EL DESAFÍO 53. BILLA ÁUREO.

Disponemos de en billar de “ϕ” de radio, a 1 de distancia de la banda está situada

una bola, después de darle impulso rebota 2 veces en la banda y vuelve a su posición

inicial. ¿Cuál es su recorrido? ¿Y si en vez de rebotar 2 veces rebota 3?

La pregunta he de admitir que no es muy precisa, no se pide expresamente distancia,

ángulos, ni puntos… es posible que rápidamente se vea su respuesta, pero para poder

discutir entre nosotros se valora el como se llega a la ella, o una justificación, o mejor

una demostración.

Saludos

Sebas

SOLUCIÓN.

Con 2 rebotes.

Posibilidad 1. Recorrido de la bola: A -> P -> Q -> A. Distancia recorrida = 4 * φ ≈ 6,47

Posibilidad 2. Recorrido de la bola: A -> B -> C -> A. Distancia recorrida ≈ 6,88

Con 3 rebotes.

Posibilidad 1. Recorrido de la bola: A -> P -> Q -> P -> A. Distancia recorrida ≈ 2+4φ ≈ 14,94

Posibilidad 2. Recorrido de la bola: A -> B -> C -> D -> A. Distancia recorrida ≈ 9,52

Los 2 dibujos juntos. Con 2 rebotes: A -> G -> H -> A y con 3 rebotes: A -> B -> C -> D -> A

Nos queda el dibujo de un pentagrama.

(http://es.wikipedia.org/wiki/Pentagrama_%28geometr%C3%ADa%29 )

Para convencernos de que con las condiciones del enunciado se forma un pentagrama,

tendríamos que ver por ejemplo que en cualquier pentragrama como el del dibujo anterior la

distancia x = AP coincide con el cociente entre el radio de la circunferencia y el número áureo.

x = R / φ

Así, como en nuestro caso R = φ, queda que x = 1, que es la condición del enunciado.

Aunque seguro que habrá una forma geométrica más bonita , de momento lo he visto por

trigonometría… Sabemos el valor de todos los ángulos

ABP es isósceles. A=54 B=54 P=72 , x = AP = BP

OBP es isósceles. O=36 P=72 B=72, R= OB = OP

sen 36 = h / R -> h = R sen 36

sen 72 = h / x -> x = h / sen 72 = (Rsen36) / sen72 = R / φ

(porque sen72/sen36 vale φ )

Y si no queremos usar senos y cosenos …

Por ejemplo en la wikipedia está explicado que la relación entre muchos segmentos del

pentagrama vale φ.

La relación que no está y es la que nos hace falta para el problema es que también

φ = R / (R-r) , con R= radido circunferencia grande ; r= radio circunferencia pequeña

Y esto por ejemplo se puede ver por la semejanza de los triángulos OJD e IAD, y usando la

relación anterior verde/azul. (φ = verde/azul = JD / AD = OD / ID = R / (R-r) )

En nuestro caso concreto R=φ y (R-r) = x = 1.

CASO GENERAL 2 REBOTES:

Si tenemos una circunferencia de radio R y un punto cualquiera A=(a,0), 0<a<R.

Se puede ver por semejanza de triángulos que se forma siempre un triángulo isósceles ABC.

El triángulo OBC es isósceles porque tiene 2 lados iguales OB=OC =R, y por tanto sus 2 ángulos

B y C de este triángulo OBC son iguales (= β). Y como B y C son puntos de rebote de la bola

también valen β los otros 2 ángulos así marcados en el dibujo.

En el triángulo ABC, como B es punto de rebote OB es la bisectriz del ángulo B, y como C es

punto de rebote OC es la bisectriz del ángulo C. Y como las 3 bisectrices de un triángulo se

encuentran en un punto, OA tiene que ser la bisectriz de A. Y por eso en el dibujo ponemos

iguales los 2 ángulos α.

Los triángulos OAB y OAC son iguales porque tienen sus 3 ángulos iguales (como tienen 2

iguales han de tener los 3) y tienen igual el lado OA. (También OC=OB=R).

Así que también AB = AC, y por tanto ABC es isósceles. Y α + 2 β = 90.

Si A=(a,0) y B=(-b,raiz(R2-b

2)), he intentado obtener “b” en función de “a” pero es un lío. Al

final me queda que b = [ raiz( R2(8 a

2 + R

2) ) - R

2 ] / 4 a