VECTORES

CANTIDADES ESCALARES.- Son cantidades que para su total determinación sólo es necesario indicar su magnitud.

Por ejemplo: la temperatura (T=370C; t=2horas; ρ= 2.7g/cm3, etc.

CANTIDADES VECTORIALES.- Son aquellas que para su total determinación es necesario indicar su magnitud y su dirección.

Por ejemplo: la fuerza, F= 100N hacia el Norte.

La velocidad: v = 10 m/s al SE (Sur-este)

SUS OPERACIONES OBEDECEN A LAS LEYES ORDINARIAS DE LAS MATEMATICAS

VECTORES

Los vectores son segmentos dirigidos y se representan por medio de una flecha.

magnitud

NOMENCLATURA DE UN VECTOR

A Vector de magnitud A

a Vector de magnitud a

A

Vector de magnitud A

a

Vector de magnitud a

+X

Selección de escala

1. Dibuje un vector de 10 metros de magnitud dirigido a 900

2. Dibuje un vector de 500 unidades con una dirección de: 1200, 600, -70

use escala 1cm =2m

use escala 1cm =100 u

VECTORES IGUALES

Son aquellos que tienen la misma magnitud y la misma dirección.

x

y

O

Estos cuatro vectores son iguales porque tienen la misma longitud y la misma dirección.

El vector A tiene 5 unidades y su dirección es 600 mientras que el vector B tiene 5 unidades y su dirección es -3000. Son A y B vectores iguales?

PREGUNTA

Todo vector se pueden trasladar manteniendo su magnitud y su direccion

SOLUCION

Los dos vectores son iguales porque la dirección 600 es igual a la dirección -3000.

OPERACIONES CON VECTORES

Los vectores pueden realizar las siguientes operaciones:

• suma

• resta

• multiplicación

NO EXISTE LA DIVISION DE VECTORES

SUMA DE VECTORES

A

BR

METODO GRAFICO DEL POLIGONO

B A

R

El orden de los vectores no altera la resultante.

BAR

METODO GRAFICO DEL POLIGONO

A

B

C

R

CBAR

VER ANIMACION

PREGUNTAS

1. Dos vectores tienen magnitudes diferentes. ¿Su suma puede ser cero?

2. Las magnitudes de dos vectores A y B son: A=5 unidades y B=2 unidades. Encuentre los valores mayor y menor posibles para el vector resultante R = A + B.

3¿Cuáles de los siguientes son vectores y cuáles no

a) Fuerza

b) Temperatura

c) Volumen

d) Número de espectadores de un programa de televisión

e) Altura

f) Velocidad

g) Aceleración

h) Presión

i) densidad

SUMA DE VECTORES

METODO DEL PARALELOGRAMO

El paralelogramo es una figura geométrica de 4 lados, dos de los cuales son de la misma longitud y paralelos.

PASOS PARA SUMAR VECTORES POR EL METODO DEL PARALELOGRAMO

1. Colocar todos los vectores de modo que sus puntos iniciales coincidan.

2. Formar un paralelogramo con cada par de vectores

3. La resultante es el vector que va del punto inicial de los vectores hasta el vértice opuesto.

A

B

R

SUMA DE TRES VECTORES POR EL METODO GRAFICO DEL PARALELOGRAMO

A

B

C

1R

R

EJEMPLO

Un auto recorre 20 km rumbo al norte y después 35 km en una dirección 600 al oeste del norte, como se muestra en la figura. Determine la magnitud y la dirección del desplazamiento resultante. Realice este ejercicio usando el método gráfico del polígono y del paralelogramo RESPUESTA: R = 48.2 km

β = 38.90

¿Es posible sumar una cantidad vectorial a una cantidad escalar?

COMPONENTES DE UN VECTOR

X

Y

XA

YA A

Para todo triángulo rectángulo se cumple que: ..

..tan

..cos

..

AL

OLh

ALh

OLsen

O

x

y

xx

yy

A

A

AAA

A

AsenAA

Asen

tan

coscos

PROBLEMA

El vector A se localiza en el plano xy. ¿En qué orientaciones de A sus componentes serán negativas? ¿En qué orientaciones sus componentes tendrán signos opuestos?

+ +- +

- - + -

El primer signo es de la componente x

x

y

A

XA

yA

x

y

xA

xAyA

yA

EJEMPLO

Sobre un bloque se aplican dos fuerzas como se muestra en la figura. Calcule la fuerza resultante

A=50NB=30N

300400

xA

yA

xB

yB

NAx 3.4330cos50

NBx 0.2340cos30 NBAR xxx 3.20

NsenAy 0.253050 NsenBy 3.194030 NBAR yyy 3.44

NRRR yX 7.483.443.20 2222

030040

NRRR yX 7.483.443.20 2222

xR

yR R

O

18.23.20

3.44tan

x

y

R

R 18.2tan 1

04.65

x

y

En es estudio de la mecánica clásica es conveniente describir el movimiento en términos del espacio y el tiempo, sin tomar en cuenta los agentes que lo producen.

POSICION es un vector que parte del origen y se dirige hasta el punto donde se halla la partícula.

origen

Lugar donde se halla la partícula

x

Vector posición

VECTOR DESPLAZAMIENTO es aquel que parte del punto inicial hasta el final donde se ha movido la partícula.

continuación

origen

desplazamiento

x

Posición final

Posición inicial

x

Cuando el movimiento es en una dimensión, el vector desplazamiento puede ser positivo o negativo.

ix

fx

El desplazamiento de una partícula se define como el cambio en su posición.

if xxx

El movimiento se considera rectilíneo uniforme cuando el móvil recorre distancias iguales en tiempos iguales

Movimiento Rectilíneo Uniforme

Definición de velocidad

Movimiento en una dimensión

0tt

x(0)x(t)v

x(0)x(t)Δx desplazamiento x(0)x(t)Δx desplazamiento

VER ANIMACION

Gráficas en el MRU

Supóngase un móvil que parte de la posición inicial x = 2,00 m y se mueve con velocidad constante de 3,00 m/s

Gráficas en el MRU

2,00 m 5,00 m 8,00 m 11,00 m

t = 0,0

i(3,00m/s)v ˆ

t = 1,00 s t = 2,00 s t = 3,00 s

0

3,00 m 3,00 m 3,00 m

x

yyy

x

y

0

x

y

i(3,00m/s)v ˆ

3,00 m

8,00 m

t = 2,00 s

Ver animación

1,00 2,00 3,00 4,00

2,00

4,00

6,00

8,00

10,00

12,00

X(m)

t(s)

3,00t2,00x

Velocidad media se define como el desplazamiento (Δx) dividido para el intervalo de tiempo Δt

t

xvm

Sus unidades son m/s en el SI

La velocidad media es un vector y por lo tanto tiene magnitud y dirección.

RAPIDEZ MEDIA se define como la distancia total recorrida dividida para el intervalo de tiempo.

totaltiempo

totaldistanciamedia rapidez La rapidez media sólo

tiene magnitud.

EJEMPLO

La posición de un automóvil que baja por la pendiente de una colina fue observada en diferentes tiempos y los resultados se resumieron en la tabla siguiente.

x(m) 0 2.3 9.2 20.7 36.8 57.5

t(s) 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

a) Encuentre la velocidad media del automóvil durante el primer segundo,b) durante los últimos 3 segundos y c) durante el periodo completo de observación.

2.3mx donde tiempo

entodesplazami

t

xvm

smv

s

mv mm 3.2

0.1

3.2

b) Durante los últimos 3 segundos

continuación

smt

xvm 0.20.5

2.95.57

s

mvm 0.3

3.48

smvm 1.16

c) Durante todo el intervalo de tiempo.

s

m

t

xvm 0.5

5.57

smvm 5.11

EJEMPLO

Un automovilista viaja hacia el norte durante 35.0 minutos a 85 km/h y luego se detiene durante 15.0 minutos. Después continúa hacia el norte recorriendo 130 km en 2.00 horas.

a) ¿Cuál es su desplazamiento total?

b) ¿Cuál es su velocidad media?

SOLUCION

El tiempo total de recorrido es

.min0.170120150.35 tott

min42.1

min6085

kmh

h

km

min0.35min

42.111

kmxv t

x kmx 7.491

Por datos del problema: kmx 1302

Su desplazamiento total es:21 xxx

kmkmx 1307.49 kmx 7.179a)

La velocidad media se define como desplazamiento dividido para el tiempo total. Por tanto:

min06.1

min170

7.179 kmkmvm

smvm 7.17 que Demuestre

kmx 7.179a)

EJEMPLO

Una persona camina del punto A al punto B con una rapidez constante de 5.00 m/s a lo largo de una línea recta, y después regresa a lo largo de la línea B a A con una rapidez constante de 3.00 m/s.

a) ¿Cuáles es su rapidez media en el recorrido completo.

b) ¿Su velocidad media en el recorrido completo.

SOLUCION

La persona camina una distancia total de 2x.

1111 v

xttvx

00.51

xt

22 te,similarmen tvx 2

2 v

xt

00.32

xt

continucaión

El tiempo total recorrido es:

00.300.5

xxttot

sx

txx

t tottot 0.15

00.8

0.15

00.500.3

totaltiempo

recorrida distancia media rapidez x

xv

xx

v00.8

0.30

0.1500.82

75.3 smv

Rapidez media

b) La velocidad media es cero porque el desplazamiento es cero.

GRAFICO POSICION VS. TIEMPO (x-t)

t

xvm

VELOCIDAD INSTANTANEA

La velocidad instantánea e igual a la velocidad media pero el desplazamiento es aquel medido en un tiempo sumamente pequeño.

pequeño sumamente est si

t

xvins

Y(m)

x(m)

t2

t3

A

)(tv 1

El vector velocidad instantánea es tangente a la trayectoria que describe la partícula

)(tv 2

)(tv 3

t1

CINEMATICA

En la figura se muestra la gráfica de posición vs. tiempo para cierta partícula que se mueve a lo largo del eje x. Encuentre la velocidad media en los intervalos de tiempo: a) de 0 a 2s; b) de 0 a 4s; c) de 2 a 4s; d) de 4 a 7s; e) de 0 a 8s.

a)s

ms

mvm 5

2

10

EJEMPLO

sm

s

mvm 33.3

3

10

sm

s

mvm 5.2

2

5

c)

d)

b) sm

s

mvm 25.1

4

5 e) s

mvm 0

2 4 6 8

-3

5

st

mx EJEMPLOEn t = 1.00s, una partícula que se mueve con velocidad constante se localiza en x =-3.00m y en t =6.00s, la partícula se localiza en x = 5.00m.

a) Con esta información grafique la posición como función del tiempo.

b) Determine la velocidad de la partícula a partir de la pendiente de esta gráfica.

s

ms

m6.1

1-6

3--5 pendiente

smv 6.1

PROBLEMA

Determine la velocidad instantánea del la partícula descrita en la figura mostrada en los siguientes tiempos. a) t=1s; b) t=3s; c) t=4.5s; d) t=7.5s

sm

s

mv 5

2

10

sm

s

mv 5.2

2

5 b)

0 c) vs

ms

mv 5

1

5 d)

a)

La aceleración media de una partícula se define como el cambio en velocidad v dividido entre el intervalo Δt durante el cual ocurre dicho cambio.

if

ifm tt

vv

t

va

Las unidades de la aceleración son:2s

m

La aceleración instantánea es t

v

medida en un t sumamente pequeño

GRAFICOS VELOCIDAD VS. TIEMPO (v-t)v

v

ECUACIONES DE LA CINEMATICA

CON ACELERACION CONSTANTE

2

2

1attvx o atvv o

axvv 220

2 20 fvv

x

Todas estas ecuaciones son válidas sólo para aceleración constante.

Recuerde que en estas ecuaciones

x es el desplazamiento.

VER ANIMACION

EJEMPLO

Un jet aterriza sobre un portaviones a 63 m/s

a) ¿Cuál es su aceleración si se detiene en 2.0s?

atvv if

Despejando la aceleración:

s

sm

t

vva if

0.2

/630

25.31 sma

b) ¿Cuál es el desplazamiento del avión mientras se está deteniendo?

20 2

1attvx 225.31

2

1263 x mx 63

EJEMPLO

Una partícula se mueve con una velocidad de 60.0 m/s en la dirección x positiva en t = 0. Entre t = 0 y t = 15.0s, la velocidad disminuye uniformemente hasta cero.

a) ¿Cuál es la aceleración durante este intervalo de 15.0s?

smvi 0.60 s

mv f 0

t

vva

if

ss

ma

15

0.600 20.4

sma

b) ¿Cuál es el significado del signo de su respuesta?

PROBLEMA

Una gráfica velocidad-tiempo para un objeto que se mueve en línea recta a lo largo del eje x se muestra en la figura. Determine la aceleración media del objeto en los intervalos de tiempo t = 5.00s a t = 15.0s y t = 0 a t = 20.0s.

2

10

88s

mam

26.1s

mam

2

20

88s

mam

28.0s

mam

PROBLEMA

Un auto acelera desde el reposo con aceleración constante de 2.0 m/s2 durante 5.0 s

a) ¿Qué rapidez tendrá al cabo de este tiempo?

t

vva if

Despejando vfs

s

mvatv ff 0.52

2

smv f 10

b) ¿qué distancia recorrerá en ese tiempo?

20 2

1attvx 2

22 0.50.2

2

1

2

1s

smxatx

mx 0.25

PREGUNTAS

1. Si la gráfica velocidad-tiempo de un objeto es una línea horizontal, ¿qué puede decir acerca de la aceleración del objeto?

v

2. Si la velocidad de una partícula, ¿su aceleración puede ser cero? Explique.

3. Si la velocidad de una partícula es cero, ¿su aceleración puede ser diferente de cero? Explique.

4. Una planta de rápido crecimiento duplica su altura cada semana. Al final del día 25 la planta alcanza la altura de un edificio. ¿En qué tiempo la planta tuvo un cuarto de la altura del edificio?

t

v

En ausencia de la resistencia del aire, todos los objetos que se dejan caer cerca de la superficie de la Tierra caen hacia ella con la misma aceleración constante bajo la influencia de la gravedad terrestre.

Desplazamiento positivo

Desplazamiento negativo

Velocidad positiva

Velocidad positiva

ECUACIONES CINEMATICAS PARA LA CAIDA LIBRE

En lugar de x llamaremos y a las ecuaciones para m.r.u.v.(movimiento rectilíneo uniformemente variado)

gtvv yy 0

gyvv oyy 222

2

2

1gttvy oy

tvv

y yoy

2

atvv 0

axvv oy 222

2

2

1attvx o

tvv

x yo

2

EJEMPLO

Una bola de golf es lanzada desde el reposo de la parte alta de un edificio muy alto. Calcule:

a) La posición después de 1.0s; 2.0s; 3.00s.2

2

1gttvy oy

mss

my 9.40.18.9

2

10 2

21

mss

my 6.190.28.9

2

10 2

22

mss

my 1.440.38.9

2

10 2

23

-4.9m

-19.6m

-44.1m

Las ecuaciones que se han visto anteriormente son válidas sólo para el caso en que no hay fuerzas resistivas (fricción).

En caso de que aparecen fuerzas resistivas se llega a una velocidad terminal que permanece constante durante la caída.

Ver animación

Continuacion caida libre

EJEMPLO

Una pelota es lanzada directamente hacia abajo con una rapidez inicial de 8.00 m/s desde una altura h. ¿Si tarda 1.5 segundos en llegar al suelo, ¿Cuál es la altura h?

SOLUCION

smvo 00.8

2

2

1gttvy oy

25.18.92

15.100.8 y

my 51

El signo menos indica que el desplazamiento es hacia abajo

EJEMPLO

Una pelota de béisbol es golpeada con el bate de tal manera que viaja en línea recta hacia arriba. Un aficionado observa que son necesarios 3.00 s para que la pelota alcance su altura máxima.

a) Calcule su velocidad inicial

SOLUCION

cero. es adsu velocid

máxima alturasu a llega cuando pero gtvv oy

ss

mvgtv oyoy 00.38.9

2 mvoy 4.29

Continuación caída libre

b) Calcule la altura máxima que alcanza.

gyvv oy 222 Cuando alcanza su altura máxima la velocidad es cero.

g

vy oy

2

2

max my8.92

4.29 2

max my 1.44max

c) Calcule el tiempo que tarda la pelota en llegar al suelo

sttot 00.6

d) ¿Con qué velocidad la pelota golpea el suelo?

smv 4.29