Fractional Fourier Transform: Fractional Wiener Filter in Scilab

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  • F(x) = Ceiy 2 cot

    f (x)e ix

    2 cotei2

    sin xy dx

    Aplicacion en Scilab para el tratamiento desenales con la transformacion de Fourier

    fraccionaria: Filtro de Wiener fraccionario

    Marcos Amaris Gonzalez1marcos.amaris@gmail.com

    Rafael Angel Torres2rafantoram@uis.edu.co

    1Autor2Director de Tesis

    Abril de 2009

    Marcos Amaris Gonzalez DSP en dominios de Fourier fraccionarios con Scilab 1/22

  • Planteamiento del Problema

    Senales estacionarias y no estacionarias.

    Representacion en Tiempo y/o Frecuencia.

    Transformacion de Fourier.

    F (y) =

    f (x)e2ixy dx (1)

    Marcos Amaris Gonzalez DSP en dominios de Fourier fraccionarios con Scilab 2/22

  • Planteamiento del Problema

    Senales estacionarias y no estacionarias.

    Representacion en Tiempo y/o Frecuencia.

    Transformacion de Fourier.

    F (y) =

    f (x)e2ixy dx (1)

    Marcos Amaris Gonzalez DSP en dominios de Fourier fraccionarios con Scilab 2/22

  • Planteamiento del Problema

    Senales estacionarias y no estacionarias.

    Representacion en Tiempo y/o Frecuencia.

    Transformacion de Fourier.

    F (y) =

    f (x)e2ixy dx (1)

    Marcos Amaris Gonzalez DSP en dominios de Fourier fraccionarios con Scilab 2/22

  • STFT

    G (, y) =

    f (x)g(x )e2ixy dx (2)

    La ecuacion 2 se puede interpretar como los resultado de latransformacion de Fourier estandar para cada punto G (, y)

    Figura: Ventana Rectangular

    Marcos Amaris Gonzalez DSP en dominios de Fourier fraccionarios con Scilab 3/22

  • Transformacion Wavelet

    w(t) =1|a|

    w

    (t b

    a

    )(3)

    donde a es la escala y es b la traslacion.

    Figura: Wavelet.

    Marcos Amaris Gonzalez DSP en dominios de Fourier fraccionarios con Scilab 4/22

  • Distribucion de Wigner

    Wf (x , y) =

    f

    (x +

    x

    2

    )f

    (x x

    2

    )e2ix

    y dx (4)

    Valor de amplitud en cada punto W (x , y) asociados a un unafuncion f (x) y a su transformada F (y).

    |f (x) |2 = Wf (x , y) dy

    |F (y) |2 = Wf (x , y) dx

    |f (x) |2 = Wf (x cos y sen, x sen + y cos)dy

    Marcos Amaris Gonzalez DSP en dominios de Fourier fraccionarios con Scilab 5/22

  • Distribucion de Wigner

    Wf (x , y) =

    f

    (x +

    x

    2

    )f

    (x x

    2

    )e2ix

    y dx (4)

    Figura: Grafica de una distribucion de WignerMarcos Amaris Gonzalez DSP en dominios de Fourier fraccionarios con Scilab 5/22

  • Marco Teorico

    N. Wiener, 1929; V. Namias, 1980; L. Almeida, 1993.

    La expresion propuesta por Namas esta dada por la siguienteecuacion:

    F(y) = Ceiy2 cot

    f (x)e ix

    2 cotei2

    sin xy dx . (5)

    donde = a/2, a es un numero real.

    C =e i(s()

    4

    2)

    | sin|(6)

    Marcos Amaris Gonzalez DSP en dominios de Fourier fraccionarios con Scilab 6/22

  • Propiedades de la FrFT

    Linealidad: c1 y c2 son constantes.

    F[c1f (x) + c2g(x)] = c1F[f (x)] + c2F[g(x)] (7)

    Conservacion de la energa: