Σχηματισμός ειδώλων

Είδωλα πραγματικών αντικειμένων σχηματίζονται όταν οι ακτίνες φωτός (πουεκπέμπονται από αυτά τα αντικέιμενα) συναντούν επίπεδες ή καμπύλεςεπιφάνειες που βρίσκονται μεταξύ δύο μέσων.

Τα είδωλα μπορούν να δημιουργηθούν είναι λόγω της ανάκλασης είτε λόγω τηςδιάθλασης που προκαλούν οι επιφάνειες αυτές.

Μπορούμε να σχεδιάσουμε κάτοπτρα και φακούς ώστε να δημιουργούμε είδωλααντικειμένων με τα χαρακτηριστικά που θέλουμε.

Είδωλα που σχηματίζονται από κάτοπτρα

Κάτοπτρο: επιφάνεια που μπορεί να ανακλά πλήρως μία δέσμη φωτός προς μίακατεύθυνση (αντί να την διαχέει πρός κάθε κατεύθυνση, πχ τοίχος), χωρίς να την

απορροφά ή να την αφήνει να διέλθει προς άλλο μέσο.

Επίπεδο κάτοπτρο: το απλούστερο δυνατό κάτοπτρο

Οι ακτίνες φωτός διαδίδονται από την πηγή (φωτός) και ανακλώνται στο κάτοπτρο (υπακούοντας στο νόμο της ανάκλασης). Η απόσταση του σώματος (της πηγής φωτός) από το κάτοπτρο (ή τον φακό) ονομάζεται απόσταση του αντικειμένου (συμβολίζεται με p).

Ο παρατηρητής βλέπει τις ανακλώμενες ακτίνες από τοκάτροπτο. Αν προεκτείνουμε τις ακτίνες που περνάνε μέσα από το μάτι μας (από τον “ανιχνευτή”) προς τα πίσω, αυτές τέμνονται στο σημείο Ι.

Για τον παρατηρητή, οι ακτίνες που βλέπει φαίνονται να προέρχονται από το σημείο Ι. Το σημείο τομής Ι είναι το είδωλο του αντικειμένου που βρίσκεται στο σημείο O. Η απόσταση του ειδώλου από το κάτοπτρο (ή τον φακό) ονομάζεται απόσταση του ειδώλου (συμβολίζεται με q.)

Το είδωλο σ' αυτή την περίπτωση είναι φανταστικό.

Πίσω από το κάτοπτρο δεν υπάρχει κάποιο πραγματικόαντικείμενο που να εκπέμπει τις ακτίνες που βλέπουμε. Οιακτίνες φωτός μπροστά από το κάτοπτρο, που εμείς βλέπουμε,φαινομενικά μόνο αποκλίνουν από το σημείο I.

Γενικά:Πραγματικό είδωλο σχηματίζεται όταν οι (πραγματικές) ακτίνεςφωτός διέρχονται από το σημείο του ειδώλου και αποκλίνουναπό αυτό.

Τα πραγματικά είδωλα μπορούν να προβληθούν σε οθόνεςκαι να αποτυπωθούν σε ανιχνευτές (τοποθετημένους στη θέσηπου σχηματίζονται).

Φανταστικό είδωλο σχηματίζεται όταν οι ακτίνες φωτός από τοείδωλο δεν διέρχονται απ' αυτό, αλλά απλώς φαίνεται νααποκλίνουν από αυτό.

Τα φανταστικά είδωλα δεν μπορούν να προβληθούν σεοθόνες (ή να καταγραφούν σε ανιχνευτές).

Μπορούμε να προσδιορίσουμε τις ιδιότητες ενόςειδώλου (θέση και μέγεθος) χρησιμοποιώνταςγεωμετρία.

Έστω αντικείμενο ύψους h, σε απόσταση p απότο κάτοπτρο (που παριστάνεται με τοκατακόρυφο βέλος). Το αντικείμενο έχει μηδενικό“πάχος”.

Για να βρούμε το είδωλο αυτού του αντικειμένου,θα πρέπει να βρούμε τα είδωλα όλων τωνσημείων του. Στην πράξη ομως, αρκεί να βρούμετο είδωλο μόνο δύο σημείων (πχ του Σ και τουΒ), και μετά να θεωρήσουμε ότι το είδωλο τουεκτεταμένου αντικειμένου είναι αυτό πουπροκύπτει αν ενώσουμε τα είδωλα αυτών τωνδύο σημείων.

Τα επίπεδα κάτοπτρα δημιουργούν πάντα φανταστικά είδωλα.

Β

Εύρεση του ειδώλου του σημείου Σ.

Υπάρχουν άπειρες κατευθύνσεις προς τιςοποίες οι ακτίνες φωτός μπορούν να διαδοθούναπό το Σ. Για να προσδιορίσουμε τη θέση τουειδώλου του Σ χρειάζεται να επιλέξουμε μόνοδύο ακτίνες.

Μία ακτίνα ξεκινά από το σημείο Σ, διαδίδεταιμέχρι το σημείο Τ, και ανακλάται προς τα πίσωακολουθώντας την ίδια διαδρομή.

Μία άλλη ακτίνα ακολουθεί τη διαδρομή ΣΥ καιανακλάται σύμφωνα με τον νόμο της ανάκλασης.

Το είδωλο του σημείου Σ είναι το σημείο στοοποίο η προέκταση των ακτίνων ΣΤ και τηςανακλώμενης ακτίνας στο Υ τέμνονται (σημείοΣ΄).

Τα τρίγωνα ΣΤΥ και Σ΄ΤΥ είναι όμοια. Άρα:ΣΤ=ΤΣ'.

Εύρεση του ειδώλου του σημείου Β:

Υπάρχουν άπειρες κατευθύνσεις προς τιςοποίες οι ακτίνες φωτός μπορούν να διαδοθούναπό το Β. Για να προσδιορίσουμε τη θέση τουειδώλου του Β χρειάζεται να επιλέξουμε μόνοδύο ακτίνες.

Ενότητα Ο2.1

Μία ακτίνα ξεκινά από το σημείο Β, διαδίδεταιμέχρι το σημείο Α, και ανακλάται προς τα πίσωακολουθώντας την ίδια διαδρομή.

Μία άλλη ακτίνα ακολουθεί τη διαδρομή ΒΓ (τέτοια ώστε ΑΓ=ΒΣ) και ανακλάται σύμφωνα μετον νόμο της ανάκλασης.

Τα τρίγωνα ΒΣΓ και Β΄ΓΑ είναι όμοια. ΆραΒΑ=ΑΒ΄.

Β Β΄Α

ΓΣ θθ

θ θ

Με βάση τα προηγούμενα το είδωλο τουαντικειμένου ΒΣ είναι το Β'Σ'.

1) Η απόσταση ενός αντικειμένου, πουβρίσκεται μπροστά από ένα επίπεδο κάτοπτρο,και η απόσταση του ειδώλου του, το οποίοσχηματίζεται πίσω από το κάτοπτρο, είναι ίσες:

|p| = |q|

2) Το ύψος του αντικειμένου είναι το ίδιο με τούψος του ειδώλου:

h=h'

Β Β'

Η εγκάρσια μεγέθυνση του κατόπτρου ή του φακού είναι ο λόγος του ύψους τουειδώλου προς το ύψος του αντικειμένου. Συμβολίζεται με M.

Ο ορισμός της εγκάρσιας μεγέθυνσης ισχύει για οποιοδήποτε είδος κατόπτρου.Ισχύει και για είδωλα που σχηματίζονται από φακούς.

α) Το μέγεθος του ειδώλου μπορεί να είναι είτε μεγαλύτερο είτε μικρότερο,δηλαδή το M μπορεί να έχει τιμή μικρότερη ή μεγαλύτερη από 1 (η εγκάρσιαμεγέθυνση ενός επίπεδου κατόπτρου είναι +1).

β) Η εγκάρσια μεγένθυση μπορεί να είναι θετική ή αρνητική. Το θετικό πρόσημουποδεικνύει ότι το είδωλο είναι όρθιο: έχει τον ίδιο προσανατολισμό με τοαντικείμενο. Αρνητικό πρόσημο υοδεικνύει ότι το είδωλο είναι αντεστραμμένο (ταείδωλα ενός επίπεδου κατόπτρου είναι όρθια).

M≡ Ύψος ειδώλουΎψος αντικειμένου

=h 'h

Αναστροφές στα επίπεδα κάτοπτρα

Τα επίπεδα κάτοπτρα δημιουργούνείδωλα προκαλώντας τη φαινόμενη αναστροφή αριστερού-δεξιού.

Για παράδειγμα, αν σηκώσετε το δεξιόσας χέρι, το είδωλο που βλέπετεσηκώνει το αριστερό χέρι.

Αυτή η αναστροφή δεν είναι πραγματική αναστροφή αριστερού-δεξιού.

Η αναστροφή είναι στην πραγματικότηταμια αναστροφή μπρος-πίσω.

Προκαλείται από τις ακτίνες φωτός πουκατευθύνονται προς τον καθρέφτη,ανακλώνται σε αυτόν, και επιστρέφουνπρος τα πίσω.

Ιδιότητες ειδώλων που σχηματίζονται από επίπεδα κάτοπτρα – Σύνοψη

1) Το είδωλο είναι φανταστικό.

2) Η απόσταση του ειδώλου πίσω από το κάτοπτρο είναι ίση με την απόστασητου αντικειμένου μπροστά από το κάτοπτρο.

|p| = |q|

3) Το είδωλο δεν είναι μεγεθυμένο. Το ύψος του ειδώλου είναι ίσο με το ύψος τουαντικειμένου (h΄ = h)

4) Το είδωλο είναι όρθιο. Έχει τον ίδιο προσανατολισμό με το αντικείμενο άρα

M = +1

Το είδωλο παρουσιάζει αναστροφή μπρος-πίσω.

Εφαρμογή – Θέση ημέρας και νύχτας στους καθρέφτες αυτοκινήτων

Στη θέση ημέρας, η έντονη δέσμη (bright, B) του ανακλώμενου φωτόςκατευθύνεται στα μάτια του οδηγού.

Στη θέση νύχτας, η αμυδρή δέσμη (dim, D) του ανακλώμενου φωτόςκατευθύνεται στα μάτια του οδηγού, ενώ η έντονη δέσμη κατευθύνεται αλλού.

Σφαιρικά κάτοπτρα Κάτροπο που η ανακλαστική του επιφάνεια είναι τμήμα σφαίρας:

σφαιρικό κάτοπτρο.

Στα κοίλα σφαιρικά κάτοπτρα, η επάργυρη(ανακλαστική) επιφάνεια του κατόπτρουβρίσκεται στην εσωτερική, ή κοίλη, πλευρά τηςσφαιρικής επιφάνειας.

Στα κυρτά σφαιρικά κάτοπτρα, η επάργυρη(ανακλαστική) επιφάνεια του κατόπτρουβρίσκεται στην εξωτερική, ή κυρτή, πλευρά τηςσφαιρικής επιφάνειας.

Κοίλα κάτοπτρα – Συμβολισμοί

Το κάτοπτρο έχει ακτίνα καμπυλότητας R.

Το κέντρο καμπυλότητάς του είναι το σημείο Κ.

Το σημείο Ω είναι το κέντρο του σφαιρικού τμήματος(ή κορυφή του κατόπτρου).

Η ευθεία που διέρχεται από τα Κ και Ω ονομάζεταικύριος άξονας του κατόπτρου.

Η γαλάζια λωρίδα αναπαριστά τη δομική στήριξη τηςεπάργυρης επιφάνειας.

Εστία - εστιακή απόσταση

Όταν το αντικείμενο βρίσκεται πολύμακριά, τότε p → ∞ και οι εισερχόμενεςακτίνες (κοντά στο κύριο άξονα) είναιουσιαστικά παράλληλες.

Σε αυτή την ειδική περίπτωση, τοσημείο του ειδώλου ονομάζεται εστία.

Η απόσταση της κορυφής τουκατόπτρου από την εστία ονομάζεταιεστιακή απόσταση.

Η εστιακή απόσταση είναι ίση με το½ της ακτίνας καμπυλότητας.

Προσδιορισμός της εστιακής απόστασης με χρήση παράλληλων ακτίνων

Ενότητα Ο2.2

Εστία

Οι έγχρωμες δέσμες διαδίδονται παράλληλα στον κύριο άξονα.

Το κάτοπτρο ανακλά και τις τρεις δέσμες προς την εστία.

Η εστία είναι το σημείο στο οποίο οι τρεις δέσμες τέμνονται.

Τα χρώματα προστίθενται και δίνουν το λευκό.

Παραξονικές ακτίνες

Στη μελέτη μας θα θεωρούμε μόνο μόνο τιςακτίνες που αποκλίνουν από ένααντικείμενο και σχηματίζουν μικρή γωνία μετον κύριο άξονα.

Τέτοιες ακτίνες ονομάζονται παραξονικές.Όλες οι παραξονικές ακτίνες, αφούανακλαστούν, διέρχονται από το σημείοτου ειδώλου του αντικειμένου.

Σφαιρική εκτροπή

Οι ακτίνες που βρίσκονται μακριά απότον κύριο άξονα συγκλίνουν σε άλλασημεία του κύριου άξονα.

Οι ακτίνες φωτός σχηματίζουνμεγάλη γωνία με τον κύριο άξονα.

Το είδωλο που δημιουργείται είναι θολό.

Όλα τα σφαιρικά κάτοπτραπαρουσιάζουν αυτό το φαινόμενο πουονομάζεται σφαιρική εκτροπή.

Μπορούμε να διορθώσουμε τη σφαιρικήεκτροπή χρησιμοποιώντας παραβολικέςεπιφάνειες.

Κυρτά κάτοπτρα

Μερικές φορές, τα κυρτά κάτοπτρα ονομάζονταιαποκλίνοντα κάτοπτρα.

Το φως ανακλάται στην εξωτερική, κυρτή πλευρά.

Μετά την ανάκλαση, οι ακτίνες από οποιοδήποτεσημείο του αντικειμένου αποκλίνουν σαν ναξεκινούσαν από κάποιο σημείο πίσω από τοκάτοπτρο.

Το είδωλο είναι φανταστικό, επειδή οι ανακλώμενεςακτίνες φαινομενικά ξεκινούν από το σημείο τουειδώλου.

Είδωλα που σχηματίζονται από κάτοπτρα/Διαγράμματα ακτίνων

Η θέση και το μέγεθος ενός ειδώλου μπορεί να προσδιοριστεί με ένα διάγραμμαακτίνων.

Πρόκειται για γραφικές αναπαραστάσεις που αποκαλύπτουν τη φύση τουειδώλου.

Για να σχεδιάσουμε ένα διάγραμμα ακτίνων, πρέπει να γνωρίζουμε τη θέσητου αντικειμένου και τις θέσεις της εστίας και του κέντρου καμπυλότητας.

Σχεδιάζουμε τρεις ακτίνες.

1) Όλες οι ακτίνες ξεκινούν από το αντικείμενο.

2) Η τομή οποιουδήποτε ζεύγους ακτίνων είναι η θέση του ειδώλου.

3) Η τρίτη ακτίνα επαληθεύει το αποτέλεσμα.

Οι ακτίνες σε ένα διάγραμμα ακτίνων – Κοίλα κάτοπτρα (p > f)Η ακτίνα 1 ξεκινά από την κορυφή του αντικειμένου, διαδίδεται παράλληλα προςτον κύριο άξονα, και ανακλάται μέσα από την εστία Ε.

Η ακτίνα 2 ξεκινά από την κορυφή του αντικειμένου, διέρχεται από την εστία, καιανακλάται παράλληλα προς τον κύριο άξονα.

Η ακτίνα 3 ξεκινά από την κορυφή του αντικειμένου, διέρχεται από το κέντροκαμπυλότητας Κ, και ανακλάται κατά μήκος της ίδιας διεύθυνσης.

Επιλέξαμε αυτές τις ακτίνες λόγω τηςευκολίας με την οποία μπορούμε νατις σχεδιάσουμε.

Το είδωλο είναι πραγματικό,ανεστραμμένο και μικρότερο από τοαντικείμενο (σμίκρυνση).

Κοίλο κάτοπτρο, p < f

Το αντικείμενο βρίσκεται ανάμεσα στην επιφάνεια του κατόπτρου και στην εστία.

Το είδωλο είναι φανταστικό.

Το είδωλο είναι όρθιο.

Το είδωλο είναι μεγαλύτερο από το αντικείμενο (μεγέθυνση).

Οι ακτίνες σε ένα διάγραμμα ακτίνων – Κυρτά κάτοπτρα

Η ακτίνα 1 ξεκινά από την κορυφή του αντικειμένου, διαδίδεται παράλληλα προςτον κύριο άξονα, και ανακλάται με κατεύθυνση μακριά από την εστία Ε.

Η ακτίνα 2 ξεκινά από την κορυφή του αντικειμένου με κατεύθυνση προς τηνεστία που βρίσκεται στην οπίσθια πλευρά του κατόπτρου, και ανακλάταιπαράλληλα προς τον κύριο άξονα.

Η ακτίνα 3 ξεκινά από την κορυφή του αντικειμένου με κατεύθυνση προς το κέντρο καμπυλότητας Κ, το οποίο βρίσκεται στην οπίσθια πλευρά του κατόπτρου, και ανακλάται κατά μήκος της ίδιας διεύθυνσης.

Το είδωλο είναι φανταστικό, όρθιο (και μικρότερο από το αντικείμενο).

Είδωλα που σχηματίζονται από κάτοπτρα

Σχέση μεταξύ των αποστάσεων του ειδώλου και του αντικειμένου.

Η εξίσωση αυτή ονομάζεται εξίσωση των κατόπτρων.

Αυτή η σχέση μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εύρεση της θέσης του ειδώλου.Ισχύει για όλα τα κάτοπτρα, είτε κοίλα είτε κυρτά (είτε επίπεδα), με τηνπροϋπόθεση ότι ακολουθούμε συγκεκριμένες συμβάσεις προσήμων.

1p+ 1q= 1

f

Συμβάσεις προσήμων

Αυτές οι συμβάσεις ισχύουν τόσο για τακοίλα όσο και για τα κυρτά κάτοπτρα.

Οι εξισώσεις των κοίλων κατόπτρωνισχύουν και στα κυρτά κάτοπτρα.

Βεβαιωθείτε ότι επιλέγετε σωστά ταπρόσημα κατά την αντικατάστασητιμών στις εξισώσεις.

Συμβάσεις προσήμων – Συνοπτικός πίνακας

Σημειώσεις για τα είδωλα

Στα κοίλα κάτοπτρα, το είδωλο μπορεί να είναι είτε πραγματικό είτε φανταστικό.

Όταν το αντικείμενο βρίσκεται πέρα από την εστία, το είδωλο είναι πραγματικό.

Όταν το αντικείμενο βρίσκεται στην εστία, το είδωλο βρίσκεται σε άπειρηαπόσταση.

Όταν το αντικείμενο βρίσκεται ανάμεσα στο κάτοπτρο και στην εστία, το είδωλοείναι φανταστικό.

Στα κυρτά κάτοπτρα, το είδωλο είναι πάντα φανταστικό και όρθιο.

Όσο μειώνεται η απόσταση του αντικειμένου, τόσο αυξάνεται το μέγεθος τουφανταστικού ειδώλου, αλλά πάντα Μ<1 (για p>0).

Είδωλα που σχηματίζονται λόγω διάθλασης

Ας θεωρήσουμε δύο διαφανή μέσα μεδείκτες διάθλασης n1 και n2.

Το όριο μεταξύ των δύο μέσων είναι μιασφαιρική επιφάνεια ακτίνας R.

Οι ακτίνες ξεκινούν από το αντικείμενοστο σημείο Ο, το οποίο βρίσκεται στομέσο με δείκτη διάθλασης n = n1.

Η απόσταση του αντικειμένου και ηαπόσταση του ειδώλου συνδέονται μετη σχέση:

Ισχύει για παραξονικές ακτίνες.

n1p

+n2q

=n2−n1R

Είδωλα που σχηματίζονται λόγω διάθλασης

Ως εμπρόσθια πλευρά της επιφάνειας ορίζουμε την πλευρά όπου προσπίπτουνοι ακτίνες φωτός.

Η άλλη πλευρά είναι η οπίσθια πλευρά της επιφάνειας.

Πίσω από την επιφάνεια σχηματίζονται πραγματικά είδωλα μέσω διάθλασης.

Γι’ αυτόν τον λόγο, οι συμβάσεις των προσήμων για τις αποστάσεις q και R γιαδιαθλαστικές επιφάνειες είναι αντίθετες από τις συμβάσεις των προσήμων γιαανακλαστικές επιφάνειες.

Συμβάσεις προσήμων για διαθλαστικές επιφάνειες

Ενότητα Ο2.3

Επίπεδες διαθλαστικές επιφάνειες

Αν η διαθλαστική επιφάνεια είναιεπίπεδη, τότε η ακτίνα καμπυλότητας R είναι άπειρη.

Τότε, q = –(n2 / n1)p.

Το είδωλο που σχηματίζεται από μιαεπίπεδη διαθλαστική επιφάνειαβρίσκεται στην ίδια πλευρά τηςεπιφάνειας με το αντικείμενο.

Το είδωλο που σχηματίζεται είναιφανταστικό.

Ενότητα Ο2.3

Είδωλα που σχηματίζονται από λεπτούς φακούς

Οι φακοί χρησιμοποιούνται για τον σχηματισμό ειδώλων λόγω διάθλασης.

Οι φακοί χρησιμοποιούνται σε οπτικά όργανα όπως:

φωτογραφικές μηχανές,

τηλεσκόπια,

μικροσκόπια.

Εντοπισμός του ειδώλου που σχηματίζεται από έναν φακόΟ φακός έχει δείκτη διάθλασης n και δύο σφαιρικές επιφάνειες με ακτίνες R1 και R2

R1 είναι η ακτίνα καμπυλότητας της επιφάνειας του φακού στην οποία προσπίπτειαρχικά το φως από το αντικείμενο.

R2 είναι η ακτίνα καμπυλότητας της άλλης επιφάνειας.

Το αντικείμενο είναι τοποθετημένο σε απόσταση p μπροστά από την πρώτηεπιφάνεια. Το είδωλο που σχηματίζεται από την επιφάνεια 1 λειτουργεί ωςαντικείμενο για την επιφάνεια 2.Όταν το πάχος του φακού είναι μικρό σε σύγκριση με τις ακτίνες καμπυλότητας,τότε ο φακός ονομάζεται λεπτός. Για λεπτούς φακούς, η σχέση που συνδέει τηνεστιακή απόσταση, την απόσταση του αντικειμένου, και την απόσταση του ειδώλουείναι ίδια με την αντίστοιχη σχέση για τα κάτοπτρα:

Όπου:

Η παραπάνω σχέση ονομάζεται εξίσωση των κατασκευαστών φακών. Μπορεί ναχρησιμοποιηθεί για τον προσδιορισμό των τιμών των R1 και R2 για έναν δεδομένοδείκτη διάθλασης και τη ζητούμενη εστιακή απόσταση ƒ.

1p+1q= 1

f1f=(n−1)( 1

R1− 1R2

)

Σημειώσεις για την εστιακή απόσταση και την εστία ενός λεπτούφακού

Επειδή το φως μπορεί να διαδοθεί σε έναν φακό προς οποιαδήποτε από τις δύοπιθανές κατευθύνσεις, κάθε φακός έχει δύο εστίες.

Μία για κάθε κατεύθυνση από την οποία μπορεί να περάσουν οι ακτίνες φωτόςμέσα από αυτόν.

Ωστόσο, η εστιακή απόσταση είναι μόνο μία. Καθεμιά από τις δύο εστίεςβρίσκεται στην ίδια απόσταση από τον φακό.

Οι παράλληλες ακτίνες διέρχονταιμέσα από τον φακό και συγκλίνουνστην εστία.

Οι παράλληλες ακτίνες μπορούν ναξεκινούν είτε αριστερά είτε δεξιά τουφακού.

Εστιακή απόσταση αποκλίνοντος φακού

Οι παράλληλες ακτίνες αποκλίνουν μόλις περάσουν μέσα από τον φακό.

Η εστία είναι το σημείο απ’ όπου φαίνεται να έχουν ξεκινήσει οι ακτίνες.

Προσδιορισμός προσήμων για λεπτούς φακούς

Η εμπρόσθια πλευρά του λεπτούφακού είναι η πλευρά όπου προσπίπτειτο φως.

Το φως διαθλάται στην οπίσθια πλευράτου φακού.

Το ίδιο ισχύει και για τις διαθλαστικέςεπιφάνειες.

Συμβάσεις προσήμων για λεπτούς φακούς

Ενότητα Ο2.4

Σχήματα λεπτών φακών

Συγκλίνοντες φακοί:

Έχουν θετική εστιακή απόσταση.

Είναι παχύτεροι στο κέντρο.

Ενότητα Ο2.4

Σχήματα λεπτών φακών

Αποκλίνοντες φακοί:

Έχουν αρνητική εστιακή απόσταση.

Είναι παχύτεροι στα άκρα.

Διαγράμματα ακτίνων για λεπτούς φακούς – Συγκλίνοντες φακοί

Τα διαγράμματα ακτίνων μάς επιτρέπουν να βρίσκουμε τη θέση των ειδώλωνπου σχηματίζουν οι λεπτοί φακοί ή τα συστήματα φακών.

Για έναν συγκλίνοντα φακό, σχεδιάζουμε τις τρεις παρακάτω ακτίνες:

Η ακτίνα 1 είναι παράλληλη προς τον κύριο άξονα. Αφού διαθλαστεί στον φακό,διέρχεται από την εστία που βρίσκεται στην οπίσθια πλευρά του φακού.

Η ακτίνα 2 διέρχεται από την εστία που βρίσκεται στην εμπρόσθια πλευρά τουφακού (ή, αν p < ƒ, φαίνεται να ξεκινά από την εστία) και εξέρχεται από τον φακόπαράλληλα προς τον κύριο άξονα.

Η ακτίνα 3 διέρχεται από το κέντρο του φακού και συνεχίζει να διαδίδεταιευθύγραμμα.

Διάγραμμα ακτίνων συγκλίνοντος φακού, p > f

Το είδωλο είναι πραγματικό.

Το είδωλο είναι ανεστραμμένο.

Το είδωλο σχηματίζεται πίσω από τον φακό.

Διάγραμμα ακτίνων συγκλίνοντος φακού, p < f

Το είδωλο είναι φανταστικό.

Το είδωλο είναι όρθιο.

Το είδωλο είναι μεγαλύτερο από το αντικείμενο.

Το είδωλο σχηματίζεται μπροστά από τον φακό.

Διαγράμματα ακτίνων για λεπτούς φακούς – Αποκλίνοντες φακοί

Για έναν αποκλίνοντα φακό, σχεδιάζουμε τις παρακάτω τρεις ακτίνες:

Η ακτίνα 1 είναι παράλληλη προς τον κύριο άξονα. Αφού διαθλαστεί στον φακό,εξέρχεται από αυτόν και διαδίδεται με κατεύθυνση μακριά από την εστία, η οποίαβρίσκεται στην εμπρόσθια πλευρά του φακού.

Η ακτίνα 2 κατευθύνεται προς την εστία που βρίσκεται στην οπίσθια πλευρά τουφακού και εξέρχεται από αυτόν παράλληλα προς τον κύριο άξονα.

Η ακτίνα 3 διέρχεται από το κέντρο του φακού και συνεχίζει να διαδίδεταιευθύγραμμα.

Διάγραμμα ακτίνων αποκλίνοντος φακού

Το είδωλο είναι φανταστικό.

Το είδωλο είναι όρθιο.

Το είδωλο είναι μικρότερο.

Το είδωλο σχηματίζεται μπροστά από τον φακό.

Είδωλα – Σύνοψη

Στους συγκλίνοντες φακούς, όταν η απόσταση του αντικειμένου είναι μεγαλύτερηαπό την εστιακή απόσταση (p > ƒ),

το είδωλο είναι πραγματικό και ανεστραμμένο.

Στους συγκλίνοντες φακούς, όταν το αντικείμενο βρίσκεται ανάμεσα στην εστίακαι στον φακό (p < ƒ),

το είδωλο είναι φανταστικό και όρθιο.

Στους αποκλίνοντες φακούς, το είδωλο είναι πάντα φανταστικό και όρθιο.

Αυτό ισχύει ανεξάρτητα από τη θέση του αντικειμένου.

Συστήματα λεπτών φακών

Εντοπίζουμε τη θέση του ειδώλου που σχηματίζει ο πρώτος φακός αγνοώντας τηνύπαρξη του δεύτερου φακού.

Το είδωλο του πρώτου φακού αποτελεί το αντικείμενο για τον δεύτερο φακό.

Το είδωλο που σχηματίζει ο δεύτερος φακός είναι το τελικό είδωλο του συστήματος.

Αν το είδωλο που σχηματίζει ο πρώτος φακός βρίσκεται στην οπίσθια πλευρά τουδεύτερου φακού, τότε το συγκεκριμένο είδωλο θεωρείται ότι είναι ένα φανταστικόαντικείμενο για τον δεύτερο φακό.

Η απόσταση p θα είναι αρνητική

Η διαδικασία αυτή μπορεί να επεκταθεί και σε συστήματα με τρεις ή περισσότερουςφακούς.

Η συνολική μεγέθυνση του ειδώλου είναι το γινόμενο των επιμέρους μεγεθύνσεων.

Εκτροπές των φακών

Έχουμε υποθέσει τα εξής:

Οι ακτίνες σχηματίζουν μικρές γωνίες με τον κύριο άξονα.

Οι φακοί είναι λεπτοί.

Στην πραγματικότητα, οι ακτίνες που ξεκινούν από ένα σημειακό αντικείμενο δενεστιάζονται σε ένα μόνο σημείο.

Το αποτέλεσμα είναι να σχηματιστεί ένα θολό είδωλο.

Πρόκειται για μία περίπτωση στην οποία δεν ισχύουν οι προσεγγίσεις πουχρησιμοποιήσαμε στην ανάλυσή μας.

Οι αποκλίσεις των πραγματικών ειδώλων από τα ιδανικά είδωλα πουπροκύπτουν με βάση το μοντέλο μας ονομάζονται εκτροπές (ή σφάλματα).

Σφαιρική εκτροπή

Συμβαίνει επειδή οι εστίες των ακτίνωνφωτός που διέρχονται μακριά από τονκύριο άξονα διαφέρουν από τις εστίεςτων ακτίνων που διέρχονται κοντά στονκύριο άξονα.

Χρωματική εκτροπή

Όταν από έναν φακό διαθλώνται ακτίνεςμε διαφορετικά μήκη κύματος, εστιάζονταισε διαφορετικά σημεία.

Οι ιώδεις ακτίνες διαθλώνταιπερισσότερο από τις κόκκινες ακτίνες.

Η εστιακή απόσταση για το κόκκινοφως είναι μεγαλύτερη από την εστιακήαπόσταση για το ιώδες φως.

Μπορούμε να ελαχιστοποιήσουμε τηχρωματική εκτροπή χρησιμοποιώντας ένασύστημα με συγκλίνοντες καιαποκλίνοντες φακούς κατασκευασμένουςαπό διαφορετικά υλικά.

Η φωτογραφική μηχανή

Η φωτογραφική μηχανή είναι ένα απλόοπτικό όργανο.

Εξαρτήματα:

Συγκλίνων φακός

Σχηματίζει ένα πραγματικό είδωλο.

Φωτοευαίσθητη επιφάνεια πουβρίσκεται πίσω από τον φακό.

Εδώ σχηματίζεται το είδωλο.

Μπορεί να είναι μια διάταξησυζευγμένου φορτίου (CCD) ή φιλμ.

Λειτουργία της φωτογραφικής μηχανής

Η σωστή εστίαση έχει ως αποτέλεσμα τον σχηματισμό ευκρινών ειδώλων.

Η μηχανή εστιάζει μεταβάλλοντας την απόσταση μεταξύ του φακού και τουαισθητήρα CCD. Η απόσταση φακού-αισθητήρα CCD εξαρτάται από τηναπόσταση του αντικειμένου και από την εστιακή απόσταση του φακού.

Ο φωτοφράκτης είναι μια μηχανική διάταξη που παραμένει ανοιχτή γιαεπιλεγμένα χρονικά διαστήματα. Αυτά τα χρονικά διαστήματα ονομάζονται χρόνοιέκθεσης.

Ενότητα Ο2.6

Λειτουργία της φωτογραφικής μηχανής – Φωτεινότητα εικόναςΗ φωτεινότητα της εικόνας που σχηματίζεται στον αισθητήρα CCD εξαρτάται απότην ένταση του φωτός στο είδωλο, δηλαδή:

Φωτεινότητα εικονας = ρυθμός με τον οποίο λαμβάνει ενέργεια ο αισθητήρας CCDανά μονάδα εμβαδού του ειδώλου = ένταση φωτός πάνω στο είδωλο, ή

Φωτεινότητα εικόνας = Ι0 * π(D/2)2 / [π*(h'/2)

2], όπου

Ι0 είναι η ένταση της πηγή (μπροστά από την μηχανή), D είναι η διάμετρος του

φακού, h' το μέγεθος του ειδώλου. Για συγκεκριμένο p και h, εξαρτάται από το f.

Ο αριθμός ƒ ενός φωτογραφικού φακού ορίζεται ως:

ƒ ≡ (Εστιακή απόσταση) / D.

Η ένταση του φωτός στο είδωλο συνδέεται με τον αριθμό ƒ μέσω της σχέσης:

I 1/(αριθμός ƒ)2 .

Συχνά, ο αριθμός ƒ χρησιμοποιείται για να περιγράψει την «ταχύτητα» (δηλαδή τονχρόνο που θα ειναι ανοικτό το κλείστρο) του φακού. Οι φακοί με μικρό αριθμό f είναι«γρήγοροι».

Φωτογραφική μηχανή – Αριθμοί f

Αν αυξήσουμε τη ρύθμιση από έναν αριθμό ƒ στον αμέσως μεγαλύτερο, ηεπιφάνεια του διαφράγματος υποδιπλασιάζεται.

Αν επιλέξουμε τη μικρότερη ρύθμιση του αριθμού ƒ ενός φωτογραφικού φακού,το διάφραγμα θα ανοίξει πλήρως και θα γίνει χρήση της μέγιστης δυνατήςεπιφάνειας του φακού.

Συνήθως οι απλές φωτογραφικές μηχανές έχουν σταθερή εστιακή απόσταση καισταθερό διάφραγμα, ενώ ο αριθμός ƒ είναι περίπου ίσος με f/11.

Το ανθρώπινο μάτι

Το ανθρώπινο μάτι εστιάζει το φως καιδημιουργεί ευκρινή είδωλα.

Τα βασικά μέρη του ματιού:

Ο κερατοειδής χιτώνας – το φωςδιέρχεται από αυτή τη διαφανήμεμβράνη.

Το υδατοειδές υγρό – διαφανές υγρόπίσω από τον κερατοειδή χιτώνα.

Η κόρη

Ένα μεταβλητό διάφραγμα

Μια οπή στην ίριδα

Ο κρυσταλλοειδής φακός

Το ανθρώπινο μάτι – Μια κοντινή φωτογραφία του κερατοειδούς χιτώνα

Ενότητα Ο2.7

Το ανθρώπινο μάτι – Βασικά μέρη

Η διάθλαση γίνεται κατά κύριο λόγο στην εξωτερική επιφάνεια του ματιού.

Εκεί, ο κερατοειδής χιτώνας είναι καλυμμένος με μια δακρυϊκή μεμβράνη.

Η ίριδα είναι ένα μυϊκό διάφραγμα που ελέγχει το μέγεθος της κόρης. Ρυθμίζειτην ποσότητα του φωτός που εισέρχεται στο μάτι.

1) Διαστέλλει την κόρη σε συνθήκες χαμηλού φωτισμού.2) Συστέλλει την κόρη σε συνθήκες υψηλού φωτισμού.

Ο αριθμός f του ματιού κυμαίνεται περίπου από f/2.8 έως f/16.

Το ανθρώπινο μάτι – Βασικά μέρη

Η διάθλαση γίνεται κατά κύριο λόγο στην εξωτερική επιφάνεια του ματιού.

Εκεί, ο κερατοειδής χιτώνας είναι καλυμμένος με μια δακρυϊκή μεμβράνη.

Η ίριδα είναι ένα μυϊκό διάφραγμα που ελέγχει το μέγεθος της κόρης. Ρυθμίζειτην ποσότητα του φωτός που εισέρχεται στο μάτι.

1) Διαστέλλει την κόρη σε συνθήκες χαμηλού φωτισμού.2) Συστέλλει την κόρη σε συνθήκες υψηλού φωτισμού.

Ο αριθμός f του ματιού κυμαίνεται περίπου από f/2.8 έως f/16.

Το ανθρώπινο μάτι – Λειτουργία

Το σύστημα κερατοειδούς χιτώνα-φακού εστιάζει το φως στην πίσω επιφάνεια του ματιού. Η επιφάνεια αυτή ονομάζεται αμφιβληστροειδής χιτώνας.

Ο αμφιβληστροειδής χιτώνας περιέχει ευαίσθητους δέκτες, που ονομάζονται ραβδία καικωνία.

Υπάρχουν μόνο τρία είδη κυττάρων ευαίσθητων στο χρώμα: τα κόκκινα, τα πράσινα, και ταμπλε κωνία. Το χρώμα που βλέπουμε εξαρτάται από το ποια είδη κωνίων διεγείρονται.

Οι δέκτες στέλνουν παλμούς μέσω του οπτικού νεύρου στον εγκέφαλο.

Στον εγκέφαλο γίνεται αντιληπτό το είδωλο.

Το ανθρώπινο μάτι – Εγγύτατο και απώτατο σημείοΠροσαρμογή:

Το μάτι εστιάζει σε ένα αντικείμενο μεταβάλλοντας το σχήμα του εύκαμπτουκρυσταλλοειδούς φακού – το q σταθερό, για διαφορετικά p αλλάζει το f.

Συμβαίνει πολύ γρήγορα. Είναι περιορισμένη, με την έννοια ότι τα αντικείμενα που βρίσκονται πολύ κοντά στο μάτι

δημιουργούν θολά είδωλα.

Εγγύτατο σημείο είναι η μικρότερη απόσταση στην οποία ο φακός μπορεί ναπροσαρμοστεί και να εστιάσει το φως στον αμφιβληστροειδή.

Σε ηλικία 10 ετών, είναι συνήθως περίπου 18 cm. Η μέση τιμή είναι περίπου 25 cm. Αυξάνεται με την ηλικία (μέχρι και 50 cm ή περισσότερο σε ηλικία 60 ετών)

Το απώτατο σημείο του ματιού αντιστοιχεί στη μεγαλύτερη απόσταση στην οποία οφακός του ξεκούραστου ματιού μπορεί να εστιάσει το φως στον αμφιβληστροειδή.

Το απώτατο σημείο για τη φυσιολογική όραση τείνει στο άπειρο.

Παθήσεις του ματιού

Η εστιακή απόσταση του συστήματος φακού-κερατοειδούς ενδέχεται να μησυμπίπτει με το μήκος του ματιού. Οι ακτίνες φωτός φτάνουν στοναμφιβληστροειδή είτε προτού είτε αφού συγκλίνουν για να σχηματίσουν τοείδωλο.

Τα μάτια μπορεί να υποφέρουν από:

Υπερμετρωπία

Τα μάτια μπορούν να εστιάσουν στα μακρινά, αλλά όχι στα κοντινά αντικείμενα.

Μυωπία Τα μάτια μπορούν να εστιάσουν στα κοντινά, αλλά όχι στα μακρινά αντικείμενα.

Υπερμετρωπία

Το εγγύτατο σημείο του ματιού ενός ατόμου με υπερμετρωπία βρίσκεται πολύπιο μακριά από το εγγύτατο σημείο του φυσιολογικού ματιού.

Το είδωλο εστιάζεται πίσω από τον αμφιβληστροειδή χιτώνα.

Συνήθως, τα άτομα με υπερμετρωπία μπορούν να δουν καθαρά τα μακρινάαντικείμενα, αλλά όχι τα κοντινά.

Διόρθωση της υπερμετρωπίας

Η πάθηση αντιμετωπίζεται με την τοποθέτηση ενός συγκλίνοντα φακού μπροστάαπό το μάτι.

Ο φακός διαθλά τις εισερχόμενες ακτίνες περισσότερο προς τον κύριο άξοναπριν αυτές εισέλθουν στο μάτι.

Αυτό επιτρέπει στις ακτίνες να συγκλίνουν και να εστιαστούν στοναμφιβληστροειδή.

Μυωπία

Το απώτατο σημείο ενός μυωπικού ματιού δεν είναι το άπειρο και μπορεί να είναιμικρότερο από ένα μέτρο.

Ένας άνθρωπος με μυωπία μπορεί να εστιάσει στα κοντινά, αλλά όχι σταμακρινά αντικείμενα.

Διόρθωση της μυωπίας

Η πάθηση διορθώνεται με τη χρήση ενός αποκλίνοντα φακού.

Ο φακός διαθλά τις ακτίνες μακριά από τον κύριο άξονα προτού αυτές εισέλθουνστο μάτι.

Αυτό δίνει τη δυνατότητα στις ακτίνες να εστιαστούν στον αμφιβληστροειδή.

Πρεσβυωπία και αστιγματισμός

Η πρεσβυωπία (σύνθετη λέξη από το πρέσβυς και ωψ, που σημαίνει η όρασητων γηραιών ανθρώπων) οφείλεται στη μείωση της ικανότητας προσαρμογής τουματιού.

Ο κερατοειδής χιτώνας και ο φακός δεν μπορούν να εστιάσουν επαρκώς τακοντινά αντικείμενα στον αμφιβληστροειδή.

H πάθηση αντιμετωπίζεται με χρήση συγκλίνοντων φακών.

Στον αστιγματισμό, το φως που προέρχεται από μια σημειακή πηγή δημιουργείστον αμφιβληστροειδή ένα είδωλο-γραμμή.

Εμφανίζεται όταν ο κερατοειδής χιτώνας, ο φακός, ή και οι δύο δεν είναιαπολύτως συμμετρικοί.

Διορθώνεται με φακούς που έχουν διαφορετικές καμπυλότητες σε δύοκατευθύνσεις κάθετες μεταξύ τους.

Ο μεγεθυντικός φακός

Ο κοινός μεγεθυντικός φακός αποτελείται από έναν συγκλίνοντα φακό. Η διάταξηαυτή αυξάνει το φαινόμενο μέγεθος ενός αντικειμένου.

Όταν ένα αντικείμενο βρίσκεται στο εγγύτατο σημείο του ματιού (p~25 cm), ηγωνία υπό την οποία το βλέπουμε είναι μέγιστη.

Όταν το αντικείμενο βρίσκεται κοντά στην εστία ενός συγκλίνοντος φακού, οφακός σχηματίζει ένα φανταστικό, όρθιο, και μεγεθυμένο είδωλο.

Γωνιακή μεγέθυνση

Η γωνιακή μεγέθυνση ορίζεται ως:

Η γωνιακή μεγέθυνση είναι μέγιστη όταν το είδωλο που σχηματίζει ο φακόςβρίσκεται στο εγγύτατο σημείο του ματιού (q = –25 cm). Η μεγένθυση είναιελάχιστη, όταν το αντικέιμενο του φακού σχηματίζεται στο άπειρο.

Με έναν μόνο φακό μπορούμε να πετύχουμε μεγέθυνση μέχρι 4 φορές περίπουχωρίς σημαντικές εκτροπές.Με πολλούς φακούς, έχουμε τη δυνατότητα ναμεγεθύνουμε το παρατηρούμενο αντικείμενο μέχρι και 20 φορές.

m≡ θθ0

= γωνία μεφακόμέγιστη γωνία χωρίς φακό

Το σύνθετο μικροσκόπιο

Το σύνθετο μικροσκόπιο αποτελείται από δύο φακούς.Παρέχει μεγαλύτερη μεγέθυνση απ’ ό,τι ένας φακός.

Ο αντικειμενικός φακός έχει μικρή εστιακή απόσταση,

ƒo < 1 cm

Ο προσοφθάλμιος φακός έχει εστιακή απόσταση ƒe ίση μελίγα εκατοστά.

Η απόσταση μεταξύ των δύο φακών, L, είναι πολύ μεγαλύτερη από τις εστιακέςαποστάσεις των δύο φακών.

Το αντικείμενο βρίσκεται ακριβώς έξω από την εστία του αντικειμενικού φακού.Σχηματίζει ένα πραγματικό, ανεστραμμένο είδωλο.

Το είδωλο αυτό βρίσκεται στην εστία του προσοφθάλμιου φακού ή κοντά σε αυτήν. Τοσυγκεκριμένο είδωλο λειτουργεί ως αντικείμενο για τον προσοφθάλμιο φακό.

Το τελικό είδωλο είναι φανταστικό, ανεστραμμένο, και πάρα πολύ μεγεθυμένο.

Τηλεσκόπια

Τα τηλεσκόπια μάς βοηθούν να παρατηρούμε μακρινά αντικείμενα.

Υπάρχουν δύο βασικά είδη τηλεσκοπίων

Στα διαθλαστικά τηλεσκόπια χρησιμοποιείται ένας συνδυασμός φακών για τονσχηματισμό του ειδώλου.

Στα ανακλαστικά τηλεσκόπια χρησιμοποιείται ένα κοίλο κάτοπτρο και ένας φακόςγια τον σχηματισμό του ειδώλου.

Στα κατοπτρικά τηλεσκόπια που χρησιμοποιούν μόνο κάτοπτρα για το σηματισμότων ειδώλων.

Μπορούμε να αναλύσουμε το τηλεσκόπιο θεωρώντας το ως συνδυασμό δύοοπτικών στοιχείων τοποθετημένων σε σειρά.

Το είδωλο του πρώτου στοιχείου αποτελεί το αντικείμενο για το δεύτερο στοιχείο.

Ανακλαστικό (ή Νευτώνειο) τηλεσκόπιο

Οι επερχόμενες ακτίνες φωτόςανακλώνται στο κάτοπτρο καισυγκλίνουν προς το σημείο Α.

Κανονικά, το είδωλο θα σχηματιζότανστο σημείο Α.

Ένα μικρό, επίπεδο κάτοπτρο Mανακλά το φως προς μια οπή σταπλάγια του σωλήνα και το μεταφέρειμέσα στο προσοφθάλμιο.

Αυτό συμβαίνει πριν σχηματιστεί τοείδωλο στο σημείο Α.

Κατοπτρικά τηλεσκόπια

Τα μεγαλύτερα κατοπτρικά τηλεσκόπια στον κόσμο έχουν διάμετρο 10 m καιβρίσκονται στο αστεροσκοπείο Keck, στο όρος Μαούνα Κέα της Χαβάης.

Κάθε τηλεσκόπιο περιέχει 36 εξαγωνικά κάτοπτρα, ελεγχόμενα από ηλεκτρονικόυπολογιστή, τα οποία συνεργάζονται για να σχηματίσουν μια μεγάλη ανακλαστικήεπιφάνεια.

Τηλεσκόπια με διαφορετικά κάτοπτρα που λειτουργούν συνεργατικά μπορούν ναέχουν πραγματική διάμετρο μέχρι 30 m.