CAPÍTULO32

EquaçõesdeMaxwell;MagnetismodaMatéria

32-1LEIDEGAUSSPARACAMPOSMAGNÉTICOS

ObjetivosdoAprendizadoDepoisdelerestemódulo,vocêserácapazde...32.01Saberqueaestruturamagnéticamaissimpleséodipolomagnético.

32.02CalcularofluxomagnéticoΦatravésdeumasuperfícieintegrandooprodutoescalardovetorcampomagnético pelovetorárea aolongodetodaasuperfície.

32.03Saberqueofluxomagnéticoatravésdeumasuperfíciegaussiana(queéumasuperfíciefechada)ézero.

Ideias-Chave•Aestruturamagnéticamaissimpleséodipolomagnético.Nãoexistem(atéondesabemos)monopolosmagnéticos.DeacordocomaleideGaussparacamposmagnéticos,

ofluxomagnéticoatravésdeumasuperfíciegaussiana(queéumasuperfíciefechada)ézero.UmadasconsequênciasdaleideGausséofatodequeosmonopolosmagnéticosnãoexistem.

OqueÉFísica?

Este capítulo ajuda a dar uma ideia da abrangência da física, pois cobre desde a ciência básica doscamposelétricosemagnéticosatéaciênciaaplicadaeengenhariadosmateriaismagnéticos.Emprimeirolugar, concluímos a discussão dos campos elétricos e magnéticos mostrando que quase todos osprincípios físicos apresentados nos últimos 11 capítulos podem ser resumidos em apenas quatroequações,conhecidascomoequaçõesdeMaxwell.

Emsegundolugar,discutimosaciênciaeengenhariadosmateriaismagnéticos.Muitoscientistaseengenheirosestãoempenhadosemdescobrirporquealgunsmateriaissãomagnéticoseoutrosnãoedequeformaosmateriaismagnéticosconhecidospodemsermelhorados.EssespesquisadoresseperguntamporqueháumcampomagnéticoassociadoàTerra,masnãoháumcampomagnéticoassociadoaocorpohumano.Existeumagrandevariedadedeaplicaçõesparamateriaismagnéticosemautomóveis,cozinhas,escritóriosehospitais,easpropriedadesmagnéticasdosmateriaismuitasvezessemanifestamdeformainesperada.Assim,porexemplo,sevocêpossuiumatatuagem(Fig.32-1)esesubmeteaumexamederessonânciamagnética,ocampomagnéticodealtaintensidadeusadonoexamepodeproduzirumpuxãona suapele,porquealgumas tintasusadas em tatuagenspossuempartículasmagnéticas.Paradaroutro

Cálculodeμ: SubstituindoessevalordeNeovalordeμFenaEq.32-42,obtemos

RevisãoeResumo

Lei de Gauss para Campos Magnéticos A estrutura magnética mais simples é o dipolomagnético;monopolosmagnéticos(atéondesabemos)nãoexistem.DeacordocomaleideGaussparacamposmagnéticos,

o fluxo magnético através de qualquer superfície gaussiana é zero. Isso equivale a afirmar que nãoexistemmonopolosmagnéticos.

ExtensãodeMaxwelldaLeideAmpère UmfluxoelétricovariávelinduzumcampomagnéticoAleideMaxwell,

relacionaocampomagnéticoinduzidoemumaespiraàvariaçãodofluxoelétricoΦEatravésdaespira.AleideAmpère,∮=μ0ienv(Eq.32-4),podeserusadaparacalcularocampomagnéticoproduzidoporuma corrente ienv envolvida por uma curva fechada. A lei deMaxwell e a lei deAmpère podem sercombinadasemumaúnicaequação:

CorrentedeDeslocamento Acorrentededeslocamentofictíciaproduzidaporumcampoelétricovariávelédefinidapelaequação

Usandoessadefinição,aEq.32-5podeserescritanaforma

em que id,env é a corrente de deslocamento envolvida pela amperiana. A ideia da corrente de

deslocamento permite aplicar aos capacitores o princípio de continuidade da corrente elétrica.Entretanto,acorrentededeslocamentonãoenvolveomovimentodecargas.

Equações de Maxwell As equações de Maxwell, mostradas na Tabela 32-1, representam umaversãocondensadadasleisdoeletromagnetismoeconstituemabasedessadisciplina.

CampoMagnéticodaTerra OcampomagnéticodaTerrapodeserrepresentadoaproximadamenteporumdipolomagnéticocujomomentodipolarfazumângulode11,5ocomoeixoderotaçãodaTerraecujopolosul ficanoHemisférioNorte.Aorientaçãodocampomagnético localemqualquerpontodasuperfíciedaTerraédadapeladeclinaçãodocampo(ânguloàesquerdaouàdireitadopologeográfico)epelainclinaçãodocampo(ânguloparacimaouparabaixoemrelaçãoàhorizontal).

Momento Dipolar Magnético de Spin O elétron possui um momento angular intrínsecodenominadomomentoangulardespin(ousimplesmentespin),representadopelosímbolo ,aoqualestáassociadoummomentodipolarmagnéticodespin s.Entreasduasgrandezasexisteaseguinterelação:

O spin não pode ser medido; é possível medir apenas uma de suas componentes. Supondo que acomponentemedidasejaacomponentez,essacomponentepodeassumirapenasosvaloresdadospor

emqueh(=6,63×10−34J·s)éaconstantedePlanck.Analogamente,apenasumadascomponentesdomomentodipolarmagnéticodespin spodesermedida.Acomponentezédadapor

emqueμBéomagnétondeBohr,definidodaseguinteforma:

AenergiaU associada àorientaçãodomomentodipolarmagnéticode spinnapresençadeumcampoexterno extédadapor

MomentoDipolarMagnéticoOrbital Quandofazpartedeumátomo,umelétronpossuioutrotipodemomentoangular,conhecidocomomomentoangularorbital orb,aoqualestáassociadoummomentodipolarmagnéticoorbital orb.Entreasduasgrandezasexisteaseguinterelação:

Omomentoangularorbitaléquantizadoepodeassumirapenasosvaloresdadospor

Assim,omódulodomomentoangularorbitalé

AenergiaU associada à orientação domomento dipolarmagnético orbital na presença de um campoexterno extédadapor

Diamagnetismo Osmateriaisdiamagnéticosnãopossuemummomentodipolarmagnético,anãoserquando são submetidos a um campomagnético externo ext, caso em que eles adquirem ummomentodipolar magnético no sentido oposto ao de ext. Se ext é não uniforme, um material diamagnético érepelidodasregiõesondeocampoémaisintenso.Estapropriedaderecebeonomedediamagnetismo.

Paramagnetismo Em um material paramagnético, cada átomo possui um momento dipolarmagnéticopermanente masosmomentosestãoorientadosaleatoriamenteeomaterial comoum todonão possui um momento magnético. Entretanto, um campo magnético externo ext pode alinharparcialmenteosmomentosdipolaresatômicos,oquefazomaterialadquirirummomentomagnéticonadireçãode ext.Se exténãouniforme,ummaterialparamagnéticoéatraídoparaasregiõesondeocampoémaisintenso.Essapropriedaderecebeonomedeparamagnetismo.

O alinhamento dos momentos dipolares atômicos de um material paramagnético é diretamenteproporcionalaomódulode exteinversamenteproporcionalàtemperaturaT.OgraudemagnetizaçãodeumaamostradevolumeVédadopelamagnetização ,cujomóduloédadopor

emqueμeféomomentodipolarefetivodomaterial,quedependedatemperatura.Aoalinhamentoperfeitodos N momentos dipolares atômicos, conhecido como saturação da amostra, corresponde o valormáximo da magnetização, Mmáx = Nμ/V. Para pequenos valores da razão Bext/T, pode ser usada aaproximação

emqueaconstanteCéconhecidacomoconstantedeCurie.

Ferromagnetismo Naausênciadeumcampomagnéticoexterno,osmomentosdipolaresmagnéticos

dos átomos de um material ferromagnético são alinhados por uma interação de origem quânticadenominada interação de câmbio, o que dá origem a regiões (domínios) no interior domaterial queapresentam ummomento dipolarmagnético diferente de zero. Um campomagnético externo ext podealinharessesdomínios,produzindoummomentodipolarmagnéticoelevadonomaterialcomoumtodo,orientadonadireçãode ext.Essemomentodipolarmagnéticopodepersistirparcialmentequando extéremovido.Se exténãouniforme,ummaterialferromagnéticoéatraídoparaasregiõesondeocampoémaisintenso.Essaspropriedadesrecebemonomedeferromagnetismo.UmmaterialferromagnéticosetornaparamagnéticoquandoatemperaturaultrapassaatemperaturadeCurie.

Perguntas

1AFig.32-19amostraumcapacitordeplacascircularesqueestásendocarregado.Opontoa(pertodeumdosfiosdeligaçãodocapacitor)eopontob(noespaçoentreasplacas)estãoàmesmadistânciadoeixocentral;omesmoacontececompontosc(umpoucomaisafastadodofiodaesquerdaqueopontoa)ed(namesmaposiçãohorizontalqueopontob,masforadoespaçoentreasplacas).NaFig.32-19b,umacurvamostraavariaçãocomadistânciardomódulodocampomagnéticodoladodedentroedolado de fora do fio da esquerda; a outra mostra a variação com a distância r do módulo do campomagnéticodentroeforadoespaçoentreasplacas.Asduascurvassesuperpõemparcialmente.DetermineacorrespondênciaentreostrêspontosassinaladosnaFig.32-19beosquatropontosdaFig.32-19a.

Figura32-19 Pergunta1.

2AFig.32-20mostraumcapacitordeplacasparalelaseacorrentenosfiosdeligaçãodocapacitorenquantoestásendodescarregado.(a)Ocampoelétrico apontaparaaesquerdaouparaadireita?(b)Osentidodacorrentededeslocamentoidéparaaesquerdaouparaadireita?(c)OcampomagnéticonopontoPapontaparadentroouparaforadopapel?

Figura32-20 Pergunta2.

3AFig.32-21mostra,emduassituações,ovetorcampoelétrico eumalinhadecampomagnético

induzido.Determine,nosdoiscasos,seomódulode estáaumentandooudiminuindo.

Figura32-21 Pergunta3.

4AFig.32-22amostraduasorientaçõespossíveisparaospindeumelétronemrelaçãoaumcampomagnéticoexterno ext.AFig.32-22bmostratrêspossibilidadesparaográficodaenergiaassociadaàsduasorientaçõesemfunçãodomódulode ext.Aspossibilidadesbecenvolvemretasqueseinterceptameapossibilidadeaenvolveretasparalelas.Qualdastrêséacorreta?

Figura32-22 Pergunta4.

5Umelétronésubmetidoaumcampomagnéticoexterno extcomacomponenteSzdospindoelétronantiparalelaa ext.SeoelétronsofreumainversãodespinquetornaacomponenteSzparalelaa ext,oelétronganhaouperdeenergia?

6OmódulodaforçaqueagesobreaespiradasFigs.32-12ae32-12baumenta,diminuioupermanececonstante(a)quandoomódulode extaumentae(b)quandoadivergênciade extaumenta?

7 AFig.32-23mostra a vista frontal de umadas duas placas quadradas de umcapacitor de placasparalelas e quatro curvas fechadas situadas no espaço entre as placas. O capacitor está sendodescarregado. (a) Desprezando o efeito de borda, coloque as curvas na ordem decrescente do valorabsolutode∮ · aolongodascurvas.(b)Aolongodequecurva(s)oânguloentreasdireçõesde e é constante (o que facilita o cálculo do produto escalar dos dois vetores)? (c) Ao longo de que

curva(s)ovalordeBéconstante(oquepermitecolocarBdoladodeforadosinaldeintegraldaEq.32-3)?

Figura32-23 Pergunta7.

8AFig.32-24mostratrêselétronsgirandoemórbitanosentidoanti-horárionapresençadeumcampomagnético.Ocampoénãouniformenas configurações1 e2 euniformena configuração3.Para cadaconfiguração, responda às seguintes perguntas: (a) O momento dipolar magnético orbital do elétronapontaparacima,parabaixoouénulo?(b)Aforçamagnéticaqueagesobreoelétronapontaparacima,parabaixoouénula?

Figura32-24 Perguntas8,9e10.

9SubstituaasórbitasdaPergunta8edaFig.32-24poresferasdiamagnéticas.Paracadaconfiguraçãodocampomagnético,respondaàsseguintesperguntas:(a)Omomentodipolarmagnéticodaesferaapontaparacima,parabaixoouénulo?(b)Aforçamagnéticaqueagesobreoelétronapontaparacima,parabaixoouénula?

10 Substitua as órbitas da Pergunta 8 e da Fig. 32-24 por esferas paramagnéticas. Para cadaconfiguraçãodocampomagnético,respondaàsseguintesperguntas:(a)Omomentodipolarmagnéticodaesferaapontaparacima,parabaixoouénulo?(b)Aforçamagnéticaqueagesobreoelétronapontaparacima,parabaixoouénula?

11 A Fig. 32-25mostra três placas retangulares de ummaterial ferromagnético no qual os dipolosmagnéticosdosdomínios foramorientadospara foradapágina (pontopreto)porumcampomagnéticomuitointensoB0.Nastrêsamostras,pequenosdomíniosresiduaisconservaramosentidoparadentrodapágina(cruz).Aplaca1éumcristalpuro;asoutrasplacascontêmimpurezasconcentradasemlinhas;asparedesdosdomíniosnãopodemcruzarfacilmenteessaslinhas.

O campoB0 é removido e um outro campo, muito mais fraco, é aplicado no sentido oposto. Amudançafazcomqueosdomíniosresiduaisaumentemdetamanho.(a)Coloqueasamostrasnaordemdotamanho dos domínios residuais após a aplicação do segundo campo, começando pelo maior. Osmateriais ferromagnéticos em que a orientação dos domínios pode ser mudada com facilidade sãochamados demagneticamentemacios; os materiais em que a orientação dos domínios não pode ser

mudada com facilidade são chamados de magneticamente duros. (b) Das três amostras, qual é amagneticamenteamaisdura?

Figura32-25 Pergunta11.

12AFig.32-26mostraquatrobarrasdeaço;trêssãoímãspermanentes.Umdospolosestáindicado.Observa-sequeasextremidadesaedseatraem,asextremidadescefserepelem,asextremidadeseehseatraemeasextremidadesaehseatraem.(a)Queextremidadessãopolosnorte?(b)Qualdasbarrasnãoéumímãpermanente?

Figura32-26 Pergunta12.

Problemas

.-...Onúmerodepontosindicaograudedificuldadedoproblema. Informações adicionais disponíveis em O Circo Voador da Física de Jearl

Walker,LTC,RiodeJaneiro,2008.

Módulo32-1LeideGaussparaCamposMagnéticos

·1 OfluxomagnéticoatravésdecincofacesdeumdadoéΦB=±NWb,emque1≤N≤5éonúmerodepontosdaface.Ofluxoépositivo(parafora),seNforpar,enegativo(paradentro),seNforímpar.Qualéofluxoatravésdasextafacedodado?

·2 AFig.32-27mostraumasuperfíciefechada.Nafaceplanasuperior,quetemumraiode2,0cm,umcampo magnético perpendicular de módulo 0,30 T aponta para fora da superfície. Na face planainferior,umfluxomagnéticode0,70mWbapontaparaforadasuperfície.Determine(a)omóduloe(b)osentido(paradentroouparafora)dofluxomagnéticoatravésdapartelateraldasuperfície.

Figura32-27 Problema2.

··3 Uma superfície gaussiana em forma de cilindro circular reto tem um raio de 12,0 cm e umcomprimentode80,0cm.Emumadasbasesexisteumfluxo,paradentro,de25,0μWb.Naoutrabaseexisteumcampomagnéticouniformede1,60mT,normalàsuperfícieedirigidoparafora.Determine(a)omóduloe(b)osentido(paradentroouparafora)dofluxomagnéticoatravésdasuperfícielateraldocilindro.

Figura32-28 Problema4.

···4 Doisfios,paralelosaoeixozeseparadosporumadistânciade4r,conduzemcorrentesiguaisiemsentidosopostos,comomostraaFig.32-28.UmcilindrocircularderaiorecomprimentoL temoeixocentralnoeixoz, ameiocaminhoentreos fios; asbasesdocilindroestãoàmesmadistânciadaorigem. Usando a lei de Gauss, escreva uma expressão para o fluxo magnético através da parte dasuperfícielateraldocilindroqueestáacimadoeixox.(Sugestão:Calculeo fluxoatravésdapartedoplanoxzqueestánointeriordocilindro.)

Módulo32-2CamposMagnéticosInduzidos

·5 O campomagnético induzido a 6,0mmdo eixo central de um capacitor de placas circulares eparalelas é 2,0 × 10−7 T.As placas têm 3,0mm de raio.Qual é a taxa de variaçãod /dt do campoelétricoentreasplacas?

·6 UmcapacitordeplacasquadradasdeladoLestásendodescarregadoporumacorrentede0,75A.AFig.32-29éumavistafrontaldeumadasplacas,dopontodevistadointeriordocapacitor.Alinhatracejadamostraumatrajetóriaretangularnoespaçoentreasplacas.SeL=12cm,W=4,0cmeH=2,0cm,qualéovalorde∮ · aolongodalinhatracejada?

Figura32-29 Problema6.

··7 Fluxoelétricouniforme.AFig.32-30mostraumaregiãocircularderaioR=3,00cmnaqualumfluxoelétricouniformeapontaparaforadopapel.OfluxoelétricototalatravésdaregiãoéΦE=(3,00mV · m/s)t, em que t está em segundos. Determine o módulo do campo magnético induzido a umadistânciaradial(a)de2,00cme(b)de5,00cm.

Figura32-30 Problemas7a10e19a22.

··8 Fluxoelétriconãouniforme.AFig.32-30mostraumaregiãocircularderaioR=3,00cmnaqualum fluxo elétrico aponta para fora do papel. O fluxo elétrico envolvido por uma circunferênciaconcêntrica de raio r é dado porΦE,env = (0,600V ·m/s)(r/R)t, emque r ≤R e t está em segundos.Determineomódulodocampomagnéticoinduzidoaumadistânciaradial(a)de2,00cme(b)de5,00cm.

··9 Campoelétricouniforme.NaFig.32-30,umcampoelétricouniformeapontaparaforadopapelemumaregiãocircularderaioR=3,00cm.OmódulodocampoelétricoédadoporE=(4,50×10−3

V/m·s)t,emquetestáemsegundos.Determineomódulodocampomagnéticoinduzidoaumadistânciaradial(a)de2,00cme(b)de5,00cm.

··10 Campoelétriconãouniforme.NaFig.32-30,umcampoelétricoapontaparaforadopapelemumaregiãocircularderaioR=3,00cm.OmódulodocampoelétricoédadoporE=(0,500V/m·s)(1−R/r)t, em que t está em segundos e r é a distância radial (r ≤ R). Determine o módulo do campomagnéticoinduzidoaumadistânciaradial(a)de2,00cme(b)de5,00cm.

··11 UmcapacitordeplacasparalelaspossuiplacascircularesderaioR=30mm,eadistânciaentreas placas é 5,0 mm. Uma diferença de potencial senoidal com um valor máximo de 150 V e umafrequênciade60Hzéaplicadaàsplacas,ouseja,atensãoentreasplacasé

V=(150V)sen[2π(60Hz)t]

(a)DetermineBmáx(R),ovalormáximodocampomagnéticoinduzidoaumadistânciaradialr=R. (b)PloteBmáx(r)para0<r<10cm.

··12 Um capacitor de placas paralelas com placas circulares de 40 mm de raio está sendodescarregadoporumacorrentede6,0A.Aquedistânciaradial(a)doladodedentroe(b)doladodeforadoespaçoentreasplacasocampomagnéticoinduzidoéiguala75%dovalormáximo?(c)Qualéovalormáximo?

Módulo32-3CorrentedeDeslocamento

·13 Qualdevesera taxadevariaçãodadiferençadepotencialentreasplacasdeumcapacitordeplacasparalelascomumacapacitânciade2μFparaquesejaproduzidaumacorrentededeslocamentode1,5A?

·14 UmcapacitordeplacasparalelascomplacascircularesderaioRestásendocarregado.MostrequeomódulodadensidadedecorrentedacorrentededeslocamentoéJd=ε0(dE/dt)parar≤R.

·15 ProvequeacorrentededeslocamentoemumcapacitordeplacasparalelasdecapacitânciaCpodeserescritanaformaid=C(dV/dt),emqueVéadiferençadepotencialentreasplacas.

·16 Um capacitor de placas paralelas com placas circulares de 0,10 m de raio está sendodescarregado.Umanelcircularcom0,20mderaio,concêntricocomocapacitor,estáameiocaminhoentreasplacas.Acorrentededeslocamentoatravésdoaneléde2,0A.Qualéa taxadevariaçãodocampoelétricoentreasplacas?

··17 Umfiodepratatemumaresistividadeρ=1,62×10−8Ω·meumaseçãoretade5,00mm2.Acorrentenofioéuniformeevariaàtaxade2000A/squandoacorrenteé100A.(a)Determineomódulodo campo elétrico (uniforme) no fio quando a corrente é 100 A. (b) Determine a corrente dedeslocamentonofionesseinstante.(c)Determinearazãoentreomódulodocampomagnéticoproduzidopelacorrentededeslocamentoeomódulodocampomagnéticoproduzidopelacorrenteaumadistânciardofio.

··18 OcircuitodaFig.32-31éformadoporumachaveS,umafonteidealde12,0V,umresistorde20,0MΩeumcapacitorcujodielétricoéoar.Ocapacitortemplacascircularesparalelascom5,00cmderaio,separadasporumadistânciade3,00mm.Noinstantet=0,achaveSéfechadaeocapacitorcomeça a se carregar.O campo elétrico entre as placas é uniforme.No instante t = 250μs, qual é omódulodocampomagnéticonointeriordocapacitor,aumadistânciaradialde3,00cm?

Figura32-31 Problema18.

··19 Densidadedecorrentededeslocamentouniforme.AFig.32-30mostraumaregiãocircularderaioR=3,00cmnaqualexisteumacorrentededeslocamentodirigidaparaforadopapel.Acorrentede

deslocamento possui uma densidade de corrente uniforme cujo valor absoluto é Jd = 6,00 A/m2.Determine omódulo do campomagnético produzido pela corrente de deslocamento (a) a 2,00 cm docentrodaregiãoe(b)a5,00cmdocentrodaregião.

··20 Correntededeslocamentouniforme.AFig.32-30mostraumaregiãocircularderaioR=3,00cm na qual existe uma corrente de deslocamento uniforme id = 0,500 A dirigida para fora do papel.Determine omódulo do campomagnético produzido pela corrente de deslocamento (a) a 2,00 cm docentrodaregiãoe(b)a5,00cmdocentrodaregião.

··21 Densidadedecorrentededeslocamentonãouniforme.AFig.32-30mostraumaregiãocircularderaioR=3,00cmnaqualexisteumacorrentededeslocamentodirigidaparaforadopapel.OmódulodadensidadedecorrentedacorrentededeslocamentoédadoporJd=(4,00A/m2)(1−r/R),emquer≤Réadistânciadocentrodaregião.Determineomódulodocampomagnéticoproduzidopelacorrentededeslocamento(a)emr=2,00cme(b)emr=5,00cm.

··22 Correntededeslocamentonãouniforme.AFig.32-30mostraumaregiãocircularderaioR=3,00 cm na qual existe uma corrente de deslocamento id dirigida para fora do papel. O módulo dacorrentededeslocamentoédadoporid=(3,00A)(r/R),emquer≤Réadistânciadocentrodaregião.Determineomódulodocampomagnéticoproduzidoporid(a)emr=2,00cme(b)emr=5,00cm.

Figura32-32 Problema23.

··23 NaFig.32-32,umcapacitordeplacasparalelaspossuiplacasquadradas,deladoL=1,0m.Umacorrentede2,0Acarregaocapacitor,produzindoumcampoelétricouniforme entreasplacas,com perpendicularàsplacas.(a)Qualéacorrentededeslocamentoidnaregiãoentreasplacas?(b)QualéovalordedE/dtnessaregião?(c)Qualéacorrentededeslocamentoenvolvidapela trajetóriatracejada,umquadradocomd=0,50mde lado?(d)Qualéovalorde∮ · ao longoda trajetóriatracejada?

··24 OmódulodocampoelétricoentreasduasplacasparalelascircularesdaFig.32-33éE=(4,0×105)−(6,0×104t),comEemvoltspormetroetemsegundos.Noinstantet=0, apontaparacima.Aáreadasplacasé4,0×10−2m2.Parat≥0,determine(a)omóduloe(b)osentido(paracimaoupara

baixo)dacorrentededeslocamentonaregiãoentreasplacas.(c)Qualéosentidodocampomagnéticoinduzido(horárioouanti-horário)dopontodevistadafigura?

Figura32-33 Problema24.

··25 Enquantoumcapacitor de placas paralelas complacas circulares de 20 cmdediâmetro estásendo carregado, a densidade de corrente da corrente de deslocamento na região entre as placas éuniformeetemmódulode20A/m2.(a)CalculeomóduloBdocampomagnéticoaumadistânciar=50mmdoeixodesimetriadessaregião.(b)CalculedE/dtnessaregião.

··26 Umcapacitorcomplacasparalelascirculares,deraioR=1,20cm,estásendodescarregadoporumacorrentede12,0A.ConsidereumanelderaioR/3,concêntricocomocapacitor,situadoentreasplacas.(a)Qualéacorrentededeslocamentoenvolvidapeloanel?Ocampomagnéticomáximoinduzidotemmódulode12,0mT.Aquedistânciaradial (b)do ladodedentroe(c)do ladodeforadoespaçoentreasplacasomódulodocampomagnéticoinduzidoé3,00mT?

··27 NaFig.32-34,umcampoelétricouniforme é reduzidoazero.AescaladoeixoverticalédefinidaporEs=6,0×105N/C, e a escalado eixohorizontal é definidapor ts=12,0μs. Calcule omódulodacorrentededeslocamentoatravésdeumaáreade1,6m2perpendicularaocampoduranteosintervalosdetempoa,becmostradosnográfico.(Ignoreocomportamentodacorrentenaextremidadedosintervalos.)

Figura32-34 Problema27.

··28 AFig.32-35amostraacorrenteiqueatravessaumfioderesistividade1,62×10−8Ω·m.Omódulo da corrente em função do tempo t está indicado da Fig. 32-35b. A escala do eixo vertical édefinidaporis=10,0A,eaescaladoeixohorizontalédefinidaports=50,0ms.OpontoPestáaumadistânciaradialde9,00mmdocentrodofio.Determineomódulodocampomagnético inopontoPdevidoàcorrentei(a)emt=20ms,(b)emt=40ms,(c)emt=60ms.Suponhaagoraqueocampoelétrico responsável pela corrente exista apenas no interior do fio; determine o módulo do campomagnético idnopontoPdevidoàcorrentededeslocamentoidnofio(d)emt=20ms,(e)emt=40mse(f)emt=60ms.NopontoPemt=20s,determineosentido(paradentroouparaforadopapel(g)de i

e(h)de id.

Figura32-35 Problema28.

···29 NaFig.32-36,umcapacitordeplacascirculares,deraioR=18,0cm,estáligadoaumafontede força eletromotriz senωt, em que = 220V eω = 130 rad/s. O valormáximo da corrente dedeslocamentoé id=7,60μA.Desprezeoefeitodeborda. (a)Qualéovalormáximodacorrente inocircuito?(b)QualéovalormáximodedΦE/dt,emqueΦEéofluxoelétricoatravésdaregiãoentreasplacas?(c)Qualéadistânciadentreasplacas?(d)Determineovalormáximodomódulode entreasplacasaumadistânciar=11,0cmdocentro.

Figura32-36 Problema29.

Módulo32-4ÍmãsPermanentes

·30 SuponhaqueovalormédiodacomponenteverticaldocampomagnéticodaTerraseja43μT(parabaixo)emtodooestadoamericanodoArizona,quetemumaáreade2,95×105km2.Determine(a)o valor absoluto e (b) o sentido (para dentro ou para fora) do fluxomagnético da Terra no resto dasuperfíciedoplaneta(ouseja,emtodaasuperfícieterrestre,comexceçãodoArizona).

·31 No estado americano deNewHampshire, o valormédio da componente horizontal do campomagnético da Terra em 1912 era de 16 μT, e a inclinação média era de 73o. Qual era o valorcorrespondentedomódulodocampomagnéticodaTerra?

Módulo32-5OMagnetismoeosElétrons

·32 A Fig. 32-37a mostra dois valores permitidos de energia (níveis de energia) de um átomo.

Quandooátomoésubmetidoaumcampomagnéticode0,500T,osníveismudamparaosqueaparecemnaFig.32-37bporcausadaenergiaassociadaaoprodutoescalar orb· .(Estamosignorandooefeitodes.)OnívelE1nãoéalterado,masonívelE2sedesdobraemtrêsníveismuitopróximos.Determineo

valordemℓ associado (a)aoníveldeenergiaE1 e (b) aoníveldeenergiaE2. (c)Qual éovalor, emjoules,doespaçamentoentreosníveisdesdobrados?

Figura32-37 Problema32.

·33 Se um elétron de um átomo possui um momento angular orbital commℓ = 0, determine ascomponentes(a)Lorb,ze(b)μorb,z.Seoátomoforsubmetidoaumcampomagnéticoexterno demódulo35mT,queapontanosentidopositivodoeixoz,determine(c)aenergiaUorb associadaa orb e (d) aenergiaUspinassociadaa s.Se,emvezdisso,oátomopossuirummomentoangularorbitalcommℓ=−3,determine(e)Lorb,z,(f)μorb,z,(g)Uorbe(h)Uspin.

·34 Determineadiferençadeenergiaentreasorientaçõesparalelaeantiparaleladacomponentezdomomentodipolarmagnéticodespindeumelétronsubmetidoaumcampomagnéticodemódulo0,25Tqueapontanosentidopositivodoeixoz.

·35 Determineovalordacomponentemedidadomomentodipolarmagnéticoorbitaldeumelétron(a)commℓ=1e(b)commℓ=−2.

·36 Umelétroné submetidoaumcampomagnético queapontanosentidopositivodoeixoz. Adiferença de energia entre os alinhamentos paralelo e antiparalelo da componente z do momentomagnéticodespindoelétronnapresençade é6,00×10−25J.Determineomódulode .

Módulo32-6Diamagnetismo

·37 AFig.32-38mostraumanel(L)queservedemodeloparaummaterialdiamagnético.(a)Façaumesboçodaslinhasdecampomagnéticonointeriorenasproximidadesdoaneldevidoaoímãemformadebarra.Determine (b) aorientaçãodomomentodipolarmagnético do anel, (c) o sentidoda correnteconvencional i no anel (horário ou anti-horário) e (d) a orientação da forçamagnética exercida pelocampomagnéticodoímãsobreoanel.

Figura32-38 Problemas37e71.

···38 Umelétron,demassamecarga−e,semoveemumaórbitacircularderaioremtornodeumnúcleo quando um campo magnético uniforme é aplicado perpendicularmente ao plano da órbita.Supondoqueoraiodaórbitanãovariaequeavariaçãodavelocidadedoelétrondevidoaocampo épequena, escreva uma expressão para a variação do momento dipolar magnético orbital do elétrondevidoàpresençadocampo.

Módulo32-7Paramagnetismo

·39 EmumtesteparaverificarseamagnetizaçãodeumsalparamagnéticoaoqualseaplicaacurvadaFig.32-14obedeceàleideCurie,osalésubmetidoaumcampomagnéticode0,50T,quepermanececonstantedurantetodooexperimento,eamagnetizaçãoMémedidaemtemperaturasquevariamde10a300K.OsresultadosestarãodeacordocomaleideCurie?

·40 Um sal paramagnético ao qual a curva demagnetização da Fig. 32-14 se aplica émantido àtemperatura ambiente (300 K). Determine para qual valor do campo magnético aplicado o grau desaturaçãomagnéticaé(a)50%e(b)90%.(c)Épossívelproduziressescamposemlaboratório?

·41 Umímãdeformacilíndricatem5,00cmdecomprimentoe1,00cmderaio.Amagnetizaçãoéuniforme,comummódulode5,30×103A/m.Qualéomomentodipolarmagnéticodoímã?

·42 Umcampomagnéticode0,50Téaplicadoaumgásparamagnéticocujosátomospossuemummomentodipolarmagnéticointrínsecode1,0×10−23J/T.Aquetemperaturaaenergiacinéticamédiadetranslaçãodosátomosé igualàenergianecessáriapara inverteraorientaçãodeumdessesdipolosnapresençadocampomagnético?

··43 UmelétroncomenergiacinéticaKe está semovendoemuma trajetóriacircularcujoplanoéperpendicularaumcampomagnéticouniformeorientadono sentidopositivodoeixoz.Oelétronestásujeito apenas à força exercida pelo campo. (a)Mostre queomomentodipolarmagnéticodo elétron,devidoaomovimentoorbital,temosentidoopostoaodocampomagnético equeseumóduloédadoporμ =Ke/B. Determine (b) o módulo e (c) a orientação do momento dipolar magnético de um íonpositivo de energia cinética Ki nas mesmas circunstâncias. (d) Um gás ionizado possui 5,3 × 1021

elétrons/m3eamesmaconcentraçãodeíons.Supondoqueaenergiacinéticamédiadoselétronsé6,2×10−20 J e a energia cinética média dos íons é 7,6 × 10−21 J, calcule a magnetização do gás ao sersubmetidoaumcampomagnéticode1,2T.

··44 AFig.32-39mostraacurvademagnetizaçãodeummaterialparamagnético.Aescaladoeixoverticalédefinidapora=0,15,eaescaladoeixohorizontalédefinidaporb=0,2T/K.Sejamμexpovalorexperimentaldomomentomagnéticodeumaamostraeμmáxovalormáximopossíveldomomentomagnéticodamesmaamostra.DeacordocomaleideCurie,qualéovalordarazãoμexp/μmáxquandoaamostraésubmetidaaumcampomagnéticode0,800Taumatemperaturade2,00K?

Figura32-39 Problema44.

···45 Considere um sólido comN átomos por unidade de volume, cada átomo com ummomentodipolar magnético . Suponha que existam apenas duas orientações possíveis para : paralelo ouantiparaleloaumcampomagnéticoexternamenteaplicado (oque,segundoafísicaquântica,acontecequandoapenasumelétrondoátomoéresponsávelpelospin ).Deacordocomamecânicaestatística,aprobabilidadedequeumátomoestejaemumestadodeenergiaUéproporcionalae−U/kT,emqueTéatemperaturaekéaconstantedeBoltzmann.Assim,comoaenergiaUéiguala− · ,afraçãodeátomoscomomomentodipolarparaleloa éproporcionalaeμB/kTeafraçãodeátomoscomomomentodipolarantiparaleloa éproporcionalae–μB/kT(a)MostrequeomódulodamagnetizaçãodosólidoéM=Nμtanh(μB/kT),emquetanhéafunçãotangentehiperbólica:tanh(x)=(ex–e–x)/(ex+e−x).(b)Mostrequeoresultadodoitem(a)sereduzaM=Nμ2B/kTparaμB≪kT.(c)Mostrequeoresultadodoitem(a)sereduzaM=NμparaμB≫kT.(d)Mostreque(b)e(c)concordamqualitativamentecomaFig.32-14.

Módulo32-8Ferromagnetismo

··46 Umabússolaécolocadaemumasuperfíciehorizontal,eaagulharecebeumleveempurrãoqueafazoscilaremtornodaposiçãodeequilíbrio.Afrequênciadeoscilaçãoé0,312Hz.OcampomagnéticodaTerranolocalpossuiumacomponentehorizontalde18,0μT,eaagulhapossuiummomentomagnéticode0,680mJ/T.Determineomomentodeinérciadaagulhaemrelaçãoaoeixo(vertical)derotação.

··47 ATerrapossuiummomentodipolarmagnéticode8,0×1022J/T.(a)SeessemomentodipolarfossecausadoporumaesferadeferromagnetizadosituadanocentrodaTerra,qualdeveriaseroraiodaesfera? (b) Que fração do volume da Terra a esfera ocuparia? Suponha um alinhamento perfeito dosdipolos.AmassaespecíficadonúcleodaTerraé14g/cm3eomomentodipolarmagnéticodeumátomodeferroé2,1×10−23J/T.(Nota:OnúcleodaTerrarealmentecontémumagrandequantidadedeferro,mas a possibilidade de que omagnetismo terrestre se deva a um ímã permanente parece remota, porváriasrazões.Paracomeçar,atemperaturadonúcleoémaiorqueatemperaturadeCuriedoferro.)

··48 Omódulodomomentodipolarassociadoaumátomodeferroemumabarradeferroé2,1×10−23 J/T. Suponha que os momentos dipolares de todos os átomos da barra, que tem 5,0 cm decomprimentoeumaseçãoretade1,0cm2,estejamalinhados.(a)Qualéomomentodipolardabarra?(b)Quetorquedeveserexercidosobreabarraparamantê-laperpendicularaumcampoexternode1,5T?(Amassaespecíficadoferroéde7,9g/cm3.)

··49 OacoplamentodecâmbiomencionadonoMódulo32-8comoresponsávelpeloferromagnetismo

nãoéainteraçãoentredipolosmagnéticosatômicos.Paramostraroquelevaaessaconclusão,calcule(a)omódulodocampomagnéticoaumadistânciade10nm,aolongodoeixododipolo,deumátomocom ummomento dipolarmagnético de 1,5 × 10−23 J/T (o átomo de cobalto) e (b) a energiamínimanecessáriaparainverterumsegundodipolomagnéticodomesmotiponapresençadocampocalculadodoitem(a).(c)Comparandooresultadodoitem(b)comaenergiacinéticamédiadetranslaçãodeumátomoàtemperaturaambiente,0,039eV,oquepodemosconcluir?

··50 Uma barra magnética com 6,00 cm de comprimento, 3,00 mm de raio e uma magnetizaçãouniforme de 2,70 × 103 A/m pode girar em torno do centro como uma agulha de bússola. A barra ésubmetidaaumcampomagnéticouniforme demódulo35,0mTcujadireção fazumângulode68,0o

comadireçãodemomentodipolardabarra.(a)Determineomódulodotorqueexercidopelocamposobreabarra.(b)Determineavariaçãodaenergiaorientacionaldabarraseoângulomudarpara34,0o.

··51 Amagnetizaçãodesaturaçãodoníquel,ummetalferromagnético,é4,70×105A/m.Calculeomomentodipolarmagnéticodeumátomodeníquel.(Amassaespecíficadoníquelé8,90g/cm3eamassamolaré58,71g/mol.)

··52 MedidasrealizadasemminasepoçosrevelamqueatemperaturanointeriordaTerraaumentacomaprofundidadeàtaxamédiade30oC/km.Supondoqueatemperaturanasuperfícieseja10oC,aqueprofundidadeoferrodeixadeserferromagnético?(AtemperaturadeCuriedoferrovariamuitopoucocomapressão.)

··53 UmaneldeRowlandéfeitodeummaterialferromagnético.Oaneltemseçãoretacircular,comumraiointernode5,0cmeumraioexternode6,0cm,eumabobinaprimáriaenroladanoanelpossui400espiras.(a)QualdeveseracorrentenabobinaparaqueomódulodocampodotoroidetenhaovalorB0=0,20mT?(b)Umabobinasecundáriaenroladanoanelpossui50espiraseumaresistênciade8,0Ω.SeparaessevalordeB0temosBM=800B0,qualéovalordacargaqueatravessaabobinasecundáriaquandoacorrentenabobinaprimáriacomeçaacircular?

ProblemasAdicionais

54 UseasaproximaçõesdoProblema61paracalcular(a)aaltitudeemrelaçãoàsuperfícienaqualomódulodocampomagnéticodaTerraé50,0%dovalornasuperfícienamesmalatitude;(b)omódulomáximodocampomagnéticonainterfacedonúcleocomomanto,2900kmabaixodasuperfíciedaTerra;(c)omóduloe(d)ainclinaçãodocampomagnéticonaTerranopolonortegeográfico.(e)Expliqueporqueosvalorescalculadosnositens(c)e(d)nãosãonecessariamenteiguaisaosvaloresmedidos.

55 ATerrapossuiummomentodipolarmagnéticode8,0×1022J/T.(a)QuecorrenteteriaqueexistiremumaúnicaespiradefioestendidanasuperfíciedaTerraaolongodoequadorgeomagnéticoparacriarumdipolo demesma intensidade? (b)Esse arranjo poderia ser usado para cancelar omagnetismo daTerraempontosdoespaçomuitoacimadasuperfície?(c)EssearranjopoderiaserusadoparacancelaromagnetismodaTerraempontosdasuperfície?

56 Umacargaqestádistribuídauniformementeaolongodeumaneldelgado,deraior.Oanelestágirandocomvelocidadeangularωemtornodeumeixoquepassapelocentroeéperpendicularaoplanodoanel.(a)Mostrequeomódulodomomentomagnéticoassociadoàcargaemmovimentoédadoporμ=qωr2/2.(b)Qualseráaorientaçãodomomentomagnéticoseacargaforpositiva?

57 Aagulhadeumabússola,com0,050kgdemassae4,0cmdecomprimento,estáalinhadacomacomponentehorizontaldocampomagnéticodaTerraemumlocalemqueacomponentetemovalorBh=16μT.Depoisqueaagulharecebeumleveempurrão,elacomeçaaoscilarcomumafrequênciaangularω=45rad/s.Supondoqueaagulhasejaumabarrafinaeuniforme,livreparagiraremtornodocentro,determineomódulodomomentodipolarmagnéticodaagulha.

58 OcapacitordaFig.32-7estásendocarregadocomumacorrentede2,50A.Oraiodofioé1,50mmeoraiodasplacasé2,00cm.Suponhaquesejamuniformesasdistribuiçõesdacorrenteinofioedacorrente de deslocamento id no espaço entre as placas do capacitor. Determine o módulo do campomagnético produzido pela corrente i nas seguintes distâncias em relação ao eixo do fio: (a) 1,00mm(dentrodo fio), (b)3,00mm(forado fio)e (c)2,20cm(forado fio).Determineomódulodocampomagnéticoproduzidopelacorrenteidnasseguintesdistânciasemrelaçãoàretaqueligaoscentrosdasplacas:(d)1,00mm(dentrodoespaçoentreasplacas),(e)3,00mm(dentrodoespaçoentreasplacas)e(f)2,20cm(foradoespaçoentreasplacas).(g)Expliqueporqueoscampossãomuitodiferentesparaofioeparaoespaçoentreasplacasnocasodasduasdistânciasmenores,mas têmvaloressemelhantesparaadistânciamaior.

59 UmcapacitordeplacasparalelascircularesderaioR=16mmeafastadasdeumadistânciad=5,0mmproduzumcampouniformeentreasplacas.Apartirdoinstante t=0,adiferençadepotencialentreasplacasédadaporV=(100V),emqueτ=12ms.Determineomódulodocampomagnéticoaumadistânciar=0,80Rdoeixocentral(a)emfunçãodotempo,parat≥0e(b)noinstantet=3τ.

60 Umfluxomagnéticode7,0mWb,dirigidoparafora,atravessaafaceplanainferiordasuperfíciefechadadaFig.32-40.Nafaceplanasuperior(quetemumraiode4,2cm)existeumcampomagnéticode 0,40 T perpendicular à superfície, que aponta para cima. Determine (a) o valor absoluto e (b) osentido(paradentroouparafora)dofluxomagnéticoatravésdapartecurvadasuperfície.

Figura32-40 Problema60.

61 O campo magnético da Terra pode ser aproximado pelo campo magnético de um dipolo. AscomponenteshorizontaleverticaldocampoaumadistânciardocentrodaTerrasãodadaspor

emqueλméalatitudemagnética(latitudemedidaapartirdoequadorgeomagnéticoemdireçãoaumdospolosgeomagnéticos).SuponhaqueomomentodipolardaTerratemummóduloμ=8,00×1022A·m2.(a)MostrequeomódulodocampomagnéticodaTerranalatitudeλmédadopor

(b)Mostrequeainclinaçãoφidocampomagnéticoestárelacionadaàlatitudemagnéticaλmpelaequaçãotanφi=2tanλm.

62 Use os resultados do Problema 61 para calcular (a) o módulo e (b) a inclinação do campomagnético da Terra no equador geomagnético, (c) o módulo e (d) a inclinação do campo na latitudegeomagnéticade60oe(e)omóduloe(f)ainclinaçãodocamponopolonortegeomagnético.

63 Umcapacitordeplacasparalelascomplacascircularesde55,0mmderaioestásendocarregado.Aquedistânciadoeixodocapacitor(a)dentrodoespaçoentreasplacase(b)foradoespaçoentreasplacasomódulodocampomagnéticoinduzidoéiguala50,0%dovalormáximo?

64 UmaamostradeumsalparamagnéticoaoqualseaplicaacurvadaFig.32-14ésubmetidaaumcampomagnético uniforme de 2,0 T. Determine a que temperatura o grau de saturaçãomagnética daamostraé(a)50%e(b)90%.

65 Umcapacitor de placas paralelas circulares de raioR está sendo descarregado.A corrente dedeslocamentoqueatravessaumaáreacircularcentral,paralelaàsplacas,deraioR/2,é2,0A.Qualéacorrentededescarga?

66 AFig.32-41mostraavariaçãodeumcampoelétricoqueéperpendicularaumaregiãocircularde2,0m2. Qual é amaior corrente de deslocamento que atravessa a região durante o período de temporepresentadonográfico?

Figura32-41 Problema66.

67 NaFig.32-42,umcapacitordeplacasparalelasestásendodescarregadoporumacorrentei=5,0A.AsplacassãoquadradosdeladoL=8,0mm.(a)Qualéataxadevariaçãodocampoelétricoentreasplacas?(b)Qualéovalorde∮ · aolongodalinhatracejada,naqualH=2,0mmeW=3,0mm?

Figura32-42 Problema67.

68 Qualéovalordacomponentemedidadomomentodipolarmagnéticoorbitaldeumelétron(a)commℓ=3e(b)commℓ=−4?

69 NaFig.32-43,umímãemformadebarraestánasvizinhançasdeumtubocilíndricodepapel.(a)Façaumesboçodaslinhasdecampomagnéticoqueatravessamasuperfíciedotubo.(b)Qualéosinalde · paratodasasáreas dotubo?(c)EssefatoestáemcontradiçãocomaleideGaussparaomagnetismo?Justifiquesuaresposta.

Figura32-43 Problema69.

70 No estado demenor energia do átomo de hidrogênio, a distânciamais provável entre o únicoelétroneopróton(onúcleo)é5,2×10−11m.(a)Calculeomódulodocampoelétricoproduzidopeloprótonaessadistância.Acomponenteμs,zdomomentodipolarmagnéticodospindoprótoné1,4×10−26

J/T.(b)Calculeomódulodocampomagnéticodoprótonàdistânciade5,2×10−11maolongodoeixoz.(Sugestão:UseaEq.29-27.)(c)Qualéarazãoentreomomentodipolarmagnéticodespindoelétroneomomentodipolarmagnéticodespindopróton?

71 AFig.32-38mostraumanel(L)queservecomomodelodeummaterialparamagnético.(a)Façaum esboço das linhas de campomagnético no interior e nas proximidades do anel devido ao ímã emformadebarra.Determine(b)aorientaçãodomomentodipolarmagnético doanel, (c)osentidodacorrenteconvencionalinoanel(horárioouanti-horário)e(d)aorientaçãodaforçamagnéticaexercidapelocampomagnéticodoímãsobreoanel.

72 Duasplacas (comoasdaFig.32-7) estão sendodescarregadasporumacorrente constante.Asplacastêm4,00cmderaio.Duranteadescarga,emumpontoentreasplacassituadoaumadistânciade2,00cmdoeixocentral,ocampomagnéticotemummódulode12,5nT.(a)Qualéomódulodocampomagnéticoa6,00cmdoeixocentral?(b)Qualéacorrentenosfiosligadosàsplacas?

73 Seumelétronemumátomotemummomentoangularorbitalcomvaloresdemℓlimitadospor±3,quantosvaloresde(a)Lorb,ze(b)μorb,zpodeteroelétron?Emtermosdeh,mee,qualéomaiorvalorpermitido(c)deLorb,ze(d)deμorb,z?(e)Qualéomaiorvalorpermitidodacomponentezdomomento

angular total do elétron (soma do momento orbital com o momento de spin)? (f) Quantos valores(incluindoosinal)sãopermitidosparaacomponentezdomomentoangulartotaldoelétron?

74 Umcapacitordeplacasparalelascircularesestásendocarregado.Considereumanelcircularcomocentronoeixocentrale situadoentreasplacas.Seo raiodoanel,3,00cm,émaiorqueo raiodasplacas,qualéacorrentededeslocamentoentreasplacasquandoocampomagnéticoaolongodoaneltemummódulode2,00μT?

75 Suponha que ±4 sejam os limites dos valores demℓ de um elétron em um átomo. (a)Quantosvalores são possíveis para a componenteμorb,z domomento dipolarmagnético orbital do elétron? (b)Dessesvalores,qualpossuiomaiorvalorabsoluto?Suponhaqueoátomosejasubmetidoaumcampomagnéticode0,250T,queapontenosentidopositivodoeixoz.Determine(c)amaiorenergiae(d)amenorenergiaassociadaaessesvalorespossíveisdeμorb,z.

76 Quaissãoascomponentesmedidasdomomentodipolarmagnéticoorbitaldeumelétroncom(a)mℓ=3e(b)mℓ=−4?