FTN, Pripremna nastava

Saobracaj, 7. IX 2015.

Zoran Ovcin

Školska 2015/16

1

Program rada

Linearna funkcija, linearna jedna-

cina, linearna nejednacina

Kvadratna funkcija, trinom, jedna-

cina, nejednacina, Vietove formule

Racionalni izrazi, funkcije, jedna-

cine, nejednacine

2

Polinomi

Stepenovanje, korenovanje, jedna-

cine, nejednacine

Eksponencijalna funkcija, jednacine,

nejednacine

3

Logaritamska funkcija, jednacine,

nejednacine

Trigonometrijske funkcije, jedna-

cine, nejednacine

4

Planimetrija

Stereometrija

Analiticka geometrija u ravni

Rad na kalkulatoru, limesi, izvodi

Probni kolokvijum

5

Zadaci

Linearna funkcija, linearna jedna-

cina, linearna nejednacina

Izracunati

1. 0.32 +2.5(−2)−(

43

)(−1)

2. 2(−2)

0.75+ 12−1

3. 23−2 · 2−2

3:(

−23

)−2

4.(

1

1− 34

)2− 1

1− 1

1− 12

6

Izraziti y kao linearnu funkciju po x i x kao linearnu funkciju po y

5. 3x+4y = 1

6. 34x− 5

6y =−1

2

7. x−4y+1 = 0

8. x−3y2+x

= 1,(x 6=−2)

9. 12−y

= 1

Skicirati pravu u ravni

10. y = 1− x

11. y =−2+2x

12. y = 2+0x

13. x2+ y

3= 1

14. x−3y = 2

15. x = 2

7

Rešiti nejednacinu

16. 1− x > 0

17. −2+2x < 0

18. 1x−1

> 1

19. 1x− 1

x−1 > 0

Kvadratna funkcija, trinom, jedna-

cina, nejednacina, Vietove formule

Rešiti jednacinu

20. x2 + x−6 = 0 21. 6x2 +5x = 6

8

22. −x2− x+ 34= 0

23. 32x2 +112x+48 = 0

24. x2 +1 = 0

25. x2 + x+1 = 0

Faktorisati kvadratni trinom

26. x2 + x−6

27. x2 − (x1 + x2)x+ x1x2

28. ax2 +bx+ c

29. 5x2 +5x−30

30. x2 −1

31. x2 +1

32. x2 − x+1

33. x2 − 16x− 1

6

9

Skicirati grafik funkcije

34. y = x2 + x−6

35. y =−x2+4x+21

36. y = x2 + x+1

37. y = x(x−3)

38. y = 4− x2

39. y = x2 +2x+1

Rešiti nejednacinu

40. x2 + x < 6

41. x2 > 4x+21

42. x2 + x >−1

43. x(x−3)< 0

44. −x2+4x+5 < 0

45. x2 +4x+4 > 0

46. (x+2)(x+1)(x−1)> 0

47. x3 +2x2−15x > 0

10

Odrediti parametar tako da jednacina nema rešenja u skupu

realnih brojeva

48. 3x2 +6x−a = 0

49. (k−2)x2 +2(k−2)x+2 = 0

50. Za koje m je zbir korena jednacine x2+(2+m−m2)x−m2 =

0 jednak nuli?

51. Za koje m je nejednakost mx2 − (m+ 2)x+m+ 2 > 0 tacna

za svako x ∈ R?

52. Odrediti m tako da jednacina x2−(m+1)x−4= 0 ima realna

i razlicita rešenja.

11

53. Za koje k jednacina (2k−5)x2 −2(k−1)x+3 = 0 ima samo

jedno realno rešenje?

54. Za koje k jednacina (k−2)x2+2(k−2)x+2= 0 nema realna

rešenja?

55. Izracunati x31 + x3

2 gde su x1 i x2 koreni jednacine 3x2 −ax+

2a−1 = 0.

56. Odrediti k tako da jedan koren jednacine x2 − 154

x+ k = 0

bude kvadrat drugog.

12

Racionalni izrazi, funkcije, jedna-

cine, nejednacine

Rešiti nejednacinu

57.7

(x−2)(x−3)+

9

x−3<

−1

58.2x2 −14

x2 + x−12> 1

59.x2 −2x−10

x2 − x−12≤ 1

60.−2x2+8x+162

x2 − x−56≤−3

61.x−13

x−3≥ 1− x

62. 1 <3x2 −7x+8

x2 +1≤ 2

13

63. Uprostiti izraz.

a)a3 −1

a2 −1=

b)

a+b

a−b− a−b

a+b

1− a−b

a+b

=

c)a4 −b4

a2 −2ab+b2

a−b

a2 +ab=

d)

1

a− x− 1

a+ x1

a− x+

1

a+ x

=

64. Skicirati grafik funkcije

a) y =1

x

b) y = 1− 1

x

c) y =1

x−1

d) y =1

x2

14

Polinomi

Podeliti polinome i proveriti dovodenjem na zajednicki imenilac.

65.4x3 +12x2+21x+17

2x2 +3x+4

66.x4 + x3 −3x2− x+2

x+1

67.x8 −16

x2 +2

68.2x5 + x4 − x3− x2+2

x−3

69. Znajuci da je p(1) = 4, odrediti nepoznati koeficijent k poli-

noma p = x3 − x2+ k x+12, a zatim faktorisati p.

70. Znajuci da je p(−2) = 7, odrediti nepoznati koeficijent k po-

linoma p = x4 + x3+ kx2+ x+1, a zatim faktorisati p.

15

71. Odrediti a i b tako da jednakost5x+13

x2 +5x+6=

a

x+2+

b

x+3bude tacna za svako x ∈ R.

72. Odrediti a, b, c, tako da jednakostx2 −4−5x

(x−2)(x2 +1)=

a

x−2+

bx+ c

x2 +1bude tacna za svako x ∈ R.

16

Stepenovanje, korenovanje, jedna-

cine, nejednacine

73. Uprostiti izraz.

a) (5−2(34)0)−2 =

b)(

(a3)5)2

=

c) a352

=

d)√

3√

4√

x12 =

e) 4√

5a2 4√

5a3b3 4√

25a3b =

f)√

xy2z

3

√

x2yz

4

√

xy

z3 =

g) 5

√

x4y4

z: 10

√

x9y2

z8 : 15

√

x−4y−6

z−9 =

h)(

3√

xy2)5(

3

√

x2

y

)4

=

i) 5√

x 3√

x : 4√

x 3√

x =

j)(

√

x√

x)3

:√

3√

x√

x =

k) (a < 0) ,√

a2(a−1)4 =

l) (x ≤−1) ,√

(x+1)2 =

17

74. Proveriti jednakost.

a)√

2+√

33√

2−√

3 =6√

2+√

3

b)√

x2 −6x+9+√

x2 +6x+9 = 6

75. Racionalisati izraze.

a)1√2=

b)1

5√

23=

c)1√

2−2=

d)1√

3+√

5=

e)1

3√

3−1=

18

Eksponencijalna funkcija, jednacine,

nejednacine

76. Rešiti jednacinu3

3√

x2

5 ·3 3√

x2−1=

3

5.

77. Rešiti jednacinu 32x −12 ·3 1

x +27 = 0 .

78. Rešiti 23x3x −23x−13x+1 +288 = 0 .

79. Rešiti jednacinu 8x −7x = 7x−1 .

80. Rešiti nejednacinu(

15

)

√x+2 ≥ 5−x .

81. Rešiti nejednacinu 5x+11−2x < 0.2−3 .

19

82. Rešiti jednacinu log10

√

75+53√

x−1 = 1 .

Logaritamska funkcija, jednacine,

nejednacine

83. Da li je tacno? (Precrtati netacno)

log2 1 = 0 log1 = 0 ln 1 = 0

ln e = 1 log2 23 = 3 ln − e =−1

log2 (2+3) = (log2 2)(log2 3) ln 56 = ln 7 ln 8

log(−3)2 = 2 log(−3) log((−2)(−3)) = log(−2) log(−3)

log −2−3

= log2− log3

20

84. Izracunati.

a) log0.01 =

b) log2 32 =

c) log2 0.125 =

d) log2 e ≈e) log2 10 ≈

85. U istom koordinatnom sistemu nacrtati grafike funkcija.

a) y = 2x, y = 2−x b) y =(

12

)x, y = log1

2x

86. Skicirati grafike funkcija.

a) y = 3x +1

b) y =(

12

)x − 12

c) y = 2x+2

d) y = log 12

x

21

87. Odrediti oblast definisanosti funkcije.

a) y = log3(2x− 12)

b) y = log5x+3x+1

c) y = log2x−x2 5

88. Rešiti jednacinu.

a) 4x = 8

b)(

1

25

)x

= 125

c)(

9

16

)x

= 0.75

d) 3x2−4x =1

27

e)1

81−x= 163x−5

22

89. Rešiti jednacinu.

a) 4x : 32 = 42x : 80.5

b) 1.5−1.5x =

(

2

3

)97

√

3

21.55x

c)

√

(

4

7

)3x

= 1.75−3

(

7

4

)−1.5(4

7

)−x

d) 3x2−4x =1

27

90. Rešiti jednacinu.

a) 4x −3 ·2x +2 = 0

b) 9x = 8 ·3x +9

c) 4x −2x+2+4 = 0

23

d) 3x√

81−10x√

9+3 = 0

e) 34x+8−4 ·32x+5+27 = 0

91. Rešiti jednacinu.

a) 3x+1+3x = 108

b) 5x +3 ·5x−2 = 140

c) 7 ·3x+1−5x+2 = 3x+4−5x+3

d) 2x +2x+1+2x+2 = 7x−2+7x−1

92. Rešiti jednacinu.

a) logx = log2+ log10− log5

b) logx =− log2−3log3− log4

24

c) log(x+1)+ logx = 3

d) log2(x−1)+ log2 x = 1

93. Rešiti nejednacinu.

a) 23−6x > 1

b)(

13

)x> 1

9

c) 0.2

x2+2

x2−1 > 25

d) 52x+1 > 5x +4

e) 2x +2 ·2−x −3 < 0

94. Rešiti nejednacinu.

a) log2(9−2x)> 3

25

b) log 12(x−1/2)+ log1

2(x−1)≥ 1

c) log3(13−4x)> 2

d) log0.5(2x+1)+ log0.5x2≥ 1

Trigonometrijske funkcije, jedna-

cine, nejednacine

95. Da li je tacno? (Precrtati netacno)

cos0 = 0 sin(−x) =−sinx cos(−x) =−cosx

cos1 = 1 sin 9π2= 1 sin(−π

2) =−1

sin π6= 1

2cos π

3= 1

2cos(2013π) = 1

26

tg π4= 1 cos 9π

2= cos 4π

29π2= 4π

2

96. Popuniti tabelu.π8

2π3

3π4

5π6

5π4

−π3

sin

cos

tg

97. Skicirati grafik funkcije.

a) y = sin(π/2− x) b) y = 1− sinx

27

98. Rešiti jednacinu u intervalu (−π,π].

a) sinx = 1/2

b) cos(2x) =−√

2/2

c) sin2 x =−2cosx+2

d) tg(2x) =√

3/3

e) 2sinx+ tg x = 0

99. Rešiti nejednacinu u intervalu (−π,π].

a) cosx < 1/2

b) 4sin2 x < 3

c) tg (2x)<√

3

100. Izracunati sin3π

2+ cos

5π

6− tg

3π

4+ctg

7π

6.

101. (a) U skupu realnih brojeva rešiti jedn. (cosx+ sinx)2 = 1.

28

(b) Na skupu (−π,π] rešiti nejednacinu cos(2x)≥√

22

.

102. Rešiti pravougli trougao.

a) a = 1/2,α = π/6

b) b =√

3/2,α = π/6

c) c = 2,a = 1

d) a =√

3,β = π/6

102. Izracunati vrednost izraza10

25sin(2α)+6, gde je α oštar

ugao za koji je tgα = 34

.

103. Rešiti nejednacinu 2sin2 x+3cosx > 0 u intervalu (−π,π].

104. Rešiti jednacinu 4+5sinx = 2cos2 x.

105. Rešiti jednacinu cos2x = sinx.

29

Planimetrija

106. Izracunati površinu trapeza cije su osnovice a = 8 i b = 4, a

uglovi na osnovici α = 450 i β = 300.

107. Dat je jednakokraki trougao cija je osnovica a = 30, a polu-

precnik upisanog kruga je r = 7.5. Odrediti površinu P.

108. Stranica romba je a = 5 a manja dijagonala d1 = 6. Odrediti

površinu upisanog kruga.

109. U jednakokrakom trapezu površine P = 32 visina je h = 4, a

razlika osnovica je 6. Odrediti dužinu dijagonale.

110. U krug obima O = 10π upisan je pravougaonik cije stranice

30

se odnose kao 3 : 4. Odrediti površinu pravougaonika.

111. Stranica romba je a = 15, a zbir dijagonala d1 + d2 = 42.

Izracunati površinu romba.

112. Oko kruga je opisan jednakokraki trapez cija srednja linija

ima dužinu 5. Izracunati krak i obim toga trapeza.

113. Obim pravouglog trougla je O = 36, a poluprecnik upisanog

kruga je r = 3. Odrediti obim opisanog kruga.

31

Stereometrija

114. Osnova prave prizme je jednakokraki trougao osnovice 30

i poluprecnike upisane kružnice r = 10. Izracunati kolika je

zapremina ako je visina prizme jednaka visini trougla koja

odgovara osnovici.

115. Za koliko se mora povecati visina pravog valjka pa da povr-

šina omotaca novodobijenog valjka bude jednaka površini

datog valjka? Za koliko se pri tome povecala zapremina?

116. Pravougli trapez osnovica a= 10 i b= 2 i površine P= 90 ro-

tira oko vece osnovice. Naci površinu i zapreminu nastalog

tela.

32

117. Osnovna ivica pravilne prave cetvorostrane piramide je a =

2, a ugao bocne ivice prema bazi je α = 600. Naci površinu

i zapreminu.

118. Prav jednakoivicni paralelopiped sa rombom u osnovi pre-

secen je ravni koja sadrži manju dijagonalu osnove i sre-

dište bocne ivice koja je mimoilazna sa tom dijagonalom.

Izracunati površinu dobijene piramide ako je osnovna ivica

romba a = 2, a jedan ugao romba α = 600.

119. Osni presek kupe je jednakostranicni trougao. Odrediti od-

nos zapremine kupe i lopte opisane oko posmatrane kupe.

120. Izracunati zapreminu pravilnog tetraedra cija ivica je dužine

1.

33

Analiticka geometrija u ravni

121. Naci tacku T simetricnu tacki M(25, 4

5) u odnosu na

a) y-osu b) x-osu c) pravu x−3y−4= 0 d) koordinatni

pocetak

122. Odrediti koordinate tacke M koja pripada pravoj l : 2x+7y−16 = 0 i jednako je udaljena od tacaka A(3,−2) i B(5,4).

123. Napisati jednacinu prave koja sadrži tacku (3,4) i koja je

normalna na pravu odredenu tackama B(2,5) i C(1,2).

Izracunati dužinu duži AC.

124. Dat je kvadrat i oko njega opisana kružnica k.

34

a) Napisati jednacinu kružnice k ako su poznata naspramna

temena kvadrata A(−1,−3) i C(5,5).

b) Odrediti jednacinu prave koja sadrži preostala dva te-

mena kvadrata i izracunati njihove koordinate.

125. Napisati jednacine tangenti na kružnicu (x−2)2+(y−1)2 =

2 koje su paralelne simetrali II kvadranta.

126. Kroz tacku M(√

22,√

22), postaviti tangentu na kružnicu x2 +

y2 = 1.

127. Odrediti koordinate težišta jednakostranicnog trougla cija

su dva temena tacke A(0,3) i B(1,2).

128. Kroz tacku T (−1,−1) postaviti pravu p koja pravu q : 3x+

35

2y = 6 sece pod uglom ϕ za koji je tgϕ = 12.

129. Date su tacke M(3,4) i N(1,2). Kroz tacku T koja je sime-

tricna tacki N u odnosu na tacku M postaviti pravu koja je

normalna na pravu odredenu tackama M i N.

36

Rad na kalkulatoru, limesi, izvodi

130. Koristeci kalkulator rešiti jednacinu

a) 1.16x2−0.32x−1.361364 = 0.

b) x2 −3.14x+2.4393 = 0.

131. Koristeci kalkulator izracunati granicnu vrednost

a) limn→∞

(√

n2 +4n+1−√

n2 +n)

b) limn→∞

(3√

n3 +n2 − 3√

n3 −1)

132. Koristeci kalkulator izracunati granicnu vrednost

a) limx→1

x2 −1

2x2 − x−1

37

b) limx→4

x√

x−4√

x

x2 −16

133. Koristeci kalkulator izracunati granicnu vrednost

a) limx→0

1− cosx

x2 b) limx→π

sin(3x)

sin(2x)

134. Koristeci kalkulator izracunati granicnu vrednost

a) limx→0

(1+2x)3x

b) limx→∞

(

x2 +1

x2 −2

)x2

135. Za krivu y = x3+x+1, u tacki M(1,y0) krive, napisati jedna-

cinu tangente i normale, naci tacke T i N preseka tangente

i normale sa x-osom.

38

136. Postaviti jednacinu tangente i normale na parabolu y2 = 94x

u tacki parabole T (4,3).

137. Postaviti jednacinu tangente na elipsu 3x2+4y2 = 48 u tacki

elipse T (2,y0), gde je y0 > 0.

138. Pod kojim uglom se vidi parabola y2 = 94x iz tacke A(12,6)?

39

Procentni racun

139. Koliki su unutrašnji uglovi trougla ako se odnose kao 1 : 3 :

5?

140. Stranice kvadra odnose se kao 2 : 4 : 5. Ako je zapremina

kvadra V = 320, odrediti njegovu površinu.

141. Za pražnjenje cisterne upotrebljeno je 20 buradi zapremine

220ℓ. Koliko buradi zapremine 120ℓ bi bilo potrebno za pra-

žnjnje tri takve cisterne?

142. U 150g vode sipano je 50g šecera. Koliko procenata še-

cera sadrži dobijeni rasrvor?

40

143. Radnik je umesto planiranih 200 komada izradio 240. Za

koliko procenata je radnik prebacio normu?

144. Jedna roba je prvo poskupela 15%, a zatim 10%. Koliko

procenata iznosi poskupljenje iskazano u odnosu na po-

cetnu cenu?

145. Nagradu od 9840 dinara treba podeliti na tri dobitnika tako

da prvi dobije 20% više od drugog, a treci 10% manje od

prvog. Koliko treba da dobije treci dobitnik?

146. Cene akcija su skocile za 30%, a zatim pale za 20%. Da li

sada imaju vecu ili manju vrednost od prvobitne i za koliko

procenata?

41

147. Cena robe je smanjena za 20%. Koliko procenata treba

smanjiti novodobijenu cenu da bi roba na kraju bila duplo

jeftinija?

148. Sveže pecurke sadrže 90% vode, a suve 12%. Koliko kilo-

grama suvih pecuraka se može dobiti od 12kg svežih?

149. Kolika je širina objekta na crtežu sa razmerom 1 : 150 ako

ona u prirodi iznosi 30m?

150. Ako je objekat dug 40m, a njegova dužina na crtežu je 8cm,

kolika je razmera?

42