Elemen Hingga

TUGAS MATA KULIAH ELEMEN HINGGA

oleh :

091910301073 IMAM SAPUTRO

JURUSAN TEKNIK SIPIL

FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS JEMBER

2013

TUGAS I

Element stiffness matrix

[K] = EA

cos2 cos sin -cos

2 -cos sin

cos sin sin2 - cos sin -sin

2

L -cos2 - cos sin cos

2 cos sin

- cos sin -sin2 cos sin sin

2

[K]1 = EA

cos2 30 cos 30 sin 30 -cos

2 30 -cos 30 sin 30

cos 30 sin 30 sin2 30 - cos 30 sin 30 -sin

2 30

L -cos2 30 - cos 30 sin 30 cos

2 30 cos 30 sin 30

- cos 30 sin 30 -sin2 30 cos 30 sin 30 sin

2 30

Fx1 3/4 /4 -3/4 - /4 X1

Fz1 =

EA

/4 1/4 - /4 -1/4 Z1

Fx3 L -3/4 - /4 3/4 /4 X3

Fz3 - /4 -1/4 /4 1/4 Z3

[K]2 = EA

cos2 90 cos 90 sin 90 -cos

2 90 -cos 90 sin 90

cos 90 sin 90 sin2 90 - cos 90 sin 90 -sin

2 90

L -cos2 90 - cos 90 sin 90 cos

2 90 cos 90 sin 90

- cos 90 sin 90 -sin2 90 cos 90 sin 90 sin

2 90

Fx1 0 0 0 X1 Fz1

= EA

1 0 -1 Z1

Fx2 L 0 0 0 X2 Fz2 0 -1 1 Z2

1

1

3

3

Fz1

Fx1

Fz2

Fx2

Fz3

Fx3

f z1

f x1

2

1

2

3

2

P

[K]3 = EA

cos2 -30 cos -30 sin -30 -cos

2 -30 -cos -30 sin -30

cos -30 sin -30 sin2 -30 - cos -30 sin -30 -sin

2 -30

L -cos2 -30 - cos -30 sin -30 cos

2 -30 cos -30 sin -30

- cos -30 sin -30 -sin2 -30 cos -30 sin -30 sin

2 -30

Fx2 3/4 - /4 -3/4 /4 X2

Fz2 =

EA

- /4 1/4 /4 -1/4 Z2

Fx3 L -3/4 /4 3/4 - /4 X3

Fz3 /4 -1/4 - /4 1/4 Z3

Assembling

Fx1

=

3/4 /4 0 0 -3/4 - /4 X1

Fz1 /4 1+1/4 0 -1 - /4 -1/4 Z2

Fx2 EA 0 0 3/4 - /4 -3/4 /4 X2

Fz2 L

0 -1 - /4 1+1/4 /4 -1/4 Z2

Fx3 -3/4 - /4 -3/4 /4 3/4+3/4 /4- /4 X3

Fz3 - /4 -1/4 /4 -1/4 /4- /4 1/4+1/4 Z3

Fx1

=

3/4 /4 0 0 -3/4 - /4 0

Fz1 /4 5/4 0 -1 - /4 -1/4 0

Fx2 EA 0 0 3/4 - /4 -3/4 /4 0

Fz2 L

0 -1 - /4 5/4 /4 -1/4 0

0 -3/4 - /4 -3/4 /4 3/2 0 X3

-P - /4 -1/4 /4 -1/4 1/2 Z3

Nodal displacements

X3 = PK 122

=

L 3/2 0 -1

=

PL 0

Z3 EA 0 1/2 -P EA -2

Support reaction

Fx1 -3/4 - /4 /2 P Fz1

= 12K = EA

- /4 -1/4

PL 0

= 1/2 P

Fx2 L -3/4 /4 EA -2 - /2 P Fz2 /4 -1/4 1/2 P

Support reaction check

Fx = 0 Fz = 0

0 = Fx1+Fx2+Fx3 0 = Fz1 + Fz2 + Fz3

0 = /2 P - /2 P + 0 0 = P + P P

0 = 0 (OK !!!) 0 = 0 (OK !!!)

Nodal displacements in local coordinates for Element 1

U = |R|. u

X1 cos - sin 0 u1 PL

Z1

= sin cos 0 v1

EA X3 0 cos - sin u3 Z3 0 sin cos v3

cos 30 - sin 30 0 0 -1 0 u1

sin 30 cos 30 0 PL

0 =

v1

0 cos 30 - sin 30 EA 0 u3 0 sin 30 cos 30 -2 v3

/2 -1/2 0 0 -1 0 u1

1/2 /2 0 PL

0 =

v1

0 /2 -1/2 EA 0 u3

0 1/2 /2 -2 v3

0 u1

PL

0 =

v1

EA -1 u3

- v3

Element 1 strain

EA

P

EAPL

LLux

011 B (Compression/tekan)

Element 1 stress

A

PxEx (Compression/tekan)

Element 1 axial force

PAxxF

Element 3 axial force

=

cos30 sin 30

3 13 1

=

3

2

1

2

0 02 0

=

u1

0

=

u3

- PL

EA

TUGAS II

11 2 3

4 5

6

4 m

4 m

4 m

4 m

4 m 4 m

5 t

2 t 5 t

E = 2. 10

6 kg/cm

2 = 2.10

7 t/m

2

A = 0,025 m2

E C S C2 S

2 CS L A

1-4 60 1/2 /2 1/4 3/4 /4 4 0,025

4-2 -60 1/2 - /2 1/4 3/4 - /4 4 0,025

2-5 60 1/2 /2 1/4 3/4 /4 4 0,025

5-3 -60 1/2 - /2 1/4 3/4 - /4 4 0,025

4-6 60 1/2 /2 1/4 3/4 - /4 4 0,025

6-5 -60 1/2 - /2 1/4 3/4 - /4 4 0,025

Element 1-4

Fx1

=

1/4 /4 -1/4 - /4 U1=0

Fy1 2.107. 0,025 /4 3/4 - /4 -3/4 V1=0

Fx4 4 -1/4 - /4 1/4 /4 U4

Fy4 - /4 -3/4 /4 3/4 V4

Element 4-2

Fx4

=

1/4 - /4 -1/4 /4 U4

Fy4 2.107. 0,025 - /4 3/4 /4 -3/4 V4

Fx2 4 -1/4 /4 1/4 - /4 U2=0

Fy2 /4 -3/4 - /4 3/4 V2=0

Element 2-5

Fx2

=

1/4 /4 -1/4 - /4 U2=0

Fy2 2.107. 0,025 /4 3/4 - /4 -3/4 V2=0

Fx5 4 -1/4 - /4 1/4 /4 U5

Fy5 - /4 -3/4 /4 3/4 V5

Element 5-3

Fx5

=

1/4 - /4 -1/4 /4 U5

Fy5 2.107. 0,025 - /4 3/4 /4 -3/4 V5

Fx3 4 -1/4 /4 1/4 - /4 U3=0

Fy3 /4 -3/4 - /4 3/4 V3=0

Element 4-6

Fx4

=

1/4 /4 -1/4 - /4 U4

Fy4 2.107. 0,025 /4 3/4 - /4 -3/4 V4

Fx6 4 -1/4 - /4 1/4 /4 U6

Fy6 - /4 -3/4 /4 3/4 V6

Element 6-5

Fx6

=

1/4 - /4 -1/4 /4 U6

Fy6 2.107. 0,025 - /4 3/4 /4 -3/4 V6

Fx5 4 -1/4 /4 1/4 - /4 U5

Fy5 /4 -3/4 - /4 3/4 V5

Assembling

Fx1 1/4 /4 0 0 0 0 -1/4 - /4 0 0 0 0 ` U1

Fy1 /4 3/4 0 0 0 0 - /4 -3/4 0 0 0 0 V1

Fx2

=

0 0 1/4 /4 0 0 -1/4 /4 -1/4 - /4 0 0 U2

Fy2 0 0 /4 3/4 0 0 /4 -3/4 - /4 -3/4 0 0 V2

Fx3 0 0 0 0 1/4 - /4 0 0 -1/4 /4 0 0 U3

Fy3 1,25.10

5

0 0 0 0 - /4 3/4 0 0 /4 -3/4 0 0 V3

Fx4 -1/4 - /4 -1/4 /4 0 0 1/4+1/4+1/4 /4- /4+ /4 0 0 -1/4 - /4 U4

Fy4 - /4 -3/4 /4 -3/4 0 0 /4- /4+ /4 3/4+3/4+3/4 0 0 - /4 -3/4 V4

Fx5 0 0 -1/4 - /4 -1/4 /4 0 0 1/4+1/4+1/4 - /4- /4+ /4 -1/4 /4 U5

Fy5 0 0 - /4 -3/4 /4 -3/4 0 0 - /4- /4+ /4 3/4+3/4+3/4 /4 -3/4 V5

Fx6 0 0 0 0 0 0 -1/4 - /4 -1/4 /4 1/4+1/4 - /4+ /4 U6

Fy6 0 0 0 0 0 0 - /4 -3/4 /4 -3/4 - /4+ /4 3/4+3/4 V6

Fx1 -1/4 - /4 0 0 0 0 `

Fy1 - /4 -3/4 0 0 0 0

Fx2

=

-1/4 /4 -1/4 - /4 0 0

Fy2 /4 -3/4 - /4 -3/4 0 0 U4

Fx3

1,25.105

0 0 -1/4 /4 0 0 V4

Fy3 0 0 /4 -3/4 0 0 U5

2 3/4 /4 0 0 -1/4 - /4 V5

0 /4 9/4 0 0 - /4 -3/4 U6

5 0 0 3/4 - /4 -1/4 /4 V6

0 0 0 - /4 9/4 /4 -3/4

0 -1/4 - /4 -1/4 /4 1/2 0

-5 - /4 -3/4 /4 -3/4 3/2

U4

= 8.10-6

3/4 /4 0 0 -1/4 - /4 -1

2

V4 /4 9/4 0 0 - /4 -3/4 0

U5 0 0 3/4 - /4 -1/4 /4 5

V5 0 0 - /4 9/4 /4 -3/4 0

U6 -1/4 - /4 -1/4 /4 1/2 0 0

V6 - /4 -3/4 /4 -3/4 3/2 -5

U4

= 8.10-6

V4

U5

V5

U6 7

V6

Cek !!

Fx = 0 Fy = 0

= Fx1 + Fx2 + Fx3 -5 t = Fy1 + Fy2 + Fy3 +7 t

=

+

-5 =

+

+7

= 0 (OK) = 0 (OK)

Axial force for for Element 1-4

1 4 =

cos sin

4 14 1

= 1,25 105 1

2

3

2 8. 10 6

53

3+ 4

5

3

= 503

3+ 20 = 0,867


4 2 =

cos sin

2 42 4

= 1,25 105 1

2 3

2 8. 10 6

53

3 4

5

3

= 2 t


2 5 = 1,25 105

1

2

3

2 8. 10 6

53

3+ 10

5

3

= 5 t


5 3 = 1,25 105

1

2 3

2 8. 10 5

53

3 10

5

3

= 53

3 5 = 7,887


4 6 = 1,25 105

1

2

3

2 8. 10 6

7 53

3+ 4

3 20

3+

5

3

= 53

3= 2,887


6 5 = 1,25 105

1

2 3

2 8. 10 6

53

3+ 10 7

5

3 ( 3

20

3)

= 53

3= 2,887

Fx1

=

-1/4 - /4 0 0 0 0

Fy1 - /4 -3/4 0 0 0 0

Fx2 -1/4 /4 -1/4 - /4 0 0

=

Fy2 /4 -3/4 - /4 -3/4 0 0

Fx3 0 0 -1/4 /4 0 0

7

Fy3 0 0 /4 -3/4 0 0

TUGAS III

HUBUNGAN TEGANGAN REGANGAN

{}=[C] {}

xyzxyyzzx

=

1

x

yx

y

yz

z0 0 0

yx

x

1

y

zy

z0 0 0

xzx

yz

y

1

z0 0 0

0 0 01

xy0 0

0 0 0 01

yz0

0 0 0 0 01

zx

xyzxyyzzx

Kondisi isotropis adalah suatu kondisi dimana arah modulus elastisitas pada arah x,y dan z adalah sama, sehingga

pers. (5) menjadi:

xyzxyyzzx

=

1

E

E

E0 0 0

E

1

E

E0 0 0

E

E

1

E0 0 0

0 0 01

G0 0

0 0 0 01

G0

0 0 0 0 01

G

xyzxyyzzx

dimana

=

2(1 + )

sehingga :

xyzxyyzzx

=

1

0 0 0

1

0 0 0

1

0 0 0

0 0 02 + 1

0 0

0 0 0 02 + 1

0

0 0 0 0 02 + 1

xyzxyyzzx

{}=[C] {} dan {}=[E] {} sehingga [E] =[C]-1

, jadi:

xyzxyyzzx

=

1

0 0 0

1

0 0 0

1

0 0 0

0 0 02 + 1

0 0

0 0 0 02 + 1

0

0 0 0 0 02 + 1

1

xyzxyyzzx

xyzxyyzzx

=

1

1 22

1 22

1 220 0 0

1 22 1

1 22

1 220 0 0

1 22

1 22 1

1 220 0 0

0 0 0

2 + 20 0

0 0 0 0

2 + 20

0 0 0 0 0

2 + 2

xyzxyyzzx

xyzxyyzzx

=

(1 + )(1 2)

1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0

0 0 01

2 0 0

0 0 0 01

2 0

0 0 0 0 01

2

xyzxyyzzx

Kondisi plane stress

Adalah kondisi dimana harus memenuhi ketentuan-ketentuan sebagai berikut:

a. Tidak ada tegangan yang bekerja pada arah z ( 0)z

b. Tidak ada regangan arah z ( )z unrestrained

c. Nilai dari E dan v adalah hasil dari pengukuran tes tarik.

xyzxyyzzx

=

1

0 0 0

1

0 0 0

1

0 0 0

0 0 02 + 1

0 0

0 0 0 02 + 1

0

0 0 0 0 02 + 1

xyzxyyzzx

xyzx

=

1

0

1

0

0 02 + 1

xyxy

xyxy

=

1

0

1

0

0 02 + 1

1

xyzx

xyxy

=

1 2

1 20

1 2

1 20

0 0

2 + 2

xyzx

xyxy

=

1 2

1 0 1 0

0 01

2

xyzx

Kondisi plane strain

Apabila masalahnya sekarang terjadi gerakan pada arah z, contohnya terjadinya sliding disepanjang

struktur seperti dam dan timbunan, kemudian ini mengasumsikan penuh terjadi gerakan atau pergeseran pada

arah Z tetapi regangannya(z =0. kondisi seperti ini dinamakan plane strain untuk kondisi isotropis yang

didefinisikan dengan mencoret baris 3,5 dan 6 dari matrik E yang berukuran 6x6 menjadi sbb:

xyzxyyzzx

=

(1 + )(1 2)

1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0

0 0 01

2 0 0

0 0 0 01

2 0

0 0 0 0 01

2

xyzxyyzzx

xyxy

=

(1 + )(1 2)

1 0 1 0

0 01 2

2

xyzx

TUGAS IV

BALOK

Elemen Balok Lurus dengan Penampang Prismatis

Aplikasi kondisi batas (4.3) menghasilkan :

1122

=

1 0 0 00 1 0 01 2 3

0 1 2 32

1234

atau {un}=[P]{an}

Dalam bentuk invers menjadi

(4.4)

1234

=

1 0 0 00 1 0 0

3

2

2

3

2

1

2

31

2

2

31

2

1122

1234

=1

3

3 0 0 00 3 0 0

3 22 3 2

2 2

1122

atau {an}=[P]-1{an}

subtitusi solusi untuk {an} pada Persamaan ( 4.5) ke dalam Persamaan ( 4.2) menghasilkan:

( ) ( )

(

)

(

)

( ( ) ( ) ( ) ( ))

Persamaan kekakuan

Dimana, ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( )) (4.12)

( ) ((

) (

) (

) (

))

( ) ((

) (

) (

) (

))

(4.5)

Dimana , - *

+

* +

.

/

( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )

, -

, -

TUGAS V

Aplikasi Elemen Balok

Untuk elemen 1-2

1122

=

3

12 6 12 66 42 6 22

12 6 12 66 22 6 42

1122

Untuk elemen 2-3

2233

=2

(2)3

12 6(2) 12 6(2)

6(2) 4(2)2 6(2) 2(2)2

12 6(2) 12 6(2)

6(2) 2(2)2 6(2) 4(2)2

2233

2233

=2

83

12 12 12 1212 162 12 82

12 12 12 1212 82 12 162

2233

2233

=

3

3 3 3 33 42 3 22

3 3 3 33 22 3 42

2233

112233

=

3

12 6 12 6 0 06 42 6 22 0 012 6 12 + 3 6 + 3 3 36 22 6 + 3 42 + 42 3 22

0 0 3 3 3 30 0 3 22 3 42

112233

112233

=

3

12 6 12 6 0 06 42 6 22 0 012 6 15 3 3 36 22 3 82 3 22

0 0 3 3 3 30 0 3 22 3 42

112233

Dengan , maka hasil assembling disusun kembali dengan mengumpulkan v1, 1,dan v3 mulai dari penyusunan baris lalu kolomnya, sehingga menjadi

223113

=

3

12 6 15 3 3 36 22 3 82 3 22

0 0 3 22 3 42

12 6 12 6 0 06 42 6 22 0 00 0 3 3 3 3

112233

Lalu kolomnya,

2 =

2 = 3 = 01 = 11 = 13 = 3

=

3

15 3 3 12 6 33 82 22 6 22 33 22 42 0 0 312 6 0 12 6L 06 22 0 6 42 03 3 3 0 0 3

223

1 = 01 = 03 = 0

Sehingga dihasilkan

0 =

3 15 3 33 82 22

3 22 42

223

Dan

1103

=

3 12 6 06 22 03 3 3

223

Lalu diselesaikan dengan invers matriks

223

=3

15 3 33 82 22

3 22 42

1

0

223

=3

7

69

3

46

5

463

46

17

922

13

922

5

46

13

92237

922

0 =

53

138112

92

32

92

=2

276 10339

Reaksi luar dan momen lentur pada peletakan dapat dihasilkan dengan mensubstitusikan hasil di atas

113

=

3 12 6 06 22 03 3 3

2

276 10339

=

53

4621

46

7

46

Gaya internal elemen diperoleh dengan melakukan substitusi nilai derajat kebebasan nodal yang diketahui

ke dalam Persamaan awal dari masing-masing elemen

Elemen 1-2

1122

=

3

12 6 12 66 42 6 22

12 6 12 66 22 6 42

2

276

00

1033

=

53

4621

46

53

46

16

23

Untuk elemen 2-3

2233

=2

(2)3

12 6(2) 12 6(2)

6(2) 4(2)2 6(2) 2(2)2

12 6(2) 12 6(2)

6(2) 2(2)2 6(2) 4(2)2 2

276

103309

2233

=

43

12 12 12 1212 162 12 82

12 12 12 1212 82 12 162

2

276

103309

2233

=

3

3 3 3 33 42 3 22

3 3 3 33 22 3 42

2

276

103309

=

7

467

23

7

460

Dari hasil perhitungan didapatkan

T1

T2

T3

M1

M2

M3 0

Elemen Hingga

Documents

Transcript of Elemen Hingga