Analisis Real 2

F U N G S I

Pembelajaran 2

1.2. Operasi pada Fungsi & Fungsi

terbatas

Definisi 3.

Jika H ⊆ℝ, f, g : H → ℝ, dan λ ∈ ℝ, maka didefinisikan:

a. (f + g)(x) = f(x) + g(x), x ∈ H.

b. (λf)(x) = λ f(x), x ∈ H.

c. (fg)(x) = f(x) g(x), x ∈ H.

d. (f / g)(x) = f(x) / g(x), x ∈ H dan g(x) ≠ 0. ■

Definisi 4.

Misalkan A dan B adalah himpunan dan f adalah fungsi dari A ke B.

Fungsi f: A → B memiliki fungsi invers f-1: A → B jika dan hanya jika

setiap b ∈ B merupakan peta dari sebuah anggota tunggal a ∈A. Dengan

kata lain, sebuah fungsi dengan sifat ini disebut sebagai suatu

korespondensi 1-1 antara A dan B. ■

Berdasarkan Definisi 4, secara geometris, f: A → B merupakan

korespondensi 1 – 1 antara A dan B jika dan hanya jika setiap garis

vertikal yang memotong A juga memotong grafik f tepat pada sebuah

titik dan setiap garis horizontal yang memotong B juga akan memotong

grafik f tepat pada sebuah titik. Kondisi pertama memastikan bahwa f

merupakan fungsi sementara kondisi kedua memastikan bahwa fungsi

infers dari f yakti f-1 juga merupakan fungsi. Perhatikan Contoh 3

berikut:

Contoh 3.

Fungsi merupakan korespondensi 1-1 antara [0, ∞) dan [0, ∞). Fungsi

ini mempunyai fungsi invers yaitu f-1(x) = x2, dengan x ≥ 0.

Definisi 5.

Misalkan f terdefinisi pada H. f dikatakan terbatas pada H jika dan hanya

jika terdapat K > 0 sedemikian sehingga untuk setiap x ∈ H berlaku

|f(x)| ≤ K. ■

Ingat kembali sifat kelengkapan bilangan real bahwa: setiap himpunan

bagian tak kosong dari ℝ yang terbatas di atas mempunyai batas atas

terkecil, dan setiap himpunan bagian tak kosong dari ℝ yang terbatas di

bawah mempunyai batas bawah terbesar. Misalkan H ≠ . Jika H terbatas

di atas, maka batas atas terkecil H disebut sebagai supremum H, ditulis

supH. Serupa dengan itu, jika H terbatas di bawah, maka batas bawah

terbesar H disebut sebagai infimum H, ditulis inf H. Jika H terbatas,

maka jelas bahwa inf H ≤ sup H.

Jika H tidak terbatas di atas, terkadang cukup dituliskan sup H = +∞,

sedangkan jika H tidak terbatas di bawah cukup dituliskan inf H = -∞.

Perhatikan pula bahwa, supremum maupun infimum suatu himpunan

tidak harus merupakan anggota himpunan tersebut.