Estadística Inferencial

ESTADÍSTICA INFERENCIAL.

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Sesión No. 6

Nombre: Pruebas de hipótesis para medias y proporciones.

Contextualización En esta sesión aprenderemos a estimar y analizar las pruebas de hipótesis para

media y proporción poblacional, utilizaremos una serie de pasos que nos

llevaran a decidir la aceptación o el rechazo de estas hipótesis.

• Definiremos y estableceremos las hipótesis nula y alternativa.

• Identificaremos el tipo de error que se puede cometer al probar dicha

hipótesis.

• Resolveremos problemas utilizando el estadístico de prueba Z(utilizado

para muestras grandes).

Fuente: http://www.matematicasypoesia.com.es/Estadist/test-de-hipotesis.jpg

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Introducción al Tema Como se ha mencionado las pruebas de hipótesis nos permiten comparar

valores de un parámetro poblacional o estadístico, ya sea contra un valor teórico

o contra otro parámetro, todo esto con el fin de tomar decisiones. Esta prueba al

igual que la técnica de estimación se basa en muestras aleatorias.

Para iniciar veremos el concepto de pruebas de hipótesis para medias y

proporciones poblacionales contra una cantidad constante.

En el caso de muestras grandes, muchos estadísticos tienen casi las mismas

distribuciones normales con media µ y desviación estándar σ.

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Explicación

Cuando consideramos el caso de σ conocida nos referimos a aplicaciones en las

que se cuenta con datos históricos o con alguna información que permita

obtener buenas estimaciones de la desviación estándar poblacional antes de

tomar la muestra.

Los siguientes casos son unos ejemplos de los estadísticos de interés práctico.

Pruebas de hipótesis para media poblacional con σ conocida.

En este caso x es la media muestral, µ es la media poblacional, nx σσ = ,

donde σ es la desviación estándar poblacional y n es el tamaño de la muestra.

La variable estándar está dada por: n

xz/σµ−

=

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Fuente: http://4.bp.blogspot.com/-HFTiPimwpfg/TnfwsLfPA9I/AAAAAAAAABY/Bfbq6DX0ttE/s1600/1.jpg

Pasos a seguir para dar una solución correcta a una prueba de hipótesis:

1. Plantear la hipótesis nula y alternativa.

2. Especificar el nivel de significancia.

3. Encontrar el valor critico(Zc).

4. Recabar los datos muestrales y calcular el valor estadístico de prueba(Zp).

5. Rechazar o aceptar la hipótesis nula.

Ejemplo 1: se calcula que la media del tiempo de vida de una muestra de 100

focos fluorescentes producidos por una compañía será de 1570 horas con una

desviación estándar de 120 horas. Si µ es la media del tiempo de vida de todos

los focos que fabrica la compañía, pruebe la hipótesis µ= 1600 horas contra la

hipótesis alternativa µ ≠ 1600 horas, utilizando el nivel de significancia de 0.05.

Solución:

Paso 1. Se tiene que decidir entre dos hipótesis:

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Ho: µ= 1600 horas

Ha: µ ≠ 1600 horas

Usaremos la prueba de dos colas ya que µ ≠ 1600 incluye valores tanto mayores

como menores que 1600.

Paso 2: nivel de significancia a) 0.05.

Paso 3: Zc = ± 1.96, se tiene la siguiente regla de decisión:

i. Rechazar Ho si el valor de Z de la media muestral esta fuera del

rango de -1.96 y 1.96

ii. Aceptar Ho (o aplazar una decisión) si éste no es el caso.

Paso 4: Calcular n

xz/σµ−

= considerando los siguientes datos: x = 1570, µ =

1600, σ= 120 y n = 100, por lo tanto 50.2100/12016001570

−=−

=z

Paso 5: Este valor esta fuera del rango de -19.6 y 1.96, se rechaza Ho a un nivel

de significancia del 0.05.

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Pruebas de hipótesis para proporción poblacional.

En este caso el estadístico es P, la proporción de éxitos en una muestra; µp=p,

donde p es la proporción de población de éxitos y n es el tamaño de la muestra;

nppp /)1( −=σ . La variable estandarizada está dada por:

nppP

Z p

/)1( −

−=

µ

En el caso P = X/n, donde X es el número real de éxitos en una muestra, la

variable estandarizada se convierte en:

)1( pnpnpXZ−

−=

Las tres formas de una prueba de hipótesis para la proporción poblacional son

las siguientes:

Ejemplo 2: el fabricante de una medicina de patente afirmo que la misma fue 90%

eficaz para aliviar una alergia durante un periodo de 8 horas. En una muestra de

200 personas que padecían la alergia, la medicina proporcionó alivio a 160

personas. Determinar si la afirmación del fabricante es legitima con base en un

nivel de significancia del 0.01.

Considere que p denota la probabilidad de experimentar alivio de la alegría al

usar la medicina. En consecuencia, es necesario decidir entre las dos hipótesis:

𝐻0: 𝑝 = 0.9,𝑦 𝑙𝑙 𝑙𝑎𝑎𝑎𝑎𝑙𝑎𝑎ó𝑛 𝑒𝑒 𝑎𝑐𝑎𝑎𝑒𝑎𝑐𝑙

𝐻𝑙: 𝑝 < 0.9,𝑦 𝑙𝑙 𝑙𝑎𝑎𝑎𝑎𝑙𝑎𝑎ó𝑛 𝑒𝑒 𝑎𝑙𝑙𝑒𝑙

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Elegimos una prueba de una cola, puesto que es de interés determinar si la

proporción de personas aliviadas por la medicina es demasiado baja.

Si el nivel de significancia que se emplea es de 0.01, entonces 𝑧1= -2.33

Tomemos como regla de decisión:

i. La afirmación no es legítima si Z es menor que -2.33 (en cuyo caso

rechazamos 𝐻0).

ii. En caso contrario, la afirmación es legítima y los resultados observados se

deben a la casualidad (en cuyo caso se acepta 𝐻0).

Calculemos )1( pnp

npXZ−

−= utilizando X = 160, µp = np= 200(.9)= 180

Por lo tanto 73.4)9.1)(9(.200

180160−=

−−

=Z , es menor que -2.33

Por tanto, por la regla de la decisión concluimos que la afirmación no es legítima

y que los resultados muestrales son altamente significativos.

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Conclusión Las pruebas de hipótesis son un procedimiento estadístico que usa datos

muestrales para determinar si una afirmación acerca del valor de un parámetro

poblacional debe o no rechazarse.

Como hipótesis se tienen dos afirmaciones opuestas acerca de un parámetro

poblacional, la hipótesis nula (Ho) y la hipótesis alternativa (Ha).

En esta sesión se proporcionaron los lineamientos para elaborar estas hipótesis

para situaciones encontradas a menudo en la práctica.

Las conclusiones de una prueba de hipótesis también pueden obtenerse

comparando el valor estadístico de prueba con el valor crítico.

En la siguiente sesión seguiremos trabajando las pruebas de hipótesis pero

ahora serán los casos para diferencias de medias y proporciones.

Fuente: http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/estadistica1/img/image1022.gif

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Para aprender más En este apartado encontrarás más información acerca del tema para enriquecer

tu aprendizaje.

Puedes ampliar tu conocimiento visitando los siguientes sitios de Internet.

López, P. (s.f). Pruebas de hipótesis para una proporción. Recuperado

de: http://www.estadistica.mat.uson.mx/Material/phipotesis.pdf

Ordonez, H. (s.f.). Pruebas de hipótesis para la media. Recuperado

de: http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/manizales/4030006/leccio

nes/capitulotres/tema2.html

Video con la explicación de:

Prueba de hipótesis para la media. (s.f.). Recuperado

de: http://www.youtube.com/watch?v=AJcy4eZMwWM

Prueba de hipótesis para proporciones poblacionales. (s.f.). Recuperado

de: http://www.youtube.com/watch?v=AN1tIWEo8qw

Es de gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al tema, pues te permitirá

desarrollar los ejercicios con más éxito.

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Actividad de Aprendizaje

Con lo aprendido en esta sesión acerca de las pruebas de hipótesis para medias

y proporciones realiza el siguiente ejercicio:

Las resistencias a la ruptura de cables que produce un fabricante tiene una

media de 1800 libras y una desviación estándar de 100 libras. Mediante una

nueva técnica del proceso de fabricación, se afirma que se puede aumentar la

resistencia a la ruptura. Para demostrar esta afirmación, se prueba una muestra

de 50 cables, y se encuentra que la media de la resistencia a la ruptura es de

1850 libras. ¿Se puede validar la afirmación a un nivel de significancia de 0.01?

Entregar esta actividad en formato de Práctica de Ejercicios y súbelo a la

plataforma.

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Bibliografía

• Anderson, D., Sweeney, D., Williams, T. (2008). Estadística para

administración y economía. (10ª ed.). México: Editorial Cengage Learning.

ISBN: 970-686-278-1

• Spiegel, M., Schiller, J., Alu Srinivasan, R. (2010). Probabilidad y

Estadística. (3era.ed.). México: Editorial McGraw-Hill. ISBN-13: 978-607-

15-0270-4