’µ»„¯‰ƒ·...

download ’µ»„¯‰ƒ·  ¹Œ„·„±‚ •¹Œ½±‚: •€µ¾µ³±ƒ¯± ƒ„ €µ´¯

of 41

  • date post

    20-Mar-2016
  • Category

    Documents

  • view

    66
  • download

    3

Embed Size (px)

description

ΔΤΨΣ 150 – Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας. Βελτίωση Ποιότητας Εικόνας: Επεξεργασία στο πεδίο της Συχνότητας. Τμήμα Διδακτικής της Τεχνολογίας και Ψηφιακών Συστημάτων Πανεπιστήμιο Πειραιώς.  2Δ Μετασχηματισμός Fourier  Φιλτράρισμα στο χώρο της Συχνότητας - PowerPoint PPT Presentation

Transcript of ’µ»„¯‰ƒ·...

No Slide Title© 2005 Nicolas Tsapatsoulis
Βελτωση Ποιτητας Εικνας:
Τμμα Διδακτικς της Τεχνολογας και Ψηφιακν Συστημτων
Πανεπιστμιο Πειραις
© 2005 Nicolas Tsapatsoulis
2Δ Μετασχηματισμς Fourier
Απ χωρικ φλτρα σε φλτρα Συχντητας
Χαμηλοπερατ Φλτρα
Υψιπερατ Φλτρα
© 2005 Nicolas Tsapatsoulis
Η επεξεργασα ψηφιακν εικνων στο πεδο της συχντητας στοχεει στην βελτωση της λαμβνοντας υπψη την κατανομ των συχνοττων της εικνας:
Στις εικνες οι συχντητες αντιπροσωπεουν την ταχτητα μεταβολς της φωτειντητας του χρματος
Υπρχουν δο κατευθνσεις μεταβολς της φωτειντητας του χρματος, η οριζντια και η κθετη.
Επεξεργασα στο πεδο της συχντητας εφαρμζεται με την εφαρμογ φιλτραρσματος
Εισαγωγ
© 2005 Nicolas Tsapatsoulis
Κθε συνεχς μονοδιστατο σμα μπορε να αναπαρασταθε ως θροισμα ημιτονικν σημτων
Κθε εικνα μπορε να αναπαρασταθε ως θροισμα ημιτονικν εικνων
Μια ψηφιακ ημιτονικ εικνα Ι1 εναι μια εικνα η οποα χει στοιχεα:
Ημιτονικς Εικνες
© 2005 Nicolas Tsapatsoulis
Η διπλαν εικνα εναι μια ημιτονικ εικνα η οποα περιγρφεται απ τη σχση:
Η παραπνω εικνα διαστσεων ΜxN = 1024x1024, χει οριζντια συχντητα v = 10 Hz (χουμε 10 περιοδικς επαναλψεις των στοιχεων της εικνας κατ την οριζντια κατεθυνση) και u = 20 Hz (χουμε 20 περιοδικς επαναλψεις των στοιχεων της εικνας κατ την κθετη κατεθυνση)
Ημιτονικς Εικνες (ΙΙ)
2Δ Μετασχηματισμς Fourier
© 2005 Nicolas Tsapatsoulis
Μια συνημιτονικ εικνα περιγρφεται απ τη σχση:
Επειδ η διαφορ μιας ημιτονικς απ μια συνημιτονικ εικνα εξαρτται απλ απ μια διαφορ φσης (απ ποια τιμ φωτειντητας χρματος ξεκιν η εικνα) πολλς φορς εκφρζουμε τυχαες εικνες ως θροισμα μιγαδικν εκθετικν εικνων.
Απ τη σχση του Euler χουμε:
Επομνως μια μιγαδικ εκθετικ εικνα (μη υπαρκτ ως φυσικ ονττητα) ορζεται ως:
Συνημιτονικς Εικνες και Μιγαδικς Εικνες
2Δ Μετασχηματισμς Fourier
© 2005 Nicolas Tsapatsoulis
στω μια εικνα f(x,y), με x = 0, 1, 2, …, M-1 και y = 0, 1, 2, …,N-1
Ο δισδιστατος διακριτς μετασχηματισμς Fourier ορζεται ως:
Πρπει να τονιστε τι τα (x, y) αποτελον συντεταγμνες χρου (καθορζουν τις συντεταγμνες των pixels) εν τα (u, v) αποτελον συντεταγμνες συχνοττων οι οποες εκφρζονται σε κκλους αν εικνα.
Για τον Διακριτ Μετασχηματισμ Fourier συνθως χρησιμοποιομε την συντομογραφα DFT (Discrete Fourier Transform).
O Διακριτς Μετασχηματισμς Fourier μας προσφρει την δυναττητα μετβασης απ το πεδο χρου μιας εικνας (spatial domain) στο αντστοιχο πεδο συχνοττων της (frequency domain) αναλοντας μια εικνα ως θροισμα μιγαδικν εκθετικν εικνων.
Αυτ η δυναττητα εναι πολ σημαντικ γιατ η επμβαση στο πεδο συχνοττων μιας εικνας εναι νας απ τους σημαντικτερους τρπους τροποποησης και επεξεργασας της.
Δισδιστατος Μετασχηματισμς Fourier
2Δ Μετασχηματισμς Fourier
© 2005 Nicolas Tsapatsoulis
Το αποτλεσμα του DFT μιας εικνας f(x,y) διαστσεων Μ x N, εναι επσης νας πνακας διαστσεων M x N. Επομνως:
Στη πραγματικτητα η μγιστη οριζντια συχντητα που μπορε να περιχεται σε μια ψηφιακ εικνα Μ x N εναι Ν/2 (νας κκλος τιμν φωτειντητας χρματος της εικνας ολοκληρνεται εντς δο pixel).
Ομοως η μγιστη κθετη συχντητα που μπορε να περιχεται σε μια ψηφιακ εικνα Μ x N εναι Μ/2.
O Αντστροφος Διακριτς Μετασχηματισμς Fourier (IDFT - Inverse DFT) μας βοηθ να ανακτσουμε την αρχικ μας εικνα απ το πεδο συχνοττων της. Ο μαθηματικς του τπος εναι ο ακλουθος:
Δισδιστατος Μετασχηματισμς Fourier (II)
© 2005 Nicolas Tsapatsoulis
Για τον υπολογισμ του DFT μιας εικνας, στις πλεστες περιπτσεις, χρησιμοποιεται ο αλγριθμος FFT (Fast Fourier Transform), νας αποδοτικς, υπολογιστικ, αλγριθμος και νας απ τους πλον δημοφιλες και χρησιμοποιομενους αλγορθμους
Στη Matlab ο δισδιστατος DFT, μιας εικνας f, υπολογζεται με την εντολ F = fft2(f).
Το αποτλεσμα του IDFT εναι μια μιγαδικ εικνα g ( g = ifft2(F) ).
Με δεδομνο τι εικνες με μιγαδικς τιμς για τα pixel δεν χουν καννα φυσικ νημα θα πρπει να απομονσουμε το πραγματικ μρος της εικνας g και μνο αυτ να απεικονσουμε.
Δισδιστατος Μετασχηματισμς Fourier (ΙII)
© 2005 Nicolas Tsapatsoulis
Μπορομε να κατανοσουμε τον πνακα DFT καλτερα μελετντας μερικς ιδιτητες του.
Κθε εικνα f που μελετμε, αποτελεται απ πραγματικος αριθμος ακεραους, οι οποοι εκφρζουν τη φωτειντητα το χρμα της εικνας σε συγκεκριμνα σημεα της (pixels).
Ωστσο, o DFT της εναι γενικ μιγαδικς.
Ο DFT μας εικνας μπορε να γραφτε σαν θροισμα ενς πραγματικο και ενς φανταστικο πνακα:
Ιδιτητες Μετασχηματισμο Fourier
2Δ Μετασχηματισμς Fourier
© 2005 Nicolas Tsapatsoulis
Επομνως ο DFT F της εικνας f χει μτρο (magnitude) και φση (phase):
Το μτρο του DFT ορζεται ως:
Η φση δνεται απ τη σχση:
Αν F εναι ο DFT F της εικνας f ττε με την εντολ Fm = abs(F) στη Matlab παρνουμε το μτρο του και με την εντολ Α = angle(F) τη φση (σε ακτνια)
Ιδιτητες Μετασχηματισμο Fourier (ΙΙ)
© 2005 Nicolas Tsapatsoulis
© 2005 Nicolas Tsapatsoulis
© 2005 Nicolas Tsapatsoulis
© 2005 Nicolas Tsapatsoulis
Συμμετρα Μετασχηματισμο Fourier
2Δ Μετασχηματισμς Fourier
Χωρικν Φλτρων
Χαμηλοπερατ Φλτρα
Υψιπερατ Φλτρα
Απ τις ιδιτητες του DFT προκπτει τι ο DFT μιας εικνας περιχει πλεονασματικς πληροφρες, δηλαδ χουμε τις διες πληροφορες περισστερες απ μα φορς (συμμετρα).
Το επμενο σχμα παρουσιζει τις συμμετρες που ισχουν στο μτρο του DFT μιας εικνας
Συμμετρα ως προς το μσο (συχντητα (u,v)=(Μ/2,Ν/2)) – Βλπε σχμα στα αριστερ
Η κατανομ των συχνοττων του DFT φανεται στο σχμα στο κντρο
Πολλς φορς μως για καλτερη οπτικ απεικνιση θεωρομε απεικνιση με κντρο των αξνων το μσο του πνακα (εντολ fftshift στη Matlab) - Βλπε σχμα στα δεξι
v
u
high
high
high
high
© 2005 Nicolas Tsapatsoulis
Χωρικν Φλτρων
Χαμηλοπερατ Φλτρα
Υψιπερατ Φλτρα
Μερικς φορς εναι εκολο να χσουμε την ννοια του DFT και του περιεχομνου συχντητας της εικνας για χρη των μαθηματικν.
Ο DFT αποτελε μια περιγραφ των περιεχμενων συχνοττων σε μια εικνα
Κοιτζοντας το DFT το φσμα μιας εικνας (απεικνιση του μτρου του DFT της εικνας), μπορομε να προσδιορσουμε πολλ στοιχεα σχετικ με την εικνα.
Οι φωτεινς περιοχς στην DFT “εικνα” αντιστοιχον στις συχντητες οι οποες χουν μεγλο μτρο (ισχ) στην πραγματικ εικνα.
Μεγλες τιμς κοντ στο κντρο του (μετατοπισμνου) DFT αντιστοιχον σε μεγλες ομαλς περιοχς της εικνας σε ισχυρ φωτειν φντο.
Απ τη στιγμ που οι εικνες εναι θετικς (τιμς φωτειντητας χρματος στο διστημα [0 255]), κθε εικνα χει μια μεγλη κορυφ στο (u, v) = (0, 0) που εναι ανλογη με τη μση φωτειντητα της εικνας
ΔΤΨΣ 150: Ψηφιακ Επεξεργασα Εικνας
© 2005 Nicolas Tsapatsoulis
Φιλτρρισμα στο χρο της Συχντητας
Στη χωρικ επεξεργασα εικνας με χρση μσκας η μσκα εφαρμζεται επαναληπτικ σε λα τα pixel της εικνας. Η διαδικασα αυτ εναι γνωστ ως συνλιξη και συμβολζεται με *. Για παρδειγμα το αποτλεσμα g(x,y) της χωρικς επεξεργασας της εικνας f(x,y) με τη μσκα h(x,y) ορζεται ως:
g(x,y) = f(x,y)*h(x,y)
g(x,y) = IDFT{G(u,v)}, που G(u,v) = F(u,v)·H(u,v)
2Δ Μετασχηματισμς Fourier
© 2005 Nicolas Tsapatsoulis
Φιλτρρισμα στο χρο της Συχντητας (ΙΙ)
που F(u,v) = DFT{f(x,y)}, και H(u,v) = DFT{h(x,y)}, ττοιο στε οι πνακες F(u,v) και Η(u,v) να χουν τις διες διαστσεις
Ο πολλαπλασιασμς F(u,v)·H(u,v) εκτελεται στοιχεο προς στοιχεο και δεν αντιπροσωπεει τον κλασικ πολλαπλασιασμ πινκων
2Δ Μετασχηματισμς Fourier
© 2005 Nicolas Tsapatsoulis
Φιλτρρισμα στο χρο της Συχντητας (ΙΙΙ)
Το φιλτρρισμα στο χρο της συχντητας μας δνει τη δυναττητα να σχεδιζουμε φλτρα τα οποα αποκπτουν συγκεκριμνες συχντητες οι περιοχς συχνοττων
Αυτ εναι ιδιατερα σημαντικ στις περιπτσεις στις οποες γνωρζουμε την αιτα που προκαλε υποβθμιση της ποιτητας της εικνας (π.χ. το grid που χρησιμοποιεται στις ακτινογραφες X)
Θεωρστε το παρδειγμα της διπλανς εικνας:
Η εικνα εναι μια ημιτονικ εικνα με συχντητες u = 20 Hz και v = 10 Hz στην οποα χει επιδρσει να ανεπιθμητο τετραγωνικ πλγμα
2Δ Μετασχηματισμς Fourier
© 2005 Nicolas Tsapatsoulis
Μπορομε να αποκαταστσουμε την εικνα φιλτρροντας λες τις συχντητες της εικνας οι οποες εναι διφορες απ u = 20 Hz και v = 10 Hz
Στην πραγματικτητα ποτ δεν μπορομε να ξρουμε επακριβς τις συχντητες που περιχονται σε μια τυχαα εικνα (η οποα χει κποιο νημα)
Γνωρζουμε μως σε πολλς περιπτσεις τις συχντητες του θορβου (ανεπιθμητου σματος) που υποβαθμζει τις εικνες.
Βελτωση της εικνας με απαλοιφ της επδρασης σε αυτς τις περιπτσεις εναι γνωστ ως αποκατσταση εικνας (image restoration)
2Δ Μετασχηματισμς Fourier
© 2005 Nicolas Tsapatsoulis
(α) Αρχικ Εικνα f (β) Μετασχηματισμς Fourier F
2Δ Μετασχηματισμς Fourier
© 2005 Nicolas Tsapatsoulis
(α) Εικνα με επδραση θορβου q (β) Μετασχηματισμς Fourier Q
2Δ Μετασχηματισμς Fourier
© 2005 Nicolas Tsapatsoulis
(α) Απκριση συχντητας φλτρου Η (β) G = Q·H
2Δ Μετασχηματισμς Fourier
© 2005 Nicolas Tsapatsoulis
(a) g = IDFT(G)
2Δ Μετασχηματισμς Fourier
Η εικνα του διπλανο σχματος προκυψε απ τον αντστροφο μετασχηματισμ Fourier του πνακα G
G = Q·H
Q = DFT (q)
q η θορυβδης εικνα
Η η επιθυμητ απκριση συχντητας του φλτρου με το οποο επεξεργαζμαστε την εικνα q
ΔΤΨΣ 150: Ψηφιακ Επεξεργασα Εικνας
© 2005 Nicolas Tsapatsoulis
2Δ Μετασχηματισμς Fourier
Χωρικν Φλτρων
Χαμηλοπερατ Φλτρα
Υψιπερατ Φλτρα
Ορζοντας κατευθεαν στο χρο της συχντητας τους πνακες H μπορομε να επεξεργαστομε συγκεκριμνες περιοχς συχνοττων
Υψιπερατ φιλτρρισμα => αποκοπ χαμηλν συχνοττων (π.χ. χρση για ανδειξη ακμν)
Χαμηλοπερατ φιλτρρισμα => αποκοπ υψηλν συχνοττων (π.χ. χρση για απαλοιφ θορβου, λεανση εικνας)
Ζωνοφρακτικ φιλτρρισμα => αποκοπ ενδιμεσων συχνοττων (π.χ. απαλοιφ θορβου συγκεκριμνων συχνοττων πως σε περιπτσεις αποκατστασης εικνας)
H για υψιπερατ φιλτρρισμα
H για ζωνοφρακτικ φιλτρρισμα
H για χαμηλοπερατ φιλτρρισμα
© 2005 Nicolas Tsapatsoulis
Πραγματοποιεται μσω του μετασχηματισμο Fourier της μσκας h η οποα εφαρμζεται για χωρικ φιλτρρισμα.
Υπρχει να λεπτ σημεο σε αυτ τη μεθοδολογα:
Η εφαρμογ χωρικο φιλτραρσματος επιβλλει συνλιξη της εικνας f , διαστσεων MxN, με την μσκα h, διαστσεων mxn με m<<M, n<<N, με βση τη σχση: g = f*h
Ισοδναμα G = F·H που F=DFT{f}, H=DFT{h}
Για εφαρμογ του παραπνω μως πρπει Η και F να χουν την δια δισταση
Αλλ Η = DFT{h} χει διαστσεις mxn εν F=DFT{f} χει διαστσεις MxN.
Για να μπορε να εφαρμοστε η σχση G = F·H για φιλτρρισμα στο χρο της συχντητας εκτελονται τα παρακτω βματα:
Επεκτενεται η μσκα h με μηδενικ στε να χει διαστσεις MxN
Λαμβνεται ο DFT της νας μσκας h δηλαδ Η = DFT{h}
Εφαρμζεται η σχση G = F·H
Η φιλτραρισμνη εικνα g = IDFT{G}
Απ χωρικ φλτρα σε φλτρα Συχντητας
2Δ Μετασχηματισμς Fourier
© 2005 Nicolas Tsapatsoulis
h = [1 0 -1; 2 0 -2; 1 0 -1]
για εφαρμογ σε μια εικνα f διαστσεων 1024 x 1024, δνεται στο διπλαν σχμα:
Παρατηρομε τι το συγκεκριμνο φλτρο χει υψηλ απκριση στις χαμηλς κθετες συχντητες (v<<M/2) και στις ενδιμεσες – ψηλς οριζντιες συχντητες (umax ≈ N/4)
Απ χωρικ φλτρα σε φλτρα Συχντητας (ΙΙ)
2Δ Μετασχηματισμς Fourier
© 2005 Nicolas Tsapatsoulis
Το ιδεατ χαμηλοπερατ φλτρο (IDLPF) χει συνρτηση μεταφορς Η (μετασχηματισμ Fourier της μσκας h) της μορφς:
που D(u,v) εναι η απσταση του σημεου με συχντητες (u,v) απ το σημεο (0,0), και D0 εναι νας θετικς αριθμς (συχν αναφρεται ως ακτνα του χαμηλοπερατο φλτρου)
Χαμηλοπερατ Φλτρα
© 2005 Nicolas Tsapatsoulis
Η επιλογ της τιμς του D0 στο ιδεατ χαμηλοπερατ φλτρο καθορζει πση απ τη συνολικ ισχ της εικνας θλουμε να διατηρσουμε
Ιδεατ χαμηλοπερατ φλτρο
2Δ Μετασχηματισμς Fourier
© 2005 Nicolas Tsapatsoulis
Τα ιδεατ χαμηλοπερατ φλτρα δεν εναι υλοποισιμα με υλικ. Επιπλον δημιουργον εικνες με ‘δακτυλδια’ (ringing effect) εξαιτας της απτομης μεταβολς μεταβολς της Hideal απ την τιμ 1 στη τιμ 0.
Τα χαμηλοπερατ φλτρα Butterworth (BLPF) χουν συνρτηση μεταφορς Η της μορφς (n εναι η τξη του φλτρου):
Χαμηλοπερατ Φλτρα: Φλτρο Butterworth
© 2005 Nicolas Tsapatsoulis
2Δ Μετασχηματισμς Fourier
© 2005 Nicolas Tsapatsoulis
Τα χαμηλοπερατ φλτρα Gauss (GLPF) χουν συνρτηση μεταφορς Η της μορφς (D0 εναι η τυπικ απκλιση του φλτρου):
Χαμηλοπερατ Φλτρα: Φλτρα Gauss
© 2005 Nicolas Tsapatsoulis
© 2005 Nicolas Tsapatsoulis
Φλτρα Gauss (II)
2Δ Μετασχηματισμς Fourier
© 2005 Nicolas Tsapatsoulis
Υψιπερατ φλτρα εναι φλτρα τα οποα χρησιμοποιονται για την ανδειξη ακμν στις εικνες
Ο απλυστερος τρπος για τον υπολογισμ της συνρτησης μεταφορς ενς υψιπερατο φλτρου εναι χρησιμοποιντας τη σχση
Ηhigh=1-Hlow που Ηlow η συνρτηση μεταφορς του αντστοιχου χαμηλοπερατο φλτρου.,
Υψιπερατ Φλτρα
© 2005 Nicolas Tsapatsoulis
IHPF (Ideal High Pass Filter):
HIHPF = 1 - HILPF
HBHPF = 1 - HBLPF
HGHPF = 1 - HGLPF
Υψιπερατ Φλτρα (ΙΙ)
2Δ Μετασχηματισμς Fourier
© 2005 Nicolas Tsapatsoulis
Υψιπερατ Φλτρα (ΙΙΙ)
2Δ Μετασχηματισμς Fourier
© 2005 Nicolas Tsapatsoulis
Υψιπερατ Φλτρα (ΙV)
2Δ Μετασχηματισμς Fourier
© 2005 Nicolas Tsapatsoulis
Υψιπερατ Φλτρα (V)
2Δ Μετασχηματισμς Fourier
© 2005 Nicolas Tsapatsoulis
Στο διπλαν σχμα επιδεικνεται η χρση του μετασχηματισμο Fourier για τον εντοπισμο προτπων στο πεδο της συχντητας
Αναζτηση του γρμματος T στην εικνα:
Σχηματισμς μσκας h για το γρμμα Τ
Υπολογισμς του επεκτεταμνου (στο μγεθος της εικνας) μετασχηματισμο Fourier H της μσκας h
Πολλαπλασιασμς του Η με το μετασχηματισμ Fourier F της εικνας f: G = F·H
Εντοπισμς του μεγστου του πνακα G
Εφαρμογς επεξεργασας στο πεδο της συχντητας
2Δ Μετασχηματισμς Fourier
© 2005 Nicolas Tsapatsoulis
Σνοψη
Το υλικ που παρουσιστηκε σε αυτ την εντητα αναφρεται στη βελτωση ποιτητας εικνας στο πεδο της συχντητας. Ο σχεδιασμς φλτρων στο πεδο της συχντητας παρχει ταχτητα εκτλεσης αλλ και ακρβεια και προβλεψιμτητας του τελικο αποτελσματος
Ο διακριτς δισδιστατος μετασχηματισμς Fourier και οι ιδιτητες του παρχουν το θεωρητικ υπβαθρο για την επεξεργασα εικνας στο πεδο της συχντητας
Η επεξεργασα μιας εικνας f στο πεδο της συχντητας περιγρφεται απ το παρακτω σχμα:
2Δ Μετασχηματισμς Fourier