Asignatura: Vibraciones Mecánicas. Curso 2008/09 (Final Julio- 1er Parcial) 1. Se tiene una viga de sección circular de 10cm y 4 m de longitud con un material de módulo de Young E=210 GPa y densidad ρ=7800 kg/m3, apoyado en ambos extremos. En el centro se coloca acopla una masa m igual a 100 kg, y sobre ella se aplica una fuerza armónica de de amplitud 100N y frecuencia entre 0.1 y 1000Hz. La masa equivalente de la viga es 1/3 de la masa total. Determinar la amplitud máxima de desplazamiento de la masa central en régimen permanente (4

ptos). Ecuación de la elástica para fuerza F en la mitad de la

viga: ( )2

2 2

12 4xF ly x l xEI

⎡ ⎤= − −⎢ ⎥

⎣ ⎦esta ecuación solo es

válida para la primera mitad de la viga

Momento de inercia: 4

64dI π

=

2. Se tiene un sistema mecánico equivalente de masa m=10 kg, rigidez k=1000N/m y amortiguación c=10 Ns/m. Al sistema se le somete a excitaciones por movimiento de la base y(t)=Y0senωt con Y=10 mm (figura a) y fuerzas de excitación periódicas F(t)=F0senωt con F0=10 N (figura b), en ambos casos con una frecuencia de excitación ω=10 rad/s. Determínese en cuál de los casos la elongación del resorte es mayor permanente. (4 ptos)

(a)

(b)

3. En un plano inclinado se tiene un disco de masa M, radio R y de momento de

inercia 212

I MR= que rueda sin deslizar en el plano

inclinado que lo contiene. Se acoplan dos muelles uno unido a su centro y otro unido en un punto de la periferia que en la posición de equilibrio estático está ubicado en la perpendicular al suelo que pasa por el centro del disco según se muestra en la figura. Determínese por medio de las ecuaciones de Lagrange la ecuación dinámica del sistema para el estudio del desplazamiento x(t) del disco en el plano. (4 ptos)

4. Se tiene una varilla rígida esbelta de longitud L=1 m y masa M=10 kg, articulada en el extremo inferior. En el extremo superior está acoplado al pared con un resorte de

rigidez k y un amortiguador viscoso de coeficiente de amortiguamiento c. En el lado izquierdo tiene un resorte de rigidez k acoplado en el centro de masas. Determinar (8 ptos): (a) Determinar los parámetros del sistema equivalente del sistema para el estudio de las vibraciones de giro de la varilla (Ie, Ke, y Ce). (b) Ecuación diferencial del sistema mecánico. (c) En el instante inicial con la varilla en resposo se aplica la fuerza F(t)=F0senωt con F0=2000 N, obténgase la respuesta (permanente y transitoria). (d) Frecuencia de excitación donde el desplazamiento angular es máximo y distancia D que debe existir entre la varilla en posición vertical y la pared de la izquierda para que la varilla no impacte con ella. Datos: k=100 N/m, c=100 Ns/m

Asignatura: Vibraciones Mecánicas. Curso 2008/09 (Final Junio- 2o Parcial)

TEÓRICO-PRÁCTICAS nº 1 (3 puntos) Se tiene una varilla de longitud L y masa m según se muestra en la figura. En los extremos de la misma tiene acoplados unos resortes de rigidez 3K el del lado derecho y 2K el del lado izquierdo. A una distancia L/4 del lado derecho se monta un amortiguador viscoso de constante de amortiguamiento c. En el extremo izquierdo se aplica una fuerza F(t) vertical. Determínese el sistema equivalente para el estudio de las vibraciones de la varilla (giro y desplazamiento) por el método de Lagrange si está en una posición de equilibro estático.

TEÓRICO-PRÁCTICAS nº 2 (2 puntos) Se tiene una varilla de longitud L y masa m según se muestra en la figura. En los extremos de la misma tiene acoplados unos resortes de rigidez 3K el del lado derecho y 2K el del lado izquierdo. A una distancia L/4 del lado derecho se monta un amortiguador viscoso de constante de amortiguamiento c. El sistema está inicialmente en reposo en posición horizontal y el centro de masas desplazado un distancia x0. En el extremo izquierdo se aplica una fuerza F(t)=F0e-t vertical. Descríbase todos los pasos para obtener la respuesta del sistema. Nota es necesario escribir las ecuaciones pero no resolverlas.

TEÓRICO-PRÁCTICAS nº 3 (3 puntos) Se sospecha que en la máquina del problema 2 tiene un problema en los engranajes. Razonar la frecuencia de muestreo y número de líneas que se deben escoger en el analizador para poder estudiar con una resolución en frecuencias suficiente para estudiar este fenómeno.

1 2.5 5 10 25 50 100 250 500

Posibles

frecuencias muestreo

(Hz) 1000 2500 5000 10000 25000 50000 100000 250000 500000

Numero

de líneas

16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 16384 32768

PROBLEMA nº1 (8 Puntos) Se tiene un sistema mecánico compuesto por un ascensor que se desplaza verticalmente

y una varilla de longitud L, ambos tienen una masa m y están acoplados con resortes de rigidez k según se muestra en la figura. El suelo del ascensor está acoplado por medio de un resorte de rigidez k con un actuador que puede se desplaza de una forma conocida en función del tiempo y(t). Determínese: (a) Ecuaciones dinámicas del sistema para el estudio de las vibraciones libres. (b) Frecuencias naturales del sistema. (c) Modos de vibración del sistema. (d) Si el sistema está en reposo y el actuador aplica un desplazamiento y(t)=0.15sen(10t) (m), obtener empleando el método de Cramer respuesta del sistema. Datos: m=100 kg, L=10 m y k=100000N/m.

m x(t)

k

GO

θ(t)

k

k

y(t)

PROBLEMA 2 (4 Puntos) En un barco se observa un nivel alto de vibraciones con una pérdida de rendimiento. La máquina está compuesta por un volante de inercia, un motor, una caja de engranajes, un eje y por último la hélice de propulsión del barco. Para detectar la causa del problema se efectúa un análisis en frecuencia midiendo la vibración sobre el reductor en dirección vertical. En función de los datos constructivos, razonar justificadamente cuáles son los defectos que sufre la máquina.

Características técnicas Datos del motor: Velocidad de giro del motor: entre 400 y 900 rpm Velocidad del motor durante la medida=900 rpm Número de palas de la hélice=3 Diámetro de los ejes=70 mm

Datos del reductor: Eje de entrada (motor) con rueda 26 dientes Eje de salida (hélice) con rueda 15 dientes

Motor

Volante deInercia

Eje 1

Eje 2

Engranajes

HeliceMedida

Rodamientos de la máquina (Tipo 1): Diámetro de bolas: 22.5 mm Número de bolas: 13 Diámetro pista interior: 80 mm Diámetro pista exterior: 110 mm Angulo de contacto: 0º

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300Frecuencia (Hz)

Am

plitu

d (m

m/s

)

Formulas de frecuencias de fallo de rodamientos:

i obola

b o i

D Df

D D Dω=

+ i

bext bo i

Df N

D Dω=

+ o

bint bo i

Df N

D Dω=

+ i

jaulao i

Df

D Dω=

+