Παρουσίαση 11 : Φασματική ανάλυση στο γήινο πεδίο ... ›...

Εφαρμογές Ανάλυσης Σήματος στη Γεωδαισία

Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών: Γεωχωρικές τεχνολογίες

Βασίλειος Δ. Ανδριτσάνος Αναπληρωτής Καθηγητής

Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών ΤΕ και Μηχανικών Τοπογραφίας και Γεωπληροφορικής ΤΕ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας

Παρουσίαση 11η: Φασματική ανάλυση στο γήινο πεδίο βαρύτητας – Σφαιρικές αρμονικές

Περιεχόμενα του μαθήματος (4)

• ΕΝΟΤΗΤΑ 4η Φασματικές μέθοδοι στη Γεωδαισία (ΕΡΓΑΣΙΑ 4η)

• Εισαγωγή στη μελέτη του πεδίου βαρύτητας (Φυσική Γεωδαισία,

αρμονική ανάλυση στη σφαίρα, σφαιρικές αρμονικές συναρτήσεις και

γεωδυναμικά μοντέλα βαρύτητας, εισαγωγή στις μεθόδους εύρεσης του

γεωειδούς)

• Φασματικές μέθοδοι στη Γεωδαισία (Εφαρμογές μετασχηματισμών

Fourier στη Φυσική Γεωδαισία, 1D, 2D, 3D FFT σε επίπεδες και σφαιρικές

προσεγγίσεις)

Βιβλιογραφία

• ΕΝΟΤΗΤΑ 4η

• Hofmann-Wellenhof B. and H. Moritz (2006): Physical Geodesy. Springer eds.

• Αραμπέλος Δ. και Η. Ν. Τζιαβός (2007): Εισαγωγή στο Πεδίο Βαρύτητας της Γης.

Εκδόσεις Ζήτη.

• Κατσάμπαλος Κ.Ε. και Η.Ν. Τζιαβός (1991): Φυσική Γεωδαισία. Εκδόσεις Ζήτη.

• Colombo O. (1981): Numerical methods for harmonic analysis on the sphere, Rep.

no 310, Department of Geodetic Sciences, The Ohio State University.

• Ανδριτσάνος, Β.Δ. (2000) Βέλτιστος συνδυασμός επίγειων και δορυφορικών

δεδομένων με τη χρήση φασματικών μεθόδων για εφαρμογές στη Γεωδαισία και την

Ωκεανογραφία. Διδακτορική διατριβή, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης.


• Sideris, M.G. (1984): Computation of gravimetric terrain corrections using fast

Fourier transform techniques. Msc Thesis, UCSE rep. 20007, The University of

Calgary, Alberta, Canada

• Tziavos, I.N. (1993): Numerical considerations of FFT methods in gravity field

modeling. Rep. No 188, University of Hannover, Hannover.

• ΕΝΟΤΗΤΑ 5η

• Hofmann-Wellenhof B. and H. Moritz (2006): Physical Geodesy. Springer eds.

• Bendat J.S. and A.G. Piersol (1986): Random data – Analysis and measurements

procedures. 2nd ed., John Wiley and Sons eds.

• Ανδριτσάνος, Β.Δ. (2000) Βέλτιστος συνδυασμός επίγειων και δορυφορικών

δεδομένων με τη χρήση φασματικών μεθόδων για εφαρμογές στη Γεωδαισία και την

Ωκεανογραφία. Διδακτορική διατριβή, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης.


• Αραμπέλος Δ. και Η. Ν. Τζιαβός (2007): Εισαγωγή στο Πεδίο Βαρύτητας της Γης.

Εκδόσεις Ζήτη.

• Κατσάμπαλος Κ.Ε. και Η.Ν. Τζιαβός (1991): Φυσική Γεωδαισία. Εκδόσεις Ζήτη.

Περιεχόμενα παρουσίασης • Αρμονική ανάλυση στη σφαίρα

• Σφαιρικές αρμονικές συναρτήσεις

• Ανάπτυγμα πραγματικού και κανονικού δυναμικού έλξης σε σφαιρικές

αρμονικές

• Γεωδυναμικά μοντέλα βαρύτητας – Διαδικασία υπολογισμού

• Συντελεστές μεταβλητότητας σήματος και σφάλματος συναρτησιακών στο

πεδίο βαρύτητας

T

0

+1

–1

f (t)

0

1 1

2 2

3 3

4 4

1

2 2cos cos

2 2cos sin/ 2 / 2

2 2cos sin/ 3 / 3

2 2cos sin ( )/ 4 / 4

a

t ta bT T

t ta bT T

t ta bT T

t ta b f tT T

π π

π π

π π

π π

⋅ +

+ + +

+ + +

+ + +

+ + =

Αρμονικές συναρτήσεις

• Αρμονική συνάρτηση σε πεδίο V συνάρτηση που ικανοποιεί την

εξίσωση του Laplace σε κάθε σημείο του V

• Κάθε αρμονική συνάρτηση είναι αναλυτική συνεχής στο πεδίο ορισμού

της και έχει συνεχείς παραγώγους οποιασδήποτε τάξης ανάπτυξη σε

σειρά

• Η απλούστερη αρμονική συνάρτηση είναι η συνάρτηση του αντιστρόφου της

απόστασης

• Είναι αρμονική; (ικανοποιεί την εξίσωση Laplace)

( ) ( ) ( )222

11ζηξ −+−+−

=zyxl

Αρμονικές συναρτήσεις

• Εξίσωση Laplace σε συνάρτηση V 02

2

2

2

2

2

=∂∂

+∂∂

+∂∂

=∆ZV

YV

XVV

( )3

22

2

2

3

311l

xllxl

xlx

ξ−+−=

∂∂

⇒ξ−

−=

∂∂

( )3

22

2

2

3

311l

yllyl

yly

ηη −+−=

∂∂

⇒−

−=

∂∂

( )3

22

2

2

3

311l

zllzl

zlz

ζζ −+−=

∂∂

⇒−

−=

∂∂

X

Z

Y O

(x,y,z)

(ξ,η,ζ)

Απόσταση l

0101=

∆=

∆=∆⇒=

∆ ∫∫∫∫∫∫ dv

lGdv

lGV

l vv

ρρ

Υπολογισμοί για το δυναμικό έλξης Διαφορικές εξισώσεις Poisson και Laplace

• Έχει αποδειχθεί (Παρουσίαση 10η) ότι στο χώρο εντός των μαζών ισχύει:

• Ενώ σε χώρο έξω από τις μάζες όπου ρ = 0 (εκτός της συνοριακής επιφάνειας

S)

( )΄GZV

YV

XVV rρπ42

2

2

2

2

2

−=∂∂

+∂∂

+∂∂

=∆

02

2

2

2

2

2

=∂∂

+∂∂

+∂∂

=∆ZV

YV

XVV

Διαφορική εξίσωση Poisson

Διαφορική εξίσωση Laplace

Υπολογισμοί για το δυναμικό έλξης Διαφορικές εξισώσεις Poisson και Laplace

• Έξω από τις μάζες το δυναμικό, οι παράγωγοι πρώτης και δεύτερης τάξης

είναι πεπερασμένες και συνεχείς συναρτήσεις Εξίσωση Laplace

δυναμικό αρμονική συνάρτηση δυνατότητα ανάπτυξης σε σειρά

(σφαιρικές αρμονικές)

• Μέσα στις μάζες το δυναμικό και οι παράγωγοι πρώτης τάξης (συνιστώσεις

ελκτικής δύναμης) είναι συνεχείς. Κάποιες από τις παραγώγους 2ης τάξης

παρουσιάζουν ασυνέχειες (συνάρτηση πυκνότητας) Εξίσωση Poisson

• Στη συνοριακή επιφάνεια S το δυναμικό και οι παράγωγοι πρώτης τάξης

είναι συνεχείς. Οι δεύτερες παράγωγοι παρουσιάζουν ασυνέχεια

εξίσωση Poisson

Υπολογισμοί για το δυναμικό της βαρύτητας

• Το φυγοκεντρικό δυναμικό δεν είναι μία αρμονική συνάρτηση αφού

• Επομένως το συνολικό δυναμικό της βαρύτητας δεν είναι σε καμία περίπτωση

(εντός ή εκτός των μαζών) μία αρμονική συνάρτηση

• Το δυναμικό της βαρύτητας δεν είναι δυνατό να αναπτυχθεί σε σειρά

22

2

2

2

2

2

2ω=∂Φ∂

+∂Φ∂

+∂Φ∂

=∆ΦZYX

224 ωρπ +−=∆ GW

22ω=∆W

Εντός των μαζών ή πάνω στη συνοριακή επιφάνεια

Εκτός των μαζών

Γενικευμένη εξίσωση Poisson

Γενικευμένη εξίσωση Laplace

Αρχές ανάπτυξης δυναμικού έλξης σε σειρά

• Το δυναμικό έλξης είναι αρμονική συνάρτηση (ικανοποίηση εξίσωσης

Laplace) εκτός των μαζών

• Είναι δυνατό να αναπτυχθεί σε σειρά εφαρμογή σε σφαιρική κλίμακα

( ) ( ) ( )

+

+= ∑ ∑

∞

= =2 0

cossincos1n

n

m

nmnmnm

n

PmSmCrr

GMV θλλαr

( )θcosnmPΠροσαρτημένες συναρτήσεις Legendre οικογένεια

λύσεων της διαφορικής εξίσωσης του Laplace

Σφαιρικές αρμονικές Μετασχηματισμός συνάρτησης Laplace σε σφαιρικές συντεταγμένες

• Η σημαντικότερη οικογένεια αρμονικών συναρτήσεων που αφορούν στο πεδίο

βαρύτητας είναι οι σφαιρικές αρμονικές (spherical harmonics)

• Απαραίτητος ο μετασχηματισμός σε σφαιρικές συντεταγμένες

ϑλϑλϑ

cossinsincossin

rzryrx

===

xyz

yxzyxr

arctan

arctan22

222

=

+=

++=

λ

ϑ


• Το στοιχειώδες μήκος ds μεταξύ δύο σημείων του χώρου

2222 dzdydxds ++=

λλ∂∂

+ϑϑ∂∂

+∂∂

=

λλ∂∂

+ϑϑ∂∂

+∂∂

=

λλ∂∂

+ϑϑ∂∂

+∂∂

=

dzdzdrrzdz

dydydrrydy

dxdxdrrxdx

2222222 sin λϑ+ϑ+= drdrdrds


• Χρησιμοποιώντας τις προηγούμενες σχέσεις και διαφορίζοντας ως προς τις

σφαιρικές συντεταγμένες προκύπτει η εξίσωση Laplace

• Πολλαπλασιάζοντας με r2 διαχωρίζεται η διαφορική σε δύο τμήματα, ένα που

εξαρτάται μόνο από την μεταβλητή r και ένα που εξαρτάται από τα λ, θ.

• Αν πραγματοποιηθεί η αντικατάσταση της V

0sin1cot12

2

2

2222

2

22

2

=λ∂

∂ϑ

+ϑ∂

∂ϑ+

ϑ∂∂

+∂∂

+∂∂

≡∆V

rV

rV

rrV

rrVV

0sin

1cot2 2

2

22

2

2

22 =

λ∂∂

ϑ+

ϑ∂∂

ϑ+ϑ∂∂

+∂∂

+∂∂

≡∆VVV

rVr

rVrV

( ) ( ) ( )λϑ=λϑ ,,, YrfrV

Σφαιρικές αρμονικές Ανάπτυξη σε σφαιρικές αρμονικές

• Κάθε γραμμικός συνδυασμός των παραπάνω εξισώσεων θα αποτελεί επίσης

λύση της εξίσωσης του Laplace (anm και bnm συντελεστές ο υπολογισμός

τους περιγράφεται αργότερα)

• Χρησιμοποιώντας τα προηγούμενα ισχύει για τη συνάρτηση V

• Οι συναρτήσεις ονομάζονται προσαρτημένες συναρτήσεις

Legendre πρώτου είδους βαθμού n και τάξης m (associated Legendre

functions of the first kind of degree n and order m)

( ) ( ) ( )[ ]∑∑∞

= =

λϑ+λϑ=λϑ0 0

,,,n

n

mnmnmnmnmn SbRaY

( ) ( ) ( )[ ]∑ ∑∞

= =+

λϑ+λϑ=λϑ0 0

1 sincoscoscos1,,n

n

mnmnmnmnmne mPbmPa

rrV

Εξωτερικά της συνοριακής επιφάνειας

( )ϑcosnmP

Οι συναρτήσεις Legendre

• Κλειστή σχέση υπολογισμού συναρτήσεων Legendre

• Για μεγάλους βαθμούς ανάπτυξης η εξίσωση γίνεται πολύπλοκη και

χρησιμοποιούνται αναδρομικές σχέσεις:

( )ϑ= cost( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )∑

=

−−

−−−−−−

=k

j

jmnj

n

m

nm tjmnjnj

jnttP0

22/2

!2!!!221

21 ( )

( ) 2/12/

−−=−=

mnkmnk

( ) ( ) ( ) ( ) mntPmn

mnttPmn

ntP mnmnnm ≥−−−+

−−−

= −− 2,112,2,1

( ) ( )( ) ( )( )

( ) 2,12

112 2,11,2/12

≥−++−

−−

−= −−− mtPmnmntP

ttmtP mnmnnm

k ακέραιος

Τα πολυώνυμα Legendre

• Στην ειδική περίπτωση όπου m = 0

• Πολυώνυμα Legendre (Legendre polynomials) επειδή απουσιάζει το m

από την εξίσωση δεν υπάρχει όρος sinθ πολυώνυμα μόνο του t, π.χ.,

( ) ( ) ( )n

nn

nnn dttd

ntPtP 1

!21 2

0

−== ( )ϑ= cost

( )( )

( )

( ) tttP

ttP

ttPtP

23

25

21

23

1

33

22

1

0

−=

−=

==

Τα πολυώνυμα Legendre

• Αναδρομική σχέση υπολογισμού των πολυωνύμων Legendre

( ) ( ) ( )ttPn

ntPn

ntP nnn 12

121−−

−+

−−=

Επιφανειακές σφαιρικές αρμονικές

• Όταν οι προσαρτημένες συναρτήσεις Legendre πολλαπλασιαστούν με τους

όρους cosmλ και sinmλ προκύπτουν οι επιφανειακές σφαιρικές αρμονικές

• Οι αρμονικές m = 0 είναι πολυώνυμα ως προς το t βαθμού n n μηδενικές

τιμές (ρίζες) στο διάστημα

• Αλλάζουν το πρόσημό τους n φορές ανεξάρτητες του λ

π≤ϑ≤0

Αρμονικές ζώνης (zonal harmonics)


• Οι συναρτήσεις Legendre βαθμού n και τάξης m αλλάζουν το πρόσημό τους n

– m φορές στο διάστημα

• Οι όροι cosmλ και sinmλ έχουν 2m μηδενικές τιμές (ρίζες – αλλάζουν το

πρόσημό τους) στο διάστημα

• Χωρίζουν τη σφαίρα σε τραπέζια θετικών και αρνητικών τιμών εναλλάξ

π≤ϑ≤0

Τραπεζοειδείς αρμονικές (tesseral harmonics)

π≤λ≤ 20


• Οι συναρτήσεις Legendre βαθμού και τάξης n = m δεν αλλάζουν το πρόσημό

στο διάστημα

• Οι όροι cosnλ και sinnλ έχουν 2n μηδενικές τιμές (ρίζες – αλλάζουν το

πρόσημό τους) στο διάστημα

• Χωρίζουν τη σφαίρα σε 2n τομείς θετικών και αρνητικών τιμών εναλλάξ

π≤ϑ≤0

Αρμονικές τομέων (sectorial harmonics)

π≤λ≤ 20


m = 0

n = m n ≠ m


n = 6, m = 0 n = 6, m = 6

n = 6, m = 4

Ανάπτυγμα αρμονικής συνάρτησης

• Συνάρτηση στην επιφάνεια της σφαίρας μπορεί να αναλυθεί σε επιφανειακές

σφαιρικές αρμονικές της μορφής:

• Ο προσδιορισμός των σταθερών συντελεστών αnm και bnm είναι δυνατός αν

ισχύουν ειδικές σχέσεις μεταξύ των R και S συναρτήσεων που ονομάζονται

σχέσεις ορθογωνικότητας (orthogonality relations) ολοκληρωματικές

σχέσεις μεταξύ των συναρτήσεων στη μοναδιαία σφαίρα

( ) ( ) ( ) ( )[ ]∑∑∑∞

= =

∞

=

λϑ+λϑ=λϑ=λϑ0 00

,,,,n

n

mnmnmnmnm

nn SbRaYf

( ) ( )( ) ( ) λϑ=λϑ

λϑ=λϑmPSmPR

nmnm

nmnm

sincos,coscos,

Σχέσεις ορθογωνικότητας

• Το ολοκλήρωμα ως προς τη μοναδιαία σφαίρα του γινομένου οποιουδήποτε

συνδυασμού των συναρτήσεων είναι ίσο με μηδέν

• Το γινόμενο δύο ίδιων συναρτήσεων ισούται:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )srnm

dSR

mrns

dSS

dRR

srnm

srnm

srnm

≤∀≤∀

=σλϑλϑ

≠≠

=σλϑλϑ

=σλϑλϑ

∫∫

∫∫

∫∫

σ

σ

σ

0,,

0,,

0,,

λϑϑ=σ ddd sin

∫∫ ∫ ∫σ

π

=λ

π

=ϑ

=2

0 0

( )[ ]

( )[ ] ( )[ ] ( )( ) 0

!!

122,,

124,

22

20

≠−+

+π

=σλϑ=σλϑ

+π

=σλϑ

∫∫∫∫

∫∫

σσ

σ

mmnmn

ndSdR

ndR

nmnm

n

Υπολογισμός συντελεστών

• Οι συντελεστές αnm και bnm υπολογίζονται με πολλαπλασιασμό της εξίσωσης

της συνάρτησης με Rnm και Snm

( ) ( )∫∫σ

=σϑλϑπ+

= 0cos,4

120 mdPfna nn

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )∫∫

∫∫

σ

σ

σλϑλϑ+−

π+

=

σλϑλϑ+−

π+

=

dSfmnmnnb

dRfmnmnna

nmnm

nmnm

,,!!

212

,,!!

212

Κανονικοποιημένες σφαιρικές αρμονικές

• Οι προηγούμενες σχέσεις δεν είναι εύχρηστες διαφορετικές σχέσεις για τον

υπολογισμό των συντελεστών αναλόγως της τάξης m (0 ή ≠0)

• Τροποποίηση σε πλήρως κανονικοποιημένες σφαιρικές αρμονικές (fully

normalized spherical harmonics)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( )( )( )!

!122,,

!!122,,

0,12cos12,, 00

mnmnnSS

mnmnnRR

mnPnRR

nmnm

nmnm

nnn

+−

+λϑ=λϑ

+−

+λϑ=λϑ

=+ϑ=+λϑ=λϑ


• Στην περίπτωση αυτή οι σχέσεις ορθογωνικότητας

• Η κανονικοποίηση νοείται ως αναγωγή των συναρτήσεων στην επιφάνεια

της μοναδιαίας σφαίρας

• Οι συντελεστές υπολογίζονται τώρα ανεξάρτητα της τιμής του m

( )[ ] ( )[ ] 1,41,

41 22 =σλϑ

π=σλϑ

π ∫∫∫∫σσ

dSdR nmnm

( ) ( )

( ) ( )∫∫

∫∫

σ

σ

σλϑλϑπ

=

σλϑλϑπ

=

dSfb

dRfa

nmnm

nmnm

,,41

,,41


• Σύμφωνα με τα προηγούμενα οι κανονικοποιημένες συναρτήσεις

• Πλήρως κανονικοποιημένες συναρτήσεις Legendre

( ) ( )( ) ( ) λϑ=λϑ

λϑ=λϑ

mPSmPR

nmnm

nmnm

sincos,coscos,

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) 0,

!2!!!2211

!!1222

0,!2!!

!221122

0

22/2

0

20

≠−−−

−−−

+−

+=

=−−

−−+==

∑

∑

=

−−−

=

−−

mtjmnjnj

jntmnmnntP

mtjnjnj

jnntPtP

k

j

jmnjmnnm

k

j

jnjnnn

( )( ) 2/1

2/−−=

−=mnkmnk k ακέραιος


• Εκτός από κλειστές εκφράσεις υπολογισμού υπάρχουν και αναδρομικές

σχέσεις αρχικές τιμές συνδέονται με τις τιμές ανώτερου βαθμού – τάξης

• Χρησιμοποιούνται οι αρχικές τιμές

( ) ( )( )( )( )

( )( )( )( )( )( ) ( ) 1,

3211121212

,2,1 +>−+−

−−−++−

+−+−

= −− mntPmnmnnmnmnnPt

mnmnnntP mnmnnm

( )

ϑ=ϑϑ=ϑ=

−ϑ=ϑ==

22,21,21,1

2210

sin1521cossin15sin3

1cos3521cos31

PPP

PPP


• Παραδείγματα πλήρως κανονικοποιημένων συναρτήσεων Legendre


• Παραδείγματα σφαιρικών αρμονικών

n=0

n=4

m=0 m=n


• Παραδείγματα σφαιρικών αρμονικών

Σφαιρική αρμονική ανάλυση δυναμικού έλξης

• Το πραγματικό γήινο δυναμικό έλξης

• Είναι μία αρμονική συνάρτηση ικανοποιεί την εξίσωση του Laplace εκτός

των μαζών

• Ισχύει γιατί το αντίστροφο της απόστασης μεταξύ του έλκοντος σημείου και του

ελκόμενου είναι αρμονική συνάρτηση (βλ. αρχικές διαφάνειες)

∫∫∫ρ

=V

dvl

GV

02

2

2

2

2

2

=∂∂

+∂∂

+∂∂

=∆ZV

YV

XVV

0101=

∆=

∆=∆⇒=

∆ ∫∫∫∫∫∫ dv

lGdv

lGV

l vv

ρρ

Ανάπτυξη αντιστρόφου απόστασης

• Η απόσταση μεταξύ δύο σημείων P1 και Ρ2 σε σφαιρικές συντεταγμένες

( )122121

212

22

1

cossinsincoscoscoscos2

λ−λϑϑ+ϑϑ=ψ

ψ−+= rrrrl


• Θεωρώντας 21 rr >

21

2221

21 21

1cos2

11aaurrrrrl +−

=+ψ−

=1

2

rra = ψ= cosu

( ) ( ) ( ) ( ) +++==+− ∑

∞

=

uPauaPuPuPaaau n

nn

22

100

2211

( )∑∞

=+

ψ=+−

=0

11

22

1

cos2111

nnn

n

Prr

aaurl


• Αν το cosψ αντικατασταθεί από τις σφαιρικές συντεταγμένες των σημείων (θ, λ)

• Αντικαθιστώντας στη σχέση του αντιστρόφου της απόστασης και

μετασχηματίζοντας στην περίπτωση των πλήρως κανονικοποιημένων

σφαιρικών αρμονικών

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∑

=

λϑλϑ+λϑλϑ+−

+ϑϑ=ψn

mnmnmnmnmnnn SSRR

mnmnPPP

12211221121 ,,,,

!!2coscoscos

( ) ( ) ( ) ( )∑∑∞

= =++

λϑ

λϑ+λϑ

λϑ+

=0 0

22211

112221

1

11 ,,,,12

11n

n

mnm

nn

nmnm

nn

nm Srr

SRrr

Rnl

Ανάπτυξη γήινου δυναμικού έλξης

• Ξεκινώντας από τη γνωστή σχέση του δυναμικού έλξης της Γης

• Και αντικαθιστώντας το αντίστροφο της απόστασης με την ανάπτυξή του σε

σφαιρικές αρμονικές

• Λαμβάνουμε την έκφραση του γήινου δυναμικού έλξης σε σφαιρικές αρμονικές

dvl

Gl

dmGV ∫∫∫∫∫∫ρ

==

( ) ( ) ( ) ( )∑∑∞

= =++

λϑ

λϑ+λϑ

λϑ+

=0 0

22211

112221

1

11 ,,,,12

11n

n

mnm

nn

nmnm

nn

nm Srr

SRrr

Rnl

( ) ( )∑∑∞

= =++

λϑ+

λϑ=

0 01

1

111

1

11 ,,n

n

mn

nmnmn

nmnm r

SBr

RAV( )

( )∫∫∫

∫∫∫λϑ

+=

λϑ+

=

dmSrnGB

dmRrnGA

nmn

nm

nmn

nm

222

222

,12

,12

Ανάπτυξη γήινου δυναμικού έλξης Κατανόηση αρχικών όρων σειράς

• Για n = 0 η σειρά του δυναμικού δίνει το δυναμικό της γήινης μάζας M, η οποία

θεωρείται συγκεντρωμένη στο κέντρο της γήινης σφαίρα

• Αντί για την ακτίνα της μοναδιαίας σφαίρας (1/r) εισάγεται ως σταθερά ο

ημιάξονας του ελλειψοειδούς α και γίνει η παραδοχή ότι η αρχή του

χρησιμοποιούμενου συστήματος συντεταγμένων συμπίπτει με το κέντρο μάζας

της γης μπορεί να παραλειφθεί και ο όρος n = 1

• Σύμφωνα με τις παραπάνω παραδοχές (μάζα γης = μάζα ελλειψοειδούς

και σύστημα αναφοράς στο γεώκεντρο) η άθροιση των απείρων όρων

ξεκινά από n = 2

rGM

rSB

rRAV

n m

=

+=∑∑

= =

0

0

0

0 1

0000

1

0000

Ανάπτυξη γήινου δυναμικού έλξης

• Προχωρώντας στην αντικατάσταση

• όπου ονομάζονται πλήρως κανονικοποιημένοι σφαιρικοί αρμονικοί

συντελεστές (fully normalized spherical harmonic coefficients)

εξαγόμενα της λύσης των γεωδυναμικών μοντέλων

• Το δυναμικό έλξης της γης σε σφαιρική αρμονική ανάπτυξη η ανάπτυξη

γίνεται μέχρι έναν ανώτερο βαθμό nmax, που εξαρτάται από τα διαθέσιμα

δεδομένα για τον υπολογισμό των αρμονικών συντελεστών

nnm

nm

nnm

nm

GMaBS

GMaAC

=

=

nmnm SC ,

( ) ( ) ( )

ϑλ+λ

+=λϑ ∑∑

=

∞

=

n

mnmnmnm

n

n

PmSmCra

rGMrV

02

cossincos1,,

nmnm SS ≠

συνάρτηση

συντελεστής ΠΡΟΣΟΧΗ!

Ανάπτυξη κανονικού δυναμικού έλξης

• Λόγω συμμετρίας του ελλειψοειδούς μοντέλου, τα αναπτύγματα σφαιρικών

αρμονικών για το κανονικό δυναμικό απλοποιούνται

• Η απλοποίηση οφείλεται στη συμμετρία ως προς τον άξονα περιστροφής

και το ισημερινό επίπεδο εμφανίζονται μόνο άρτιες αρμονικές ζώνης

( ) ( )

ϑ

+=ϑ ∑

∞

=122

2

cos1,n

nn

n

PJra

rGMrV

( ) ( )( )

+−

++−= +

22

21

2 513212

31eJnn

nneJ

nn

n

( )mffJ

fmffffJ

ffmffJ

56214

7215

217

21

354

4911

721

221

32

26

4

22

−=

−−

−

−−=

+−−

−= (Αρμονικός) Συντελεστής δυναμικής μορφής

( )GM

fam −ω=

132

Ανάπτυξη κανονικού δυναμικού έλξης

• Στις πρακτικές εφαρμογές χρησιμοποιούνται οι συντελεστές μέχρι το βαθμό 6

γιατί οι ανώτεροι δεν έχουν καμία συνεισφορά στα αποτελέσματα. Π.χ., για το

ΕΕΠ του γεωδαιτικού συστήματος GRS80:

• Οι κανονικοποιημένοι συντελεστές του κανονικού δυναμικού έλξης:

108

86

54

22

10201426810879.010826083464988.0

105312370911200.010311082629821.0

−

−

−

−

⋅−=

⋅=

⋅−=

⋅=

JJJJ

120 +−=ΕΕΠ

nJC n

n π.χ. 52

20

JC −=ΕΕΠ n άρτιος

Ανάπτυξη διαταρακτικού δυναμικού έλξης

• Σε αντιστοιχία με το πραγματικό και το κανονικό δυναμικό έλξης, το

διαταρακτικό δυναμικό μπορεί να αναπτυχθεί σε σφαιρικές αρμονικές

• Οι συντελεστές του διαταρακτικού δυναμικού υπολογίζονται από τη διαφορά

των συντελεστών του δυναμικού έλξης μείον τους συντελεστές ζώνης του

κανονικού δυναμικού

( ) VVVVUWT −=Φ+−Φ+=−=

ΕΕΠ−=∆ 000 nnn CCC nmnm SS =∆

( ) ( ) ( )

ϑλ∆+λ∆

=λϑ ∑ ∑

∞

= =2 0

cossincos,,n

n

mnmnmnm

n

PmSmCra

rGMrT

Ανάπτυξη ανωμαλιών βαρύτητας

• Σύμφωνα με τα προηγούμενα (βλ. Παρουσίαση 10η) ισχύει:

• Διαφορίζοντας την αρμονική ανάπτυξη του διαταρακτικού δυναμικού:

rhnE ∂∂

=∂∂

=∂∂

rh

rGM

rh21

2 3

−=∂γ∂

γ

−=∂γ∂

=∂γ∂

Trr

Tg 2−

∂∂

−=∆

( ) ( )∑∞

=

+

λϑ

+−=

∂∂

2

1

,11n

n

n

Tran

rrT

Θεμελιώδης εξίσωση Φυσικής Γεωδαισίας

Ανάπτυξη ανωμαλιών βαρύτητας

• Αντικαθιστώντας:

• Συνοπτική μορφή:

• Σχέση ανάμεσα στις σφαιρικές αρμονικές Τ και Δg

( ) ( ) ( ) ( )

ϑλ∆+λ∆

−=λϑ∆ ∑ ∑

∞

= =2 02 cossincos1,,

n

n

mnmnmnm

n

PmSmCran

rGMrg

( ) ( )∑∞

=

+

λϑ∆

=λϑ∆

2

1

,,,,n

n

n

rgrarg

( ) ( )λϑ−

=λϑ∆ ,1, nn Tr

ng

Ανάπτυξη αποχών γεωειδούς

• Ξεκινώντας από τη σχέση του Bruns (σύνδεση διαταρακτικού δυναμικού και

αποχής γεωειδούς) Ν = Τ/γ

• Γνωρίζοντας τους αρμονικούς συντελεστές είναι δυνατός ο υπολογισμός

αποχών του γεωειδούς από παγκόσμια γεωδυναμικά μοντέλα (global

geopotential models)

( ) ( ) ( )

ϑλ∆+λ∆

γ=λϑ ∑ ∑

∞

= =2 0

cossincos,,n

n

mnmnmnm

n

PmSmCra

rGMrN

Ανάπτυξη αποχών γεωειδούς

n = 30 n = 720

Ανάπτυξη απόκλισης κατακορύφου

• Εξισώσεις σύνδεσης διαταρακτικού δυναμικού και συνιστωσών απόκλισης της

κατακορύφου

ϕ∂∂

γ−=ξ

Tr1

λ∂∂

ϕγ−=η

Tr cos

1ϕ∂∂

−=ϑ∂∂

ϕ−=ϑ o90

( ) ( ) ( )

ϑ∂

ϑ∂λ∆+λ∆

γ=λϑξ ∑ ∑

∞

= =2 02

cossincos,,n

n

m

nmnmnm

n PmSmCra

rGMr

( ) ( ) ( )

ϑλ∆+λ∆−

ϕγ−=λϑη ∑ ∑

∞

= =2 02 cossincos

cos1,,

n

n

mnmnmnm

n

PmmSmCra

rGMr

Η σφαιρική προσέγγιση

• Οι προηγούμενες εξισώσεις αναφέρονται στο ΕΕΠ, χρησιμοποιούνται όμως

σφαιρικές συντεταγμένες σφαιρική προσέγγιση

• Η σφαιρική προσέγγιση έχει νόημα μόνο στον υπολογισμό μικρών

αριθμητικών ποσοτήτων (Τ, Δg, N, ξ, η)

• Οι τιμές αυτές υπολογίζονται με ακρίβεια στο ΕΕΠ και στη συνέχεια

προβάλλονται στην επιφάνεια της σφαίρας (σφαιρικές συντεταγμένες)

kmR 6371=

GalR

GMm 9802 ==γ rhnE ∂

∂=

∂∂

=∂∂

Rh

RrGM

rhm

21

22 3

−=∂γ∂

γ

γ−=−=

∂γ∂

=∂γ∂

Η σφαιρική προσέγγιση

• Με βάση τις προαναφερθείσες παραδοχές:

( ) ( ) ( )

ϑλ∆+λ∆=λϑ ∑∑

∞

= =2 0

cossincos,n

n

mnmnmnm PmSmC

RGMT

( ) ( ) ( ) ( )

ϑλ∆+λ∆−=λϑ∆ ∑ ∑

∞

= =2 02 cossincos1,

n

n

mnmnmnm PmSmCn

RGMg

( ) ( ) ( )

ϑλ∆+λ∆=λϑ ∑∑

∞

= =2 0

cossincos,n

n

mnmnmnm PmSmCRN

( ) ( ) ( )

ϑ∂ϑ∂

λ∆+λ∆−=λϑξ ∑∑∞

= =2 0

cossincos,n

n

m

nmnmnm

PmSmC

( ) ( ) ( )

ϑλ∆+λ∆−

ϕ−=λϑη ∑∑

∞

= =2 0

cossincoscos

1,n

n

mnmnmnm PmmSmC

Τα γεωδυναμικά μοντέλα

• Αναπτύγματα σφαιρικών αρμονικών συντελεστών που υπολογίζονται από

διάφορες υπηρεσίες και πανεπιστήμια

• Δίνουν πληροφορίες για τον γήινο πεδίο βαρύτητας σε σφαιρική προσέγγιση

και για παραμέτρους που συνδέονται με αυτό, π.χ. γεωειδές, απόκλιση της

κατακορύφου, κ.α.

• Αναπτύσσονται μέχρι ένα μέγιστο βαθμό και τάξη που αντιστοιχεί στη

διαθεσιμότητα των δεδομένων που χρησιμοποιούνται, στην ποιότητά τους

και στη δυνατότητα επεξεργασίας των υπολογιστικών συστημάτων

Τα γεωδυναμικά μοντέλα Ιστορικά

• Δεκαετία του 70: Goddard Space Flight Center (NASA) Μοντέλα GEM

(Goddard Earth Models)

• Μοντέλα αμιγώς δορυφορικά, αλλά και συνδυασμού με επίγεια δεδομένα

GEM1

Δεδομένα μετρήσεων SLR – Satellite Laser Ranging


• Άλλα μοντέλα της ίδιας περιόδου SSE (Smithsonian Standard Earth) και τα

μοντέλα του Γεωδαιτικού ινστιτούτου του Μονάχου (GRIMx)

• Βαθμός ανάπτυξης < 30 λόγω της χρήσης δορυφορικών δεδομένων και

χαμηλής κάλυψης επίγειων δεδομένων


• Δεκαετία 80 Γεωδυναμικά μοντέλα συνδυασμού με επίγεια και δορυφορικά

δεδομένων βαθμοί ανάπτυξης από 180 – 360

• Τα βασικότερα μοντέλα αυτής της περιόδου Ohio State University models

(OSU) δορυφορικά δεδομένα (αλτιμετρικά) μέχρι βαθμό < 30 και χρήση

επίγειων δεδομένων για τους βαθμούς > 30

• Επίγειες μέσες τιμές βαρύτητας και θαλάσσιες τιμές από αλτιμετρικές μετρήσεις

και μετατροπή σε ανωμαλίες

• Η ανάπτυξη βασίστηκε στα προϋπάρχοντα δορυφορικά μοντέλα GEM

OSU81, OSU86C, OSU89, OSU91A(360)


• Διαφορά λύσεων μέσα σε μία δεκαετία ενσωμάτωση νέων επίγειων

δεδομένων και εφαρμογών αλτιμετρίας

OSU81 OSU91A


• Δεκαετία του 90 έως σήμερα νέες δορυφορικές αποστολές (αλτιμετρικές:

TOPEX/POSEIDON, ERS-1, ERS-2

• Σημαντικό μοντέλο που χρησιμοποιήθηκε σχεδόν για μία δεκαετία ως μοντέλο

αναφοράς είναι το EGM96 (Earth Gravitational Model 1996) NASA/GFC,

NIMA, OSU) επίγεια και δορυφορικά δεδομένα πλήρης ανάπτυξη σε

βαθμό και τάξη 360

• Ακρίβεια προσδιορισμού του γεωειδούς 0.5 – 1 m

• Εφαρμογές επιφάνεια αναφοράς συστημάτων υψομέτρων, θαλάσσια

κυκλοφορία, προσδιορισμός δορυφορικών τροχιών, κ.α.


• EGM96


• Το πλέον σύγχρονο γεωδυναμικό μοντέλο ευρείας χρήσης είναι το EGM2008

• To EGM2008 παρουσιάστηκε από την National Geospatial-Intelligence Agency

(NGA) των ΗΠΑ

• Είναι πλήρες σε βαθμό ανάπτυξης 2190 και τάξη 2159

• Είναι μοντέλο συνδυασμού και για πρώτη φορά χρησιμοποιούνται δορυφορικά

δεδομένα αποστολής παρατήρησης του πεδίου βαρύτητας (GRACE)


• EGM2008


• Εξέλιξη

1970 1981 1996 2008

Τα γεωδυναμικά μοντέλα Διαδικασία υπολογισμού

• Όλα τα αναπτύγματα σφαιρικών αρμονικών σχετίζονται με ένα μέγιστο βαθμό

ανάπτυξης nmax << ∞ πλήθος διαθέσιμων δεδομένων

• Οι τιμές των συναρτησιακών που υπολογίζονται από τα γεωδυναμικά μοντέλα

είναι μέσες τιμές αντιπροσωπευτικές επιφάνειας 180°/ nmax

• Για τον υπολογισμό των μοντέλων χρησιμοποιούνται δεδομένα (π.χ.,

ανωμαλίες βαρύτητας – επίγειες, εναέριες, δορυφορικές, αλτιμετρικά δεδομένα)

που αναφέρονται ως μέσες τιμές σε διαμερίσματα ανάλογα του nmax


• Ανωμαλίες βαρύτητας και αποχές γεωειδούς (μοντέλο EIGEN-CG03C)


• Πηγές δεδομένων για τις σφαιρικές αρμονικές


• Η ακρίβεια προσδιορισμού εξαρτάται από την πυκνότητα και την ακρίβεια

των χρησιμοποιούμενων δεδομένων

• Σημαντική η συνεισφορά των δορυφορικών μετρήσεων και των από αέρα

μετρήσεων

• Υψηλής ακρίβειας δεδομένα GRACE και CHAMP ±1 έως ±10 cm για

τους βαθμούς ανάπτυξης έως 70 (~200 km μήκη κύματος)


• Μεγάλη ώθηση στις διαδικασίες υπολογισμού GOCE (Gravity and Ocean

Circulation Experiment 2009 – 2013) δορυφορική βαθμιδομετρία

(satellite gravity gradiometry)

• Κάλυψη όλης της επιφάνειας της Γης ακρίβειες ±1 cm για βαθμό ανάπτυξης

250 (~80 km μήκος κύματος)


• Κάλυψη δυσπρόσιτων περιοχών από

αέρα βαρυτημετρία (airborne

gravimetry)

• Λύση για μετρήσεις κοντά στις ακτές

προβληματικές μετρήσεις δορυφορικής

αλτιμετρίας

• Προβλήματα εξασθένηση σήματος με

το ύψος και εξάρτηση από τις συνθήκες

πτήσης


• Δορυφορικές αλτιμετρικές αποστολές (GEOSAT, ERS 1-2, T/P, JASON,

ENVISAT, κ.α.) κάλυψη στις θαλάσσιες περιοχές όπου οι κλασικές μέθοδοι

μετρήσεων αποδεικνύονται προβληματικές και χρονοβόρες


• Τράπεζες δεδομένων (Bureau Gravimetrique Internationale – BGI)

συλλέγουν δεδομένα μετρήσεων βαρύτητας, τα οποία αξιολογούνται και

χρησιμοποιούνται για τη δημιουργία μέσων τιμών βαρύτητας

Τα γεωδυναμικά μοντέλα Ο υπολογισμός των συντελεστών των μοντέλων

• Τρεις κυρίως διαδικασίες

1. Μετρήσεις τροχιών τεχνητών δορυφόρων – Δορυφορικά

γεωδυναμικά μοντέλα χαμηλή ανάλυση γενική περιγραφή του

πεδίου σε μεγάλα μήκη κύματος

2. Επίγεια δεδομένα βαρύτητας – αποδίδουν τα τοπικά χαρακτηριστικά

των μοντέλων

3. Συνδυασμός επίγειων και δορυφορικών δεδομένων – Γεωδυναμικά

μοντέλα συνδυασμού υψηλή ανάλυση ανάλογα με την πυκνότητα των

επίγειων δεδομένων που χρησιμοποιούνται

Υπολογισμός συντελεστών Δορυφορικά δεδομένα

• Η ανάλυση των τροχιών των δορυφόρων συντελεστές αναπτυγμάτων

• Διαταραχές στην τροχιά επίδραση του πεδίου βαρύτητας δυναμικές

λύσεις

• GOCE εφαρμογή δορυφορικής βαθμιδομετρίας μετρήσεις βαθμίδων

βαρύτητας στο δορυφόρο

• Αξιόπιστοι συντελεστές χαμηλών συχνοτήτων εξομάλυνση σήματος στο

ύψος πτήσης του δορυφόρου

• GRACE/CHAMP έως n = m = 140. GOCE έως n = m = 250

Υπολογισμός συντελεστών Επίγεια δεδομένα

• Από δεδομένα βαρύτητας ή παρατηρήσεις αποχών γεωειδούς (αλτιμετρία) με

αντιστροφή των σχέσεων προκύπτουν οι συντελεστές των μοντέλων

• Οι εξισώσεις χρησιμοποιούνται ως εξισώσεις παρατήρησης σε συνόρθωση

ελαχίστων τετραγώνων ή χρησιμοποιείται ειδική τεχνική ολοκλήρωσης

( )∫∫σ

σ

λλ

ϑ∆

−π=

∆∆

dmm

Pgar

nr

GMSC

nm

n

nm

nm

sincos

cos14

1 2

( )∫∫σ

σ

λλ

ϑ

γ

π=

∆∆

dmm

PNarr

GMSC

nm

n

nm

nm

sincos

cos4

1

Από ανωμαλίες βαρύτητας

Από αποχές γεωειδούς

Υπολογισμός συντελεστών Επίγεια δεδομένα

• Η μέθοδος της συνόρθωσης επιτρέπει το συνδυασμό διαφορετικών δεδομένων

για την εκτίμηση των συντελεστών (ανωμαλίες και αποχές)

• Η μέθοδος της ολοκλήρωσης επιτρέπει τη χρήση μόνο ενός είδους μέτρησης

• Χρησιμοποιούνται μέσες τιμές αντιπροσωπευτικές των διαμερισμάτων που

δημιουργούνται

∫∫

∫∫

σ∆

σ∆

σσ∆

=

σ∆σ∆

=∆

NdN

gdg

1

1

Εξαρτάται από την κατανομή των δεδομένων και αντιστοιχεί στο μέγιστο βαθμό ανάπτυξης των σφαιρικών αρμονικών

o

o

nθ

=180

max

Το εύρος του Δσ σε μοίρες

Υπολογισμός συντελεστών Συνδυασμός δορυφορικών και επίγειων δεδομένων

• Πλεονέκτημα ακριβείς συντελεστές χαμηλού βαθμού (δορυφορικά) και

υψηλού βαθμού (επίγεια)

• Μειονέκτημα Υψηλές απαιτήσεις σε υπολογιστική ισχύ και χρόνο

• Εκατοντάδες χιλιάδες παρατηρήσεις με δεκάδες χιλιάδες αγνώστους

• Για βαθμό ανάπτυξης 1800 οι άγνωστοι στους πίνακες των κανονικών

εξισώσεων είναι 3243600

( ) 11 2max −+= nNr

Υπολογισμός συντελεστών Συνδυασμός δορυφορικών και επίγειων δεδομένων

• Παράδειγμα συντελεστών γεωδυναμικού μοντέλου EGM2008

Ακρίβειες παραμέτρων πεδίου

• Ποια είναι η ακρίβεια των συντελεστών των μοντέλων και κατ’ επέκταση η

ακρίβεια των υπολογιζόμενων συναρτησιακών του πεδίου βαρύτητας;

• Η ακρίβεια της προσέγγισης των παραμέτρων του πεδίου εξαρτάται από:

1. Την ακρίβεια των δεδομένων που χρησιμοποιούνται

2. Τη διακριτική τους ικανότητα (πυκνότητα δεδομένων)

3. Την καταλληλότητα του μοντέλου για την εκτίμηση των παραμέτρων

Ακρίβειες παραμέτρων πεδίου Συντελεστές μεταβλητότητας (σήματος και σφάλματος)

• Εκτίμηση της ακρίβειας προσέγγισης μίας συνιστώσας του πεδίου από τις

ακρίβειες των συντελεστών ανά βαθμό ανάπτυξης είναι δυνατή με τη χρήση

της στατιστικής ποσότητας της μεταβλητότητας

• Χρησιμοποιούνται οι συντελεστές μεταβλητότητας (anomaly degree

variances) και οι συντελεστές μεταβλητότητας σφάλματος (error degree

variance) περιγράφουν τη στατιστική συμπεριφορά του σήματος και του

θορύβου για κάθε συναρτησιακό που προκύπτει από τους συντελεστές

• Αποτελούν περιγραφή της φασματικής συμπεριφορά τους ισχύς του

σήματος ή του θορύβου ανά βαθμό ανάπτυξης

Ακρίβειες παραμέτρων πεδίου Συντελεστές μεταβλητότητας διαταρακτικού δυναμικού και ανωμαλιών

• Οι συντελεστές μεταβλητότητας του διαταρακτικού δυναμικού ορίζονται ως οι

μέσες τιμές των τετραγώνων των n όρων του αναπτύγματος

• Οι συντελεστές μεταβλητότητας των ανωμαλιών της βαρύτητας συνδέονται

σύμφωνα με τις εξισώσεις σύνδεσης ανωμαλιών και διαταρακτικού δυναμικού

• Αντιστοίχως για τα υψόμετρα του γεωειδούς και την απόκλιση της

κατακορύφου

( ) { } ( )∑∑=

∞

=

∆+∆γ===σn

mnmnm

nnnn SCRTTMT

0

2222

2

222

( ) { } ( ) ( ) ( )∑=

∆+∆γ−=σ

−

=∆=∆n

mnmnmnnn SCnT

RngMgc

0

222222

22 11

( )( )

( )gcn

RNc nn ∆−γ

= 222

22

11 ( ) ( )

( )( )gc

nnnc nn ∆−+

γ=θ 2

222

111

Ακρίβειες παραμέτρων πεδίου Συντελεστές μεταβλητότητας σφάλματος

• Αν αντί των συντελεστών του γεωδυναμικού μοντέλου χρησιμοποιηθούν τα

σφάλματα των συντελεστών, τότε προκύπτουν οι συντελεστές

μεταβλητότητας σφάλματος (error degree variances)

• Οι συντελεστές μεταβλητότητας και οι συντελεστές μεταβλητότητας σφάλματος

υπολογίζονται είτε για ένα συγκεκριμένο βαθμό n, είτε αθροιστικά μέχρι

ένα βαθμό αποδίδουν την ακρίβεια των υπολογιζόμενων παραμέτρων από

το μοντέλο

( ) ( ) ( )∑=

∆ ∆σ+∆σγ−=εn

mnmnmgn SCnc

0

22222 1

( )( )

( )gnNn cn

Rc ∆ε−γ=ε 2

22

22

11

( ) ( )( )

( )gnn cnnnc ∆θ ε−+

γ=ε 2

222

111


• Στην περίπτωση σύγκρισης μοντέλων με διαφορετικά ΕΕΠ αναφοράς

αναφορά στην επιφάνεια σφαίρας R αλλαγή κλίμακας για συγκρίσιμα

αποτελέσματα

( ) ( )∑=

∆+∆

=σ

n

mnmnm

n

n SCRa

RGMT

0

2222

2 ( ) ( )∑=

∆σ+∆σ

=εσ

n

mnmnm

n

Tn SCRa

RGM

0

2222

2

( ) ( ) ( )∑=

∆+∆

−=∆

n

mnmnm

n

n SCRa

RGMngc

0

2222

2

22 1

( ) ( ) ( )∑=

∆ ∆σ+∆σ

−=ε

n

mnmnm

n

gn SCRa

RGMnc

0

2222

2

22 1

( ) ( )∑=

∆+∆

γ

=n

mnmnm

n

n SCRa

aGMNc

0

2222

2

( ) ( )∑=

∆σ+∆σ

γ

=εn

mnmnm

n

Nn SCRa

aGMc

0

2222

2


• Συντελεστές μεταβλητότητας υψομέτρων γεωειδούς (συνεχείς γραμμές) και

σφαλμάτων (διακεκομμένες γραμμές)


• Αθροιστικό σφάλμα υψομέτρων του γεωειδούς

Ανακεφαλαίωση

• Αρμονική ανάλυση στη σφαίρα και σφαιρικές αρμονικές συναρτήσεις

• Αναπτύγματα σφαιρικών αρμονικών στο πεδίο βαρύτητας

• Γεωδυναμικά μοντέλα βαρύτητας

• Ακρίβειες παραμέτρων πεδίου συντελεστές μεταβλητότητας σήματος και

σφάλματος

Παρουσίαση 11 : Φασματική ανάλυση στο γήινο πεδίο ... ›...

Documents

Transcript of Παρουσίαση 11 : Φασματική ανάλυση στο γήινο πεδίο ... ›...