Noise in amplificatori con feedback

Ampl. a due stadi con feedback

Per un ampl. a due stadi con fdbk A1 e A2 con contributi di noise E1, E2, E3 e E4 si esprime l’output in funzione dell’input come

€

Vo = E 4 + A2[E 3 + A1(E 2 +Vin + E1 −βVo)]

con il guadagno di loop, (

€

1+ A1A2β ), in evidenza

€

Vo =A1A2

1+ A1A2β(Vin + E1 + E2) +

A2E 3

1+ A1A2β+

E4

1+ A1A2β

Ora per un ampl. a due stadi A1 e A’2 open loop la Vo sara’

espressione simile a quella con fdbk €

Vo = A1A2' (Vin + E1 + E 2 ) + A2

' E 3 + E 4

Si impone: guadagno loop chiuso = guadagno a loop aperto.per cui si mette

€

A2' = A2 / (1+ A1A2β)

e per il loop aperto si ottiene

€

Vo =A1A2

1+ A1A2β(Vin + E1 + E 2) +

A2E 3

1+ A1A2β+ E 4

si nota :

- il feedback non migliora per noise iniettato all’ingresso degli ampl.- il noise iniettato all’output del blocco ampl. e’ attenuato dal feedback - il noise indotto da elementi di carico avra’ o no effetto su Ein

Conclusione:nei casi in cu il noise e’ introdotto agli input degli amplificatori o nel loopdi fdbk, il fdbk non apporta nessun miglioramento.

Modello di noise per ampl. differenziale

OpAmp differenziale e’ usato estesamente e puo’ essere configurato con o senza fdbk; ogni modello OpAmp con sorgenti di noise deve tener conto delle varie configurazioni nella descrizione.

Modello di noise base di OpAmpespanso per differenziale

En1 e In1 = contributo noise del ampl. al terminale invertenteEn2 e In2 = contributo noise del ampl. al terminale non invertente

Tutte le tensioni di input ed output sono riferite a una terra comune.

Nel modello generale le quattro sorgenti En-In saranno ridottealle solite due En-In nella implemetazione delle singole configurazioni.

Configurazione tipica di OpAmp differenzialecon Vin1 e Vin2 input e Vn e Vp inputai terminali positivo e negativo.

circuito ridotto

La Vo e’ funzione di Vin1 e Vin2

€

Vo =R4

R3 + R4

R2 + R1

R1

Vin 2 −

R2

R1

Vin1

In un OpAmp diff. ideale i coefficienti di Vin1 e Vin2sono uguali e di segno opposto, quindi R1R4=R2R3, si ha cosi’

€

Vo = (R2 /R1)(Vin 2 −Vin1)

€

Rp = R3 ||R4 e Vin2' = (R4Vin2 ) / (R3 + R4 )

Per l’analisi del rumore nell’Ampl differenziale, convienepassare al circuito ridotto ( Thevenin) al terminale non invertentecon la sostituzione

Si inseriscono le sorgenti di tensione e correnti di noise, sia dell’Ampl che dei resistori

per il calcolo del noise, conviene sostituire le sorgenti dinoise con sorgenti scorrelate e indipendenti di segnaleper non lavorare con quantita’ quadratiche es. rms

Per semplificare si ipotizza il guadagno open-loop del Ampl. finito

Polarita’ dei 7 segnali arbitrarie

Analizzando il circuito cosi’ definito si hanno 4 relazioni

Combinando e semplificando si ottiene la relazione seguente

€

Vo =1A

+R1

R1 + R2

=Vin2

' −Vin1 +V2 −V1 + Vtp −Vt1 + RpI2

+ R1

R1 + R2

(Vin1 + Vt1 −Vt 2 − I1R2)

con si ottiene

€

A→∞

I coefficienti di ciascun termine rappresentanoil guadagno di tensione all’output Vo

€

Vo = A(Vp −Vn )

Vp =Vin2' + RpI2 +Vtp + V2

Vn = Vin1 − R1Iin +Vt1 +V1

Vin1− R1Iin + Vt1 =Vo +Vt2 + R2(Iin + I1)

€

V0 = 1+R2

R1

(Vin 2

' +V2 +Vtp + I2Rp −V1)

− R2

R1

(Vin1 +Vt1)−Vt 2 − I1R2

Si sostituiscono ora le sorgenti di tensione e corrente con le corrispondenti sorgenti di noise. Il guadagno e’ lo stesso sia per le sorgenti di segnale che di noise nelle stesse posizioni nel circuito.Si riscrive l’espressione di Vo come il quadrato della tensione di noise equivalente di output E2no cui contribuisce ciascuna sorgente di noise.

€

Eno2 = 1+

R2

R1

(En2

2 + Etp2 + In2

2 Rp2 + En1

2 )

+R2

R1

2

(Et12 ) + Et 2

2 + In12 R2

2

L’equazine mostra come ogni sorgente di noise contribuisce al noise totale quadraticamente. Precisamente, entrambe le tensioni di noise equivalenti di input e di Rp sono riportati in uscita dal quadrato del guadagno non invertente; cosi’ come la corrente di noise positiva flusce attraverso R Rp e viene riportata all’output con guadagno (1+R2 /R1)2. Sul terminale invertente, il noise da R1 e’ portato in output dal quadrato del guadagno invertente( R2/R1 ) e cosi’ la corrente d noise attraverso R2 , mentre il contributo da Rp appare direttamnete all’output.

Per determinare Eni bisogna definire a quale terminale riferirsi.

Solo nel caso

€

R2 /R1 = R4 / R3 il guadagno differenziale per entrambi i terminali e’

€

±R 2 /R1

Kt=guadagno del sistema

si ottiene

€

Eni12 = 1+

R1

R2

2

(En 22 + Etp

2 + En12 ) + R1

2It 22 + Et1

2 + R12In1

2 + Rp2In 2

2 1+R1

R2

2

con

€

R12It2

2 = R12 Et2

2

R22

per il terminale invertente

se R1<<R2 la eq. si semplifica, ed ogni contributodi noise compare all’input direttamente,

analogamente si scrive una eq. simile per il terminale non-invertenteche nel caso di ampl. differenziale ideale e’ UGUALE all’invertente.

€

Kt1 = −R2 /R1; Kt 2 = R2 /R1; Kt12 =Kt2

2 =Kt2

e quindi se

il noise equivalente all’input

€

Eni12 = Eni2

2 = Eni2 = Eno

2 /Kt2

Regola generale: uno stadio differenziale bilanciato con transistoriidentici e correnti di bias uguali deve essere generalmente usato come primo stadio di un op amp; in questo modo En1=En2.

€

En2 = Eni1

2 + Eni22 ; Eni = En / 2

Nei casi pratici, nella configurazione invertente, si usa il valore indicatonei data sheet En come una singola sorgente di noise di tensione e la si incorpora nel circuito

€

Eno2 = (1+ R2 /R1)2En

2 + R22In

2

Il contributo al noise di output delsolo noise dell’Ampl. sara’

indipendentemente per inverting o non inverting.

La noise resistance Ro si ha per uguale contributo al noise di output da parte delle sorgenti En e In .

€

Ro = En / In = R1R2 / (R1 + R2 ) = R1 ||R2

N.B. Se R1 < Ro , domina En, per R1 > Ro domina In

Un modo per misurare In e’ quello di usare il seguente circuito, pero’poco adatto nel caso di ampl. a very low noise, causa pick up.

Step 1. i due interruttori chiusi, in corto, si msura Eno. Poiche’ R1 e’ omessa(infinita), il noise misurato in output sara’ solo En.

Step 2. I apre R2 e si rimisura Eno, i contributi a Eno arrivano da En, In1R2 e Et2. Si calcola In1, tutto il resto noto.

N.B. quando si misura In il source “resistor” R1 deve essere il piu’ grande possibile, in modoche il termine (In1R1)2 sia dominante.

Step 3 Si aprono tutti gli interruttori e si rimisura Eno. Contributo aggiunto e’ il Th-noise di Rp ( calcolabile)e In2Rp , da cui si calcola In2.

Feedback Negativo InvertenteQuesta configurazione e’ la piu’ usata, si ottiene dal modello generico, mettendo terra il terminale + e sostituendo R1 con Rs. Tutte le sorgenti di noise sono ora riportate all’input Vn1.

Con

€

It 2 = Et 2 /R2 e ricordando che dai data sheet si ha

€

En = (En12 + En2

2 ) e In = In1 = In2

La espressione si semplifica

Si vuole arrivare ad una espressione simile a quella generale dell’ampl.con solo tre termini.

€

Eni12 = 1+

R1

R2

2

(En 22 + Etp

2 + En12 ) + R1

2It 22 + Et1

2 + R12In1

2 + Rp2In 2

2 1+R1

R2

2

€

Eni2 = Eni1

2 = Ets2 + In

2Rs2 + 1+

Rs

R2

2

(En2 + Etp

2 + In 22 Rp

2) + It22 Rs

2

Si ridefinisce il termine di tensione di noise equivalente dell’ampl.

€

Ena2 = 1+

RsR2

2

(En2 + Etp

2 + In22 Rp

2) + It 22 Rs

2

Il noise equvalente di input per ampl. in configurazione invertente diventa

€

Eni2 = Ets

2 + Ena2 + In

2Rs2

Tutto il noise dovuto a R2, Rp e il noise En dell’ampl e’ contenuto in Ena.Il resistore Rp spesso e’ omesso, specie se il primo stadio e’ un MOSperche’ serve solo a eliminare l’offset di tensione della corrente di bias.Se Guadagno alto, R2 >>Rs, quindi R2>>Rs>>Rp per cui il noise equivalentedi input di un apl. con feedback invertente diventa

€

Eni2 = Ets

2 + En2 + (In

2 + It 22 )Rs

2 R2 in || con input !

Feedback negativo Non_Invertente

Il circuito con tutte le sorgenti di noise per ampl. in conf. noninvertentesi ottiene dal modello generale cortocircuitando la Vin1 a terra e applicando il segnale di input direttamente a V’in2

€

Eno2 = 1+

R2

R1

(En1

2 + En22 + In2

2 Rs2 + En2

2 )

+R2

R1

2

(Et12 ) + Et2

2 + In12 R2

2

Si semplifica con

€

En2 = En1

2 + En22 , e si inverte all’input dividendo per

€

(1+ R2 /R1)2 e si ottiene l’espressione

Si vuole una espressione che inglobi i contributi di tensione non dipendenti dalla sorgente.€

Eni2 = Ets

2 + En2 +

R1

R1 + R2

2

Et22 +

R2

R1 + R2

2

Et12 + In1

2 (R1 ||R2)2 + In 2

2 Rs2

In condizioni per cui In=In1=In2, si puo’ definire una nuova sorgente di noise equivalente dell’ampl.

per cui il noise equivalente riportato all’input vale

€

Eni2 = Ets

2 + Enb2 + In

2Rs2

Notare che tutti i noise dovuti ai resistori di fdbk e il noise dll’ampl sono contenuti nella sorgente di noise equivalente Enb.

Se Guadagno grande>30, il termine con Et2 diventa trascurabile e Enb dipende solo da En, e dai contributi di Et1 e dalla corrente In che fluisce in R1, che risulta cosi’ in serie al resistore sorgente sia come sorgente di noise termico che conduttoreattraverso cui la In scorre.

€

Enb2 = En

2 +R1

R1 + R2

2

Et 22 +

R2

R1 + R2

2

Et12 + In1

2 (R1 ||R2)2

Feedback Positivo

I concetti e tecniche di analisi adottati nel caso di ampl. con fdbk negativo sono gli tessi dottati per il caso di fdbk positivo, in quanto il fdbk e’ inglobato nel circuito.

Il noise si manifesta allo steso modo nei circuiti ampl. a fdbk positivo come in quelli a fdbk negativo.

Il fdbk agisce sul segnale e sul noise all’input dell’ampl. allo stesso modoe quindi, anche per i circuiti con fdbk positivo, e’ necessario avereun basso noise equivalente all’input.

Il fdbk positivo si trova in molti circuiti e sistemi, sia di proposito come negli oscillatori, sia o accidentalmente come ascillazioni instabili.

Sommario

a)Il fdbk non puo’ essere usato per ridurre il noise equivalente di input di un circuito Op Amp.

b) le quattro sorgenti di noise dell’ op amp in un amplificatore differenziale come tutte le sorgenti di noise dei resistori possono essere trattate come sorgenti di segnale per determinare i loro effetti sul noise totale.

c) In generale il noise equivalente di input, riportato ai due input dell’op amp con fdbk sara’ diverso solo perche’ il guadagno in tensione deidelle due configurazioni e’ differente.

d) Il noise nei circuiti e sistemi che hanno fdbk positivo e’ determinato allo stesso modo che per i circuiti con noise negativo.