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Exo VNM Choix de portefeuilles Laurence ABADIE

Exercice :

1 actif sans risque + 1 actif risqué - Choix du por tefeuille optimal lorsque investisseur

VNM

Considérons un agent, doté d’une richesse initiale 0w , richesse qu’il désire placer dans un portefeuille

composé d’un actif sans risque (de taux de rendement i ), ainsi que d’un actif risqué indexé sur le

S&P500 qui rapporterait xx =~ avec probabilité p et xx =~

avec probabilité (1-p) . On suppose de

plus que xix << et ( ) ixE ≥~.

Sa fonction d’utilité est ( ) ( )bwwu −= ln , pour tout niveau de richesse exprimé en milliers d’euros,

où b est une constante >0

1- Soit α la part de la richesse initiale investie dans l’actif risqué. Exprimez la richesse finale du

consommateur sous forme de loterie.

2- Pourquoi d’après vous suppose-t-on que xix << et ( ) ixE ≥~ ?

3- Comment l’agent détermine-t-il la composition optimale de son portefeuille ? En déduire les

conditions du premier et deuxième ordre qui doivent être vérifiées par le portefeuille optimal.

On suppose à présent que w 00010 = €, que les Bons du Trésor rapportent i = 10%, et l’actif risqué

rapporte 15% ou 7%. La fonction d’utilité du consommateur est ( ) ( )980ln −= wwu .

4- Quelle est la composition optimale de son portefeuille si le rendement de l’actif risqué est

équiprobable ?

5- Suite à une détérioration de la conjoncture sur les marchés, le taux de rendement de l’actif risqué

est à présent %15~ =x avec probabilité 0,4 et %7~ =x avec probabilité 0,6. L’agent va-t-il

modifier la composition de son portefeuille ?

6- Reprendre les questions 4 et 5 pour un agent qui aurait comme préférences :

( ) ( )950ln −= wwu . Commentez les divers résultats obtenus aux questions 4 à 6.

7- Faire de même pour un agent dont les préférences seraient représentées par

( ) 9502 −+= wwwu et commentez.