Le velocità v delle particelle d’acqua nei terreni sono talmente basse che

variabile ‘causa’ = quota piezometrica [L] =

2

2w

u vHg

ζγ

= + +

w

uh Hζγ

= + ≈

Approccio fenomenologico:1. individuazione variabili fisiche ‘causa’ ed ‘effetto’ caratterizzanti il fenomeno

(verifica analogie e differenze con il moto idraulico in condotte e canali)2. studio legame fisico-meccanico tra cause ed effetti macroscopici

h = quota di risalita dell’acqua in un tubo (piezometro) inserito in un punto del sottosuolo

Moto dell’acqua nelle Terre: la quota piezometrica

Scelta della variabile ‘causa’

idraulica delle condotte ⇒ carico idraulico totale [L] =

0ζ =

w

uγ

ζ

Filtrazione1

VQt

∂=∂

( )n n

Q QvA nA∂ ∂

= ≈∂ ∂

Scelta della variabile ‘effetto’

idraulica delle condotte ⇒ portata filtrante [L3T-1]

Nel mezzo poroso si potrebbe considerare:

portata per sezione netta = velocità media [LT-1]

Scelta più pratica:

variabile ‘effetto’ = velocità di flusso [L T-1]

v = portata filtrante attraverso una sezione unitaria di scheletro solido

nv

v

Moto dell’acqua nelle Terre: la velocità di flusso

nn

Q Qv n nvA A

∂ ∂= ≈ =∂ ∂

Filtrazione2

Esperienza di d’Arcy (o Darcy)

In condizioni di flusso stazionario e monodimensionale:

Q hv k k iA L

= = =

k = conducibilità idraulica (o coefficiente di permeabilità) [L T-1] (costante dipendente da caratteristiche del fluido e del mezzo poroso)

i = gradiente idraulico (o cadente piezometrica) [adimensionale]

i 1

L

A

h

La legge di Darcy vale nella quasi totalità dei problemi geotecnici,ad eccezione i casi in cui il numero di Reynolds è molto alto (forti gradienti idraulici, porosità elevate; p. es. nelle rocce fratturate).

permeametroLes fontaines publiques de la ville de Dijon(Darcy, 1856)

Filtrazione3

http://gallica.bnf.fr/notice?N=FRBNF30300204

Altra esperienza significativa… Teton DamFiltrazione4

Generalizzando nelle tre dimensioni, per un mezzo continuo ed anisotropo:

{ } [ ] { } [ ] ( ) v k i k grad h= = −

{v} = velocità di filtrazione (vettore)h = carico idraulico (scalare)

[k] = tensore delle permeabilità (matrice)(kij = componente di velocità lungo la direzione i prodotta da un gradiente unitario negativo lungo j)

3

1i ij

j j

hv kx=∂

= −∂∑

• Sistema (x,y,z) = assi principali di permeabilità ⇒

x x

y y

z z

hv kxhv kyhv kz

∂= − ∂

∂ = − ∂ ∂

= −∂

• Legge di resistenza del mezzo isotropo (kx = ky= kz = k) ⇒ { } ( ) grad v k h= −

Legge di resistenza del moto di filtrazione

⇔

Filtrazione5

Condizione di continuità in un mezzo omogeneo e isotropo

Condizione di continuità della massa di fluido in un elemento di volume:

massa fluido entrante nel volume elementare = ∆(fluido interstiziale)

( )y w rx zw

v nSv vdx dydz dy dxdz dz dxdy dt dzdxdy dtx y z t

ρρ

∂ ∂ ∂ ∂− ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ ∂ ∂ ∂ ∂

Ipotesi del moto di filtrazione ‘stazionario’:

mezzo stabilmente saturo ⇒ Sr = 1fluido incomprimibile ⇒ρw = cost. ⇒ ©

scheletro solido indeformabile ⇒ n = cost.

dzdx

dy

xx

vv dxx

∂+∂

zz

vv dzz

∂+∂

yy

vv dy

y∂

+∂

x

zy

zv

xv

yv In genere:

massa d’acqua in ingresso≠

massa d’acqua in uscita

{ } 0div v =

Filtrazione6

Condizione di continuità + Legge di resistenza { }

{ }

−⋅==

)h(gradkv0vdiv

Introducendo la nella : { }( ) 0 div grad h = ⇒ (equazione di Laplace)

Graficamente il campo di moto è descritto da:• Superfici isopieziche = superfici ‘equipotenziali’, dove h è costante • Linee di flusso = curve inviluppo vettori velocità (ortogonali alle isopieziche)

Proprietà delle due famiglie di curve:

• la quota piezometrica decresce lungo una linea di flusso

• lungo un ‘tubo di flusso’ (superficie generata da linee di flusso) la portata è costante

• non c’è flusso lungo una superficie isopiezica

hh ∆+

hh ∆−h

cosq v A t= ⋅∆ =

Filtrazione stazionaria in un mezzo omogeneo e isotropo

2 0h∇ =

Filtrazione7

∆s

Problemi di filtrazione piana e reti idrodinamiche

In un problema piano (vy = 0):

• superfici → linee isopieziche• il moto è completamente descritto dalla c.d. rete idrodinamica, costituita

da due famiglie di curve ortogonali (isopieziche e linee di flusso) tracciate rispettando le ‘condizioni al contorno’ per h e v

Nella maglia elementare ∆s ⋅ ∆a, la portata è data da

nhq v a k i a k as

∆∆ = ∆ = ∆ = ∆

∆

(∆s = distanza tra due linee isopieziche, ∆a = distanza tra due linee di flusso = sezione tubo)

superficie piezometrica = 1a isopiezica

h-∆h

h+∆h

h∆a

v || superficie impermeabile

Filtrazione8

Calcolo di portata e pressioni interstiziali

Tracciando una rete a maglie quadre (∆s ≈ ∆a) compatibile con le condizioni al contorno:

= aq k h k hs

∆∆ = ∆ = ∆

∆costante lungo ogni tubo di flusso

⇒∆q = costante in ogni tratto di tubo di flusso tra due isopieziche⇒∆h = perdita di carico tra due isopieziche = costante nell’intera rete

H = variazione totale di carico idrauliconh = numero di campi tra le isopieziche h

Hhn

⇒∆ =

H qq q qh h

nQ n q n k h n k kH

n n= ∆ = ∆ = =

( )wu hγ ζ= −

• Calcolo portata filtrante Q(nq = numero di tubi di flusso):

• Distribuzione pressioni interstiziali u:

H12

12

qn

hn

k

Filtrazione9

Tipologia dei problemi in relazione alla variazione nel tempo)

Nei problemi di filtrazione, l’analisi del problema idraulico è disaccoppiabile da quella statica

In base alla variabilità spazio-temporale delle condizioni al contorno, si classificano in:

• Flusso stazionario(condizioni al contorno e dominio di saturazione invariabili nel tempo)

• Flusso transitorio(condizioni al contorno e/o dominio di saturazione variabili nel tempo)

Es. aggottamento da fondo scavo

Es. risalita acqua in piezometro/pozzo

H = cost.

t

Filtrazione10

• Flusso non confinato(contorno variabile col dominio di saturazione)

• Flusso confinato(contorno indipendente dal dominio di saturazione)

Es. traversa in muratura

Es. diga in terraH

Tipologia dei problemi in relazione alle condizioni al contorno

H

Filtrazione11

Gli effetti dei moti di filtrazione nei terreni saturi hanno segno diverso a seconda del verso (concorde o discorde) del flusso rispetto alle azioni gravitazionali litostatiche e idrostatiche

Modifiche di stati tensionali indotte da moti di filtrazione (caso 1D)

1. Fluido in quiete ⇔ quota piezometrica costante

( )

( ) cost.

( ) ; ( )

w

v mw

v sat v v

u z zuh z h h z

z z z u z

γ

ζ ζγ

σ γ σ σ γ

=

= = = + = + =

′ ′= = − =

Filtrazione12

2. Fluido in moto verso il basso ⇔ quota piezometrica decrescente con z

Modifiche di stati tensionali indotte da moti di filtrazione (caso 1D)

( )( )( )( )( ) 0

m m

w w m m w w

v sat

v w

v w

h z h iz hu z γ (h ζ) γ (h iz h z) γ z γ izσ z γ zσ z γ z γ izΔσ z Δu γ iz

= − <= − = − − + = −=

′ ′= +′ = − = >

Filtrazione13

3. Fluido in moto verso l’alto ⇔ quota piezometrica crescente con z

( )( )( ) ; ( )( ) 0

v v

w w v v w w

v sat v w

v w

h z h i z hu z γ (h ζ) γ (h i z h z) γ z γ i zσ z γ z σ z γ z γ i zΔσ z Δu γ i z

= + ⋅ >= − = + ⋅ − + = + ⋅

′ ′= = − ⋅′ = − = − ⋅ <

Modifiche di stati tensionali indotte da moti di filtrazione (caso 1D)

La filtrazione in direzione verticale aggiunge alle tensioni efficaci litostaticheuna variazione γwiz (forza di trascinamento) concorde con il verso del moto

Filtrazione14

Filtrazione in mezzo stratificato (Caso 1D)

1 2

1 21 2 1 2

1 2

h h hh hQ Q k k

L L

∆ = ∆ + ∆

∆ ∆ = ⇒ =

2 11

1 2 2 1

1 22

1 2 2 1

k Lh hk L k L

k Lh hk L k L

∆ = ∆ +⇒ ∆ = ∆ +

k1 = k2 i1 = i2k1

1 2

1 2

,1 ,2 ,1 ,20 0 0

' 2

L L Lv w w

zed ed ed ed ed edL L

h L h Lu u uw dz dz dz dz dzE E E E E Eσ γ γε ∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆= = = − = − − = +∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Es.: subsidenza (cedimento del piano di campagna) indotta da emungimento da un acquifero

Fenomeni deformativi prodotti da moti di filtrazione: subsidenza

Le forze di trascinamento indotte dai moti di filtrazione verso il basso producono:

• aumento delle tensioni efficaci (→ cedimenti)

1

2

1 2

h∆

h

z

1L

2L

L

, ,uσ σ ′

12

21≡

2u

v w hσ γ′∆ = ⋅∆

1vσ ′

Filtrazione16

'm c

w

i i γγ

< =

1u 1u

wγ

' ( ) ( ' )

v sat

w w

v v sat w w w

zu z i z

u i z i z

σ γγ γ

σ σ γ γ γ γ γ

== += − = − − = −

'c

w

i i γγ

= =

Es.: sifonamento (sollevamento fondo scavo) indotto da filtrazione lungo una palancola in un terreno a grana grossa (incoerente)

per

⇓collasso per sifonamento

⇓annullamento delle σ’ (σ’v=0 ∀z)

1

21≡

, ' ,v v uσ σ

2

0'v →σ

Fenomeni di instabilità prodotti da moti di filtrazione: sifonamento

Le forze di trascinamento indotte dai moti di filtrazione verso l’alto producono:

• diminuzione delle tensioni efficaci (→ collasso)

(gradiente critico)

1 0h =

Hhim

∆=2h h= ∆

2u2u

2u

Criterio di Terzaghi H

2H

1

2

Filtrazione17

,

w

w

w w

k k k

k

γµ

γ µ

=

==

In linea di principio si potrebbe esprimere come :

permeabilità assoluta, dipende solo dal solido porosopeso specifico e viscosità del fluido

Il coefficiente di permeabilità

Il coefficiente di permeabilità (o conducibilità idraulica k) non è un parametro ‘intrinseco’ del terreno

in quanto dipende anche dal fluido e dallo stato del terreno stesso.

I principali fattori che influenzano k sono quindi:• per il fluido la temperatura (da cui dipendono γw e µw)• per il solido la granulometria (influenza dimensione e tortuosità degli interstizi)

L’ influenza della granulometria è riflessa dalla relazione empirica per sabbie uniformi:

(Hazen, 1911)

(k in cm/s, c = 0.4 ÷ 1.2, D10 in mm)che evidenzia la dipendenza di k soprattutto dalla dimensione dei granuli più fini!

210k c D= ⋅

Hanno influenza su k anche: - la microstruttura (k decresce con l’attività mineralogica) - la porosità (per un dato terreno)

Espressione di Kozeny – Carman:3

2 1w

w

eke

γαµ

= ⋅ ⋅Σ +

(α = funzione della microstruttura, Σ = superficie specifica, e = indice dei vuoti)

Filtrazione18

Valori tipici del coefficiente di permeabilità

Terreni sabbiosi

k > 10-4 cm/s

Terreni argillosi

k < 10-7 cm/s

Terreni limosi

10-7