ELE-01-C01 Capitolul 2 - electrokoles.home.ro web/05_Cap02-95.pdf · Ca surse în circuite de...

ELE-01-C01

52

Capitolul 2

Circuite trifazate în regim sinusoidal

Până acum am studiat circuitele de curent

alternativ în care tensiunea de alimentare era sinusoidală, de forma:

)sin(2)( 0ϕω +⋅⋅= tUtu 2.001

Aceste circuite le regăsim în aplicaţiile curente “ casnice” curentul numindu-se monofazat şi rezultând întotdeauna ca o fază a sistemului trifazat.

Acesta din urmă a fost introdus pentru prima data de Dobrovolski şi este utilizat în exclusivitate la construirea generatoarelor electrice şi alimentarea consumatorilor industriali. Consumatorii “ casnici” monofazaţi utilizează întotdeauna tensiunea unei faze a sistemului trifazat.

2.1 Surse de tensiune electromotoare simetrice trifazate

Ca surse în circuite de curent alternativ

se utilizeaza generatoarele trifazate sincrone sau asincrone. În sistemul energetic naţional şi global se utilizează în exclusivitate generatoarele sincrone, cele asincrone putându-se utiliza în grupurile electrogene autonome.

Un sistem trifazat se caracterizează prin aceea că cele trei tensiuni componente sunt de forma:

tUu me ωsin11 = 2.002

−⋅=

32sin22π

ω tUu me 2.003

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

http://www.pdffactory.com

ELE-01-C01

53

+⋅=

−⋅=

32sin

34sin 333

πω

πω tUtUu mme 2.004

Se observă că tensiunile sunt defazate

între ele cu un unghi electric egal cu 3

2π , iar în timp cu un interval t∆ dat de relaţia:

t∆⋅=∆ ωϕ 2.005

312

32

T

T

t =⋅

=∆

=∆π

π

ωϕ

2.006

Prin urmare expresiile tensiunilor compo-

nente ale sistemului trifazat pot fi scrise şi sub forma:

tUtu me ⋅⋅= ωsin)( 11 2.007

−⋅⋅=

3sin)( 22

TtUtu me ω 2.008

+⋅⋅=

⋅

−⋅⋅=3

sin3

2sin)( 333TtUTtUtu mme ωω 2.009

În cazul în care:

mmmm UUUU === 321 2.010 sistemul trifazat de tensiuni se numeşte

simetric. Aceasta este situaţia întâlnită în practică şi utilizată la alimentarea consuma-torilor, motiv pentru care scriem sistemul trifazat sub forma:

tUu me ⋅⋅= ωsin1 2.011



ELE-01-C01

54

−⋅⋅=

32sin2π

ω tUu me 2.012

+⋅⋅=

−⋅⋅=

32sin

34sin3

πω

πω tUtUu mme 2.013

Principiul producerii unui sistem de ten-

siuni trifazat este acelaşi cu cel al tensiunii electromotoare monofazate şi anume rotirea unei

spire într-un câmp magnetic omogen. Fiind vorba de trei tensiuni, evident vor exista trei înfăşurări, ca în figura 2.01. Rotirea spirelor se efectuează cu viteza unghiulară constantă ω core-lată cantitativ cu pulsaţia tensiunii obţinute. Din raţiuni teh-nice şi tehnolo-

gice un generator sincron este astfel realizat încât câmpul magnetic este cel ce roteşte, spirele în care se induce t.e.m trifazate fiind fixe aşa cum rezultă şi din figură. 1, 2 şi 3 sunt cele trei bobine în care vor lua naştere cele trei tensiuni componente ale sistemului trifazat. Ele sunt egal decalate spaţial în structura statorului. Lăţimea unei bobine va fi întotdeauna egală cu arcul corespunzător unui unghi electric egal cu π.

Rotorul are patru poli, adică două perechi de poli. În cazul existenţei unei singure perechi de poli unghiul geometric al circumfe-rinţei este egal cu unghiul electric. În caz contrar unghiul electric este dat de relaţia:

Se p αα ⋅= 2.014

fig.2.01

1

13

3 2

2

SS

N

N



ELE-01-C01

55

=Sα unghiul în spaţiu Când rotorul se roteşte în spaţiul

delimitat de bobinele statorului, în ele se induc trei tensiuni electromotoare sinusoidale egale în modul şi decalate cu

32π între ele.

Dacă desfăşurăm statorul la suprafaţa sa inte-rioară, variaţia inducţiei electromagnetice are forma din figura 2.02.

Prin urmare dacă se doreşte obţinerea unei tensiuni sinusoidale cu frecvenţa f, aceasta va fi dată de relaţia:

60npf ⋅

=

2.015

unde: p = numărul de perechi de poli ai rotorului n = turaţia rotorului (rot/min)

Diagrama fazorială a tensiunilor induse în generator este de forma: iar expresiile analitice care le descriu sunt:

tUu mg ωsin1 = 2.016

/2π

π 2π3 /2π

0

π3π

B

sα

eα

fig.2.02

fig.2.03

ug1

ug3ug2

ω



ELE-01-C01

56

−=

32sin2π

ωtUu mg 2.017

−⋅=

34sin3π

ωtUu mg 2.018

Se observă că:

0321 =++ ggg uuu 2.019 ceea ce constituie o proprietate fundamen-tală a generatorului trifazat. Înfăşurările generatorului trifazat se reprezintă schematic ca în figura 2.04.

2.2 Circuite trifazate în conexiune stea

Să considerăm circuitul trifazat din fi-gura 2.05. Generatorul se află în conexiune stea dacă capetele X, Y, Z ale înfăşurărilor sunt conectate împreună în punctul O. Consumatorul se găseşte în conexiune stea dacă se prezintă ca in figură, adică sub forma a trei impedanţe r1L1, r2L2, r3L3, conectate caîn figură. Se poate scrie că:

0'

01

111111 )( VVdtdiLLiririru LgLgg −+⋅+++⋅+⋅+⋅= λ

2.020

0

'0

22222 )()( VV

dtdiLLirrru LgLgg −+⋅+++⋅++= λ

2.021

0'

03

3333 )()( VVdtdiLLirrru LgLgg −+⋅+++⋅++= λ

2.022

dtdiLLirrVV LL

4444

'0 )()( ⋅++⋅+=−

2.023

04321 =+++ iiii 2.024

fig.2.04

T

R

S Z

Y

X



ELE-01-C01

57

Se observă că această conexiune stea este

prevăzută şi cu conductorul neutru (de nul) care uneşte punctele neutre (comune) ale gene-ratorului şi consumatorului. Cu notaţiile:

'iiLg LLL =++λ 2.025

'iiLg rrrr =++ 2.026

se obţine:

1'

11'

11'

00 irdtdiLuVV g ⋅=⋅−+−

2.027

2'

22'

22'


2.028

3'

33'

33'


2.029

dtdiLirVV L

444

'00 ⋅+⋅=−

2.030

04321 =+++ iiii 2.031

Dar:

321 ggg uuu == 2.032 Dacă consumatorul este simetric, adică:

T

R

S

O O,

rg λg

Ug1

Ug3

Ug2 r4, L4

rL, LL i1

i4

i3i2

r1, L1

r2, L2 r3, L3

fig.2.05



ELE-01-C01

58

rrrr === 321 ''

3'

2'

1 rrrr === 2.033 LLLL === 321

''3

'2

'1 LLLL === 2.034

adunând membru cu membru primele trei relaţii se obţine:

)()()(3 321'

321''

00 iiiriiidtdLVV ++⋅=++⋅−−⋅

2.035

dtdiLirVV 4

444'

0 ⋅+=−

2.036

)( 3214 iiii ++−= 2.037

+++++++++⋅= )(3)()(0 3214321'

321' iiiriiiriii

dtdL

)(3 3214 iii

dtdL ++⋅+

2.038

adică:

)()3()()3(0 3214'

3214' iiirriii

dtdLL ++⋅⋅++++⋅⋅+=

2.039

relaţie despre care se poate arăta că, este satisfăcută numai dacă:

0321 =++ iii 2.040 adică:

04 =i şi 0'

0 VV = 2.041 Prin urmare, dacă consumatorul este simetric, cei trei curenţi reprezintă funcţii sinusoidale de timp defazate între ele cu

32π ,fiind descrise

analitic de relaţii de forma:

( )ϕω −⋅= tIi m sin1 2.042



ELE-01-C01

59

−−⋅=

32sin2π

ϕωtIi m 2.043

−−⋅=

34sin 03π

ϕωtIi m 2.044

Generatorul fiind simetric şi consumatorul

de asemenea se constată că prin conductorul neutru nu circulă curent, prin urmare el poate lipsi. Chiar şi în lipsa acestui conductor, se poate scrie:

;1

1

11 Z

UZ

UI gg == 2.045

Z

U

ZU

I gg 2

2

22 == 2.046

ZU

ZU

I gg 3

3

33 == 2.047

Însă această situaţie a consumatorului

trifazat echilibrat este ideală şi deci ipotetică. Fiind utilizată şi la iluminat, reţeaua trifazată va fi în permanenţă dezechilibrată, deci dacă se doreşte să se aplice consumatorilor fiecarei faze aceeaşi tensiune, trebuie să existe conductorul neutru care să preia curentul:

( )3214 iiii ++−= 2.048

adică:

3214 IIII ++= 2.049 2.2.1 Circuit de utilizare, în conexiune stea

Să considerăm circuitul de utilizare din

figura 2.06 cu conductor de nul, neechilibrat:



ELE-01-C01

60

Conform teoremelor lui Kirchoff se poate scrie:

11101 ZIUVV ⋅==− 2.050

22202 ZIUVV ⋅==− 2.051 33303 ZIUVV ⋅==− 2.052 44404 ZIUVV ⋅==− 2.053

04321 =+++ IIII 2.054 dar întrucât:

1

0

1

11 Z

VZVI −=

2. 055

2

0

2

22 Z

VZVI −=

2.056

3

0

3

33 Z

VZVI −=

2.057

4

0

4

44 Z

VZVI −=

2.058 rezultă:

4

0

3

0

2

0

1

0

4

4

3

3

2

2

1

1

ZV

ZV

ZV

ZV

ZV

ZV

ZV

ZV

+++=+++ 2.059 sau

∑

∑

=

== 4

1

4

10 1

i i

i i

i

Z

ZV

V

2.060

Adică, potenţialul nulului consumatorului

în cazul în care 4Z nu este nulă se stabileşte conform cu încărcările celor trei faze, (ten-siunile celor trei faze la consumator fiind

V0

i1

i4

i3Z3

fig.2.06

V1

V2

V4

V3

Z1

Z2

i2



ELE-01-C01

61

inegale), adică:

321 UUU ≠≠ 2.061 2.2.2 Mărimi specifice ale circuitelor trifazate în conexiune stea

În cazul conexiunii stea definim şi uti-

lizăm câteva mărimi specifice şi anume: 1. Tensiuni de fază ale generatorului sunt

mărimile:

111, eggf uuu ≅= 2.062 222, eggf uuu ≅= 2.063 333, eggf uuu ≅= 2.064

2. Tensiunile de fază ale consumatorului (receptorului), conform schemei şi notaţiilor din figura 2.07 sunt:

0111

'0

'11 UUZIVVU ef +=⋅=−= 2.065

0222'

0'

22 UUZIVVU ef +=⋅=−= 2.066

0333'

0'

33 UUZIVVU ef +=⋅=−= 2.067 unde:

O O,

Ue1

Ue3

Ue2

fig.2.07

U1

U3U2

Z0

U1

,

U2

,

U3

,

Z1

Z2

Z3



ELE-01-C01

62

'000 VVU −= 2.068

3. Tensiunile de linie sunt tensiunile dintre două conductoare de fază. Ele se definesc prin relaţiile:

2121020121122,1 )()( ggeeL UUUUVVVVVVUU −≅−=−−−=−== 2.069

323232233,2 ggeeL UUUUVVUU −=−=−== 2.070 131313311,3 ggeeL UUUUVVUU −=−=−== 2.071

Să vedem relaţiile dintre tensiunile de fază şi tensiunile de linie. Se observă că:

++=⋅⋅⋅−+= 2

221

021

22

21

212 120cos2 gggggg UUUUUUU

212 21 ⋅⋅⋅+ gg UU

2.072 dar:

fgg UUU == 21 2.073 adică :

2212 3 fUU ⋅= respectiv:

fL UUU ⋅== 312 2.074 În mod curent, la utilizările casnice şi

industriale:

VUVU Lf 380220 =⇒= 2.075 aşa cum rezultă şi din figura 2.08.

4. Tensiunea conductorului de nul, calcu-lată conform relaţiei 2.60 este:

fig.2.08u23

ug1

ug3ug2

u12 u31



ELE-01-C01

63

04

1

4

14

1

4

10 1

VY

YV

Z

ZU

V

ii

iii

i i

i i

i

=⋅

==

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

2.076

5. Curenţii de fază sunt daţi de rela-

ţiile:

1

11 Z

UI = 2

22 Z

UI = 3

33 Z

UI = 2.077

2.3 Circuite trifazate în conexiune triunghi

În general modul de conexiuni triunghi se

referă la consumator, sursa fiind dată şi asupra ei neputându-se de regulă interveni. Un circuit în conexiune triunghi are forma din figura 2.09.

Se observă că: - curenţii de linie diferă de curenţii de fază - consumatorul trifazat în conexiune triunghi nu are punct de nul. Scriind prima teoremă a lui Kirchoff în punctele 1,2 şi 3 se obţine:

12311 III =+ 2.078 23122 III =+ 2.079 31233 III =+ 2.080

adică:

fig.2.09

i1

i3

Z3

V1

V2

V3

Z12

Z23i2

Z31

Z23

1

32



ELE-01-C01

64

31121 III −= 2.081 12232 III −= 2.082 23313 III −= 2.083

Adunând membru cu membru rela-ţiile de mai sus se obţine:

0321 =++ III 2.084 Adică întotdeauna suma curenţilor de linie

în cazul unui consumator trifazat în conexiune triunghi este nulă. Diagrama fazorială a curenţilor de linie şi de fază este prezentată în figura 2.10.

În ceea ce priveşte relaţia există între valorile efective ale curenţilor de linie şi de fază este interesant cazul sistemului echilibrat:

312312 ZZZ == 2.085 312312 UUU == 2.086

unde: 211 VVU −= 2.087 322 VVU −= 2.088 133 VVU −= 2.089

Curenţii de fază vor fi:

121212

1Z

UI ⋅=

2.090

23

2323 Z

UI =

2.091

fig.2.10

I12

I31

I23

I2I1

I3



ELE-01-C01

65

31

3131 Z

UI =

2.092 din relaţiile de mai sus rezultând:

312312 III == 2.093

Diagrama fazorială a curenţilor va fi de forma:

1I , 2I şi 3I sunt egali în modul şi defazaţi cu 1200. Valoarea efectivă a unui curent de linie va fi:

03112

231

2121 120cos2 ⋅⋅++= IIIII 2.094

dar:

fIIII === 312312 2.095 LfLi IIII ===⇒ 3 2.096

2.4 Puteri în circuitele electrice trifazate

Ca şi în cazul circuitelor monofazate şi

în cazul circuitelor trifazate se definesc: - puterea momentană - puterea activă - puterea reactivă - puterea aparentă Puterea momentană schimbată de un receptor

trifazat (în conexiune Y sau ∆) va fi prin definiţie egal cu suma puterilor schimbate de segmentele de circuit, adică:

321 pppp ++= 2.097

Să considerăm cele două tipuri de cone-xiuni.

fig.2.11

I12

I31 I23

I2I1

I3



ELE-01-C01

66

În cazul conexiunii stea puterea momentană este:

332211 iuiuiup ⋅+⋅+⋅= 2.098 unde: u1, u2, u3 – sunt ten-siunile de fază ale genera-torului (cele ale recepto-rului nu e sigur că pot fi măsurate dacă lipseşte con-

ductorul de de nul). i1, i2, i3 – sunt curenţi de fază.

Dar:

0321 =++ iii 2.099 312 iii −−= 2.100

=−+−=⋅+−−+⋅= 3231213332211 )()()()( iuuiuuiuiiuiutp

332112 iuiu ⋅+⋅= 2.101 În cazul conexiunii triunghi:

313123231212 iuiuiup ⋅+⋅+⋅= 2.102 dar: 0312312 =++ uuu 2.103

31121 iii −= 2.104 12232 iii −= 2.105 23313 iii −= 2.106

=−+−=+−⋅+⋅= )()()()( 31232331121223123123231212 iiuiiuuuiiuiutp

piuiuiuiu =⋅+⋅=⋅−⋅= 332112323112 2.107 Din relaţiile 2.101 şi 2.107 se observă

I1

I3Z3

fig.2.12

U1

U2 U3

Z1

Z2

I2



ELE-01-C01

67

că, puterea instantanee schimbată de un consu-mator trifazat cu sursa are aceeaşi expresie, indiferent de modul de conectare. Prin urmare consumatotul trifazat fiind reprezentat sub forma unei “ cutii negre “ cu trei borne, ca în figură, ea schimbă cu sursa o putere instantanee date de relaţia:

332112 iuiup ⋅+⋅= 2.108 toate mărimile din relaţie fiind determinabile prin măsu-rări în exteriorul consumato-rului.

b. Puterea activă s-a definit în curent alternativ monofazat ca fiind valoarea medie pe o perioadă a puterii momentane. Şi în curent alternativ trifazat ea se defineşte similar şi este:

∫ ∫ ⋅+⋅=⋅+⋅+⋅=T T

dtiuiuT

dtiuiuiuT

p0 0

332112332211 )(1)(1λ 2.109

∫ ∫ ⋅+⋅=⋅+⋅+⋅=∆

T T

dtiuiuT

dtiuiuiuT

p0 0

332112313123231212 )(1)(1 2.110

S-a arătat însă că :

∫ ⋅⋅=⋅T

tt IUdtiu0

)()( cosϕ

2.111

unde:

U = valoarea efectivă a lui u(t) I = valoarea efectivă a lui i(t) ϕ = defazajul dintre ele.

=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= )ˆ,ˆcos()ˆ,ˆcos()ˆ,ˆcos( 333322221111 IUIUIUIUIUIUpλ

fig.2.13

I1

I3

I12

I2Z3

Z12

Z23

Z31

Z23

1

3

2

I23

I31

fig.2.14

I1

I3

I2

U12U31

U23

Consumatortrifazat

sau



ELE-01-C01

68

)ˆ,ˆcos()ˆ,ˆcos( 332332112112 IUIUIUIU ⋅⋅+⋅⋅= 2.112 +⋅⋅+⋅⋅=∆ )ˆ,ˆcos()ˆ,ˆcos( 2323232312121212 IUIUIUIUp

=⋅⋅+ )ˆ,ˆcos( 31313131 IUIU )ˆ,ˆcos()ˆ,ˆcos( 332332112112 IUIUIUIU ⋅⋅+⋅⋅= 2.113

Este interesantă particularizarea relaţiilor 2.112 şi 2.113 în două cazuri şi anume:

- receptor echilibrat în conexiune stea caz în care:

3321f

f

UUUUU ====

2.114

Lf IIIII ==== 321 2.115

)ˆ,ˆcos(3)ˆ,ˆcos(3 LLLLffff IUIUIUIUP ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= 2.116

- receptor echilibrat în conexiune

triunghi

fL UUUUU ==== 312312 2.117 fIIII === 312312 2.118

)ˆ,ˆcos()ˆ,ˆcos( LLff IUIU = 2.119

S-a arătat însă că în cazul acestei conexiuni:

3⋅= fL II 2.120

3L

fII =

2.121

=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= )ˆ,ˆcos(3

3)ˆ,ˆcos(3 LLL

Lffff IUIUIUIUP

)ˆ,ˆcos(3 LLLL IUIU ⋅⋅⋅=

2.122

c. Puterea reactivă



ELE-01-C01

69

Prin analogie cu puterea reactivă în cazul circuitului monofazat şi la cele trifazate se defineşte puterea reactivă conform relaţiilor: )ˆ,ˆ(sin)ˆ,ˆsin()ˆ,ˆsin( 333322221111 IUIUIUIUIUIUQ ⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=λ 2.123

+⋅⋅+⋅⋅=∆ )ˆ,ˆsin()ˆ,ˆsin( 2323232312121212 IUIUIUIUQ)ˆ,ˆsin( 31313131 IUIU ⋅⋅+ 2.124

În cazul conexiunii stea echilibrate, avem:

3321L

fUUUUU ====

2.125

Lf IIIII ==== 321 2.126

)ˆ,ˆsin(3 ffff IUIUQ ⋅⋅⋅= 2.127

ϕsin3 ⋅⋅⋅= LL IUQ 2.128

unde:

)ˆ,ˆ( ff IU=ϕ 2.129 În cazul conexiunii triunghi echilibrat, avem:

Lf UUUUU ==== 312312 2.130

3312312L

fIIIII ====

2.131

)ˆ,ˆsin(3 ffff IUIUQ ⋅⋅⋅= 2.132

ϕsin3 ⋅⋅= LL IUQ 2.133



ELE-01-C01

70

unde:

)ˆ,ˆ( ff IU=ϕ 2.134 d. Puterea aparentă

Ca şi în cazul curentului alternativ monofazat şi în cazul curentului alternativ trifazat, puterea aparentă, este dată de relaţiile:

22 QPS += 2.135 LLff IUIUS ⋅⋅=⋅⋅= 33 2.136

pentru ambele tipuri de conexiune.

Teste de verificare 2 1. Scrieţi expresiile a trei tensiuni sinusoi-dale care formează un sistem trifazat simetric.

2. Desenaţi construcţia schematică a unui gene-rator trifazat. Care este simbolul utilizat pentru reprezentarea sa?

3. Desenaţi un consumator trifazat în conexiune stea. Precizaţi mărimile caracteristice ale acestei conexiuni?

4. Desenaţi un consumator trifazat în conexiune triunghi. Precizaţi mărimile caracteristice ale acestei conexiuni?

5. Din punctul de vedere al puterii instantanee consumate există diferenţe între cazul consu-matorului în stea şi cel al consumatorului în triunghi?

6. Definiţi puterile activă, reactivă şi aparentă în conexiunea stea.

7. Definiţi puterile activă, reactivă şi aparentă în conexiunea triunghi.



ELE-01-C01 Capitolul 2 - electrokoles.home.ro web/05_Cap02-95.pdf · Ca surse în circuite de...

Documents

Transcript of ELE-01-C01 Capitolul 2 - electrokoles.home.ro web/05_Cap02-95.pdf · Ca surse în circuite de...