
Grado Ing. Telematica (UC3M) Teorıa de la Comunicacion Procesos Aleatorios 3 / 14
Realizacion del proceso aleatorio si ! = !2
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-1
-0.5
0
0.5
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Tiempo (t)
. .............................................. X(t, !2)
Grado Ing. Telematica (UC3M) Teorıa de la Comunicacion Procesos Aleatorios 4 / 14
Realizacion del proceso aleatorio si ! = !3
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
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Tiempo (t)
. .............................................. X(t, !3)
Grado Ing. Telematica (UC3M) Teorıa de la Comunicacion Procesos Aleatorios 5 / 14
Realizacion del proceso aleatorio si ! = !4
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-1
-0.5
0
0.5
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1.5
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Tiempo (t)
. .............................................. X(t, !4)
Grado Ing. Telematica (UC3M) Teorıa de la Comunicacion Procesos Aleatorios 6 / 14
Media del proceso aleatorio
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
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Tiempo (t)Grado Ing. Telematica (UC3M) Teorıa de la Comunicacion Procesos Aleatorios 7 / 14
Autocorrelacion del proceso aleatorio
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&"
"
'
&""
"('
&
&('
)&
)!
*+,)&-)!.
Grado Ing. Telematica (UC3M) Teorıa de la Comunicacion Procesos Aleatorios 8 / 14
Ejemplo de proceso aleatorio
Proceso aleatorio gausiano
fX(t1),X(t2),··· ,X(tn)(x1, x2, · · · , xn) =1"
(2")ndet(C)·e!
12
(x!µ)C!1(x!µ)T
Vector de medias: µ = [µ1, µ2, · · · , µn]T
µi = E[X(ti)] = 0
Matriz de covarianzas: C, dada por
Ci,j = Cov(X(ti), X(tj)) = e||ti!tj||2
Grado Ing. Telematica (UC3M) Teorıa de la Comunicacion Procesos Aleatorios 9 / 14
Realizacion del proceso aleatorio
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-3
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Tiempo (t)
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Grado Ing. Telematica (UC3M) Teorıa de la Comunicacion Procesos Aleatorios 10 / 14
Otra realizacion del proceso aleatorio
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-2
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Tiempo (t)
. .............................................. X(t, !)
Grado Ing. Telematica (UC3M) Teorıa de la Comunicacion Procesos Aleatorios 11 / 14
Otra realizacion del proceso aleatorio
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-3
-2
-1
0
1
2
3
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Tiempo (t)
. .............................................. X(t, !)
Grado Ing. Telematica (UC3M) Teorıa de la Comunicacion Procesos Aleatorios 12 / 14
Media del proceso aleatorio
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-3
-2
-1
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3
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Tiempo (t)
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Grado Ing. Telematica (UC3M) Teorıa de la Comunicacion Procesos Aleatorios 13 / 14
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Grado Ing. Telematica (UC3M) Teorıa de la Comunicacion Procesos Aleatorios 14 / 14
