Ìîñêâà9 èþíÿ 2014Ìàãèÿ Ýðä�eøàÄæîýë ÑïåíñåðÈíñòèòóò Êóðàíòà

Ó ìåíÿ íåò äîìà. Âåñü ìèð � ìîéäîì. � Ïîë Ýðä�eø

1

�àáîòà ñ Ïîëîì Ýðä�eøåì áûëà ïîäîáíà ïðî-ãóëêå â ãîðàõ. Êàæäûé ðàç, êîãäà ÿ äóìàëà,÷òî ìû äîñòèãëè öåëè è çàñëóæèëè îòäûõ,Ïîë óêàçûâàë íà ñëåäóþùóþ âåðøèíó è ìûîòïðàâëÿëèñü ê íåé.� Ôýí ×àí

2

Åðä�eø, 1947: Åñëè (

nk

)

21−(k2) < 1, òî ñóùå-ñòâóåò ðàñêðàñêà ð�eáåð Kn â äâà öâåòà áåçîäíîöâåòíûõ Kk.

Äîêàçàòåëüñòâî: Ñëó÷àéíàÿ ðàñêðàñêà!

3

Ìåë îäèíàêîâî ïàõíåò â Ìîñêâå, Áî-ñòîíå, Òîêèî, Áîííå, Ïàðèæå VI èÏàðèæå VII. Çàíèìàÿñü ìàòåìàòèêîé,ïðèõîäèòñÿ åçäèòü ïî âñåìó ìèðó, íîêàê-òî ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî âñå ìåñòà, êó-äà òû ïîïàäàåøü, ïîõîæè äðóã íà äðó-ãà.� Þðèé Èâàíîâè÷ Ìàíèí

4

ß áû ñêàçàë, ÷òî íè îäèí øàõìàòèñòíå îáëàäàë áîëüøåé èíäèâèäóàëüíî-ñòüþ, ÷åì Ñîâåòñêèé ÷åìïèîí, ��èæ-ñêèé âîëøåáíèê�, Ìèõàèë Òàëü. Åãîèãðà â ëó÷øåì âèäå âûäàâàëà ñìå-ëîñòü, êîòîðàÿ ãðàíè÷èò ñ áåççàáîò-íîñòüþ. Îí âñåãäà áûë â ãóùå ñîáû-òèé, ïðèäàâàÿ åùå áîëüøå ñëîæíî-ñòè.  ñâÿçè ñ ýòîé ñêëîííîñòüþ êçàäà÷àì, îí îäíàæäû îòìåòèë: �Òûäîëæåí çàâåñòè ñâîåãî ñîïåðíèêà âò�eìíûé ëåñ, ãäå 2 + 2 = 5, à òðîïàîáðàòíî øèðîêà ëèøü äëÿ îäíîãî�.Äýíèåë Òàììåò, Ìûøëåíèå â ÷èñëàõ5

Ìàãèÿ Ýðä�eøàÅñëè ñëó÷àéíûé îáúåêò ÿâëÿåòñÿ õî-ðîøèì ñ ïîëîæèòåëüíîé âåðîÿòíîñòüþ,òî õîðîøèé îáúåêò ÎÁßÇÀÍ ñóùå-ñòâîâàòü

6

Ñîâðåìåííàÿ ìàãèÿ Ýðä�eøàÅñëè âåðîÿòíîñòíûé àëãîðèòì âûäà-åò õîðîøèé îáúåêò ñ ïîëîæèòåëüíîéâåðîÿòíîñòüþ, òî õîðîøèé îáúåêòÎÁß-ÇÀÍ ñóùåñòâîâàòü

7

Ëþáèìàÿ çàäà÷à Ýðä�eøà|Ai| = n, 1 ≤ i ≤ m = 2n−1kÍàéòè ðàñêðàñêó χ â êðàñíûé è ñèíèé öâåòàáåç îäíîöâåòíûõ AiÝðä�eø [1963℄: k < 1 ⇒ ∃χÄîêàçàòåëüñòâî: Ñëó÷àéíàÿ ðàñêðàñêàÂîïðîñ: ×òî íàñ÷�eò áÎëüøèõ k?Ýðä�eø [1964℄: Ñóùåñòâóåò ñåìåéñòâî ñ k =

cn2, íå äîïóñêàþùåå χ

8

Äîëãàÿ èñòîðèÿm(n) = 2n−1k n-ìíîæåñòâÁýê [1978℄: k < cn1/3 ⇒ ∃χ�àäêðèøíàí-Øðèíèâàñàí[2000℄

k < c[n/ lnn]1/2 ⇒ ∃χ

ßêîá Êîçèê è Äàíèëà ×åðêàøèí [2014℄:Äîêàçàòåëüñòâî èç êíèãè!

Ïðîñòîé àëãîðèòì - òîíêèé àíàëèç9

Âåðîÿòíîñòíûé æàäíûé àëãîðèòìÊàæäàÿ âåðøèíà v ïîëó÷àåò äåíü ðîæäåíèÿðàâíîìåðíî èç t(v) ∈ [0,1].Êîãäà v ðîäèëàñüIF ïîêðàñêà v â Ê�ÀÑÍÛÉ íå ñîçäàåò Ê�ÀÑ-ÍÎÅ ìíîæåñòâî eTHEN ÏÎÊ�ÀÑÈÒÜ v â Ê�ÀÑÍÛÉELSE ÏÎÊ�ÀÑÈÒÜ v â ÑÈÍÈÉÀíàëèç: f Ê�ÀÑÍÎÅ � íåâîçìîæíîf ÑÈÍÅÅ: Ïóñòü v � âåðøèíà, ðîæäåííàÿïåðâîé â fÏóñòü t(v) = 1

2(1 + x).Åñòü e, ãäå v ðîæäåíà ïîñëåäíåé, âñå êðîìåv Ê�ÀÑÍÛÅ 10

Äâà ñëó÷àÿÑëó÷àé I: |x| > p.x < −p. Âñå w ∈ e ìàëåíüêèå: ≤ 2−n(1 − p)nÎæèäàíèå: 2n−1k2−n(1 − p)nÀíàëîãè÷íî äëÿ x > +p. Îáùåå îæèäàíèå:k(1 − p)nÑëó÷àé II: |x| ≤ p.(1 − x)n−1 äëÿ äðóãèõ w ∈ e

(1 + x)n−1 äëÿ äðóãèõ z ∈ f

[(1 − x)(1 + x)]n−1 ≤ 2−2(n−1)

Pr[12(1 − p) ≤ t(v) ≤ 12(1 + p)] = pÎæèäàíèå: (2n−1k)2p2−2(n−1) = k2pÎáùåå îæèäàíèå: k(1 − p)n + k2p

11

Çàäà÷à àñèìïòîòè÷åñêîãî àíàëèçàÏóñòü k = k(n) � ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå,÷òî ñóùåñòâóåò p, 0 ≤ p ≤ 1, âûïîëíÿþùåå

k(1 − p)n + k2p ≤ 1Íàéòè k(n) àñèìïòîòè÷åñêè ïðè n → ∞.Îòâåò:k ∼ c[n/ lnn]1/2Êîçèê-×åðêàøèí: Âûáåðåì ýòè k, p.Àëãîðèòì ÍÅ �ÀÁÎÒÀÅÒ, åñëè ñîçäàåò ÑÈ-ÍÅÅ fÂåðîÿòíîñòü ÍÅÓÄÀ×È ìåíüøå åäèíèöûÂåðîÿòíîñòü ÓÑÏÅÕÀ áîëüøå íóëÿÌàãèÿ Ýðä�eøà: ÓÑÏÅÕ äîëæåí ñóùåñòâî-âàòü! 12

Ìàòåìàòèêè ïî ñåé äåíü òùåòíî ïû-òàëèñü íàéòè êàêîé-íèáóäü ïîðÿäîê âïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïðîñòûõ ÷èñåë,è ó íàñ åñòü îñíîâàíèÿ ïîëàãàòü, ÷òîýòî òàéíà, â êîòîðóþ ÷åëîâå÷åñêèéðàçóì íèêîãäà íå ïðîíèêíåò.Ëåîíàðä Ýéëåð

13

Ïîäñ÷�eò ïðîñòûõ äåëèòåëåéν(x) = êîëè÷åñòâî ðàçëè÷íûõ ïðîñòûõ äå-ëèòåëåé xÕàðäè-�àìàíóäæàí [1920℄, Òóðàí [1934℄:�Áîëüøèíñòâî"x èìåþò ν(x) ∼ ln lnx

x ∈ {1, . . . , n} ðàâíîìåðíî. Xp � èíäèêàòîðñîáûòèÿ p|x

X =∑

p≤n1/10 Xp

ν(x) − 10 ≤ X(x) ≤ ν(x)

E[Xp] = ⌊np⌋/n = p−1 + O(n−1)

E[X] =∑

p−1 + o(1) = ln lnn + O(1)Äåëåíèå íà p, q ïî÷òè íåçàâèñèìûCov[Xp, Xq] = E[XpXq]−E[Xp]E[Xq] = O(n−1)

≤ n1/5 âûáîðîâ p 6= q, ïîýòîìó ∑

Cov[Xp, Xq] =

o(1) 14

V ar[X] ≤ E[X] +∑

Cov[Xp, Xq] ∼ ln lnnÒóðàí (èç íåð-âà ×åáûø�eâà)Pr[|X − E[X]| > K

√ln lnn] < K−2 + o(1)Ýðä�eø-Êàö: àñèìïòîòè÷åñêàÿ íîðìàëüíîñòü

Pr[|X−E[X]| > K√

ln lnn] →∫ K

−∞(2π)−1/2e−t2/2dt

15

ÏÒ! Ïðîñòåéøåå ñóùåñòâî! ß ïîëó-÷èë òâîå ïèñüìî, òû äîëæåí áûë íà-ïèñàòü åùå íåäåëþ íàçàä. ïîñëåäíèå äíè äóõ Êàíòîðà áûë ñîìíîé íåêîòîðîå âðåìÿ, ïðèëàãàþ ðå-çóëüòàòû íàøèõ âñòðå÷ . . .Èç ïèñüìà Ïîëà Ýðä�eøà Ïîëó Òóðà-íó11 íîÿáðÿ, 1936

16

Íî äâàæäû äâà ÷åòûðå � âñå-òàêèâåùü ïðåíåñíîñíàÿ. Äâàæäû äâà ÷å-òûðå � âåäü ýòî, ïî ìîåìó ìíåíèþ,òîëüêî íàõàëüñòâî-ñ. Äâàæäû äâà ÷å-òûðå ñìîòðèò �åðòîì, ñòîèò ïîïå-ðåê âàøåé äîðîãè ðóêè â áîêè è ïëþ-åòñÿ. ß ñîãëàñåí, ÷òî äâàæäû äâà ÷å-òûðå � ïðåâîñõîäíàÿ âåùü; íî åñëèóæå âñå õâàëèòü, òî è äâàæäû äâàïÿòü � ïðåìèëàÿ èíîãäà âåùèöà.� Ô�eäîð Ìèõàéëîâè÷ Äîñòîåâñêèé,Çàïèñêè èç ïîäïîëüÿ17

Èãðà ëæåöàÏîë ïûòàåòñÿ óçíàòü x ∈ {1, . . . ,100}.Äåñÿòü âîïðîñîâ. Êýðîë ìîæåò ñîâðàòü îäèíðàç.Òåîðåìà: Êýðîë âûèãðûâàåò!Êýðîë èãðàåò ñëó÷àéíî êîíöå èãðû:Pr[x äîïóñòèì ] = 11

1024Îæèäàåìîå ÷èñëî äîïóñòèìûõ 100 111024 > 1Åñëè > 1 äîïóñòèìîãî, Êýðîë âûèãðûâàåòÊýðîë èíîãäà âûèãðûâàåòÌàãèÿ Ýðä�eøà: Êýðîë âñåãäà âûèãðûâàåò!

18

Ìíå íå êàæåòñÿ íåâåðîÿòíûì, ÷òî íàêàêîé-òî êíèæíîé ïîëêå âñåëåííîé ñòî-èò âñåîáúåìëþùàÿ êíèãà; ìîëþ íåâå-äîìûõ áîãîâ, ÷òîáû ÷åëîâåêó � õîòÿáû îäíîìó, õîòü ÷åðåç òûñÿ÷è ëåò!� óäàëîñü íàéòè è ïðî÷åñòü åå. Åñ-ëè ïî÷åñòè, è ìóäðîñòü, è ñ÷àñòüåíå äëÿ ìåíÿ, ïóñòü îíè äîñòàíóòñÿäðóãèì. Ïóñòü ñóùåñòâóåò íåáî, äà-æå åñëè ìîå ìåñòî â àäó. Ïóñòü ÿ áó-äó ïîïðàí è óíè÷òîæåí, íî õîòÿ áûíà ìèã, õîòÿ áû â îäíîì ñóùåñòâåòâîÿ îãðîìíàÿ Áèáëèîòåêà áóäåò îïðàâ-äàíà.Õîðõå Ëóèñ Áîðõåñ, Âàâèëîíñêàÿ áèáë.19

Âû ìîæåòå íå âåðèòü â Áîãà, íî äîëæ-íû âåðèòü â êíèãó.Ïîë Ýðä�eø

20