Ενέργεια και Στάσιμα Κύματα

Η συνηθισμένη μαθηματική επεξεργασία των στασίμων κυμάτων είναι η εξής:

Έστω δύο όμοια κύματα που κινούνται αντίθετα σε μια ευθεία:

y1=Aημ 2π tT −xλ (1) και y2=Aημ 2π tT

xλ (2)

Η μαθηματική αυτή αντιμετώπιση παρουσιάζει σημαντικά προβλήματα. Ένα από αυτά είναι η εξαφάνιση από τη

μελέτη της δεύτερης πηγής που βρίσκεται σε κάποιο σημείο d=x1 > x στον θετικό ημιάξονα των x. H εξαφάνιση

αυτή εισάγει ένα σημαντικό πρόβλημα καθώς στα κύματα πάντα η πηγή έχει τη μεγαλύτερη φάση και το μέτωπο

του κύματος φάση 0. Με τον τρόπο που είναι γραμμένη η δεύτερη εξίσωση είναι σαν να μεγαλώνει η φάση με

το x μέχρι να απειρισθεί. Επίσης ένα δεύτερο πρόβλημα είναι ότι ο χρόνος που εμφανίζεται στις εξισώσεις είναι

ο χρόνος που ταλαντώνεται η πρώτη πηγή.

Ο σωστότερος τρόπος θα ήταν η δεύτερη εξίσωση να γραφτεί (καθώς το δεύτερο κύμα ξεκινά από τη θέση x=d

και διαδίδεται προς τον αρνητικό ημιάξονα των x) :

y2=Aημ 2π tT − d−xλ =Aημ 2π tT xλ−dλ (3)

Όμως η παράσταση d/λ είναι ένας σταθερός αριθμός. Για να είναι οι εξισώσεις (2) και (3) ίδιες θα πρέπει η

απόσταση ανάμεσα στις δύο πηγές να είναι ακέραιος αριθμός τρεχόντων κυμάτων. Ο χρόνος t3 που χρειάζεται

το κύμα να καλύψει την απόσταση ανάμεσα στις πηγές είναι: t3=dΤλ

Βλέπουμε ότι η y2 μπορεί να γραφεί σαν: y2=Aημ 2π t−t3Txλ (4)

Παρατήρηση: Από την εξίσωση (4) παρατηρούμε ότι η εξίσωση (2) μπορεί να εξαχθεί και από την εξίσωση

(3) ακόμα και αν η απόσταση της πηγής που βρίσκεται στον θετικό ημιάξονα των x δεν απέχει ακέραιο

πολλαπλάσιο του μήκους κύματος από την αρχή των αξόνων. Σε αυτή την περίπτωση θεωρούμε τo σημείο που

βρίσκεται στη θέση x=0 σαν μια δευτερογενή πηγή κυμάτων. Δηλαδή κάνουμε τον μετασχηματισμό t=t−t3 .

Μετά από αυτό τον μετασχηματισμό ο χρόνος που εμφανίζεται στην εξίσωση του κύματος δεν είναι ο χρόνος

της ταλάντωσης της πραγματικής πηγής του κύματος αλλά ο χρόνος της ταλάντωσης της δευτερογενούς

πηγής που σύμφωνα με την αρχή του Huygens βρίσκεται στο σημείο x=0. H δευτερογενής αυτή πηγή

προφανώς στην γενική περίπτωση δεν βρίσκεται σε συμφωνία φάσης με την πραγματική πηγή του κύματος.

Ένα κύμα που ταξιδεύει σε μια ομογενή χορδή μήκους L μπορεί να ανακλαστεί από το άκρο της χορδής είτε

αυτό είναι ελεύθερο είτε είναι πακτωμένο.

i) Αν το άκρο της χορδής είναι ελεύθερο στο σημείο αυτό έχουμε κοιλία. Η συμπεριφορά του συστήματος είναι

η ίδια αν η χορδή είχε διπλάσιο μήκος και στην

άλλη άκρη υπήρ- χε μια δεύτερη όμοια πηγή.

Στην συγκεκριμένη περίπτωση θα πρέπει τα δύο

κύματα να είναι στο σημείο ανάκλασης σε

συμφωνία φάσης καθώς σε εκείνο το ση- μείο

έχουμε κοιλία. Συνεπώς η ανάκλαση από

ελεύθερο άκρο δίνεται από την (3) με d=2L.

Η συνθήκη που βρήκαμε μας δίνει ότι

d= 2L=κλ⇒ L=κλ2 που είναι η γνωστή

σχέση που συνδέει τα σημεία που βρίσκονται σε

κοιλία σε ένα στάσιμο κύμα.

Στο διπλανό σχήμα βλέπουμε τα δύο αρχικά Εικόνα από τα java-applets του W. Fengt για

κύματα (κόκκινο και μπλέ) καθώς και τη ανάκλαση κύματος από το ελεύθερο άκρο του

συμβολή τους. Τα αρχικά κύματα βλέπουμε (http://www.walter-fendt.de/ph14e/)

ότι βρίσκονται σε φάση.

ii) Αν το άκρο της χορδής είναι πακτωμένο τότε τα δύο κύματα που προέρχονται από τις δύο πηγές θα πρέπει να

είναι σε αντίθεση φάσης στο σημείο ανάκλασης. Γνωρίζουμε ότι διαφορά φάσης π εμφανίζεται όταν το κύμα

διατρέξει μισό μήκος κύματος του. Δηλαδή θα πρέπει να ισχύει ότι η δεύτερη πηγή βρίσκεται σε απόσταση

L+λ/2 από το σημείο ανάκλασης. Η ανάκλαση

του κύματος στο πακτωμένο σημείο πάλι δίνεται

από την (3) μόνο που τώρα d=2L+λ/2.

Επομένως:

d= 2Lλ2=κλ⇒ L= 2κ−1

λ4 που είναι η

γνωστή σχέση που υπολογίζει τη θέση των

δεσμών στα στάσιμα κύματα.

Στο διπλανό σχήμα βλέπουμε τα δύο αρχικά

κύματα (κόκκινο και μπλέ) καθώς και τη

συμβολή τους. Τα αρχικά κύματα βλέπουμε Εικόνα από τα java-applets του W. Fengt για

ότι βρίσκονται σε αντίθεση φάσης ανάκλαση κύματος από το πακτωμένο άκρο του

Σαν ένα πρώτο συμπέρασμα λοιπόν καταλήγουμε (http://www.walter-fendt.de/ph14e/)

στο ότι η μαθηματική περιγραφή ενός κύματος που ανακλάται από ένα πακτωμένο άκρο μιας χορδής (που

ισοδυναμεί με ένα δεσμό) ή από ένα ελεύθερο άκρο μιας χορδής (που ισοδυναμεί με μια κοιλία) περιγράφεται

από την εξίσωση (3) δηλαδή σαν ένα κύμα που προέρχεται από μια φανταστική πηγή στην προέκταση της

χορδής. Οι δύο αυτές περιγραφές για την ανάκλαση είναι ισοδύναμες.

Συνεχίζοντας την μελέτη μας για τα στάσιμα κύματα και

χρησιμοποιώντας την αρχή της επαλληλίας ανάμεσα στις (1) και (2) καταλήγουμε στην γνωστή εξίσωση του

στάσιμου κύματος:

y=y 1+y 2=2A συν π xλ ημ 2πtT

Με βάση αυτή τη μαθηματική επεξεργασία υπάρχουν σημεία τα οποία είναι πάντα ακίνητα (δεσμοί) και από τα

οποία δεν περνάει η ενέργεια που στέλνουν οι πηγές. Τότε δημιουργείται το ερώτημα. Αν δεν περνάει η ενέργεια

των πηγών γιατί ισχύουν οι εξισώσεις (1) και (2) ;

Η σωστή φυσικά μελέτη είναι μαθηματικά πιο πολύπλοκη. Η αρχή του Huygens λέει ότι μπορούμε να

θεωρήσουμε κάθε σημείο του κύματος σαν μια δευτερογενή πηγή κύματος και να μελετήσουμε τη διάδοση του

κύματος από το σημείο αυτό και μετά.

Στο διπλανό σχήμα βλέπουμε μια εξήγηση

του φαινομένου της ανάκλασης και της

διάθλασης με βάση την αρχή του Huygens.

Στην περίπτωση μας μας ενδιαφέρει το

φαινόμενο της ανάκλασης. Θεωρούμε

λοιπόν ότι κά-θε δεσμός είναι σημείο ανά-

κλασης. Έστω όπως στο σχήμα ότι το ση-

μείο Μ που απέχει x2 από την πηγή Ο και d-

x2 από την πηγή Σ είναι δεσμός. Για να Εικόνα από τα java-applets του W. Fengt για

είναι αυτό δεσμός όπως είδαμε πιο πάνω ανάκλαση και τη διάθλαση κύματος με βάση

θα πρέπει d= 2x2+ λ/2. Στην περιοχή την αρχή του Hyugens.

που βρίσκεται δεξιά του Μ κινούνται (http://www.walter-fendt.de/ph14e/)

αμέσως μετά τον σχηματισμό του δε-

σμού στο Μ και πριν τον σχηματισμό του δεσμού στο Ν που είναι ο αμέσως επόμενος δεσμός προς το Ο δύο

κύματα. Το ένα κύμα προέρχεται από την πηγή Ο και το δεύτερο κύμα προέρχεται από την ανάκλαση του

πρώτου κύματος στον δεσμό στο Μ. Όπως αποδείξαμε και πιο πάνω η αντιμετώπιση αυτή είναι μαθηματικά

ισοδύναμη με την περίπτωση που το κύμα ξεκίνησε από μια φανταστική πηγή τοποθετημένη στην προέκταση

της ευθείας σε ένα κατάλληλο σημείο. Συνεπώς θα ισχύουν οι εξισώσεις:

y1=Aημ 2π tT −xλ και y2=Aημ 2π t2T − x2− x

λ όπου t2 ο χρόνος που ταξιδεύει το ανακλώμενο κύμα

δηλαδή t2 =t- (d-x2)/c (όπου (d-x2)/c ο χρόνος που χρειάστηκε να δημιουργηθεί ο δεσμός στο Μ και c η

ταχύτητα διάδοσης του κύματος).

Τελικά

y2=Aημ 2π tT − dλ xλ Όμως όπως αναφέραμε και πιο πάνω d/λ = Ν όπου Ν ακέραιος. Επομένως η

εξίσωση γίνεται

y2=Aημ 2π tT xλ που είναι η εξίσωση που χρησιμοποιούμε συνήθως. Επομένως καταλήγουμε στα ίδια

συμπεράσματα καθώς οι δύο αναλύσεις είναι ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ αλλά όχι φυσικά ισοδύναμες. Η δεύτερη

ανάλυση περιέχει τον μηχανισμό δημιουργίας των δεσμών και την ανακατανομή της ενέργειας στο χώρο με

βάση αυτό τον μηχανισμό.

Συμπέρασμα: Στην περίπτωση των στασίμων κυμάτων μετά τον σχηματισμό του πρώτου δεσμού δεν υπάρχει

ΚΑΝΕΝΑ κύμα που να διαδίδεται σε όλο το χώρο. Απλά μόλις σχηματίζεται ένας δεσμός αρχίζει η συμβολή

του ενός κύματος με το ανακλώμενο του σε εκείνο τον δεσμό μέχρι να σχηματισθεί ο επόμενος δεσμός. Μετά

τον σχηματισμό του δεύτερου δεσμού η ενέργεια που υπήρχε εκείνη τη στιγμή ανάμεσα στους δύο δεσμούς

εγκλωβίζεται.