Geometria I 169

Figura 10: Piero Della Francesca (1415 – 1492), Pala di Brera / Pala Montefeltro

§ 19 Spazi proiettivi

Cfr: Sernesi, Vol I, cap 3 [1].

(19.1) Definizione. Sia V uno spazio vettoriale su campo K. Lo spazio proiettivo generatoda V (il proiettivizzato di V , denotato con P(V )), è il quoziente di V ! {0} con la relazionedi equivalenza v ! w "# $! % K! = K ! {0} : w = !v. La dimensione di P(V ) è uguale adim(V )& 1.

(19.2) Esempio. L’esempio standard si ottiene considerando lo spazio vettoriale Kn+1 didimensione n+1. Il proiettivo associato si indica con Pn(K) (dunque Pn(R) e Pn(C) indicanolo spazio proiettivo reale e complesso di dimensione n). Se K ha una topologia (metrica), cosìcome An(K) ha la topologia generata da quella di K, anche Pn(K) ha una topologia naturale:la topologia quoziente.

(19.3) Nota. Osserviamo che la definizione (19.1) può essere data anche in termini di gruppidi trasformazioni: l’insieme degli scalari non nulli K! = K ! {0} è un gruppo rispetto all’ope-razione di moltiplicazione (gruppo moltiplicativo), che agisce su V ! {0} (moltiplicazione peruno scalare). Allora semplicemente il proiettivizzato P(V ) è uguale allo spazio delle K!-orbite

P(V ) = V ! {0}/K! .

Geometria I 170

Figura 11: Ra!aello Sanzio (1483 – 1520), La Scuola di Atene

Geometria I 171

Se V ha dimensione 1, allora V != K e V ! {0} != K ! {0}; non è di"cile vedere che quindiP(V ) è costituito da un elemento solo.

(19.4) Nota. Una definizione equivalente di spazio proiettivo è la seguente: P(V ) è l’insiemedi tutti i sottospazi di dimensione 1 di V . Come esercizio, dimostrare che questa definizio-ne coincide con la definizione (19.1) (cioè che i due insiemi ottenuti sono in corrispondenzabiunivoca).

(19.5) Esempio. La retta proiettiva P1(R) = P(R2): è omeomorfa a una circonferenza quo-zientata rispetto alla relazione di equivalenza x ! &x, oppure ad un segmento con gli estremiidentificati (cfr. esercizio (10.2) a pagina 184). Quanti punti ha la retta proiettiva P1(Zp),con p % N primo? E a cosa è omeomorfa la retta proiettiva P1(C) = P(C2). Osserviamo che(z0, z1) ! (z"0, z

"1) se e soltanto se esiste ! % C! tale che z"i = !zi per i = 0, 1. Se z0 = 0, allora

z1 '= 0 e quindi (0, z1) ! (0, 1) dato che z1 = ! · 1 con ! = z1. Se z0 '= 0, allora nello stessomodo

(z0, z1) ! (1,z1

z0).

Quindi in P 1(C) ci sono i punti del tipo [(1, w) con w % C e il punto [(0, 1)]. Con la proiezionestereografica possiamo definire una funzione S2 ! {(0, 0, 1)} ( R2, come

(x, y, z) % S2 ! {(0, 0, 1)} ) R3 *( (x

1& z,

y

1& z) % R2.

Questa si estende ad una funzione

(x, y, z) % S2 *( [(1,x + iy

1& z)] % P1(C) ?

Per rispondere a questa domanda, osserviamo che per ogni x, y, z % R con x2 + y2 + z2 = 1 ez '= 1 (da cui segue che x2 + y2 = 1& z2 '= 0) si ha

(1,x + iy

1& z) ! (1& z, x + iy)

! (1& z2, (1 + z)(x + iy))

! (x2 + y2, (1 + z)(x + iy))

! ((x& iy)(x + iy), (1 + z)(x + iy))

! (x& iy, 1 + z).

Da questo segue che la risposta è a!ermativa (lo si svolga per esercizio: (10.2) a pagina 184).Nello stesso esercizio dimostrare che la funzione appena definita è un omeomorfismo.

(19.6) Definizione. Consideriamo lo spazio proiettivo Pn(K) di dimensione n su campo K.Un punto di x % Kn+1 si scrive come (n + 1)-upla con coordinate xi % K

(x0, x1, . . . , xn).

Geometria I 172

Se x '= 0 (cioè non tutte le coordinate xi sono nulle), la classe di equivalenza di x si puòindicare con [x] % Pn(K). Le coordinate xi di x si chiamano coordinate omogenee, e si scrive

[x] = [x0 : x1 : · · · : xn]

(19.7) Siano p = [p0 : p1 : · · · : pn] e q = [q0 : q1 : · · · : qn] due punti di Pn(K). Allora p = qse e solo se esiste ! % K ! {0} tale che

+i = 0, . . . n, qi = !pi.

Dimostrazione. È una conseguenza immediata della definizione (19.1). qed

(19.8) La funzionej0 : An(K) ( Pn(K),

definita da(x1, x2, . . . , xn) *( [1 : x1 : x2 : · · · : xn]

è iniettiva. La sua immagine è

j0(An(K)) = {[p0 : p1 : · · · : pn] % Pn(K) : p0 '= 0},

e si può definire l’applicazione inversa

{[p0 : p1 : · · · : pn] % Pn(K) : p0 '= 0} ( An(K)

[p0 : p1 : · · · : pn] *( (p1

p0,p2

p0, . . . ,

pn

p0).

Dimostrazione. È ovvio che j0 è ben definita. Per mostrare che è iniettiva, basta mostrare chel’applicazione definita sopra è la sua inversa (definita su {p0 '= 0}). Infatti, la composizione

(x1, x2, . . . , xn) *( [1 : x1 : x2 : · · · : xn] *( (x1

1,x2

1, . . . ,

xn

1)

è chiaramente l’identità di An(K), mentre la composizione

[p0 : p1 : · · · : pn] *( (p1

p0,p2

p0, . . . ,

pn

p0) *( [1 :

p1

p0:p2

p0: · · · :

pn

p0]

è l’identità dato che esiste ! = p0 '= 0, ! % K ! {0} tale che

!(1,p1

p0,p2

p0, . . . ,

pn

p0) = (p0, p1, . . . , pn).

qed

(19.9) Nota. È chiaro che avremmo potuto definire una funzione come la j0 considerandonon la prima coordinata (p0), ma una qualsiasi delle n + 1 coordinate di Kn+1. In questomodo possiamo “includere” lo spazio a"ne An(K) nello spazio proiettivo Pn(K) in almenon + 1 modi distinti. Più in generale, cambiando le coordinate in Kn+1 e in An(K) si possonotrovare infiniti modi di definire tale inclusione.

Geometria I 173

(19.10) Definizione. Per ogni i = 0, . . . , n il sottoinsieme di Pn(K) definito da

{[p0 : p1 : · · · : pn] % Pn(K) : pi '= 0}

si chiama la i-esima carta a!ne, e si indica con il simbolo Ani (K). È il complementare del

sottospazio definito dall’equazione pi = 0, che si dice iperpiano dei punti impropri, o puntiall’infinito. I punti della i-esima carta a"ne hanno, oltre che le coordinate omogenee, anchecoordinate a"ni relative a i, mediante l’applicazione inversa j#1

i .

j#1i : [p0 : p1 : . . . : pn] =

[p0

pi: · · · :

pi#1

pi: 1 :

pi+1

pi: · · · :

pn

pi]

*( (p0

pi, . . . ,

pi#1

pi,pi+1

pi, . . .

pn

pi)

Nota 1. Abbiamo quindi che Pn(K) è l’unione disgiunta dei due sottospazi

Pn(K) = {[x] % Pn(K) : x0 '= 0} ,{ [x] % Pn(K) : x0 = 0}= An

0 (K) , Pn#10 (K),

dove An0 (K) è la parte a"ne e Pn#1

0 (K) è il sottospazio dei punti all’infinito, o punti impropridi Pn(K). La scelta della coordinata x0, xi in realtà può essere vista come la scelta di uniperpiano (di codimensione 1) di punti impropri per Pn(K).

(19.11) Definizione. Sia V ) Kn+1 un sottospazio vettoriale dello spazio vettoriale Kn+1.Allora è ben definita l’inclusione

P(V ) ) Pn(K).

Il sottospazio P(V ) ) Pn(K) si dice sottospazio proiettivo (o sottospazio lineare) di Pn(K) didimensione dim(P(V )) = dim(V )& 1.

(19.12) Nota. I sottospazi di dimensione 0 si dicono punti, quelli di dimensione 1 rette, quellidi dimensione 2 piani, quelli di dimensione n& 1 (codimensione 1) iperpiani.

(19.13) Proposizione. Se L è un sottospazio proiettivo di Pn(K) di dimensione d, allora perogni carta a!ne An

i (K) ) Pn(K) l’intersezione Ani (K) - L, se non vuota, è un sottospazio

a!ne di Ani (K) != An(K) di dimensione d. Viceversa, per ogni sottospazio a!ne S ) An

i (K)di dimensione d esiste un sottospazio proiettivo L ) Pn(K) di dimensione d tale che S =An

i (K) - L.

Dimostrazione. Sia V ) Kn il sottospazio vettoriale per cui P(V ) = L. Senza perdere ingeneralità, a meno di cambi di variabili, possiamo supporre che i = 0. Come abbiamo giànotato nella dimostrazione di (15.12), è sempre possibile scrivere V come luogo degli zeri diuna applicazione lineare (suriettiva) Kn+1 ( Kn#d, cioè come sistema di n & d equazioni(omogenee e indipendenti) nelle n + 1 incognite (le coordinate di Kn+1, cioè le coordinate

Geometria I 174

omogenee dello spazio proiettivo associato); quindi esiste una matrice (n& d). (n + 1) (unafunzione lineare M : Kn+1 ( Kn#d) di rango n& d tale che

V = {v % Kn+1 : M(v) = 0}.

L’intersezione An0 (K)-L è quindi l’insieme di tutti i punti [1 : x1 : x2 : · · · : xn] di An

0 (K) taliche

M(

!

""""#

1x1

x2

. . .xn

$

%%%%&) = 0.

Ma M è lineare, per cui si può scrivere (scelte le basi) come moltiplicazione di una matriceper un vettore, e quindi esistono coe"cienti bi, ai,j tali che i punti di An

0 (K) - L sono tutti esoli i punti di coordinate (x1, x2, . . . , xn) tali che

!

"""#

b1 a1,1 a1,2 . . . a1,n

b2 a2,1 a2,2 . . . a2,n...

...... . . . ...

bn#d an#d,1 an#d,2 . . . an#d,n

$

%%%&

!

"""""#

1x1

x2...

xn

$

%%%%%&=

!

"""#

00...0

$

%%%&

il che è equivalente a scrivere che!

"""#

b1

b2...

bn#d

$

%%%&+

!

"""#

a1,1 a1,2 . . . a1,n

a2,1 a2,2 . . . a2,n...

... . . . ...an#d,1 an#d,2 . . . an#d,n

$

%%%&

!

"""#

x1

x2...

xn

$

%%%&=

!

"""#

00...0

$

%%%&.

L’insieme di soluzioni, se non vuoto, è uno spazio a"ne. Per verificare che si tratta di unospazio a"ne di dimensione d, basta osservare che il rango della matrice (ai,j) è proprio n& d.Infatti, il rango della matrice (ai,j) può essere uguale soltanto a n&d e n&d&1, dal momentoche la matrice (ai,j) si ottiene cancellando la prima colonna della matrice completa (bi, ai,j)(che ha rango n & d per ipotesi). Ma se il rango è uguale a n & d & 1, allora il vettore (bi)non è combinazione lineare dei vettori colonna di (ai,j), e quindi il sistema non ha soluzioni.Quindi deve necessariamente essere uguale a n & d, e l’insieme di soluzioni ha dimensione d.Abbiamo dimostrato la prima parte della proposizione.

Ora, supponiamo di avere un sottospazio a"ne S di dimensione d, e quindi l’insieme disoluzioni di Ax + b = 0. Proseguendo come sopra, ma al contrario, possiamo osservare che lamatrice M = (bi, ai,j) ha rango n& d e che individua il sottospazio vettoriale V di dimensioned + 1 tale che P(V ) = L cercato. qed

Geometria I 175

(19.14) Nota. Come segue da (19.13), lo spazio proiettivo Pn(K) può essere pensato comel’unione di uno spazio a"ne An

0 (K) con coordinate [1 : x1 : x2 : · · · : xn] più un iperpiano dipunti all’infinito (i punti impropri) di coordinate [0 : x1 : x2 : · · · : xn] (cfr. la nota 1 a pagina173). I sottospazi proiettivi di Pn(K) sono quindi i sottospazi a"ni in An

0 (K) cui sono statiaggiunti i loro punti all’infinito.

(19.15) Definizione. Se S ) An(K) è un sottospazio a"ne e An(K) != Ani (K) ) Pn(K) è

una carta a"ne, il sottospazio proiettivo L ) Pn(K) tale che Ani (K)-L = S della proposizione

appena dimostrata si dice il completamento proiettivo (o anche chiusura proiettiva) di L.

(19.16) Esempio. Determiniamo la chiusura proiettiva e i punti all’infinito della retta S diA2(R) di equazione x1+x2 = 1. Per prima cosa, aggiungendo una coordinata, scriviamo A2(R)come carta a"ne di P2(R), con coordinate [1 : x1 : x2]. Per trovare la chiusura proiettiva diS in P2(R) dobbiamo trovare una (sola) equazione lineare omogenea nelle coordinate [z0 : z1 :z2], che definisca un sottospazio vettoriale di R3 di dimensione 2 (che corrisponde alla rettaproiettiva L cercata). Cioè

b1z0 + a1z1 + a2z2 = 0

in modo tale cheb1 · 1 + a1x1 + a2x2 = 0

sia l’equazione di S nella carta a"ne. Basta riscrivere l’equazione come

&1 + x1 + x2 = 0,

e quindi definire b1 = &1, a1 = 1, a2 = 1. La retta proiettiva L ha quindi equazione

&z0 + z1 + z2 = 0

nelle coordinate omogenee [z0 : z1 : z2] di P2(R). I punti all’infinito sono le intersezioni di Lcon la retta impropria di equazione z0 = 0, e quindi sono le soluzioni (omogenee) del sistema

'&z0 + z1 + z2 = 0

z0 = 0

che ha come soluzione tutti l’unico punto di coordinate omogenee [0 : 1 : &1] (che possiamoscrivere come [0 : t : &t] per ogni con t '= 0).

Geometria I 176

§ 19.1 Isomorfismi proiettivi e proiettività(19.17) Definizione. Siano P(V ) e P(W ) due spazi proiettivi. Una funzione f : P(V ) (P(W ) si dice proiettiva se esiste un omomorfismo iniettivo di spazi vettoriali F : V ( W taleche per ogni v % V si ha f([v]) = [F (v)].

V ! {0} F !!

""

W ! {0}

""P(V )

f !! P(W )

Si dice che F induce la funzione f . Se f ammette una inversa proiettiva g (cioè una funzioneg : P(W ) ( P(V ) indotta da un omomorfismo iniettivo G : W ( V tale che gf = 1P(V ) efg = 1P(W )), allora è detto un isomorfismo proiettivo. In questo caso si dice che P(V ) e P(W )sono isomorfi. Se V = W (e quindi P(V ) = P(W ), allora un isomorfismo proiettivo si diceproiettività.

Osserviamo che diverse F possono indurre la stessa funzione proiettiva f : P(V ) ( P(W ):infatto se F : V ( W induce f , allora anche !F , per ! '= 0, ! % K, induce la stessa f .

(19.18) Due omomorfismi F, G : V ( W iniettivi inducono la medesima f : P(V ) ( P(W )se e soltanto se esiste ! % K! tale che G = !F . La funzione f è un isomorfismo se e soltantose F : V ( W è un isomorfismo di spazi vettoriali, per una qualsiasi F che induce f .

Dimostrazione. Abbiamo già visto che se G = !F , allora inducono la stessa f . Viceversa, seF e G inducono la medesima f , allora per ogni v % V deve esistere !v % K! tale che

G(v) = !vF (v).

Se v e w sono due vettori di V , allora

G(v + w) = !(v+w)F (v + w),

e dunqueG(v) + G(w) = !(v+w)(F (v) + F (w).

Ma G(v) = !vF (v), G(w) = !wF (w), e quindi deve essere

!vF (v) + !wF (w) = !(v+w)F (v) + !(v+w)F (w).

Se v e w sono linearmente indipendenti, allora anche F (v) e F (w) lo sono, e quindi

!v = !(v+w) = !w.

Se v e w sono linearmente dipendenti, allora è facile vedere che !v = !w. Quindi esiste ! (chenon dipende da v) tale che G(v) = !F (v) per ogni v % V .

Geometria I 177

Ora, se f è un isomorfismo proiettivo (indotta da F ), allora esiste la sua inversa g (indottada G). La composizione GF induce l’identità di P(V ), la composizione FG induce l’identitàdi P(W ), e quindi devono esistere ! e !" tali che

GF = !1V , FG = !"1W ,

e F deve essere un isomorfismo di spazi vettoriali. qed

(19.19) Nota. Due spazi vettoriali della stessa dimensione (su campo K) sono isomorfi, percui due spazi proiettivi sullo stesso campo e con la stessa dimensione sono isomorfi. Quindisenza perdere in generalità si può sempre pensare che uno spazio proiettivo su campo K siaPn(K). Se indichiamo con GL(V ) il gruppo di tutti gli isomorfismi dello spazio vettorialeV in sé e PGL(V ) il gruppo di tutte le proiettività di P(V ) in sé, si ha un omomorfismo(di gruppi) GL(V ) ( PGL(V ) suriettivo (per definizione) ma non necessariamente iniettivo.Come abbiamo visto prima, il suo nucleo è proprio dato dall’insieme di tutti i multipli di 1V

(identità di V ) del tipo !1V , con ! % K!. Possiamo ripetere passo per passo l’argomentousato: se A : V ( V induce l’identità P(V ) ( P(V ), allora per ogni v % V si ha Av = !vvper un certo !v % K (che potrebbe dipendere da v), !v '= 0: cioè tutti i vettori di V sonoautovettori per A. Ora, se v" = v + w, si ha

Av" = Av + Aw

=# !v"v" = !vv + !ww

=# !v"(v + w) = !vv + !ww

=# (!v" & !v)v + (!v & !w)w = 0,

e quindi quando v e w sono linearmente indipendenti deve essere !v = !v" = !w. Dato cheautovettori linearmente dipendenti hanno sempre lo stesso autovalore, deduciamo che !v nondipende da v, e quindi che Av = !v, cioè A = !1V .

Le matrici del tipo !1V costituiscono il centro di GL(V ). Il centro di GL(n, K) != GL(V )è il sottogruppo di tutte le matrici A tali che AB = BA per ogni B % GL(V ). Sia ora Eij

una matrice con coe"cienti ovunque 0 tranne 1 al posto ij, con i '= j. La matrice I + Eij

ha determinante 1, e quindi è invertibile. In particolare, se A è nel centro di GL(V ), deveessere A(I + Eij) = (I + Eij)A per ogni scelta di ij, e quindi AEij = EijA. Ma AEij è unamatrice che ha zeri ovunque tranne nella colonna j-esima (dove compare la i-esima colonna diA). Invece, EijA ha zeri ovunque tranne nella riga i-esima (dove compare la j-esima riga diA). Quindi la matrice AEij = EijA ha tutti zeri tranne nel posto ij; nella j-esima colonna c’èla i-esima colonna di A, che quindi deve avere tutti zero tranne il coe"ciente aii, che comparein AEij al posto ij; nella i-esima riga di AEij c’è la j-esima riga di A, che quindi deve averetutti zero tranne il coe"cienti ajj, che compare in AEij al posto ij. Quindi A è una matricediagonale con a11 = a22 = . . . = ann, cioè A = !I.(19.20) Definizione. Si dice che sottoinsiemi S, S " ) Pn(K) sono proiettivamente equivalentise esiste una proiettività f : Pn(K) ( Pn(K) tale che f(S) = S ".(19.21) Esempio. Quali insiemi di 2 punti sono proiettivamente equivalenti in P1(R)? Qualiin P1(C)?

Geometria I 178

§ 19.2 Incidenza e parallelismo(19.22) Definizione. Così come nella definizione (14.6), presi d + 1 punti [p0], [p1], . . . , [pd]di Pn(K) si può definire il sottospazio proiettivo generato dai punti stessi come l’insieme ditutte le combinazioni lineari

[!0p0 + !1p1 + · · · + !dpd]

con i coe"cienti !i % K non tutti nulli. I punti [pi] % Pn(K) si dicono linearmente dipendentise i corrispondenti vettori pi % Kn+1 sono linearmente dipendenti, e linearmente indipendentise lo sono i vettori.

(19.23) Se S, T ) Pn(K) sono due sottospazi proiettivi e dim(S) + dim(T ) / n, alloraS - T '= 0, cioè S e T sono incidenti.

Dimostrazione. Siano V e W i due sottospazi vettoriali di Kn tali che P(V ) = S ) P(Kn+1)e P(W ) = T ) P(Kn+1). Per definizione si ha dim(S) = dim(V )& 1, dim(T ) = dim(W )& 1.Per la formula di Grassmann si ha dim(V +W )+dim(V -W ) = dim(V )+dim(W ), e quindi

dim(V ) + dim(W )& dim(V -W ) 1 n + 1 = dim(Kn+1).

Dato che dim(S - T ) + 1 = dim(V -W ), i due sottospazi hanno punti in comune se e solo sedim(V -W ) / 1 (per la definizione di spazio proiettivo); inoltre, se dim(S) + dim(T ) / n siha

dim(S - T ) = dim(V -W )& 1

/ (dim V + dim W & n& 1)& 1

= (dim S + 1 + dim T + 1& n& 1)& 1

/ 0,

e quindi la tesi. qed

(19.24) Corollario. Due rette distinte nel piano proiettivo P2(K) si incontrano sempre inun unico punto. Una retta e un piano che non la contiene, nello spazio proiettivo P3(K), siincontrano sempre in un unico punto.

Dimostrazione. Per (19.23) in entrambi i caso l’intersezione non è vuota. A questo puntoosserviamo che esiste una unica retta (proiettiva) passante per due punti distinti di uno spazioproiettivo, per cui due rette non possono avere due punti in comune senza essere coincidenti.Per quanto riguarda la retta e il piano, si procede in modo analogo (vedere anche esercizi(10.12) e (10.15)). qed

(19.25) Nello spazio proiettivo Pn(K) comunque scelti n iperpiani, essi hanno almeno unpunto in comune.

Dimostrazione. Di fatto si tratta di n sottospazi di Kn+1 di dimensione n (codimensione 1),cioè di n equazioni (omogenee) nelle n + 1 coordinate di Kn+1. La dimensione dello spazio disoluzioni è sempre almeno 1. qed

Geometria I 179

(19.26) Se H ) Pn(K) è un iperpiano e P un punto non in H, allora ogni retta passante perP incontra H esattamente in un punto.

Dimostrazione. Sia H = P(V ) per il sottospazio vettoriale V ) Kn+1. Dire che P = [p] %Pn(K) non appartiene a H significa dire che il vettore (non nullo) p non appartiene a V . Sial una retta per P , cioè l = P(W ), con W ) Kn+1 sottospazio vettoriale di dimensione 2, eP = [p] % l, cioè p % W . Dato che la somma delle dimensioni dim(l) + dim(K) è esattamenten, per (19.23) la retta e l’iperpiano devono avere necessariamente almeno un punto in comune.Se ne avessero due distinti, risulterebbe che la dimensione dell’intersezione V - W sarebbe/ 2, e quindi W ) V =# l ) H. Ma questo non può essere dato che P '% H (vedi ancheesercizio (10.15)). qed

(19.27) Nota. Mediante (19.26) si può dimostrare che è possibile definire la proiezione pro-iettando non solo parallelamente (come abbiamo visto fare per spazi a"ni e euclidei), maanche proiettando da un punto di Pn(K). Vediamo come: se Q % Pn(K) è un punto fissatoe H e H " due iperpiani di Pn(K) che non contengono Q, per ogni [x] % H esiste una (unica)retta passante per [x] e per Q; questa retta interseca H " in un unico punto, che chiamiamof([x]). Abbiamo definito quindi una funzione f : H ( H " (chiamata anche proiezione pro-spettica, o prospettiva, di H su H "). È un isomorfismo proiettivo tra H e H ". Per mostrarequesto, osserviamo che H = P(V ) e H " = P(V ") con V e V " sottospazi di Kn+1 di dimensionen. La funzione f è un isomorfismo proiettivo se esiste F : V ( V " lineare (isomorfismo dispazi vettoriali) che induce f . Ora, sia q % Kn+1 un vettore per cui [q] = Q. Dal momentoche q '% V ", si può scrivere Kn+1 come somma (diretta) di sottospazi vettoriali

Kn+1 = 2q3 4 V "

e di conseguenza si può definire la proiezione " : Kn+1 ( V " lungo la direzione del vettore q(meglio, del sottospazio vettoriale generato da q, di dimensione 1). La restrizione di " a V èanch’essa un omomorfismo di spazi vettoriali, e quindi lo è la composizione F : V ( Kn+1 (V ", che è un isomorfismo dato che q '% V . Non rimane che mostrare che per ogni x % V si ha[F (x)] = f([x]). La retta per [x] e Q è il sottospazio (di dimensione 2) generato da x e da q. Èchiaro che la sua intersezione con V " coincide con la sua proiezione mediante " definita sopra(che proietta su V "), dato che la proiezione è parallela a q e [q] = Q è un punto della retta (equindi del piano che stiamo considerando), cioè che l’intersezione è generata da F (x).

(19.28) Nota. A patto di aggiungere i punti all’infinito, possiamo definire una proiezioneprospettica anche tra iperpiani a"ni (e quindi non sarà definita in alcuni punti degli iperpiania"ni).

(19.29) Esempio. Proiettività P1(R) ( P1(R) (circonferenza): in coordinate a"ni so-no. . . Proiettività P1(C) ( P1(C) (sfera di Riemann): corrispondono in coordinate a"ni alletrasformazioni di Möbius

z *( az + b

cz + dper ad& bc '= 0. Sottogruppo modulare: con coe"cienti interi.

Geometria I 180

(19.30) Esempio. Siano A una matrice n. n a coe"cienti in K, b e c due vettori di Kn, eK il campo degli scalari. La proiettività (ricordare il prodotto di matrici a blocchi)

(xu

)*(

(A bct d

) (xu

)=

(Ax + ubctx + ud

)

in coordinate a"ni si scrive (x1

)*(

* 1

ctx + d(Ax + b)

1

+,

cioèx *( Ax + b

ctx + d.

Quando c = 0 (deve essere d '= 0 dato che la matrice completa è invertibile), non è altro cheuna trasformazione a"ne. Altrimenti, manda l’iperpiano (a"ne) di equazione ctx + d = 0all’infinito.

In generale, una proiettività f di P(V ) in sé induce una corrispondenza biunivoca tra gliiperpiani di V (o, equivalentemente, gli iperpiani di P(V )) in sé. Se f manda l’iperpianoall’infinito in sé, allora deve essere c = 0. Se invece c '= 0, non può mandare l’iperpianoall’infinito in sé. Cioè, manda l’iperpiano all’infinito in sé se e solo se c = 0. In altreparole, le trasformazioni a"ni di An

0 (K) ) Pn(K) sono le restrizioni alla parte a"ne An0 (K) di

tutte quelle proiettività di Pn(K) che mandano l’iperpiano all’infinito in sé (si veda l’esercizio(10.26)).

(19.31) Esempio. Proiettiamo con una prospettiva E3 sul piano z = 0, con fuoco in (0, 0, 1):la linea !

#001

$

& + t

!

#xy

z & 1

$

&

passa per (x, y, z) e (0, 0, 1), e incontra il piano z = 0 per t =1

1& z, quindi la proiezione è

!

#xyz

$

& *(

!

#x

1& zy

1& z

$

&

In coordinate omogenee diventa la funzione lineare

[x : y : z : u] *( [x : y : 0 : u& z].

(19.32) Esempio. Proviamo a invertire la funzione S2 ( P1(C) definita nell’esempio (19.5),

(x, y, z) % 2 *( [1& z : x + iy] = [x& iy : 1 + z] % P1(C).

Geometria I 181

Se [w1 : w2] % P1(C), con wi % C, se poniamo w =w2

w1(per w2 '= 0) si ha [1 : w] = [1 : w2

w1] e

quindi basta invertire la proiezione stereografica ed ottenere,-------.

-------/

x =25(w)

|w|2 + 1

y =26(w)

|w|2 + 1

z =|w|2 & 1

|w|2 + 1

"#

x =25(w2/w1)

|w2/w1|2 + 1

y =26(w2/w1)

|w2/w1|2 + 1

z =|w2/w1|2 & 1

|w2/w1|2 + 1

,-------.

-------/

x =25(w2/w1)|w1|2

|w2|2 + |w1|2=

25(w2w1)

|w2|2 + |w1|2

y =26(w2/w1)|w1|2

|w2|2 + |w1|2=

26(w2w1)

|w2|2 + |w1|2

z =|w2|2 & |w1|2

|w2|2 + |w1|2

Se quindi scriviamo w1 = a + ib, w2 = c + id, la mappa si scrive

h(a, b, c, d) =1

a2 + b2 + c2 + d2

025((c + id)(a& ib)), 26((c + id)(a& ib)), c2 + d2 & a2 & b2

1

=1

a2 + b2 + c2 + d2

02(ac + bd), 2(ad& cb), c2 + d2 & a2 & b2

1.

Osserviamo che di fatto è una mappa C2 ! {0} che passa al quoziente con l’azione di C!, equindi si può restringere ad una mappa sulla sfera S3 ) R4 definita da a2 + b2 + c2 + d2 = 1come

h : S3 ( S2.

Questa è una mappa molto importante in geometria e topologia, chiamata la mappa di Hopf ,o anche fibrazione di Hopf . Provare a dimostrare che le controimmagini dei punti di S2 sonocirconferenze disgiunte in S3.

Geometria I 182

Figura 12: Immersione (non regolare e con auto-intersezioni) del piano proiet-tivo in E3. r := 1; plot3d([r*(1+cos(v))*cos(u), r*(1+cos(v))*sin(u),-tanh(2/3*(u-Pi))*r*sin(v)], u = 0 .. 2*Pi, v = 0 .. 2*Pi);

Geometria I 183

Figura 13: Immersione (regolare senza auto-intersezioni: superficie di Boy) delpiano proiettivo in E3. X := (sqrt(2)*cos(2*u)*cos(v)^2 + cos(u)*sin(2*v))/ (2-sqrt(2)*sin(3*u)*sin(2*v)); Y := (sqrt(2)*sin(2*u)*cos(v)^2- sin(u)*sin(2*v)) / (2-sqrt(2)*sin(3*u)*sin(2*v)); Z :=3*cos(v)^2/(2-sqrt(2)*sin(3*u)*sin(2*v)); plot3d([X, Y, Z], u = -(1/2)*Pi.. (1/2)*Pi, v = 0 .. Pi);

Geometria I 184

Esercizi: foglio 10(10.1) Dimostrare che la definizione (19.1) di spazio proiettivo come spazio delle orbite me-diante l’azione del gruppo moltiplicativo del campo è equivalente (nel senso che gli insiemiottenuti sono in corrispondenza biunivoca) alla definizione della nota (19.4), cioè P(V ) èl’insieme di tutti i sottospazi di dimensione 1 di V .

(10.2) Dimostrare che P1(R) è omeomorfo alla circonferenza S1.

*(10.3) Dimostrare che P1(C) è omeomorfo alla sfera S2.

*(10.4) Dimostrare che tutti gli spazi proiettivi Pn(R) e Pn(C), per n / 1, sono compatti.(Suggerimento: invece che considerare lo spazio proiettivo come quoziente di Rn+1 ! {0} conl’azione del gruppo moltiplicativo R!, si può considerare il quoziente solo della sfera Sn ) Rn+1

di equazione x20 +x2

1 + · · ·+x2n, che è compatta. . . e quindi l’immagine di un compatto mediante

la mappa (continua) quoziente è . . . )

(10.5) Dimostrare che A2(R) è omeomorfo ad un disco aperto, e che quindi P2(R) si puòscrivere come unione disgiunta di un disco aperto (la carta a"ne) e la retta di punti all’infinito(che, siccome è omeomorfa a P1(R), è omeomorfa a una circonferenza S1).

(10.6) Dimostrare che ogni sottospazio proiettivo L ) Pn(K) di dimensione d è omeomorfoallo spazio proiettivo Pd(K).

(10.7) Si considerino i punti [1 : 2 : 3], [2 : 3 : 1] e [3 : 1 : 2] di P2(R). Dimostrare che nonsono allineati (cioè che non c’è una retta proiettiva che passa per i tre punti). Sono puntiimpropri per la carta a"ne {[1 : x : y] : x, y % R} ) P2(R)?

(10.8) Si consideri il piano proiettivo P2(R) con carta a"ne A2(R) = {[1 : x : y]} comenell’esercizio precedente. Esiste una retta in A2(R) che ha come punti impropri [0 : 1 : 0] e[0 : 0 : 1]?

(10.9) Dimostrare che ogni retta del piano a"ne ha uno e uno solo punto all’infinito, inqualsiasi chiusura proiettiva.

(10.10) Dimostrare che due rette distinte del piano proiettivo P2(K) hanno sempre uno e unsolo punto in comune (e quindi non ci sono rette parallele).

(10.11) Dimostrare che due rette parallele di A2(K) hanno lo stesso punto all’infinito inqualsiasi chiusura proiettiva di A2(K) (cioè dimostrare che due rette con punti all’infinitodistinti si devono incontrare).

(10.12) Dimostrare che per due punti distinti di Pn(K) passa e una sola retta (sottospazioproiettivo di dimensione 1).

Geometria I 185

(10.13) Sia S ) Pn(K) il sottoinsieme di Pn(K) definito come segue: presi in Pn(K) d + 1punti [p0], [p1], . . . , [pd], i punti di S sono quelli che si possono scrivere (in coordinate omogenee)come combinazioni lineari

[!0p0 + !1p1 + · · · + !dpd]

per certi coe"cienti !i % K non tutti nulli. Dimostrare che S è un sottospazio proiettivo eche ogni sottospazio proiettivo di Pn(K) si può scrivere in questo modo. (Vedi la definizione(19.22 ))

(10.14) Dimostrare che il sottospazio (proiettivo) di Pn(K) generato da d + 1 punti è il piùpiccolo sottospazio proiettivo che contiene tutti i d + 1 punti.

(10.15) Dimostrare che esiste uno ed un unico sottospazio proiettivo di dimensione d chepassa per d + 1 punti di Pn(K) linearmente indipendenti.

(10.16) Dimostrare che una retta proiettiva è generata da due suoi punti distinti.

(10.17) Dimostrare che se un sottospazio proiettivo S di Pn(K) passa per d + 1 punti, alloraS contiene il sottospazio proiettivo generato dai d + 1 punti (cioè l’unico spazio proiettivo didimensione d dell’esercizio (10.15)).

(10.18) Scrivere la proiezione prospettica con centro nel punto(11

)% A2(R), dalla retta di

equazione {(x, y) % A2(R) : y = 0} alla retta di equazione (x, y) % A2(R) : x = 0}.

(10.19) Si scriva in coordinate a"ni (rispetto ad una carta) la proiezione prospettica di P2(R)dove Q = [0 : 1 : 1], H = {[x0 : x1 : x2] % P2(R) : x1 = 0} e H " = {[x0 : x1 : x2] % P2(R) : x2 =0}. È una trasformazione a"ne di H in H "?

(10.20) Determinare le equazioni omogenee (in P2(R)) della retta di A2(R) di equazionex + y = y & 1. Qual è il suo punto all’infinito?

(10.21) Si considerino le rette di A2(R) di equazione y = x + b, con b % R. Calcolare, alvariare di b, le coordinate (omogenee) del punto all’infinito della retta.

(10.22) Si considerino le rette di A2(R) di equazione y = mx, con m % R, m '= 0. Calcolare,al variare di m, le coordinate (omogenee) del punto all’infinito della retta.

*(10.23) Determinare le proiettività : P2(R) ( P2(R) che fissano la retta (impropria) {x0 = 0}(cioè ogni punto della retta impropria viene mandato in sé).

(10.24) È possibile scrivere una traslazione di A2(R) come restrizione ad una carta a"ne diuna proiettività di P2(R)?

(10.25) Esiste una proiettività che manda i punti(00

),(10

),(01

)di una carta a"ne in

(00

),

(10

)e

(20

)?

Geometria I 186

*(10.26) Sia An(K) ) Pn(K) una carta a"ne e T : An(K) ( An(K) una a"nità. Determinare(in un sistema di riferimento fissato, se si crede) una proiettività P che manda An(K) in sé(e quindi l’iperpiano dei punti impropri in sé) e che ristretta a An(K) sia proprio uguale a T .(Suggerimento: Si scriva T come x *( Ax+ b per una matrice A e un vettore b. Nel cercare lamatrice F corrispondente della proiettività (che sarà una matrice (n+1). (n+1)), si osservache se l’iperpiano dei punti impropri va in sé, allora la prima riga di F ha un solo terminenon zero. . . e a meno di moltiplicare F per una costante si può supporre questo termine ugualea 1 . . . poi si utilizzano b e A per riempire la matrice. Provare cone matrici 3. 3 all’inizio. )

*(10.27) Mostrare che SO(3) 7 P3(R). (utilizzare l’esercizio (6.30 ) a pagina 109)