EΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΤΑΤΙΚΗΣ V

ΠΛΑΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒ∆ΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ

ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΜΕΘΟ∆ΟΙ

(Μέρος ΙΙ)

Μ. Παπαδρακάκης Καθηγητής ΕΜΠ

ΑΘΗΝΑ 2003

i

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

7. ΣΧΕ∆ΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΣΕ ΣΕΙΣΜΙΚΑ ΦΟΡΤΙA.....................................................................................1

7.1 Γενικές αρχές και παραδοχές αντισεισµικού σχεδιασµού µε «ισοδύναµη» στατική ελαστική ανάλυση. .............................................. 1 7.2 Μέθοδοι αντισεισµικού σχεδιασµού µε την «ισοδύναµη» στατική ελαστική ανάλυση................................................................................... 4

7.2.1 ∆υναµική φασµατική µέθοδος......................................................... 4 7.2.2 Απλοποιηµένη φασµατική µέθοδος. ................................................ 8

7.3Μέθοδοι αποτίµησης της σεισµικής συµπεριφορας κτηρίων.................. 8 7.3.1 Μέθοδος της φασµατικής ικανότητας…………………….. ........... 9

8. ΥΠΕΡΩΘΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ (PUSH-OVER ANALYSIS) ΦΟΡΕΩΝ................................................................................................... 18

8.1 Προσοµοίωση των οριζόντιων φορτίων ............................................... 18 8.1.1 Οριζόντια φορτία ιδιοµορφικής κατανοµής σταθερής αναλογίας. ..................................................................... 18 8.1.2 Οριζόντια φορτία ιδιοµορφικής κατανοµής µεταβαλλόµενης αναλογίας ........................................................... 21 8.1.3 Οριζόντια φορτία πολυ-ιδιοµορφικής κατανοµής σταθερής ή µεταβαλλόµενης αναλογίας.......................................................... 21

8.2 Στατική Υπερωθητική Ανάλυση.. ......................................................... 23 8.2.1 ΣΥΑ µε γραµµικοποιηµένη οριακή ανάλυση.. ............................... 24

8.2.2 ΣΥΑ µε µη γραµµική προσαυξητική-επαναληπτική οριακή ανάλυση. ........................................................................... 25

ii

9. ΕΛΑΣΤΟΠΛΑΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΛΑΙΣΙΑΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΚΑΤΑΝΕΜΗΜΕΝΗ ΠΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ ............................................ 35 9.1 Κατανεµηµένη πλαστικότητα µε πολυστρωµατική θεώρηση .............. 36

9.1.1 Προσαυξητική-επαναληπτική µέθοδος κατανεµηµένης πλαστικότητας µε πολυστρωµατική θεώρηση................................ 37 9.1.2 Υπολογισµός επικόµβιων εσωτερικών δράσεων ........................... 40 9.1.3 Εφαπτοµενικό µητρώο στιβαρότητας ............................................ 44

9.2 Κατανεµηµένη πλαστικότητα µε ισοδύναµο ελαστικό κόµβο ............. 53 9.2.1 Μητρώο στιβαρότητας στοιχείου µε στροφικά ελατήρια ............... 53 9.2.2 Μετελαστική ανάλυση µε ισοδύναµο ελαστικό κόµβο ................... 56 9.2.3 Υπερωθητική ανάλυση µε ισοδύναµο ελαστικό κόµβο.. ................ 61

1

7 ΣΧΕ∆ΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΣΕ ΣΕΙΣΜΙΚΑ ΦΟΡΤΙΑ

7.1 Γενικές αρχές και παραδοχές αντισεισµικού σχεδιασµού µε

«ισοδύναµη» στατική ελαστική ανάλυση

Για τον υπολογισµό της σεισµικής απόκρισης µιας κατασκευής απαιτείται η επίλυση των δυναµικών εξισώσεων ισορροπίας η οποία µπορεί να γίνει είτε µε τη µέθοδο της επαλληλίας των ιδιοµορφών (mode superposition method), είτε µε την άµεση χρονική ολοκλήρωση των δυναµικών εξισώσεων ισορροπίας (direct integration method). Με δεδοµένη την εξωτερική φόρτιση ενός συγκεκριµένου σεισµού υπολογίζονται τα εντατικά και µετατοπισιακά/παραµορφωσιακά µεγέθη της κατασκευής σε κάθε χρονική στιγµή του σεισµικού συµβάντος. Όταν όµως καλούµαστε να κάνουµε σχεδιασµό, δηλαδή να επιλέξουµε τις διατοµές του φορέα ώστε να αντέχει στα φορτία που αναµένεται να παραλάβει, θα πρέπει να λάβουµε υπόψη όλους τους πιθανούς σεισµούς οι οποίοι ενδέχεται να πλήξουν την κατασκευή κατά τη διάρκεια της ζωής της. Με δεδοµένη την αδυναµία πρόβλεψης µε την απαιτούµενη ακρίβεια των χαρακτηριστικών µελλοντικών σεισµών το όλο πρόβληµα αντιµετωπίζεται µε πιθανοτικές θεωρήσεις οι οποίες βρίσκονται σε ερευνητικό στάδιο και δεν έχουν ακόµη χρησιµοποιηθεί από τη διεθνή επιστηµονική κοινότητα των µηχανικών ως εργαλείο σχεδιασµού για συνήθεις κατασκευές. Προς την κατεύθυση της πλήρους πιθανοτικής θεώρησης χωρίς ουσιώδεις παραδοχές έχει παρουσιαστεί πρόσφατα µία µέθοδος βέλτιστου σχεδιασµού κατασκευών σε σεισµικά φορτία όπου λαµβάνεται υπόψη τόσο ο τυχηµατικός χαρακτήρας της σεισµικής διέγερσης όσο και η µη γραµµική συµπεριφορά της κατασκευής σε οριακές καταστάσεις φορτίσεως1. Η µέθοδος αυτή έχει υψηλή αξιοπιστία διότι ελαχιστοποιεί τις όποιες παραδοχές ως προς το είδος της σεισµικής φόρτισης και την απόκριση της κατασκευής εξακολουθεί όµως να είναι υπολογιστικά χρονοβόρα και να απαιτεί τη χρήση προηγµένων υπολογιστικών µεθόδων επιλύσεως των χαρακτηριστικών εξισώσεων της µεθόδου των πεπερασµένων στοιχείων. Με δεδοµένες τις παραπάνω αδυναµίες, οι αντισεισµικοί κανονισµοί, µεταξύ των οποίων και ο Ελληνικός Αντισεισµικός Κανονισµός (ΕΑΚ 2000), έχουν θεσπίσει απλοποιητικές µεθόδους για τόν αντισεισµικό σχεδιασµό κατασκευών, οι οποίες δεν απαιτούν πλήρη δυναµική ανάλυση της κατασκευής και δεν λαµβάνουν υπόψη ευθέως την επιρροή των µη γραµµικοτήτων της γεωµετρίας και του υλικού. Οι µέθοδοι αυτές βασίζονται σε απλοποιητικές παραδοχές, που ισχύουν κατά κανόνα σε συµβατικές κατασκευές κανονικού τύπου χωρίς σηµαντικές ιδιαιτερότητες των δυναµικών τους χαρακτηριστικών, και οι οποίες καταλήγουν σε µία «ισοδύναµη» στατική ελαστική ανάλυση αντί της πλήρους δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης. Πεδίο εφαρµογής αυτών των απλοποιητικών µεθόδων είναι ο αντισεισµικός

1 N. Lagaros, Y. Tsompanakis, M. Papadrakakis, Optimum design of structures with inelastic behavior under seismic loading, V. European Conference on Structural Dynamics, Munich, 2002.

2

σχεδιασµός κτηριακών κυρίως κατασκευών των οποίων η σεισµική απόκριση προκαλεί µη-γραµµικότητες του υλικού και περιορισµένες γεωµετρικές µη γραµµικότητες, ενώ περιγράφεται ικανοποιητικά από την πρώτη τους ιδιοµορφή. Η ισοδύναµη στατική ελαστική ανάλυση βασίζεται στην παρακάτω παραδοχή: Η κατασκευή θεωρείται ως ένα ιδεατό ελαστικό σύστηµα του οποίου η µέγιστη απόκριση υπολογίζεται από το ελαστικό φάσµα απόκρισης (φάσµα σχεδιασµού µε q=1). H σεισµική φόρτιση σχεδιασµού της κατασκευής Pd λαµβάνεται ίση προς

d eP P / q= , όπου eP είναι η µέγιστη σεισµική φόρτιση που θα παραλάβει η κατασκευή και q είναι ο συντελεστής συµπεριφοράς. Θεωρείται δηλαδή ότι η κατασκευή µπορεί να σχεδιαστεί µε µικρότερη φόρτιση, από εκείνη που αναµένεται να παραλάβει, λόγω της δυνατότητάς της να παραµορφωθεί αρκετά πέραν της ελαστικής περιοχής χωρίς να καταρρεύσει. Ο συντελεστής συµπεριφοράς q εκφράζει την ικανότητα της κατασκευής να απορροφά ενέργεια µε πλαστική συµπεριφορά χωρίς να µειώνεται δραστικά η αντοχή της. Στους αντισεισµικούς κανονισµούς ο δείκτης συµπεριφοράς ορίζεται µε ενιαία τιµή για ολόκληρο το κτήριο και καθορίζεται εµπειρικά µε βάση τις βλάβες που έχουν παρατηρηθεί σε κτήρια έπειτα από καταστρεπτικούς σεισµούς. Η τιµή του q εξαρτάται από τον τρόπο ανάπτυξης των µετελαστικών περιοχών, τον βαθµό υπερστατικότητας, την υστερητική και ιξώδη απόσβεση, καθώς και από άλλα χαρακτηριστικά της κατασκευής. Στο προσεχές µέλλον, µε τις ακριβέστερες προσοµοιώσεις των κατασκευών µε µη γραµµικά πεπερασµένα στοιχεία σε συνδυασµό µε τη χρήση προηγµένων υπλογιστικών µεθόδων επιλύσεως των δυναµικών προβληµάτων, θα καταστεί δυνατός ο υπολογισµός του πραγµατικού δείκτη συµπεριφοράς για οποιαδήποτε κτηριακή κατασκευή χωρίς περιορισµούς στη µορφή και το είδος της. Μία ποσοτική εκτίµηση του δείκτη συµπεριφοράς q δίνεται από τις σχέσεις

d 0

e e u

y u y

P P Pq q qP P P

= = = (7.1)

d 0

e e u u

u u y y

P U P Uq , qP U P U

= = = = (7.2 α,β)

όπου yP και uP είναι τα φορτία που αντιστοιχούν στο τέλος της ελαστικής συµπεριφοράς και στο οριακό φορτίο καταρρεύσεως, ενώ yU , eU και uU είναι οι µετατοπίσεις της κορυφής του κτηρίου που αντιστοιχούν στα φορτία yP , eP και uP , αντίστοιχα.

3

Σχήµα 7.1 Πραγµατική µη γραµµική και ιδεατή γραµµικώς-ελαστική καµπύλη φορτίου-

µετατόπισης. (α) Εύκαµπτο κτήριο, (β) δύσκαµπτο κτήριο Σε εύκαµπτα συστήµατα µε θεµελιώδη ιδιοπερίοδο 1T 0.6> s έχει παρατηρηθεί ότι ισχύει u eU U≈ (βλ. σχήµα 7.1α), οπότε ο συντελεστής συµπεριφοράς δίνεται από τη σχέση: 0q q= (7.3)

Για πιο δύσκαµπτα συστήµατα 1(0.1s T 0.6 s)< < οι µετελαστικές µετατοπίσεις είναι µεγαλύτερες από τις ελαστικές (βλ. σχήµα 7.1β). Η εµπειρική σχέση που συνδέει τις δύο αυτές χαρακτηριστικές µετατοπίσεις βασίζεται στην αρχή των ίσων ενεργειών (βλ. γραµµοσκιασµένες περιοχές του σχήµατος 7.1β) και έχει τη µορφή:

uu e

s

UU U ,U2 1

µ= µ =

µ − (7.4 α,β)

και

0 d 0

q q 2 1 q q= µ − < (7.5) όπου µ είναι ο δείκτης πλαστιµότητας ως προς τις µετατοπίσεις και sU είναι η ελαστική µετατόπιση που αντιστοιχεί στο οριακό φορτίο uP .

4

Για τον υπολογισµό των «πραγµατικών» (µετελαστικών) µετατοπίσεων του συστήµατος, οι µετακινήσεις που προκύπτουν από την ισοδύναµη γραµµική ελαστική ανάλυση µε τη σεισµική δράση σχεδιασµού θα πρέπει να πολλαπλασιαστούν µε τον αντίστοιχο συντελεστή συµπεριφοράς q. 7.2 Μέθοδοι αντισεισµικού σχεδιασµού µε την «ισοδύναµη»

στατική ελαστική ανάλυση Από τον ΕΑΚ προβλέπεται η εφαρµογή δύο προσεγγιστικών µεθόδων για τον αντισεισµικό σχεδιασµό µε την ισοδύναµη στατική ελαστική ανάλυση: (i) Η (δυναµική) φασµατική µέθοδος, (ii) η απλοποιηµένη φασµατική µέθοδος, γνωστή και ως ισοδύναµη στατική µέθοδος από παλαιότερες εκδόσεις του ΕΑΚ. Η απλοποιηµένη φασµατική µέθοδος στηρίζεται σε προσεγγιστική θεώρηση της θεµελιώδους µόνο ιδιοµορφής, ενώ η δυναµική φασµατική µέθοδος απαιτεί τον υπολογισµό ικανού αριθµού ιδιοµορφών του συστήµατος. Η µέγιστη σεισµική απόκριση που αντιστοιχεί στη θεµελιώδη ιδιοµορφή υπολογίζεται µετά τον υπολογισµό της µέγιστης σεισµικής επιτάχυνσης από το φάσµα σχεδιασµού, ενώ για τη δυναµική φασµατική µέθοδο η µέγιστη συνολική απόκριση υπολογίζεται µε την τετραγωνική επαλληλία των µέγιστων αποκρίσεων που αντιστοιχούν σε όλες τις ιδιοµορφές που εξετάζονται.

7.2.1 (∆υναµική) φασµατική µέθοδος Η δυναµική φασµατική µέθοδος ανάλυσης είναι µια απλοποιηµένη µέθοδος επαλληλίας των ιδιοµορών η οποία βασίζεται στην αποφυγή του υπολογισµού των χρονοϊστοριών που απαιτούνται τόσο µε τη µέθοδο της επαλληλίας των ιδιοµορφών, όσο και µε την άµεση χρονική ολοκλήρωση των δυναµικών εξισώσεων κινήσεως. Μέθοδος επαλληλίας ιδιοµορφών Σύµφωνα µε τη µέθοδο της επαλληλίας των ιδιοµορφών η δυναµική εξίσωση ισορροπίας

[M]U(t) [C]U(t) [K]U(t) P(t)+ + = (7.6) µετασχηµατίζεται στην

[M]X(t) [C]X(t) [K]X(t) P(t)+ + = (7.7) όπου

5

U(t) [ ]X(t)= Φ (7.8)

T T[M] [ ] [M][ ], [C] [ ] [C][ ]= Φ Φ = Φ Φ (7.9 α,β)

T T[K] [ ] [K][ ], P(t) [ ] P(t)= Φ Φ = Φ (7.10α,β) τα µητρώα [Μ], [C], [K] είναι τα (Ν×N) µητρώα µάζας, απόσβεσης, στιβαρότητας, αντίστοιχα, και P(t) είναι το διάνυσµα εξωτερικής φόρτισης της κατασκευής. Το µητρώο [Φ] είναι ένα µητρώο µετασχηµατισµού το οποίο στην περίπτωση της µεθόδου της επαλληλίας την ιδιοµορφών ισούται µε το µητρώο των ιδιοµορφών του προβλήµατος των ιδιοτιµών:

2i i i[K] [ ] , i 1, Nϕ = ω Μ ϕ = (7.11)

µε

]...[][ N21 ϕϕϕ=Φ (7.13)

21

22 2

2N

[ ]

ωωΩ =

ω (7.15)

Λαµβάνοντας υπόψη τις ιδιότητες ορθογωνικότητας [ ]T

j i M 0 ,ϕ ϕ = και

[ ]Tj i K 0ϕ ϕ = για j i≠ , των ιδιοµορφών, οι σχέσεις (7.9α) και (7.10α)

µετασχηµατίζονται ως εξής:

1122

N N

kmkm

m k

[K][M]

== ,

(7.12α,β) όπου

[ ]T 2j j j j j jm M , k m= ϕ ϕ = ω (7.15α,β)

Στην περίπτωση της µηδενικής απόσβεσης η µητρωική εξίσωση (7.7) εκφυλίζεται σε Ν ασύζευκτες βαθµωτές εξισώσεις της µορφής

6

2 Tj j j j

j

P(t)x (t) x (t) , j 1, Nm

+ω = ϕ = (7.16)

µε [ ]T

1 2 NX(t) x (t) x (t) ... x (t)= (7.17) οι οποίες µπορούν να επιλυθούν είτε µε κάποια µέθοδο αριθµητικής ολοκλήρωσης δυναµικών εξισώσεων, είτε µε χρήση του ολοκληρώµατος Duhamel. Η χρονοϊστορία του τελικού διανύσµατος των µετατοπίσεων προκύπτει από τη σχέση U(t) [ ]X(t)= Φ (7.18) Φασµατική µέθοδος Στη (δυναµική) φασµατική µέθοδο, για την αποφυγή της χρονοβόρας διαδικασίας ευρέσεως των χρονοϊστοριών των ανεξάρτητων βαθµωτών εξισώσεων κινήσεως (7.16), υπολογίζονται οι φασµατικές τιµές U max,i των αποκρίσεων των µετατοπίσεων που αντιστοιχούν σε κάθε µία ιδιοµορφή. Στη συνέχεια υπογίζεται µία προσέγγιση της µέγιστης απόκρισης του φορέα. Η πλέον συνήθης µέθοδος υπολογισµού της µέγιστης απόκρισης είναι η τετραγωνική ρίζα του αθροίσµατος των τετραγώνων (Square Root of the Sum of the Squares-SRSS):

12 2 2 2max 1,max 2,max N,maxU [U U ... U ]= + + + (7.19)

η οποία ισχύει όταν οι ιδιοπερίοδοι του συστήµατος δεν έχουν κοντινές τιµές. Η (δυναµική) φασµατική µέθοδος ακολουθεί παρακάτω βήµατα: Βήµα 1: Υπολογισµός m N<< ιδιοµορφών και ιδιοδιανυσµάτων του

προβλήµατος ιδιοτιµών 2

i i i[K] [M] , i 1, mϕ = ω ϕ = (7.20)

12

m [Φ ]=[ ... ]m m1 2m

ωω[Ω ]= ,

ω

ϕ ϕ ϕ

(7.21 α,β) Το πλήθος m την απαιτούµενων ιδιοµορφών καθορίζεται εµµέσως στο βήµα 6. Βήµα 2: Υπολογισµός των γενικευµένων µαζών κάθε ιδιοµορφής

7

T

j j jm [M] , j 1, m= ϕ ϕ = (7.22) Βήµα 3: Υπολογισµός του συντελεστή jL T

j jL [M]r= ϕ (7.23) όπου το διάνυσµα r είναι το στατικό διάνυσµα επιρροής και δίνεται από το διάνυσµα των µετατοπίσεων του φορέα για µοναδιαία µετατόπιση του εδάφους κατά τη διεύθυνση του σεισµού. Βήµα 4: Υπολογισµός του συντελεστή συµµετοχής της κάθε ιδιοµορφής

j

jj m

L=Γ (7.24)

Βήµα 5: Υπολογισµός της δρώσας µάζας της κάθε ιδιοµορφής

j

2jeff

j m

Lm = (7.25)

Βήµα 6: Υπολογισµός των m N< << σηµαντικών ιδιοµορφών

effj tot

j 1m m

=

≥ δ∑ (7.26)

όπου totm είναι η συνολική ταλαντούµενη µάζα του συστήµατος και ο συντελεστής δ καθορίζει το ποσοστό της συνολικής µάζας που πρέπει να καλύπτεται από τις δρώσες µάζες των ιδιοµορφών και ο οποίος κυµαίνεται γύρω στο 90%.

8

Σχήµα 7.2 Φάσµατα απόκρισης για διαφορετικές κατηγορίες εδαφών Βήµα 7: Υπολογισµός της φασµατικής επιτάχυνσης S )T(a j από το φάσµα

απόκρισης που αντιστοιχεί στη j ιδιοµορφή µε ιδιοπερίοδο jT (βλ. Σχήµα 7.2).

Βήµα 8: Υπολογισµός του µέγιστου διανύσµατος µετατοπίσεων του φορέα που

αντιστοιχεί στη j ιδιοµορφή

jj,max j j2

j

Sa(T )U = Γ ϕ

ω (7.27)

Βήµα 9: Υπολογισµός του τελικού διανύσµατος της µετατόπισης µέσω της

επαλληλίας SRSS 2 2 1/ 2

max i,max 2,max ,maxU [U U U ]= + + +… (7.28) Από το τελικό διάνυσµα U max της απόκρισης θα υπολογιστούν τα εντατικά µεγέθη των µελών του φορέα και στη συνέχεια θα γίνει η επιλογή των κατάλληλων διατοµών.

7.2.2 Απλοποιηµένη φασµατική µέθοδος Η απλοποιηµένη φασµατική µέθοδος προκύπτει από τη (δυναµική) φασµατική µέθοδο εάν θεωρήσουµε τη θεµελιώδη µόνο ιδιοµορφή ( )1= µε 1 totm m= . Εναλλακτικά µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε µία γραµµική προσέγγιση της θεµελειώδους ιδιοµορφής. Τα αποτελέσµατα της απλοποιηµένης φασµατικής µεθόδου πλησιάζουν εκείνα της δυναµικής φασµατικής µεθόδου όταν η δυναµική απόκριση της κατασκευής κυριαρχείται από την πρώτη ιδιοµορφή.

9

7.3 Μέθοδοι αποτίµησης της σεισµικής συµπεριφορας κτηρίων Προκείµενου να γίνει η αποτίµηση της σεισµικής συµπεριφοράς ενος κτηρίου που σχεδιαστηκε σύµφωνα µε τους κανονισµούς, εφαρµόζονται µέθοδοι υπολογισµού της µετελαστικής του συµπεριφοράς. Οι µέθοδοι αυτές έχουν έως τώρα εφαρµοστεί για την αποτίµηση της φέρουσας ικανότητας υπαρχόντων κατασκευών και τον έλεγχο των παραδοχών που έγιναν κατά τον σχεδιασµό τους. Μπορεί όµως να αποτελέσουν και µεθόδους ανάλυσης πάνω στις οποίες θα βασιστεί ένας αλγόριθµος αυτόµατου σχεδιασµού µε ταυτόχρονη ικανοποίηση των κριτηρίων αντοχής και λειτουργικότητας που ορίζουν οι κανονισµοί2. Οι µέθοδοι αποτίµησης της σεισµικής συµπεριφοράς διακρίνονται σε στατικές και δυναµικές ανάλογα µε τον τρόπο επιβολής της διέγερσης. Στη Στατική Υπερωθητική Ανάλυση (ΣΥΑ) (static push-over) το αποτέλεσµα της σεισµικής δράσης προσοµοιώνεται µε στατικά επιβαλλόµενες µετατοπίσεις ή στατικά φορτία σταδιακά αυξανόµενα µέχρι την κατάρρευση. Ενώ στη Προσαυξητική ∆υναµική Ανάλυση (Π∆Α) (incremental dynamic analysis) επιβάλλονται σεισµικές δράσεις η ένταση των οποίων αυξάνεται σταδιακά µέχρι την κατάρρευση. Ο πλέον αξιόπιστος έλεγχος της σεισµικής συµπεριφοράς των κτηρίων µπορεί να πραγµατοποιηθεί µε τον ακριβή υπολογισµό των µετελαστικών παραµορφώσεων και εντατικών µεγεθών για ένα σύνολο σεισµικών διεγέρσεων που είναι πιθανό να πλήξουν την κατασκευή. Ο υπολογισµός αυτός είναι εφικτός µόνο µε τη διενέργεια του ανελαστικού δυναµικού υπολογισµού µε την άµεση χρονική ολοκλήρωση των δυναµικών εξισώσεων κινήσεως. Ένας τέτοιος υπολογισµός εξακολουθεί να έχει µεγάλες απαιτήσεις υπολογιστικής ισχύος ακόµη και για συνήθεις κατασκευές, παρά τη ραγδαία βελτίωση της ταχύτητας των Η/Υ. Επιπρόσθετα προσκρούει σε προβλήµατα προσοµοίωσης της µετελαστικής ανακυκλικής συµπεριφοράς των µελών της κατασκευής η οποία βρίσκεται στο στάδιο της διερεύνησης και της πειραµατικής επαλήθευσης. Οι αντισεισµικοί κανονισµοί, µεταξύ των οποίων και ο ΕΑΚ, επιτρέπουν τον σχεδιασµό των κατασκευών µε “ισοδύναµες” ελαστικές αναλύσεις επειδή ο σχεδιασµός µε σεισµικά φορτία και δυναµική µη γραµµική ανάλυση της κατασκευής είναι πολύπλοκος και απαιτεί υπερβολικό υπολογιστικό χρόνο ακόµα και για συνήθεις κατασκευές. Για τον λόγο αυτό έχουν αναπτυχθεί προσεγγιστικές µέθοδοι αποτίµησης-ελέγχου της σεισµικής συµπεριφοράς των κτηρίων οι οποίες µετατρέπουν το ανελαστικό δυναµικό πρόβληµα σε ανελαστικό στατικό µέσω των οποίων υπολογίζονται χαρακτηριστικές παράµετροι της απόκρισης της κατασκευής (µετακινήσεις, στροφές, εντατικά µεγέθη, κλπ). Οι τιµές των χαρακτηριστικών παραµέτρων, όπως υπολογίζονται από τις αναλύσεις αυτές, αντιστοιχούν στις

2 M. Papadrakakis, N. Lagaros, V. Plevris, Optimum design of space frames under seismic loading, International Journal of Structural Stability and Dynamics, 2001

10

διατιθέµενες τιµές της κατασκευής οι οποίες συγκρίνονται µε τις απαιτούµενες τιµές που προκύπτουν λογιστικά µέσω των κανονιστικών διατάξεων. ∆ύο προσεγγιστικές µέθοδοι µε ευρεία αποδοχή, οι οποίες βασίζονται στη στατική υπερωθητική ανάλυση, είναι η µέθοδος της σεισµικής αποτίµησης και σχεδιαµού µε επιβολή µετατοπίσεων (displacement-based seismic design method) και η µέθοδος της φασµατικής ικανότητας (capacity spectrum method) µε επιβολή δυνάµεων. Η µέθοδος της φασµατικής ικανότητας θεωρείται ότι είναι πιο κοντά στη δυναµική ανάλυση στην οποία επιβάλλονται αδρανειακές δυνάµεις και έχει υιοθετηθεί από τους αµερικάνικους κανονισµούς ATC-40 και FEMA 273. Η µέθοδος αυτή παρουσιάζεται αναλυτικά στη συνέχεια. 7.2.1 Μέθοδος της φασµατικής ικανότητας Σκοπός της µεθόδου της φασµατικής ικανότητας είναι η σύγκριση της διατιθέµενης αντοχής της κατασκευής, η οποία εκφράζεται από την καµπύλη φορτίου-µετατόπισης P-U, µε την απαιτούµενη αντοχή, η οποία προκύπτει από το φάσµα σχεδιασµού. Προκειµένου να γίνει η σύγκριση αυτών των δύο χαρακτηριστικών αντοχών πρέπει τόσο η καµπύλη P-U όσο και το φάσµα σχεδιασµού να µετατραπούν στο διάγραµµα των φασµατικών συνταταγµένων Sa-Sd.

Σχήµα 7.3 (α) Παραµόρφωση κτηρίου, (β) καµπύλη συµπεριφοράς ή καµπύλη ικανότητας (ΣΥΑ P-U) Η µέθοδος της φασµατικής ικανότητας συνοψίζεται στα παρακάτω βήµατα: Βήµα 1: Ανάλυση και διαστασιολόγηση του φορέα και εκτέλεση της στατικής

υπερωθητικής ανάλυσης (ΣΥΑ).

11

Μετά τη διαστασιολόγηση του φορέα, εφόσον προκειται για νέα κατασκευή, εκτελείται η στατική υπερωθητική ανάλυση µε µία από τις µεθόδους που αναπτύσσονται στο κεφάλαιο 5 του Α΄ τεύχους και στο κεφάλαιο 8 του παρόντος τεύχους. Με τη ΣΥΑ υπολογίζεται και σχεδιάζεται η καµπύλη συµπεριφοράς ή καµπύλη ΣΥΑ P-U ή καµπύλης ικανότητας (capacity curve) του κτηρίου, όπου P=Vb είναι η τέµνουσα βάσης και U είναι συνήθως η οριζόντια µετακίνηση της κορυφής του κτηρίου (βλ. σχήµα 7.3). Μέσα από αυτή την ανάλυση είναι δυνατή η εύρεση του µηχανισµού καταρρεύσεως του φορέα για µονοτονική στατική φόρτιση µε ταυτόχρονη δράση των κατακόρυφων φορτίων και των σταδιακά αυξανόµενων οριζόντιων φορτίων, που προσοµοιώνουν τα σεισµικά, και η εκτίµηση του δείκτη πλαστιµότητας των µετατοπίσεων του φορέα. Βήµα 2: Ορισµός ισοδύναµου Ιδεατού Μονοβάθµιου Συστήµατος (ΙΜΣ) -

Καµπύλη ικανότητας φάσµατος. Στο βήµα αυτό µετατρέπεται η καµπύλη ικανότητας ενός πολυβάθµιου κτηρίου (µε n ορόφους και ndf (number of degrees of freedom) βαθµούς ελευθερίας) στην καµπύλη φασµατικής συµπεριφοράς ή καµπύλη φασµατικής ικανότητας (capacity spectrum) ενός ισοδύναµου ιδεατού µονοβάθµιου συστήµατος. Η µετατροπή αυτή γίνεται για να µπορέσουµε να συγκρίνουµε τη διατιθέµενη ικανότητα του κτηρίου µε την απαιτούµενη από τους κανονισµούς, όπως προκύπτει µέσα από το φάσµα σχεδιασµού. Θα πρέπει να σηµειωθεί ότι η χρήση ενός ισοδύναµου ιδεατού µονοβάθµιου συστήµατος αποτελεί µία παραδοχή µε σηµαντικές αβεβαιότητες. Η αξιοπιστία του ΙΜΣ επηρεάζεται από τη µορφή και τον τύπο της κατασκευής και τις µετελαστικές παραµορφώσεις που αναπτύσσονται κατά τη σεισµική καταπόνηση. 2.1 Υπολογισµός της θεµελιώδους ιδιοµορφής 1φ , της αντίστοιχης

ιδιοσυχνότητας ω1 και ιδιοπεριόδου 1Τ του πολυβάθµιου φορέα για ελαστική απόκριση.

2.2 Υπολογισµός της µάζας m του ιδεατού-ισοδύναµου µονοβάθµιου

συστήµατος

1 totm = a m (7.29)

όπου totm είναι η συνολική µάζα του φορέα και 1α είναι ένας συντελεστής ισοδυναµίας µαζών µεταξύ του πολυβάθµιου και του ΙΜΣ συστήµατος. Ο συντελεστής αυτός υπολογίζεται ύστερα από πρόταση του Freeman (1998) από τη σχέση

12

( ) ( )22

1 i 1i i i 1ii iα = (m φ ) m Σ(m φ ) , i = 1, nΣ Σ ⋅ (7.30)

όπου i 1im , φ είναι η συγκεντρωµένη µάζα και η συνιστώσα της κανονικοποιηµένης θεµελιώδους ιδιοµορφής στον όροφο i του κτηρίου, αντίστοιχα. 2.3 Υπολογισµός της φασµατικής επιτάχυνσης και µετατόπισης του ΙΜΣ

2

ˆSa = P/mSd = U/a

(7.31, 7.32)

όπου 2a είναι ο συντελεστής ισοδυναµίας µετατοπίσεων. Ο συντελεστής αυτός δίνεται από τη σχέση

22 i 1i i 1ii i

a = (m φ ) (m φ )Σ Σ (7.33) 2.4 Υπολογισµός και σχεδίαση της καµπύλης ικανότητας φάσµατος (Sa,Sd ) 2.5 Υπολογισµός της στιβαρότητας και της ιδιοπεριόδου του ΙΜΣ

y yˆ ˆk = m Sa Sd

ˆˆ ˆT = 2 m kπ (7.34, 7.35)

όπου y y y y 2ˆSa = m , Sd = U aΡ είναι η ιδεατή φασµατική επιτάχυνση και η ιδεατή µετατόπιση που αντιστοιχούν στο οριακό σηµείο της ελαστικής συµπεριφοράς του κτηρίου (βλ. σχήµα 7.4α,β).

Σχήµα 7.4 Μετάβαση από την καµπύλη ικανότητας (α) στην καµπύλη φασµατικής

ικανότητας (β) ενός ιδεατού ισοδύναµου µονοβάθµου συστήµατος

13

Βήµα 3: Υπολογισµός της δρώσας απόσβεσης του φορέα. Προκειµένου να υπολογίσουµε το διάγραµµα της φασµατικής απόκρισης (Acceleration Displacement Response Spectrum-ADRS), που ονοµάζεται και διάγραµµα απαιτούµενου φάσµατος (demand spectrum), από το οποίο θα προκύψει η απαιτούµενη ικανότητα της κατασκευής, είναι απαραίτητος ο υπολογισµός της δρώσας απόσβεσης του φορέα. Η δρώσα απόσβεση είναι διαφορετική από εκείνη που αντιστοιχεί στο αρχικό ελαστικό σύστηµα και είναι συνάρτηση της ιξώδους απόσβεσης που αναπτύσσεται κατά την ελαστική απόκριση και της υστερητικής απόσβεσης η οποία εξαρτάται από το µέγεθος των µετελαστικών παραµορφώσεων και του τύπου του µηχανισµού κατάρρευσης της κατασκευής. Ο Priestley (1995) µετά από σειρά πειραµάτων σε κατασκευές οπλισµένου σκυροδέµατος πρότεινε τον υπολογισµό της δρώσας απόσβεσης του φορέα από τη σχέση eff el uζ = ζ + cζ (7.36) όπου elζ είναι η ισοδύναµη ιξώδης απόσβεση η οποία δίνεται από τον κανονισµό (συνήθως elζ = 5% για οπλισµένο σκυρόδεµα), uζ είναι η ισοδύναµη υστερητική απόσβεση η οποία δίνεται από τον τύπο uζ = 2(µ -1) (πµ) (7.37) όπου u yµ = U U είναι ο δείκτης πλαστιµότητας ως προς τις µετατοπίσεις. Η µετατόπιση uU αντιστοιχεί στην κορυφή του κτηρίου µε την ολοκλήρωση του πλάστιµου µηχανισµού καταρρεύσεως και yU είναι η αντίστοιχη µετατόπιση τη στιγµή της εµφάνισης της πρώτης πλαστικής άρθρωσης του φορέα (βλ. σχήµα 7.4α). Τέλος ο συντελεστής c της σχέσης (7.36) εξαρτάται από τον τύπο του µηχανισµού καταρρεύσεως ανάλογα µε τις θέσεις σχηµατισµού των πλαστικών αρθρώσεων. Εάν είναι µηχανισµός µε πλαστικές αρθρώσεις κυρίως στις δοκούς τότε c 0.60≅ , ενώ εάν οι πλαστικές αρθρώσεις εντοπίζονται κυρίως στα υποστυλώµατα τότε c 0.40≅ . Η σχέση (7.37) προέκυψε από τη συσχέτιση της ενέργειας που εκλύεται σε µία ανελαστική ανακύκλιση µε την αντίστοιχη ελαστική ενέργεια. Ο διορθωτικός συντελεστής απόσβεσης η, µε τον οποίο τροποποιούνται οι ελαστικές φασµατικές τιµές απόκρισης, υπολογίζεται από τη σχέση ( )effη = 7 2 + ζ 0.7≥ (7.38)

14

Σχήµα 7.5 Μετάβαση από το φάσµα σχεδιασµού (α) στο διάγραµµα απαιτούµενου

φάσµατος (β) Βήµα 4: ∆ιάγραµµα απαιτούµενου φάσµατος ή φασµατικής ανελαστικής

απόκρισης ADRS. Μετά τον υπολογισµό του διορθωτικού συντελεστή απόσβεσης η από τη σχέση (7.38) σχεδιάζεται το απαιτούµενο φάσµα, που ονοµάζεται και διάγραµµα φασµατικής απόκρισης ADRS, για µετελαστική συµπεριφορά. Έτσι από τα αντίστοιχα ελαστικά φάσµατα σχεδιασµού προκύπτουν τα διαγράµµατα φασµατικής µετελαστικής απόκρισης για κάθε συντελεστή απόσβεσης η (βλ. σχήµα 7.5). Οι νέες τιµές Sa, Sd υπολογίζονται από τις σχέσεις:

elSa = ηSa (7.39)

elSd = ηSd (7.40)

το διάγραµµα ADRS (Sa,Sd) προκύπτει από το ανελαστικό φάσµα απόκρισης (Sa,T) από τη σχέση

2

2

TSd = Sa4π

(7.41)

15

Σχήµα 7.6 Γραφικός υπολογισµός του σηµείου επιτελεστικότητας “E” Στο διάγραµµα ADRS µπορούν να παρασταθούν ακτινικά οι τιµές των ιδιοπεριόδων που συνδέονται µε τις τιµές των Sa,Sd (βλ. Σχήµα 7.5). Βήµα 5: Υπολογισµός της µέγιστης απαιτούµενης µετελαστικής µετακίνησης. Για τον υπολογισµό της µέγιστης απαιτούµενης µετελαστικής µετακίνησης ακολουθούνται τα παρακάτω στάδια: (βλ. σχήµα 7.6). 5.1 Εύρεση της φασµατικής µετατόπισης που αντιστοιχεί στην ιδιοπερίοδο 1T του

κτηρίου και στο απαιτούµενο φάσµα για eff el = :ζ ζ

( )eff el i 1 el= Sd T ,ζζ ζ ⇒ (7.42)

5.2 Υπολογισµός του δείκτη πλαστιµότητας µ, της ισοδύναµης ιδιοπεριόδου eqT , της ισοδύναµης δρώσας απόσβεσης effζ και του συντελεστή απόσβεσης η

i yµ = Sd Sd (7.43)

eq 1T = Τ µ (7.44) ( )u eff el uζ = 2 µ -1 πµ ζ = ζ + cζ⇒ (7.45 α,β)

16

( )effη = 7 2 + ζ (7.46) 5.3 Εύρεση της νέας µετατόπισης iSd που αντιστοιχεί στο ζεύγος ( eqT , effζ ).

Για την εύρεση της νέας φασµατικής µετατόπισης iSd σχεδιάζεται το νέο διάγραµµα της φασµατικής απόκρισης ADRS ( )effζ το οποίο προκύπτει από τον πολλαπλασιασµό των τιµών του ελαστικού διαγράµµατος µε τον διορθωτικό συντελεστή απόσβεσης η . Το σηµείο τοµής της ευθείας που αντιστοιχεί στην ιδιοπερίοδο eqT µε την καµπύλη της φασµατικής απόκρισης αποτελεί τη µέγιστη απαιτούµενη φασµατική µετατόπιση για τη µετελαστική συµπεριφορά της ισοδύναµης ιδιοπεριόδου eqT .

5.4 Υπολογισµός του σηµείου επιτελεστικότητας (performance point).

Επαναλαµβάνουµε τη διαδικασία του σταδίου 5.3 και σχηµατίζουµε την καµπύλη των σηµείων τοµής των ευθειών eqT µε τα αντίστοιχα διαγράµµατα φασµατικής απόκρισης ADRS ( )effζ . Η τοµή της καµπύλης αυτής µε την καµπύλη φασµατικής ικανότητας της κατασκευής µας δίνει το σηµείο επιτελεστικότητας d dE(Sa ,Sd ) το οποίο θα δώσει τη µέγιστη απαιτούµενη µετελαστική µετακίνηση στην κορυφή του κτηρίου. Στην περίπτωση που η καµπύλη αυτή δεν τέµνει το διάγραµµα φασµατικής ικανότητας τότε η διατιθέµενη µέγιστη µετελαστική µετακίνηση υπολείπεται της απαιτούµενης. Eάν πρόκειται για νέα κατασκευή θα πρέπει να επανασχεδιασθεί ο φορέας, ενώ για υφιστάµενη κατασκευή θα πρέπει να ενισχυθεί για την αύξηση της στιβαρότητας και της αντοχής της, ώστε η διατιθέµενη µετελαστική µετακίνηση να γίνει µεγαλύτερη της απαιτούµενης.

Από τα παραπάνω συνάγεται ότι για να καταστεί δυνατή η αποτίµηση-έλεγχος της σεισµικής συµπεριφοράς ενός κτηρίου θα πρέπει η καµπύλη της φασµατικής ικανότητας του κτηρίου και η καµπύλη της φασµατικής απόκρισης να αναφέρονται στο ίδιο ποσοστό ισοδύναµης δρώσας απόσβεσης effζ . Σε κάθε σηµείο της καµπύλης φασµατικής ικανότητας αντιστοιχεί µία ισοδύναµη ιδιοπερίοδος eqT , µία ισοδύναµη δρώσα απόσβεση και ένα διάγραµµα φασµατικής απόκρισης. Για τον υπολογισµό του σηµείου τοµής της καµπύλης φασµατικής ικανότητας µε το διάγραµµα της φασµατικής απόκρισης, έτσι ώστε η δρώσα απόσβεση του σηµείου τοµής να είναι η ίδια για τα δύο διαγράµµατα, ακολουθείται η παρακάτω επαναληπτική διαδικασία (βλ. Σχήµα 7.7):

17

Σχήµα 7.7 Επαναληπτική διαδικασία υπολογισµού του σηµείου επιτελεστικότητας “E” 1. Υπολογίζεται το ποσοστό της ισοδύναµης δρώσας απόσβεσης effζ από τη

σχέση (7.45β) και ο διορθωτικός συντελεστής απόσβεσης η από τη σχέση (7.46) για το ακρότατο σηµείο u u 2Sd U /= α (διατιθέµενη τιµή) της καµπύλης φασµατικής ικανότητας του κτηρίου.

2. Σχεδιάζεται το διάγραµµα φασµατικής απόκρισης ADRS( eff,uζ ) µέσω των σχέσεων (7.39), (7.40), το οποίο µπορεί να τέµνει ή να µην τέµνει το διάγραµµα φασµατικής ικανότητας του κτηρίου.

3. Στην περίπτωση που δεν υπάρχει σηµείο τοµής τότε η κατασκευή δεν είναι σε θέση να ανταπεξέλθει στη συγκεκριµένη σεισµική διέγερση που αντιστοιχεί στο ADRS( eff,uζ ).

4. Στην περίπτωση που το σηµείο τοµής είναι διαφορετικό του ακρότατου σηµείου της καµπύλης φασµατικής ικανότητας, τότε υπολογίζεται ο δείκτης πλαστιµότητας µ (σχέση 7.43) και το ποσοστό effζ (7.45β) που αντιστοιχούν στο σηµείο τοµής, επανασχεδιάζεται το διάγραµµα ADRS και υπολογίζεται το νεό σηµείο τοµής των δύο διαγραµµάτων. Η επαναληπτική διαδικασία συνεχίζεται έως ότου δύο διαδοχικά σηµεία τοµής ταυτιστούν σε ικανοποιητικό βαθµό. Έτσι, ορίζεται η φασµατική απαιτούµενη της µετελαστικής µετατόπιση

dSd . Μετά τον υπολογισµό της dSd και της dSa από το διάγραµµα φασµατικής ικανότητας, υπολογίζονται η µέγιστη απαιτούµενη µετατόπιση του τελευταίου ορόφου του κτηρίου και η τέµνουσα βάσεως από τις σχέσεις

18

d 2 dU Sd= α (7.47)

b 1 tot dV m Sa= α (7.48) όπου α1, α2 είναι οι συντελεστές των σχέσεων (7.30) και (7.33).

19

8 ΥΠΕΡΩΘΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ (PUSH-OVER ANALYSIS) ΦΟΡΕΩΝ

Όπως είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο η υπερωθητική ανάλυση διακρίνεται σε στατική και δυναµική ανάλογα µε τον τρόπο επιβολής της διέγερσης. Στη Στατική Υπερωθητική Ανάλυση (ΣΥΑ) (static push-over analysis) το αποτέλεσµα της σεισµικής δράσης προσοµοιώνεται µε στατικά επιβαλλόµενες µετατοπίσεις ή στατικά φορτία σταδιακά αυξανόµενα µέχρι την κατάρρευση. Ενώ στην Προσαυξητική ∆υναµική Ανάλυση (Π∆Α) (incremental dynamic analysis) επιβάλλονται σεισµικές καταγραφές µε µορφή επιταχυνσιογραφηµάτων η ένταση των οποίων αυξάνεται σταδιακά µέχρι την κατάρρευση. Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τη ΣΥΑ µε επιβολή φορτίων η οποία είναι η πλέον διαδεδοµένη µέθοδος υπερωθητικής ανάλυσης σήµερα.

8.1 Προσοµοίωση των οριζόντιων φορτίων H Στατική Υπερωθητική Ανάλυση (ΣΥΑ) διακρίνεται, ανάλογα µε τη µορφή και τον τρόπο επιβολής των οριζόντιων φορτίων σε: (i) ΣΥΑ µε φορτία γραµµικής κατανοµής σταθερής αναλογίας, (ii) ΣΥΑ µε φορτία ιδιοµορφικής κατανοµής σταθερής αναλογίας, (iii) ΣΥΑ µε φορτία ιδιοµορφικής κατανοµής µεταβαλλόµενης αναλογίας, (iv) ΣΥΑ µε φορτία πολυ-ιδιοµορφικής κατανοµής σταθερής ή µεταβαλλόµενης αναλογίας.

8.2.1 Οριζόντια φορτία ιδιοµορφικής κατανοµής σταθερής αναλογίας

Η µέθοδος αυτή υπολογισµού των στατικών οριζόντιων φορτίων βασίζεται στις παραδοχές της ισοδύναµης στατικής µεθόδου για τον αντισεισµικό σχεδιασµό κατασκευών όπου οι αδρανειακές δυνάµεις προσδιορίζονται µε βάση τη θεµελιώδη ιδιοπερίοδo του κτηρίου και το φάσµα σχεδιασµού. Οι δυνάµεις κατανέµονται καθύψος του κτηρίου ώστε να προσεγγίζουν τις αδρανειακές δυνάµεις που αναπτύσσονται κατά τη σεισµική διέγερση. Μετά τη µόρφωση του µητρώου στιβαρότητας και του µητρώου µάζας του κτηρίου, υπολογίζονται η θεµελιώδης ιδιοµορφή και η ιδιοπερίοδος από την επίλυση του γενικευµένου προβλήµατος ιδιοτιµών

[ ] [ ] 1 1 1K = λ Mϕ ϕ (8.1) Η θεµελιώδης ιδιοπερίοδος προκύπτει από τη σχέση

1 minT = 2π/ω (8.2)

1minω = λ (8.3)

20

και ( )1 min,ωϕ είναι το ζητούµενο ιδιοζεύγος της πρώτης ή θεµελιώδους ιδιοµορφής 1ϕ και της αντίστοιχης ιδιοσυχνότητος minω . Στη συνέχεια υπολογίζεται η τέµνουσα βάσεως από το φάσµα σχεδιασµού και την τιµή της θεµελιώδους ιδιοπεριόδου. Το φάσµα σχεδιασµού του κανονισµού αποτελεί συνήθως µία περιβάλλουσα φασµάτων τα οποία προέρχονται από µία σειρά χαρακτηριστικών επιταχυνσιογαφηµάτων. Η δε µορφή του επηρεάζεται από τη γεωγραφική θέση, το είδος του κτηρίου και από τα εδαφοτεχνικά χαρακτηριστικά της περιοχής.

Σχήµα 8.1 Κατανοµή σεισµικών φορτίων σύµφωνα µε τη θεµελιώδη ιδιοµορφή

Η τέµνουσα βάσεως υπολογίζεται από τη σχέση

b 1 kk

V = Sa w /g∑ (8.4)

όπου kw είναι το βάρος του k ορόφου ( )n1k ÷= , n είναι ο συνολικός αριθµός ορόφων και 1 1Sa = Sa(T ) είναι η φασµατική επιτάχυνση σχεδιασµού που αντιστοιχεί στην θεµελίωση ιδιοπερίοδο και προκύπτει από το φάσµα σχεδιασµού (βλ. σχήµα 7.2). Η τέµνουσα βάσεως κατανέµεται στη στάθµη των ορόφων του κτηρίου έτσι ώστε να προσεγγίζονται οι αδρανειακές δυνάµεις που αντιστοιχούν στη θεµελιώδη ιδιοµορφή. Έτσι η οριζόντια αδρανειακή δύναµη που αντιστοιχεί στον k όροφο ενός κτηρίου µπορεί να εκφραστεί από τη σχέση

21

k

k k 1bk

k 1k

wQ = V , k = 1,nwϕϕ∑

(8.5)

όπου το διάνυσµα

Τ 1 2 k n1 1 1 1 1φ = φ φ … φ … φ

(8.6) έχει ως συνιστώσες τις τιµές της θεµελιώδους ιδιοµορφής στις στάθµες των ορόφων k=1,2,…,n του κτηρίου (βλ. Σχήµα 8.1α).

Σχήµα 8.2 (α) Προσέγγιση θεµελιώδους ιδιοµορφής µε γραµµική κατατοµή, (β) γραµµική κατανοµή των οριζόντιων αδρανειακών δυνάµεων Μία προσέγγιση της καθύψος κατανοµής των σεισµικών φορτιών µε βάση την πρώτη ιδιοµορφή µπορεί να γίνει από µία τριγωνική καθύψος κατανοµή (βλ. σχήµα 8.2α) Τότε οι συνιστώσες της θεµελιώδους ιδιοµορφής στους ορόφους του κτηρίου δίνονται από τη σχέση nk

k1 h/h=ϕ (8.7)

όπου kh είναι το ύψος του k ορόφου από το έδαφος. Με την παραδοχή ότι η τέµνουσα δύναµη Qk υπολογίζεται από τη σχέση

k k kb

k kk

w hQ = Vw h∑

(8.8)

22

η οποία για ίδιες τιµές kw ανά όροφο και ίσα ύψη ορόφων δίνει την τριγωνική κατανοµή των σεισµικών φορτίων του σχήµατος 8.2β. Τα οριζόντια φορτία ανά όροφο που προέκυψαν από τις σχέσεις (8.8) και (8.5) θα αποτελέσουν, είτε αυτούσια είτε µετά από κάποια κλιµάκωση, τα φορτία εκκίνησης της οριακής προσαυξητικής ανάλυσης µε τη µέθοδο βήµα-προς-βήµα προκειµένου να υπολογιστεί η καµπύλη ικανότητας του κτηρίου και τα άλλα χαρακτηριστικά µεγέθη τα οποία θα χρησιµοποιηθούν για τη στατική υπερωθητική ανάλυση. Τα φορτία εκκίνησης αυξάνονται σταδιακά µέχρι την πλήρη κατάρρευση του φορέα, ενώ η αναλογία των φορτίων εκκίνησης µεταξύ των ορόφων παραµένει σταθερή κατά τη διάρκεια της προσαυξητικής ανάλυσης.

8.2.1 Οριζόντια φορτία ιδιοµορφικής κατανοµής µεταβαλλόµενης αναλογίας

Κατά την προϊούσα φόρτιση του φορέα µε τα σταθερά κατακόρυφα φορτία και σταδιακά αυξανόµενα οριζόντια φορτία µεταβάλλεται τόσο η θεµελιώδης ιδιοπερίοδος όσο και η θεµελιώδης ιδιοµορφή του φορέα λόγω του σταδιακού σχηµατισµού πλαστικών αρθρώσεων. Μία ακριβέστερη προσοµοίωση των σεισµικών οριζόντιων δράσεων επιτυγχάνεται µε την προσαρµογή της καθύψος κατανοµής των σεισµικών φορτίων σύµφωνα µε την τρέχουσα πρώτη ιδιοµορφή του αντίστοιχου βήµατος φόρτισης λαµβάνοντας υπόψη τον διαδοχικό σχηµατισµό πλαστικών αρθρώσεων στον φορέα.

8.2.1 Οριζόντια φορτία πολυ-ιδιοµορφικής κατανοµής σταθερής ή µεραβαλλόµενης αναλογίας

Σε φορείς των οποίων η δυναµική τους απόκριση επηρεάζεται σηµαντικά και από ανώτερες, πέραν της θεµελιώδους, ιδιοµορφές θα πρέπει να λαµβάνεται υπόψη η επιρροή ικανού αριθµού ιδιοµορφών και κατά την εφαρµογή της στατικής υπερωθητικής ανάλυσης. Υπενθυµίζεται ότι στη δυναµική φασµατική µέθοδο αναλύσεως ο αριθµός των ιδιοµορφών που λαµβάνονται υπόψη εξαρτάται από το άθροισµα των αντίστοιχων ιδιοµορφικών µαζών τους. ∆ρώσα ιδιοµορφική µάζα είναι το µέρος της συνολικής ταλαντούµενης µάζας που ενεργοποιείται για κάθε ιδιοµορφή ταλάντωσης. Έτσι όλες οι ιδιοµορφές των οποίων το άθροισµα των δρωσών ιδιοµορφικών µαζών αντιστοιχεί σε ένα ποσοστό (συνήθως στο 90%) της συνολικής ταλαντούµενης µάζας θεωρούνται ότι συµµετέχουν ενεργά στη δυναµική απόκριση του συστήµατος (βλ. εδάφιο 7.2.1). Στην περίπτωση της ΣΥΑ µπορούµε να θεωρήσουµε ότι η κατανοµή των οριζόντιων φορτίων επηρεάζεται από έναν αριθµό, µικρό σχετικά, ιδιοµορφών και να υπολογίσουµε τα αντίστοιχα οριζόντια φορτία ανά όροφο που αντιστοιχούν σε αυτές τις ιδιοµορφές. Στη

23

συνέχεια η αναλογία των φορτίων εκκίνησης µπορεί να παραµείνει σταθερή καθόλη τη διάρκεια της οριακής ανάλυσης ή να προσαρµόζεται ανάλογα µε τον σταδιακό σχηµατισµό των πλαστικών αρθρώσεων. Για τον υπολογισµό των οριζόντιων σεισµικών φορτίων εκκίνησης µε σταθερά φορτία πολυ-ιδιοµορφικής κατανοµής µε τη συµµετοχή πλήθους ιδιοµορφών ακολουθούνται τα παρακάτω βήµατα: Βήµα 1: Υπολογισµός ικανού αριθµού m ιδιοπεριόδων και ιδιοµορφών από την

επίλυση του γενικευµένου προβλήµατος ιδιοτιµών

[ ] [ ] K φ λ Μ φ= (8.9)

1 2 mT , T ,..., T (8.10α)

1 2 mφ , ,..., φϕ (8.10β) Βήµα 2: Υπολογισµός της δρώσας µάζας κάθε ιδιοµορφής

T

j j jm [M] , j 1,= ϕ ϕ = m (8.11) T

j jL [M]r= ϕ (8.12)

j

2jeff

j m

Lm = (8.13)

Βήµα 3: Υπολογισµός του αριθµού των ενεργών ή σηµαντικών ιδιοµορφών που αντιστοιχεί στο απαιτούµενο ποσοστό της συνολικής ταλαντούµενης µάζας του συστήµατος για τη ΣΥΑ

effj tot

j 1m m

=

≥ δ∑ (8.14)

Βήµα 4: Υπολογισµός της φασµατικής επιτάχυνσης Sa(Τj), για j 1,= και στη

συνέχεια της συνολικής οριζόντιας φόρτισης στον όροφο k b, j j k

kV = Sa w /g , j 1,=∑ , k =1,n (8.15)

24

k

k jkj b, jk

k jk

wQ V

wϕ

=ϕ∑

(8.16)

( )1/ 2

2k kjQ Q

= ∑

j (8.17)

Στην περίπτωση που η αναλογία των φορτίων µεταβάλλεται ακολουθείται η µεθοδολογία του εδαφίου 8.1.2 της πρώτης ιδιοµορφής µε τη διαφορά ότι τα οριζόντια φορτία προκύπτουν από το σύνολο των ιδιοµορφών και υπολογίζονται σε κάθε βήµα m φόρτισης από τη σχέση

( )1/2

2k km j,m

jQ = Q , j = 1,

∑ και k =1,n (8.18)

Όπου τα φορτία Qk

m του κάθε ορόφου υπολογίζονται µέσω των βηµάτων 1 έως 4 του παρόντος εδαφίου σε κάθε βήµα m της φόρτισης. 8.2 Στατική Υπερωθητική Ανάλυση Τα βήµατα της στατικής υπερωθητικής ανάλυσης µε οριζόντια φορτία σταθερής ή µεταβαλλόµενης αναλογίας, επηρεάζονται από τη θεώρηση που υιοθετείται για την προσοµοίωση της µη γραµµικής συµπεριφοράς του φορέα. Στο εδάφιο αυτό θα αναπτυχθεί η µέθοδος της γραµµικοποιηµένης οριακής ανάλυσης µε τη µέθοδο βήµα προς βήµα µε οριζόντια φορτία ιδιοµορφικής κατανοµής και µεταβαλλόµενης αναλογίας. Η περίπτωση των οριζόντιων φορτίων σταθερής αναλογίας προκύπτει ως υποπερίπτωση της µεταβαλλόµενης αναλογίας.

Σχήµα 8.3 Προσαυξητικά βήµατα ΣΥΑ µε γραµµικοποιηµένη πλαστικότητα

25

8.2.1 ΣΥΑ µε γραµµικοποιηµένη οριακή ανάλυση Η ΣΥΑ, µε γραµµικοποιηµένη οριακή ανάλυση (βλ. κεφάλαιο 5 του Α’ τεύχους) και οριζόντια φορτία ιδιοµορφικής κατανοµής µεταβαλλόµενης αναλογίας, περιγράφεται από τα παρακάτω βήµατα. (βλ. σχήµα 8.3): Βήµα 1 1α: Υπολογισµός της θεµελιώδους ιδιοπεριόδου και ιδιοµορφής που αντιστοιχούν

σε ελαστική συµπεριφορά [ ] [ ] 0 1 1 1 1,1 1,1K = λ Μ Τ , ϕ ϕ ⇒ ϕ (8.19)

όπου οι κάτω δείκτες µετά το κόµµα αντιστοιχούν στο τρέχον βήµα φόρτισης. 1β: Yπολογισµός της τέµνουσας βάσεως και της καθύψος κατανοµής των

οριζόντιων σεισµικών φορτίων b,1 1,1 k

kV = Sa w /g∑ (8.20)

k

k 1,1k1 b,1k

i 1,1k

wQ V , k = 1, n

ϕ=

ϕ∑w (8.21)

T 1 2 n1 1 1 1Q Q Q Q = … (8.22)

1γ: Υπολογισµός του κλασµατικού φορτίου εκκίνησης

11

Qq =

R (8.23)

όπου R είναι ο µειωτικός συντελεστής των αρχικών οριζόντιων σεισµικών φορτίων.

1δ: Υπολογισµός του φορτίου σχηµατισµού της πλαστικής άρθρωσης στο βήµα 1 [ ] i, j i, j

0 1 1 1 1 1K δU q δλ ∆λ = min δλ ,= ⇒ ⇒ (8.24)

για κάθε άκρο j της ράβδου i . 1 1 1P q= ∆λ (8.25)

26

Βήµατα 2, 3, …, m -1 Βήµα m 1α: Υπολογισµός της θεµελιώδους ιδιοπεριόδου και ιδιοµορφής [ ] [ ] m-1 m m m 1,m 1, mK = λ M T , φ ϕ ϕ ⇒ (8.26) 1β: Υπολογισµός της τέµνουσας βάσεως και της καθύψος κατανοµής των

οριζόντιων σεισµικών φορτίων εκκίνησης b,m 1,m k

kV = Sa w /g∑ (8.27)

k

k 1,mkm b, mk

i 1,mk

wQ V , k = 1, n

wϕ

=ϕ∑

(8.28)

T 1 2 n

m m m mQ Q , Q , ,Q = … (8.29)

mm

Qq

R= (8.30)

1γ: Υπολογισµός του φορτίου σχηµατισµού της πλαστικής άρθρωσης στο βήµα

m

[ ] ( ) ( )

i, j i, j i, j i, j i, jm m m m p 3 m 3m 1 m

i, jm m m m 1 m m

δU q M M δλ δM

∆λ min δλ P P ∆λ Q−

−

= ⇒ δλ ⇒ = + ⇒

⇒ = ⇒ = +

K

(8.31) Εάν ο φορέας παραµένει ευσταθής τότε θέτουµε 1m m= + και συνεχίζουµε στο βήµα m έως ότου ο φορέας γίνει µηχανισµός. 8.2.2 ΣΥΑ µε µη γραµµική προσαυξητική-επαναληπτική οριακή ανάλυση Η γραµµικοποιηµένη µέθοδος βήµα προς βήµα υπολογισµού της καµπύλης ικανότητας προϋποθέτει τη γραµµική συµπεριφορά του φορέα µέσα σε κάθε προσαυξητικό βήµα φόρτισης. Αυτή η παραδοχή ισχύει µε τη θεώρηση της συγκεντρωµένης πλαστικότητας και του ακαριαίου σχηµατισµού των πλαστικών αρθρώσεων µέσω µιας ελαστικής-απολύτως πλαστικής θεώρησης. Στην πλέον ρεαλιστική θεώρηση της κατανεµηµένης πλαστικότητας κατά την οποία η

27

πλαστικοποίηση πραγµατοποιείται σταδιακά καθύψος της διατοµής και κατά τον διαµήκη άξονα των ράβδων του φορέα µε αποτέλεσµα ο φορέας να συµπεριφέρεται µη γραµµική σε κάθε προσαυξητικό βήµα φόρτισης. Στην περίπτωση αυτή ακολουθείται µία προσαυξητική-επαναληπτική διαδικασία για τον υπολογισµό της καµπύλης φορτίου-µετατόπισης. Ο υπολογισµός των εφαπτοµενικών µητρώων και των ακραίων εντατικών µεγεθών στην κατανεµηµένη πλαστικότητα περιγράφεται αναλυτικά στο κεφάλαιο 9.

Σχήµα 8.4 ΣΥΑ µε µη γραµµική προσαυξητική-επαναληπτική οριακή ανάλυση

Σχήµα 8.5 Επαναληπτική µη γραµµική διαδικασία εντός του

προσαυξητικού βήµατος φόρτισης m

28

α. Οριζόντια φορτία σταθερής αναλογίας Η στατική υπερωθητική ανάλυση µε οριζόντια φορτία ιδιοµορφικής κατανοµής µε τη µη γραµµική προσαυξητική-επαναληπτική µέθοδο περιγράφεται από τα παρακάτω βήµατα (βλ. σχήµατα 8.4 και 8.5): Βήµα 1: 1α: Υπολογισµός της τέµνουσας βάσεως και της καθύψος κατανοµής των

οριζόντιων σεισµικών φορτίων της ελαστικής απόκρισης

[ ] [ ]

0 1 1 1 1,1 1,1

b,1 1

K ,

V Q

ϕ = λ Μ ϕ ⇒ Τ ϕ ⇒

⇒ ⇒ (8.32)

1β: Υπολογισµός του κλασµατικού φορτίου εκκίνησης

11

Qq

R= (8.33)

Βήµα 2: Εκτέλεσης της µη γραµµικής προσαυξητικής-επαναληπτικής διαδικασίας 2α: Επαναλήψεις εντός του κλασµατικού φορτίου q 1

Επανάληψη 1

(0) (1) (1)0 1 1 1

(1) (1) (1)1 1 1

K δU q δU

∆U U F

= ⇒ ⇒

⇒ ⇒ ⇒ (8.34)

όπου (1)

1F είναι το διάνυσµα των επικόµβιων δράσεων λόγω των ακραίων εντατικών µεγεθών των ράβδων του φορέα που αντιστοιχούν στη γραµµική λύση της επανάληψης 1 (βλ. σχήµα 8.5 για το βήµα φόρτισης m ). ......

Επανάληψη

( 1) ( ) ( 1) ( )0 1 1 1 1

( ) ( ) ( )1 1 1

K δU q F δU

∆U U F

− − = − ⇒ ⇒

⇒ ⇒ ⇒ (8.35)

......

29

Σύγκλιση στην επανάληψη j : (j)1 1 1 1q F q − ≤ ε (8.36)

Όπου 1ε είναι µία παράµετρος ανοχής σφάλµατος ( )2 6

1 10 ~ 10− −ε = 2β: Επαναλήψεις εντός του κλασµατικού φορτίου 1 1 1 1mq (m ) q−−

Επανάληψη 1

(0) (1) (0) (1)m-1 m 1 m m

(1) (1) (1)m m m

K δU = q - F δU

∆U U F

⇒ ⇒

⇒ ⇒ ⇒ (8.37)

......

Επανάληψη

(0) ( ) ( -1) ( )m-1 m 1 m m

( ) ( ) ( )m m m

K δU q F δU

∆U U F

= − ⇒ ⇒

⇒ ⇒ ⇒ (8.38)

......

Σύγκλιση στην επανάληψη j:

(j)1 m

11

mq - F

m q≤ ε (8.39)

β. Οριζόντια φορτία µεταβαλλόµενης αναλογίας

Σχήµα 8.6 Κατανοµή σεισµικών φορτίων σύµφωνα µε την τρέχουσα θεµελιώδη ιδιοµορφή. (α) Βήµα φόρτισης 1, (β) Βήµα φόρτισης m

30

Σχήµα 8.7 Προσαυξητικά βήµατα φόρτισης µεταβαλλόµενης αναλογίας Η στατική υπερωθητική ανάλυση, µε τη µη γραµµική προσαυξητική-επαναληπτική µέθοδο και µε προσαρµοστικά οριζόντια φορτία ιδιοµορφικής κατανοµής µεταβαλλόµενης αναλογίας (βλ. σχήµα 8.6), περιγράφεται από τα παρακάτω βήµατα (βλ. σχήµατα 8.7, 8.8 και 8.9):

Σχήµα 8.8 Επαναληπτική µη γραµµική διαδικασία εντός του προσαυξητικού βήµατος

φόρτισης i

31

Βήµα 1: 1α: Υπολογισµός της αρχική τέµνουσας βάσεως και της καθύψος κατανοµής των

σεισµικών οριζόντιων φορτίων της ελαστικής απόκρισης

0 1 1 1 1,1 1,1

b,1 1

[K ] λ [M] T V Q ϕ = ϕ ⇒ ϕ ⇒

⇒ ⇒ (8.40)

1β: Υπολογισµός του αρχικού προσαυξητικού κλασµατικού φορτίου

11

Qq

R= (8.41)

Βήµα 2: Εκτέλεση της µη γραµµικής προσαυξητικής-επαναληπτικής διαδικασίας

εντός του κλασµατικού προσαυξητικού φορτίου q 1

Επανάληψη 1:

(0) (1) (1)0 1 1 1

(1) (1) (1)1 1 1

K δU = q δU

∆U U F

⇒ ⇒

⇒ ⇒ ⇒ (8.42)

......

Επανάληψη :

( 1) ( ) ( 1) ( )0 1 1 1 1

( ) ( ) ( )1 1 1

K U q F U

U U F

− − δ = − ⇒ δ ⇒

⇒ ∆ ⇒ ⇒ (8.43)

......

Σύγκλιση στην επανάληψη j: ( j)

1 11

1

q F q −

≤ ε (8.44)

32

Σχήµα 8.9 Επαναληπτική µη γραµµική διαδικασία εντός του προσαυξητικού βήµατος

φόρτισης m+1 Βήµα 3: Επαναλήψεις εντός του προσαυξητικού φορτίου 1 1iq (i 1)q − − (βλ.

σχήµα 8.9)

Επανάληψη 1:

(0) (1) (0) (1)i-1 i 1 i i

(1) (1) (1)i i i

K δU = i q - F δU

∆U U F

⇒ ⇒

⇒ ⇒ ⇒ (8.45)

...... Επανάληψη :

( 1) ( ) ( 1) ( )i 1 1 1 1 i

( ) ( ) ( )i i

K U q F U

U U F

− −− δ = − ⇒ δ ⇒

⇒ ∆ ⇒ ⇒ i

i (8.46)

...... Σύγκλιση στην επανάληψη j : (j)

1 1 1 1iq F iq − ≤ ε (8.47)

33

Βήµα 4: Έλεγχος κριτηρίου µεταβολής στιβαρότητας (βλ. σχήµατα 8.7 και 8.9)

Αρχικό µέτρο στιβαρότητας: T

1 11 T

1 1

q ∆U k =∆U ∆U

(8.48)

Τρέχον µέτρο στιβαρότητας: T

1 ii T

i i

q U k U U

∆=

∆ ∆ (8.49)

Kριτήριο µεταβολής στιβαρότητας : i2

1

k < εk

(8.50)

όπου 2ε είναι η παράµετρος αποµείωσης στιβαρότητας ( )2 0.5 ~ 0.1ε = . Eάν ισχύει το κριτήριο πήγαινε στο επόµενο βήµα 5 θέτοντας i m= . Εάν όχι τότε συνέχισε στο βήµα 3 θέτοντας 1ii += .

Βήµα 5: 1α: Υπολογισµός της τρέχουσας τέµνουσας βάσεως και της καθύψος κατανοµής

των σεισµικών οριζόντιων φορτίων (Βλ. Σχήµα 8.9)

[ ] [ ]

m m+1 m+1 m+1

1,m+1 1,m 1

b,m+1 m+1

K λ M

T ,

V Q+

ϕ = ϕ ⇒

⇒ ϕ ⇒

⇒ ⇒

(8.51)

1β: Υπολογισµός του τρέχοντος προσαυξητικού κλασµατικού φορτίου

m+12

Q q R

= (8.52)

Βήµα 6: Εκτέλεση της προσαυξητικής-επαναληπτικής διαδικασίας εντός του

προσαυξητικού κλασµατικού φορτίου q 2 (βλ. σχήµα 8.9)

Επανάληψη 1:

(0) (1) (1)m m+1 2 m+1

(1) (1) (1)m+1 m+1 m+1

K δU = q δU

∆U U F

⇒ ⇒

⇒ ⇒ ⇒ (8.53)

......

34

Επανάληψη :

( 1) ( ) ( -1) ( )m m+1 1 2 m+1 m+1K δU mq + q F δU− = − ⇒

( ) ( ) ( )m+1 m+1 m+1∆U U F⇒ ⇒ ⇒ (8.54)

......

Σύγκλιση στην επανάληψη j: ( j)

1 2 m 11

1 2

mq q F

mq q ++ −

≤ ε+

(8.55)

Βήµα 7: Επαναλήψεις εντός του πραυσαξητικού φορτίου

( ) ( )q)1i(qmqiqm 2121 −+−+ (βλ. σχήµα 8.7)

Επανάληψη 1:

(0) (1) (0)m+i-1 m+i 1 2 m+1K δU = mq + iq - F ⇒ (8.56)

(1) (1) (1) (1)m+i m+1 m+i m+iδU ∆U U F⇒ ⇒ ⇒

......

Επανάληψη :

( -1) ( ) ( -1)m+i-1 m+i 1 2 m+1K δU = mq + iq - F ⇒ (8.57)

( ) ( ) ( ) ( )m+i m+i m+i m+iδU ∆U U F⇒ ⇒ ⇒

...... Σύγκλιση στην επανάληψη j:

(j)1 2 m+i

11 2

mq + iq -F

mq + iq≤ ε (8.58)

35

Βήµα 8: Έλεγχος κριτηρίου µεταβολής στιβαρότητας.

Μέτρο στιβαρότητας στο βήµα m+1:

T

2 mm T

m m

q ∆U k =∆U ∆U

(8.59)

Τρέχον µέτρο στιβαρότητας:

T

2 m+im+i T

m+i m+i

q ∆U k =∆U ∆U

(8.60)

Κριτήριο µεταβολής στιβαρότητας: 2m

imk

kε≤+ (8.61)

Εάν ισχύει το κριτήριο πήγαινε στο βήµα 5 θέτοντας m=n. Εάν όχι τότε συνέχισε στο Βήµα 7 θέτοντας i=i+1.

Η ΣΥΑ µε µη γραµµική προσαυξητική-επαναληπτική οριακή ανάλυση τερµατίζεται µε την κατάρρευση του φορέα. Το σηµείο καταρρεύσεως της καµπύλης P-U ανιχνεύεται αριθµητικά κατά την επίλυση την εξισώσεων (8.38) ή (8.56) από το πρόγραµµα ανάλυσης του Η/Υ µε µία από τις τρεις ενδείξεις: (i) αδυναµία παραγοντοποίησης του εφαπτοµενικού µητρώου στιβαρότητας (ανίχνευση µηδενικού διαγώνιου όρου), (ii) αδυναµία σύγκλισης της επαναληπτικής διαδικασίας, (iii) υπολογισµός µεγάλων προσαυξητικών µετατοπίσεων από τη λύση των εξισώσεων (8.38) ή (8.56). γ. Οριζόντια φορτία πολυ-ιδιοµορφικής κατανοµής Για τη ΣΥΑ µε µη γραµµική προσαυξητική-επαναληπτική οριακή ανάλυση και σταθερά οριζόντια φορτία πολυ-ιδιοµορφικής κατανοµής ακολουθούνται τα ίδια βήµατα µε εκείνα της κατανοµής των φορτίων σύµφωνα µε την πρώτη ιδιοµορφή µε τη διαφορά ότι τα φορτία εκκίνησης υπολογίζονται από τη σχέση (8.17) αντί της σχέσης (816) µε j=1. Αντίστοιχα, για τη ΣΥΑ µε µη γραµµική προσαυξητική-επαναληπτική οριακή ανάλυση και µεταβαλλόµενα οριζόντια φορτία εκκίνησης πολυ-ιδιοµορφικής κατανοµής τα φορτία εκκίνησης σε κάθε προσαρµογή των τιµών τους υπολογίζονται από τη σχέση (8.18).

36

37

9. ΕΛΑΣΤΟΠΛΑΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΛΑΙΣΙΑΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΚΑΤΑΝΕΜΗΜΕΝΗ ΠΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ

H ελαστοπλαστική ανάλυση πλαισιακών φορέων µπορεί να πραγµατοποιηθεί µε δύο θεωρήσεις: (i) Θεώρηση συγκεντρωµένης πλαστικότητας (concentrated plasticity), όπου η διαρροή επέρχεται ταυτοχρόνως σε όλα τα σηµεία της διατοµής µόλις τα εντατικά µεγέθη της διατοµής ικανοποιήσουν το κριτήριο διαρροής (βλ. κεφάλαιο 5, Α΄ τεύχους). Η ανάλυση που βασίζεται στη θεώρηση αυτή ονοµάζεται και µέθοδος του πλαστικού κόµβου (plastic node). (ii) Θεώρηση κατανεµηµένης πλαστικότητας (distributed plasticity) κατά την οποία η πλαστικοποίηση των διατοµών πραγµατοποιείται σταδιακά ανάλογα µε την ικανοποίηση του κριτηρίου διαρροής σε χαρακτηριστικά σηµεία καθύψος της διατοµής. Η θεώρηση της συγκεντρωµένης πλαστικότητας έχει το πλεονέκτηµα της γραµµικής συµπεριφοράς του φορέα µεταξύ του σχηµατισµού δυο διαδοχικών πλαστικών κόµβων και έτσι µας δίνεται η δυνατότητα να εφαρµόσουµε γραµµικοποιηµένες µέθοδους υπολογισµού της καµπύλης ικανότητας P-U. Αδυνατεί όµως να προσοµοιώσει την κατανοµή της πλαστικοποίησης καθύψος της διατοµής και κατά µήκος των µελών του φορέα. Η κατανεµηµένη πλαστικότητα µπορεί να προσοµοιωθεί είτε µέσω της σχέσης ροπών-καµπυλοτήτων της διατοµής και της θεώρησης ενός ισοδύναµου ελαστικού κόµβου, είτε µέσω της πολυστρωµατικής θεώρησης όπου τα στοιχεία δοκού υποδιαιρούνται σε λεπτές στρώσεις, παράλληλες προς τον διαµήκη άξονά τους, καθεµία εκ των οποίων συµπεριφέρεται ανεξάρτητα από τις άλλες. Με τη θεώρηση του ισοδύναµου ελαστικού κόµβου έχουµε τη δυνατότητα προσοµοίωσης της κατανοµής της πλαστικότητας καθύψος της κρίσιµης διατοµής, ενώ µε την πολυστρωµατική θεώρηση η κατανοµή της πλαστικοποίησης επιτυγχάνεται τόσο καθύψος όσο και κατά µήκος των ράβδων του πλαισιακού φορέα. Η θεώρηση της κατανεµηµένης πλαστικότητας έχει το πλεονέκτηµα της δυνατότητας γενίκευσης, χωρίς σηµαντικές διαφοροποιήσεις, τόσο σε φορείς από χάλυβα όσο και από οπλισµένο σκυρόδεµα. Επίσης, µπορεί να επεκταθεί µε µικρές τροποποιήσεις σε ανακυκλική ή σεισµική φόρτιση. Θα πρέπει να σηµειωθεί ότι η πολυστρωµατική θεώρηση είναι υπολογιστικά χρονοβόρα πλην όµως είναι κατά κανόνα πιο αξιόπιστη.

Σχήµα 9.1 Πολυστρωµατική δοκός διπλού ταυ

38

9.1 Κατανεµηµένη πλαστικότητα µε πολυστρωµατική θεώρηση Στην πολυστρωµατική θεώρηση η δοκός υποδιαιρείται σε ένα πλήθος στρώσεων παράλληλων προς τον διαµήκη άξονα, όπως φαίνεται στο σχήµα 9.1. Η πλαστικοποίηση µιας στρώσης επέρχεται µόλις ικανοποιηθεί το κριτήριο διαρροής ενώ οι υπόλοιπες στρώσεις του πυρήνα παραµένουν στην ελαστική περιοχή (βλ. σχήµα 9.2).

Σχήµα 9.2 ∆ιαδοχική διαρροή των στρώσεων πολυστρωµατικής δοκού Η πολυστρωµατική θεώρηση βασίζεται σε κριτήρια διαρροής µε τασικά µεγέθη

0),,,,,,(f y312312332211 =σσσσσσσ σε αντίθεση µε τα κριτήρια διαρροής που χρησιµοποιήσαµε στο κεφάλαιο 5, του Α΄ τεύχους της συγκεντρωµένης πλαστικότητας, τα οποία διατυπώνονται συναρτήσει των εντατικών µεγεθών

1 2 3 1 2 3 yf (F ,F ,F ,M ,M ,M ,σ ) 0.= Εάν αγνοήσουµε την αλληλεπίδραση ορθών και διατµητικών τάσεων, το κριτήριο διαρροής ικανοποιείται όταν η ορθή τάση µιας στρώσης γίνει ίση µε την τάση διαρροής. Στο διάγραµµα ε−σ µε γραµµική κράτυνση του σχήµατος 9.3 η συνολική προσαυξητική ανηγµένη παραµόρφωση

d ε αποτελείται, ως γνωστόν, από µία ελαστική και µία πλαστική συνιστώσα :

ddd plel ε+ε=ε (9.1)

39

Σχήµα 9.3 ∆ιάγραµµα σ-ε µε γραµµική κράτυνση Το εφαπτοµενικό µέτρο ελαστικότητας ΕΤ και το µέτρο κράτυνσης Η δίνονται από τις σχέσεις (βλ. σχήµα 9.3)

T pl

d dE Hd dσ σ= = =ε ε

(9.2α,β)

Επειδή όµως

TT

el pl dσ dσdσ = E (dε + dε ) = E +E H

(9.3)

προκύπτει ότι

T

E H EE = = E 1-

E + H E + H

(9.4)

Το εφαπτοµενικό µέτρο ελαστικότητας

TE και όχι το αρχικό E θα

χρησιµοποιηθεί στη συνέχεια για τον υπολογισµό και του εφαπτοµενικού µητρώου στιβαρότητας των ακραίων εντατικών µεγεθών όπως θα δούµε στα εδάφια 9.12 και 9.13. 9.1.1 Προσαυξητική-επαναληπτική µέθοδος κατανεµηµένης

πλαστικότητας µε πολυστρωµατική θεώρηση Σε αντίθεση µε την ελαστική απολύτως πλαστική θεώρηση κατά την οποία ο φορέας συµπεριφέρεται γραµµικά µέχρι τον σχηµατισµό της επόµενης πλαστικής άρθρωσης, στην πολυστρωµατική θεώρηση της κατανεµηµένης πλαστικότητας ο φορέας συµπεριφέρεται µη γραµµικά αµέσως µετά την πλαστικοποίηση της

40

ακρότατης ίνας της διατοµής του πρώτου στοιχείου του φορέα που πλαστικοποιείται και παραµένει στη µη γραµµική περιοχή µέχρι την τελική κατάρρευση. Κατά συνέπεια, προκειµένου να προσδιοριστεί η καµπύλη φορτίου-µετατόπισης και να υπολογιστεί το φορτίο καταρρεύσεως θα πρέπει να εφαρµοστεί µία προσαυξητική-επαναληπτική διαδικασία όπου σε κάθε προσαυξητικό βήµα φόρτισης οι εξισώσεις ισορροπίας είναι µη γραµµικές. Η επίλυση των µη γραµµικών εξισώσεων ισορροπίας γίνεται µε κατάλληλες µεθόδους οι οποίες επιλύουν διαδοχικά γραµµικοποιηµένα προβλήµατα µέχρι την ικανοποίηση του κριτηρίου σύγκλισης στο συγκεκριµένο βήµα φόρτισης. Η πλέον διαδεδοµένη µέθοδος επίλυσης µη γραµµικών εξισώσεων ισορροπίας είναι η µέθοδος Newton-Raphson η οποία περιγράφεται σχηµατικά στο σχήµα (9.4) και ακολουθεί τα παρακάτω βήµατα:

Σχήµα 9.4 Η µη γραµµική µέθοδος Newton-Raphson α. Αλγοριθµική περιγραφή της µεθόδου Newton-Raphson στο βήµα m+1 Bήµα 1: Υπολογισµός του εφαπτοµενικού µητρώου στιβαρότητας m-1[K ] στο

σηµείο ισορροπίας m-1. Bήµα 2: Πρώτη επανάληψη µη γραµµικής διαδικασίας 2α: Υπολογισµός του εφαπτοµενικού µητρώου στιβαρότητας (βλ. εδάφιο 9.1.3)

(0)m-1 m-1K = [K ] (9.5)

41

2β: Επίλυση των γραµµικοποιηµένων εξισώσεων

(0) (1) (0)m-1 m m mK δU = P - F (9.6)

(1) (0) (1)

m m m∆U = U + δU (9.7) (1) (0) (1)

m m mU = U + ∆U (9.8) 2γ: Υπολογισµός του διανύσµατος των επικόµβιων δράσεων (1)

mF λόγω των ακραίων εντατικών µεγεθών των ράβδων του φορέα (βλ. εδάφιο 9.1.2). Το διάνυσµα αυτό ονοµάζεται και διάνυσµα εσωτερικών δράσεων.

...... Bήµα 3: Επανάληψη 3α: Υπολογισµός του εφαπτοµενικού µητρώου στιβαρότητας ( -1)

m-1K 3β: Επίλυση των γραµµικοποιηµένων εξισώσεων

( -1) ( ) ( -1)

m-1 m m mK δU = P - F (9.9)

( ) ( -1) ( )m m m∆U = ∆U + δU (9.10)

( ) (0) ( )

m m mU = U + ∆U (9.11) 3γ: Υπολογισµός των εσωτερικών δράσεων ( )

mF ......

Σύγκλιση στην επανάληψη j :

( j)m m

m

P F

P

−≤ ε (9.12)

Όπου ε είναι µία παράµετρος ανοχής σφάλµατος µεταξύ 2 610 10− −÷ .

Εάν ικανοποιείται το κριτήριο σύγκλισης τότε θέτουµε mj = :

(0) (j)m+1 m+1 mU = U = U (9.13)

42

(0) ( j)mm 1 m 1F F F+ += = (9.14)

PP m1m ∆Ρ+=+ (9.15)

Όπου ∆Ρ είναι το προσαυξητικό βήµα της εξωτερικής φότισης. Στη συνέχεια θέτουµε m=m+1 και πήγαινουµε στο βήµα 1. Εάν δεν ικανοποιείται το κριτήριο σύγκλισης τότε θέτουµε 1= + και πηγαίνουµε στο βήµα 3.

Για την εκτέλεση της µη γραµµικής επίλυσης των εξισώσεων ισορροπίας µε τη µέθοδο Newton-Raphson απαιτείται ο υπολογισµός των εσωτερικών επικόµβιων δράσεων (j)

mF και του εφαπτοµενικού µητρώου στιβαρότητας (j-1)mK του φορέα

σε κάθε επανάληψη j του προσαυξητικού βήµατος φόρτισης m . 9.1.2 Υπολογισµός επικόµβιων εσωτερικών δράσεων Οι επικόµβιες εσωτερικές δράσεις του φορέα προκύπτουν από το άθροισµα των ακραίων εντατικών µεγεθών των µελών του φορέα που συντρέχουν σε κοινούς κόµβους. Ο υπολογισµός των ακραίων εντατικών µεγεθών ενός στοιχείου δοκού-στύλου (beam-column) πραγµατοποιείται µε την ολοκλήρωση των τάσεων που αναπτύσσονται στις στρώσεις των δύο ακραίων διατοµών του 1 και 2 του στοιχείου. Η διαδικασία που ακολουθείται περιγράφεται από τα παρακάτω βήµατα: α. Υπολογισµός των τάσεων στην επανάληψη j του προσαυξητικού βήµατος m: Βήµα 1: Επίλυση της εξίσωσης ισορροπίας

(j-1) (j) (j-1)m-1 m m mK δU = P - F (9.16)

Βήµα 2: Υπολογισµός των ακραίων προσαυξητικών µετατοπίσεων (i)∆D στο τοπικό

σύστηµα συντεταγµένων κάθε στοιχείου i .

(j) (j) (i)m mδU ∆U ∆D⇒ ⇒ , (9.17)

όπου χάριν απλότητας στο συµβολισµό των ακραίων προσαυξητικών µετατοπίσεων παραλείπονται οι δείκτες m και j.

43

Βήµα 3: Υπολογισµός των ακραίων προσαυξητικών ανηγµένων παραµορφώσεων 11∆ε του στοιχείου i στα άκρα 1,2 στο µέσον της κάθε στρώσης (βλ.

σχήµα 9.5).

Σχήµα 9.5 Κατανοµή ελαστικών τάσεων ανά στρώση πολυστρωµατικής διατοµής Βήµα 4: Υπολογισµός της προσαυξητικής και ολικής ελαστικής πρόλεξης

(elastic prediction) σε κάθε στρώση (βλ. Σχήµα 9.6)

11 11elp∆σ = E ∆ε (9.18)

( ) ( ) ( )11 11

(j) (j)(0)elp elp11 mm m

σ = σ + ∆σ (9.19)

για κάθε στοιχείο i και άκρο 1,2.

44

Σχήµα 9.6 Υπολογισµός τάσεων στην επανάληψη j: (α) Στρώση στην αρχή του βήµατος φόρτισης εντός ελαστικής περιοχής, (β) στρώση στην αρχή του βήµατος φόρτισης στη µετελαστική περιοχή, (γ) αποφόρτιση Βήµα 5: Έλεγχος εντατικής κατάστασης στρώσης , στο προσαυξητικό βήµα

φόρτισης m, της επανάληψης j, του στοιχείου i , του άκρου 1 ή 2. 5α: Στρώση εντός ελαστικής περιοχής:

( ) ( ) ( )11 11 11

(j) (j)(j)elp elpy mm m

σ < σ σ = σ⇒ (9.20)

5β: Στρώση εκτός ελαστοπλαστικής περιοχής για πρώτη φορά (βλ. σχήµα 9.6α):

( ) ( )11 11

(j)elpy ym-1m

σ > σ και σ < σ (9.21)

( )(j) (j)

11 y T 11 m ymσ = σ + E [(ε ) - ε ] (9.22)

45

5γ: Στρώση εντός ελαστοπλαστικής περιοχής σε αυξανόµενη φόρτιση (βλ. σχήµα 9β):

( )11 11

(j)elp (0)y m ym

σ > σ και (σ ) > σ (9.23)

( )(j) ( j) (0)

11 11 m 1 T 11 m 11 mm( ) E [( ) ( ) ]−σ = σ + ε − ε (9.24)

5δ: Στρώση σε ελαστική αποφόρτιση: ( ) ( )( j)(0) elp

11 y 11 11 m 1m m( ) −σ > σ και σ < σ (9.25)

( ) ( j) elp ( j)

11 m 11 m( )σ = σ (9.26)

β. Υπολογισµός των επικόµβιων δράσεων του φορέα Τα εντατικά µεγέθη στα άκρα 1 και 2 του στοιχείου δοκού-στύλου στην επανάληψη j του προσαυξητικού βήµατος m υπολογίζονται µε την ολοκλήρωση των τάσεων που αναπτύσσονται σε κάθε στρώση της διατοµής του στοιχείου. Έτσι εάν θεωρήσουµε ένα στοιχείο επίπεδου πλαισιακού φορέα, οι ακραίες δράσεις στην επανάληψη j του προσαυξητικού βήµατος m

T(j) (j) (j) (j)1 2 3F = F F M , j 1,2 = (9.27)

υπολογίζονται από τις σχέσεις (βλ. σχήµα 9.5): 1 11F = σ t b , = 1, n∑ (9.28)

3 11 3 3M = σ b t y M = M⇒ ∑ (9.29)

όπου n είναι ο συνολικός αριθµός των στρώσεων της διατοµής του στοιχείου. Η τέµνουσα δύναµη υπολογίζεται από την ισορροπία των δράσεων στο στοιχείο (βλ. σχήµα 9.7) ( )1 1 2 2

2 3 3 2F M M L F= + = − (9.30)

46

Σχήµα 9.7 Υπολογισµός τεµνουσών δυνάµεων από την ισορροπία του στοιχείου

9.1.3 Εφαπτοµενικό µητρώο στιβαρότητας Ο υπολογισµός του εφαπτοµενικού µητρώου στιβαρότητας µπορεί να γίνει µε τη θεώρηση δοκού-στύλου (beam-column approach) µέσω του υπολογισµού των δεικτών ενδοσιµότητας του στοιχείου ή µε τη µέθοδο των πεπερασµένων στοιχείων και των συναρτήσεων σχήµατος (βλ. “Ανάλυση Φορέων µε τη Μέθοδο των Πεπερασµένων Στοιχείων”, Μ. Παπαδρακάκη, εκδόσεις Παπασωτηρίου, 2002 και “Μη γραµµικά πεπερασµένα στοιχεία”, Μ. Παπαδρακάκη, εκδόσεις ΕΜΠ, 2000). Στο εδάφιο αυτό θα υπολογισθεί το εφαπτοµενικό µητρώο στιβαρότητας ελαστοπλαστικού στοιχείου µε τη θεώρηση δοκού-στύλου από το αντίστοιχο µητρώο ενδοσιµότητας του στοιχείου.

Σχήµα 9.8 Θεµελιώδης φορέας-στοιχείο

Το µητρώο στιβαρότητας ενός στοιχείου δοκού-στύλου µπορεί να υπολογιστεί ως το αντίστροφο του µητρώου ενδοσιµότητας του στοιχείου. Έτσι για τον θεµελιώδη και ευσταθή (πρόβολο) φορέα-στοιχείο του σχήµατος 9.8 το µητρώο ενδοσιµότητος δίνεται από τη σχέση

=

66655655

44kk

FF0FF000F

]F[ (9.31)

47

όπου ijF είναι οι δείκτες ενδοσιµότητας οι οποίοι υπολογίζονται από την αρχή δυνατών έργων - µέθοδο µοναδιαίου φορτίου και δίνονται από τις σχέσεις (βλ. “Μαθήµατα Στατικής ΙΙΙ - Σύγχρονες Μέθοδοι Αναλύσεως Φορέων”, Μ. Παπαδρακάκη, εκδόσεις ΕΜΠ, 1996):

L L5 1 5 14 1 4 1

44 550 0

M (x )M (x )N (x )N (x )F dx , F dxEA EI

= =∫ ∫ (9.32 α,β)

L

5 1 6 156 65

0

M (x )M (x )F F dxEI

= = ∫ (9.33)

όπου Ν4(x1), Μ5(x1), Μ6(x1) είναι τα διαγράµµατα εντατικών µεγεθών του θεµελιώδη φορέα-προβόλου για µοναδιαία αξονική δύναµη, τέµνουσα δύναµη και ροπή στο άκρο 2 του στοιχείου, αντίστοιχα. Το µητρώο στιβαρότητας του στοιχείου, µετά την αντιστροφή του µητρώου [Fkk] υπολογίζεται από τη σχέση

2

A 0 0 -A 0 0B C + BL 0 -B -C - BL

D + 2CL + BL 0 -C -D - CL[K] =D A 0 0

B CD

(9.34)

όπου 44F1A = ,

66 56 55B F H C F H , D F H= = = (9.35)

2

55 66 56H = F F - F Παρακάτω υπολογίζονται οι δείκτες 44 55 66 56F ,F ,F ,F µε την εφαρµογή της αρχής των δυνατών έργων.

48

α. Αξονική εφαπτοµενική ενδοσιµότητα πολυστρωµατικών δοκών Για τον υπολογισµό του δείκτη ενδοσιµότητας F44 πολυστρωµατικής δοκού εφαρµόζουµε στο άκρο k του θεµελιώδη φορέα-στοιχείου µοναδιαία αξονική δύναµη 1P4 = , όπως φαίνεται στο σχήµα 9.9. Η αρχή των δυνατών έργων γράφεται

L

4 4 10

P ∆ = N (x ) d∆∫ (9.36)

όπου

4 1 11 1 2 21 1A A A

d dN (x ) (x )d E(x ) dA E(x )ddx dx∆ ∆

= σ Α = = Α∫ ∫ ∫ (9.37)

Σχήµα 9.9 Φόρτιση θεµελιώδη φορέα µε µοναδιαία αξονική δύναµη Αντικαθιστώντας τη σχέση (9.37) στην (9.32α) και λαµβάνοντας υπόψη ότι η µετατόπιση ∆ για µοναδιαία φόρτιση είναι ο δείκτης ενδοσιµότητας 44F , παίρνουµε

L

4 1 4 1 10

442

A

N (x )N (x )dxF

E(x )dA=∫

∫ (9.38)

49

Το µέτρο ελαστικότητας )x(E 2 µεταβάλλεται κατά τον άξονα 2x της δοκού λόγω των µετελαστικών παραµορφώσεων που αναπτύσσονται στη διατοµή του στοιχείου.

Σχήµα 9.10 ∆ιαγράµµατα αξονικών δυνάµεων και καµπτικών ροπών του θεµελιώδη

φορέα Το διάγραµµα των αξονικών δυνάµεων προβόλου που φορτίζονται στο άκρο του είναι σταθερό και έχει τη µορφή του σχήµατος (9.10α). Έτσι το ολοκλήρωµα του αριθµητή της σχέσης (9.38) ισούται µε

L

4 1 4 1 10

N (x )N (x )dx L=∫ (9.39)

Με την παραδοχή ότι το µέτρο ελαστικότητας παραµένει σταθερό κατά µήκος κάθε στρώσης του στοιχείου, ο παρονοµαστής της σχέσης (9.38) διατυπώνεται ως εξής

( )12 2 2

A

E(x )dA E b x x += −∑∫ (9.40)

όπου 12 2x x t+− = είναι το πάχος της στρώσης (βλ. σχήµα 9.11) και E,b

είναι το πλάτος της διατοµής και το µέτρο ελαστικότητας E της στρώσης ,

50

αντίστοιχα. Έτσι, για παράδειγµα, στην πολυστρωµατική διατοµή του σχήµατος 9.11, µε διάγραµµα σ-ε ελαστικό µε γραµµική κράτυνση, οι στρώσεις 1, 2, 7, 8 έχουν εισέλθει στη µετελαστική περιοχή και λειτουργούν µε το εφαµπτοµενικό µέτρο ελαστικότητας ΕΤ, ενώ οι στρώσεις 3, 4, 5, 6 παραµένουν στην ελαστική περιοχή και αποτελούν τον ελαστικό πυρήνα της διατοµής.

Σχήµα 9.11 Κατανοµή ελαστικών και µετελαστικών τάσεων σε πολυστρωµατική διατοµή

Β. Καµπτο-διατµητική εφαπτοµενική ενδοσιµότητα πολυστρωµατικών δοκών Για τον υπολογισµό των καµπτο-διατµητικών δεικτών ενδοσιµότητας 566655 F,F,F πολυστρωµατικής δοκού εφαρµόζουµε µία µοναδιαία τέµνουσα δύναµη και µία µοναδιαία ροπή στο άκρο k του στοιχείου (βλ. σχήµατα 9.10β και 9.12). Για τον υπολογισµό του δείκτη 66F η αρχή δυνατών έργων για 1P6 = γράφεται

L

6 6 10

P M (x )dϕ = ϕ∫ (9.41)

όπου

6 1 11 1 2 2 11 1 2A A

M (x ) (x )x d E(x ) (x )x dA= σ Α = ε∫ ∫ (9.42)

51

Σχήµα 9.12 Φόρτιση θεµελιώδη φορέα µε µοναδιαία καµπτική ροπή

Σχήµα 9.13 Μετατόπιση ουδέτερης γραµµής σε διατοµή χωρίς συµµετρία ως προς τον

άξονα x3

Από την κάµψη του στοιχείου και τη µετατόπιση της ουδέτερης γραµµής κατά δ (βλ. σχήµα 9.13) η ανηγµένη παραµόρφωση υπολογίζεται από τη σχέση

2 211 1

1

(x ) x(x ) ddx− δ − δ

ε = ϕ =ρ + δ

(9.43)

όπου ρ είναι η ακτίνα καµπυλότητας της διατοµής. Με την αντικατάσταση της (9.43) στη (9.42) παίρνουµε

52

26 1 2 2 2 2

1 A A

dM (x ) E(x )x dA E(x )x ddx

ϕ= − δ Α

∫ ∫ (9.44)

Λύνοντας ως προς dφ την (9.44) και αντικαθιστώντας στη διατύπωση της αρχής των δυνατών έργων (9.41) υπολογίζουµε τον δείκτη ϕ=66F από τη σχέση

L

6 1 6 1 10

662

2 2 2 2A A

M (x )M (x ) dxF

E(x )x dA E(x )x dA=

− δ

∫

∫ ∫ (9.45)

Όπου ο αριθµητής ισούται µε το µήκος L του στοιχείου, δεδοµένου ότι το διάγραµµα των καµπτικών ροπών προβόλου που φορτίζεται στο άκρο του είναι σταθερό και έχει µονοδιαία τιµή για 6P 1= (βλ. σχήµα 9.10γ):

L

6 1 6 1 10

M (x )M (x ) dx L=∫ (9.46)

Τα ολοκληρώµατα του παρονοµαστή δίνονται από τις σχέσεις (βλ. σχήµα 9.11)

( )L

32 3 12 2 2 2

0

E(x )x dA 1/ 3 E b (x ) x + = − ∑∫ (9.47)

( )L

22 12 2 2 2

0

E(x )x dA 1/ 2 E b (x ) x + = − ∑∫ (9.48)

Ο Υπολογισµός της απόστασης δ της ουδέτερης γραµµής από τον κεντροβαρικό άξονα του στοιχείου προκύπτει από τη συνθήκη της ουδέτερης γραµµής σε καθαρή κάµψη όπως είναι η φόρτιση του σχήµατος 9.12:

4 1 11 1 2 11 1A A

N (x ) (x ) dA E(x ) (x ) d 0= σ = ε Α =∫ ∫ (9.49)

Με την αντικατάσταση της (9.43) στη (9.49) παίρνουµε

0dA)x)(x(E12

A2 =δ−

δ+ρ ∫ (9.50)

53

ή

( ) ( )( )

2 212 2 2 2

A1

2 22A

E(x )x dA 1/ 3 E b x x

1/ 2 E b x xE(x ) dA

+

+

− δ = =

−

∑∫∑∫

(9.51)

Για τον υπολογισµό του δείκτη F55 ακολουθείται ανάλογη διαδικασία. Η α.δ.ε. στην περίπτωση αυτή γράφεται

L

5 5 10

P M (x ) dψ = ϕ∫ (9.52)

όπου ψ είναι η κατακόρυφη µετακίνηση του σηµείου επιβολής της φόρτισης. Ο δείκτης ενδοσιµότητας 55 5F (P 1)= ψ = υπολογίζεται από τη σχέση

( ) ( )

L

5 1 5 1 1 30

552 2

2 2 2 2 2 2 2 2A A A A

M x M x dxL / 3F

E(x )x dA E(x )x dA E(x )x dA E(x )x dA= =

− δ − δ

∫

∫ ∫ ∫ ∫

(9.53) Κατ’ αναλογία ο υπολογισµός των δεικτών F56 ,F65 γίνεται από τη σχέση

( ) ( )L

5 1 6 1 1 20

56 652 2

2 2 2 2 2 2 2 2A A A A

M x M x dxL / 2F F

E(x )x dA E(x )x dA E(x )x dA E(x )x dA= = =

− δ − δ

∫

∫ ∫ ∫ ∫

(9.54) Στην περίπτωση που η διατοµή έχει διπλή συµµετρία και −+ σ=σ yy τότε 0=δ και οι δείκτες ενδοσιµότητας απλοποιούνται στις παρακάτω σχέσεις:

3 3

55 2 1 22 2 2

2 2A

L / 3 L / 3F1/ 3 E b (x ) (x )

E(x )x dA+

= = −

∑∫ (9.55)

54

66 2 1 22 2 2

2 2A

L LF1/ 3 E b (x ) (x )

E(x )x dA+

= = −

∑∫ (9.56)

2 2

56 2 1 22 2 2

2 2A

L / 2 L / 2F1/ 3 E b (x ) (x )

E(x )x dA+

= = −

∑∫ (9.57)

Από τους δείκτες αυτούς υπολογίζονται στη συνέχεια οι εφαπτοµενικοί δείκτες στιβαρότητας ijk από τις σχέσεις (9.34) και (9.35), όπου

( )144 2 2

1A 1/ F E b x xL

+= = −∑ (9.58)

4 4

255 66 56 2 2

2 1 222 22 2

A

L /12 L /12F F F1 E b (x ) (x )E(x )x dA 2

+

Η = ⋅ − = = −

∑∫ (9.59)

( ) ( )3 32 1662 2 2 23 3

A

F 12 12 1B E(x )x dA E b x xH L L 3

+ = = = − ∑∫ (9.60)

2 3 1 3562 2 2 22 2

A

F 6 6 1C E(x )x dA E b (x ) (x )H L L 3

+ = = = − ∑∫ (9.61)

2 3 1 3552 2 2 2

A

F 4 4 1D E(x )x dA E b (x ) (x )H L L 3

+ = = = − ∑∫ (9.62)

το µητρώο [k] της σχέσης (9.34) αποτελεί το εφαπτοµενικό µητρώο στιβαρότητας του στοιχείου στη µετελαστική εντατική κατάσταση.

55

9.2 Κατανεµηµένη πλαστικότητα µε ισοδύναµο ελαστικό κόµβο 9.2.1 Μητρώο στιβαρότητας στοιχείου µε στροφικά ελατήρια

Σχήµα 9.14 (α) Στοιχείο µε στροφικό ελατήριο στο άκρο 1, (β) στοιχείο µε στροφικά

ελατήρια στα άκρα 1 και 2

Σε αρκετές περιπτώσεις είναι δυνατό να προσοµοιωθεί η σταδιακή καθύψος πλαστικοποίηση των ινών µιας ακραίας διατοµής της ενός στοιχείου του φορέα µε την ύπαρξη ενός στροφικού ελατηρίου στη διατοµή αυτή. Το στροφικό ελατήριο προσδίδει ελαστικότητα στον κόµβο η ύπαρξη του οποίου διαφοροποιεί τη στροφή του άκρου της ράβδου από εκείνη του κόµβου στον οποίο συντρέχει (βλ. σχήµα 9.14). Προκειµένου να υπολογιστεί ο λόγος 1 3 3r ′= ∆ ∆ , για την περίπτωση στροφικού ελατηρίου στο άκρο 1 της ράβδου, θα πρέπει να υπολογιστεί πρώτα το µητρώο στιβαρότητας του στοιχείου µε τους πέντε βαθµούς ελευθερίας το οποίο δίνεται από τη σχέση (βλ. εδάφιο 4.3 “Μαθήµατα Στατικής ΙΙΙ – Σύγχρονες Μέθοδοι Αναλύσεως Φορέων”, Μ. Παπαδρακάκη, εκδόσεις ΕΜΠ, 1996):

[ ]

22 23 25 26

1 1

32 1 33 1 35 36

52 53 55 56

62 63 65 66

k 0 k k k0 c -c 0 0

k -c k + c k kk =k 0 k k kk 0 k k k

′

′

2 3 3 5 623356

(9.63)

όπου c1 είναι η στροφική στιβαρότητα του ελατηρίου στο άκρο 1και ijk είναι οι δείκτες στιβαρότητας τυπικού στοιχείου επίπεδης δοκού. Στη σχέση (9.63) έχουν παραληφθεί για λόγους απλότητας οι αξονικοί δείκτες στιβαρότητας οι οποίοι δεν αλληλεπιδρούν µε την καµπτοδιατµητική ένταση.

56

Από την τρίτη εξίσωση ισορροπίας της µητρωικής σχέσης [ ] k ∆ = P του στοιχείου, θέτοντας τις συνοριακές συνθήκες 2 5 6 0∆ = ∆ = ∆ = και 3 1∆ = , προκύπτει ότι

3 11

3 1 33

∆ cr = =c + k

′

∆ (9.64)

η οποία εκφράζει τον λόγο των στροφών εκατέρωθεν του ελατηρίου υπό τις δεδοµένες συνοριακές συνθήκες. Στην περίπτωση που η ράβδος έχει στροφικά ελατήρια και στα δύο άκρα της, τότε το µητρώο στιβαρότητας του στοιχείου του σχήµατος (9.14β) ισούται µε

22 23 25 26

1 1

32 1 33 1 35 36

52 53 55 56

2 2

62 63 65 2 66 2

k 0 k k 0 k0 c c 0 0 0

k c k c k 0 kk

k 0 k k 0 k0 0 0 0 c c

k 0 k k c k c

′ ′

− ′ − +

= − ′ − +

2 3 3 5 6 6233566

(9.65)

Από την τρίτη και την έκτη εξίσωση ισορροπίας της µητρωικής σχέσης [ ] k P∆ = του στοιχείου (γραµµές ′3 και 6′ ), θέτοντας 2 5 6 0′∆ = ∆ = ∆ = προκύπτει ο λόγος 1 3 3r ′= ∆ ∆ ενώ µε 2 5 3 0′∆ = ∆ = ∆ = προκύπτει ο λόγος

2 6 6r ′= ∆ ∆ :

3 11

3 1 33

6 22

6 2 66

crc k

crc k

′

′

∆= =∆ +

∆= =∆ +

(9.66α,β)

Το µητρώο στιβαρότητας ενός στοιχείου µε ένα ή δύο στροφικά ελατήρια στα άκρα του υπολογίζεται µε τη διαδικασία της στατικής συµπύκνωσης των εσωτερικών στροφικών βαθµών ελευθερίας 3′∆ και 3′∆ , 6′∆ την σχέσεων (9.63) και (9.65), αντίστοιχα.

57

Έτσι για την περίπτωση ενός µόνο στροφικού ελατηρίου στο άκρο 1, το συµπυκνωµένο µητρώο στιβαρότητας δίνεται από τη σχέση 1

c cc ce ee eck k k k k−= − :

[ ]22 25 26 23

1 132 1 35 36

52 55 56 53 33 1

62 65 66 63

0 22 23 32 1 23 0 25 23 35 0 26 23 36

1 32 1 33 1 35 1 36

0 52 53 32 1 0 55 53 35 0 560

k 0 k k k0 c 0 0 c 1k k c k k

k 0 k k k k ck 0 k k k

k k k k c k k k k k k k k kc k c k c k c k1

k k k k c k k k k k kk

− = − − = +

− − −

=− − − 53 36

0 62 63 32 1 0 65 63 35 0 66 63 36

k kk k k k c k k k k k k k k

− − −

(9.67)

µε 0 3 1k k c= + . Με την ύπαρξη δύο στροφικών ελατηρίων στα άκρα 1 και 2 η αντίστοιχη στατική συµπύκνωση του βαθµού ελευθερίας ′ ′3 6∆ και ∆ του µητρώου της σχέσης (9.65) εκτελείται ως εξής:

22 25 23 261

33 1 36 32 1 351 1

63 66 2 62 65 252 55 53 56

2 2

k 0 k 0 k kk c k k c k 00 c 0 0 c 0

kk k c k 0 k ck 0 k 0 k k

0 0 0 c 0 c

−+ −−= −

+ −

−

όπου

1

33 1 36 66 2 36

63 66 2 63 33 166 2 33 36 63 1 66 1 2

k c k k c k a b1k k c k k c c d(k c )k k k c k c c

−

+ + −= =

+ − ++ − + +

Το συµπυκωµένο µητρώο στιβαρότητας (4x4) γράφεται συµβολικά ως εξής:

58

22 23 26 32 23 26 62 23 26 12

1 32 1 62 2 2

52 53 56 32 53 56 62 53 56 1

2 32 2 62 1 2

25 23 26 35 23 26 65 23 26 2

1 35

k

k (k a k c)k (k b k d)k (k a k c)c

c ak c bk c c a=

k (k a k c)k (k b k d)k (k a k c)cc ck c dk c cc

k (k a k c)k (k b k d)k (k b k d)cc ak

− + − + +

+ − − + − + +

+ −

− + − + ++ 1 65 1 2

55 53 56 35 53 56 65 53 56 22

2 35 2 65 2 2

c bk c bck (k a k c)k (k b k d)k (k b k d)c

c ck c dk c c d

− − + − + +

+ −

(9.68) Ο λόγος r των στροφών εκατέρωθεν του στροφικού ελατηρίου δίνει ένα µέτρο της στροφικής στιβαρότητας του ελαστικού κόµβου και κυµαίνεται µεταξύ της τιµής

jr 1= , που αντιστοιχεί σε άπειρη στροφική στιβαρότητα του ελατηρίου j(c )= ∞ , και συνεπώς σε απολύτως στερεό κόµβο, και σε r 0= , που αντιστοιχεί σε µηδενική στροφική στιβαρότητα και συνεπώς σε πλήρη άρθρωση στο άκρο αυτό ( jc o= ). Έτσι έχοντας τη σχέση της ροπής πρός τη στροφή, που χαρακτηρίζει τη µη γραµµική συµπεριφορά του στροφικού ελατηρίου, µπορούµε να αναλύσουµε τον φορέα επιβάλοντας το φορτίο κατά βήµατα και να υπολογίσουµε τις αντίστοιχες µετατοπίσεις που προκαλεί. Θα πρέπει να σηµειωθεί ότι ανάλογα µε το στάδιο πλαστικοποίησης της διατοµής 1 ή 2, οι αντίστοιχοι δείκτες στιβαρότητας κυµαίνονται µεταξύ εκείνων του στοιχείου χωρίς ελευθέρωση και του στοιχείου µε στροφική ελευθέρωση στο αντίστοιχο άκρο.. 9.2.2 Μετελαστική ανάλυση µε ισοδύναµο ελαστικό κόµβο Σε πλήρη αναλογία προς τον ελαστικό κόµβο και τον λόγο της στροφικής στιβαρότητας r µπορούµε να θεωρήσουµε τον συντελεστή πλαστικότητας p µιας διατοµής ο οποίος κυµαίνεται µεταξύ της µονάδας (απολύτως ελαστική διατοµή) και της µηδενικής τιµής (πλήρως πλαστικοποιηµένη διατοµή). Ο συντελεστής αυτός χαρακτηρίζει τον βαθµό πλαστικοποίησης µιας διατοµής από τη στιγµή της εµφάνισης της πρώτης πλαστικής ίνας στη διατοµή (ροπή yM ) µέχρι την πλήρως πλαστική ροπή pM . Η σχέση αυτή µπορεί να παρασταθεί ποιοτικά από τη καµπύλη του σχήµατος 9.15.

59

Σχήµα 9.15 Καµπύλη ροπών – προσαυξητικών καµπυλοτήτων

Στην καµπύλη αυτή απεικονίζεται η µετελαστική σχέση µεταξύ της ροπής και της προσαυξητικής καµπυλότητας που αναπτύσσεται. Η καµπυλότητα yκ αντιστοιχεί στην ελαστική καµπυλότητα της διατοµής τη στιγµή που πλαστικοποιείται η ακρότατη ίνα. Με pκ συµβολίζεται η προσαυξητική καµπυλότητα πέραν της yκ κατά την οποία πλαστικοποιείται και η τελευταία ελαστική ίνα της διατοµής και δηµιουργείται η πλαστική άρθρωση, ενώ uκ είναι η προσαυξητική καµπυλότητα κατά την οποία η διατοµή αγγίζει τα όρια της µέγιστης παραµορφωσιµότητας πέραν από την οποία η δυνατότητα παραλαβής καµπτικής ροπής µειώνεται απότοµα. Με µικρή απόκλιση από την πραγµατική συµπεριφορά τυπικών διατοµών του εµπορίου για µεταλλικές κατασκευές µπορούµε να προσοµοιώσουµε τη µη γραµµική σχέση M − κ µε µία καµπύλη ελλειπτικής µορφής η οποία περιγράφεται από τη σχέση

( ) ( ) ( )( )( )1

2 22y p y p y p pM M M M Μ κ = Μ + − − − κ − κ κ

(9.69)

Η καµπύλη αυτή έχει πεδίο ισχύος από 0κ = έως pκ = κ . Ανάλογη σχέση θα µπορούσε να θεµελιωθεί και για διατοµές οπλισµένου σκυροδέµατος. Από την καµπύλη του σχήµατος (9.15) παρατηρούµε ότι στην ελαστική περιοχή η µετελαστική προσαυξητική καµπυλότητα ισούται µε µηδέν ( 0)κ = και η αντίστοιχη προσαυξητική καµπτική στιβαρότητα απειρίζεται (dM d )κ = ∞ . Η άπειρη καµπτική στιβαρότητα ισοδυναµεί µε δυνατότητα διατήρησης του συµβιβαστού της ελαστικής στροφής στον κόµβο της συγκεκριµένης διατοµής

60

µεταξύ των στοιχείων που συντρέχουν σε αυτόν και στον στερεό κόµβο. Αντιθέτως, µόλις η ροπή της διατοµής γίνει ίση µε τη pΜ τότε dM 0= και η αντίστοιχη εφαπτοµενική καµπτική στιβαρότητα µηδενίζεται dM d 0κ = . Παραγωγίζοντας τη (9.70) ως πρός κ παίρνουµε

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )( )

2p p

T 12 222

p p p p p

M MydMk

dM My M My

− κ − κκ= =

κ κ − − − κ − κ κ

(9.70)

µε την οποία υπολογίζεται η εφαπτοµενική καµπτική στιβαρότητα της διατοµής. Από την παραπάνω παρουσίαση συνάγεται µία µαθηµατική συσχέτιση µεταξύ της µετελαστικής συµπεριφοράς µιας πλαστικοποιηµένης διατοµής και της ελαστικής συµπεριφοράς ενός κόµβου µε στροφικό ελατήριο. Έτσι µε την αντικατάσταση των στροφικών στιβαροτήτων 1 2c , c µε τη µετελαστική καµπτική στιβαρότηταςdM dκ στις σχέσεις (9.64) ή (9.66) µπορούµε να ορίσουµε τον συντελεστή πλαστικότητας p από τις σχέσεις

133

kp =k + k

1Τ

1Τ

(9.71)

και

266

kp =k + k

2Τ

2Τ

(9.72)

Ο σταδιακός σχηµατισµός των πλαστικών αρθρώσεων µε θεώρηση κατανεµηµένης πλαστικότητας καθύψος της διατοµής του στοιχείου µπορεί τώρα να ληφθεί υπόψη µε την αντικατάσταση του c1 από το 1

Tk και των c1, c2 από τα 1 2T Tk ,k στις σχέσεις

(9.67), (9.68) των συµπυκνωµένων µητρώων ενδοσιµότητας k .

α. Βήµατα της µεθόδου Η ελαστοπλαστική ανάλυση ενός πλαισιακού φορέα µε τη θεώρηση της κατανεµηµένης πλαστικότητας και ισοδύναµο ελαστικό κόµβο ακολουθεί τα παρακάτω βήµατα. Βήµα 1: Επιλέγεται το φορτίο εκκίνησης και το βήµα της προσαύξησης για την

προσαυξητική διαδικασία επιβολής των οριζόντιων φορτίων. Το φορτίο

61

εκκίνησης επιλέγεται σχετικά µικρό ώστε ο φορέας να συµπεριφέρεται ελαστικά ( )p 1, 0= κ = .

Βήµα 2: Επίλυση του φορέα για το βήµα της τρέχουσας προσαύξησης και

έλεγχος όλων των κρίσιµων διατοµών των µελών του φορέα.

Παραδοχή: Μετά την πλαστικοποίηση της πρώτης ακρότατης ίνας µιας διατοµής η µετελαστική καµπτική στιβαρότητας dM / dκ θεωρείται ότι παραµένει σταθερή εντός του προσαυξητικού βήµατος στο τέλος του οποίου υπολογίζονται τα συνολικά ακραία εντατικά µεγέθη των µελών του φορέα. Βήµα 3: Για κάθε άκρο j 1, 2= κάθε στοιχείου i ελέγχονται τα εντατικά µεγέθη

και η ικανοποίηση του κριτηρίου διαρροής. Έτσι, για την περίπτωση της µη επιρροής των αξονικών δυνάµεων στο κριτήριο διαρροής, και εφόσον M My,> µπορούµε να υπολογίσουµε την προσαυξητική µετελαστική καµπυλότητα από την επίλυση της εξίσωσης (9.69) ως προς κ , θέτοντας ( )Μ κ =Μ :

( )( )

12 2

p p 2

M My1

M My

−κ = κ − κ −

− (9.73)

Βήµα 4: Με την αντικατάσταση της τιµής κ της σχέσης (9.73) στη σχέση (9.70)

υπολογίζεται η τιµή της µετελαστικής-εφαπτοµενικής καµπτικής στιβαρότητας dM / dκ από την οποία προκύπτουν οι συντελεστές πλαστικότητας 1 2p , p (σχέσεις 9.71, 9.72). Το ποσοστό πλαστικοποίησης της διατοµής υπολογίζεται από τη σχέση

% πλαστικότητα= ( )j ,100 1 p j 1,2− = (9.74)

η οποία θα χρησιµοποιηθεί για να παραχθεί το εφαπτοµενικό ελαστοπλαστικό µητρώο στιβαρότητας της κατασκευής για το επόµενο προσαυξητικό βήµα της φόρτισης.

Βήµα 5: Μετά τον υπολογισµό των συντελεστών πλαστικότητας υπολογίζεται,

µέσω των σχέσεων (9.67, 9.68), τα εφαπτοµενικά ελαστοπλαστικά µητρώα στιβαρότητας των στοιχείων και στη συνέχεια το καθολικό ελαστοπλαστικό µητρώο στιβαρότητας του φορέα.

Βήµα 6: Επιβολή του επόµενου προσαυξητικού φορτίου και συνέχιση της

διαδικασίας από το βήµα 2.

62

β. Ισοδύναµος ελαστικός κόµβος µε γενικευµένο κριτήριο διαρροής Όταν στη διαµόρφωση του κριτηρίου διαρροής λαµβάνουµε υπόψη την αλληλεπίδραση των εντατικών µεγεθών που αναπτύσσονται σε µία διατοµή, τα όρια της ελαστοπλαστικής περιοχής της διατοµής από My M Mp≤ ≤ ορίζονται από τη σχέση

mMy M N 1.0Mp Mp Np

≤ + ≤

(9.75)

εφόσον θεωρήσουµε µόνο την αλληλεπίδραση µεταξύ την καµπτικής ροπής και της αξονικής δύναµης. Ο εκθέτης m εξαρτάται από τη µορφή της διατοµής (π.χ. 2=m για ορθογωνικές διατοµές) και yNp A= σ . Η τιµή της αξονικής δύναµης διαρροής ισούται µε

1mMyNy Np

Mp

=

(9.76)

η οποία προκύπτει εάν θέσουµε M 0= στη σχέση (9.75).

Σχήµα 9.16 Κριτήριο διαρροής ιδεατού διπλού ταυ

63

Στο σχήµα (9.16) απεικονίζεται η καµπύλη αλληλεπίδρασης για 1m = (διατοµή ιδεατού διπλού ταυ) καθώς και η “καµπύλη” που αντιστοιχεί στην πλαστικοποίηση της ακραίας ίνας της διατοµής. Η περιοχή που περικλέιεται µεταξύ των δύο αυτών “καµπυλών” ορίζει την ελαστοπλαστική περιοχή στην οποία ο συντελεστής πλαστικότητας p της διατοµής κυµαίνεται µεταξύ 1 p 0≥ ≥ . Με την παραδοχή ότι ο λόγος M N παραµένει σταθερός εντός της ελαστοπλαστικής περιοχής, καθώς η διατοµή περνάει από την πλαστικοποίηση της ακραίας ίνας στην πλήρη πλαστικοποίηση, µπορούν να προσδιοριστούν οι δύο αυτές ακραίες εντατικές καταστάσεις από τα σηµεία Oy µε M y My s′ = και Op µε M p Mp s′ = , αντίστοιχα. Ο συντελεστής 1>s εξαρτάται από τον λόγο M N τη στιγµή που πλαστικοποιείται η ακραία ίνα της διατοµής. Έτσι µε την αντικατάσταση των τροποποιηµένων ροπών M y′ και M p′ στις σχέσεις (9.69) και (9.70) προκύπτουν οι µετελαστικές σχέσεις ροπών-καµπυλοτήτων και εφαπτοµενικής καµπτικής στιβαρότητας, αντίστοιχα. Λαµβάνοντας υπόψη την αλληλεπίδραση καµπτικών ροπών και αξονικών δυνάµεων στη διαµόρφωση του κριτηρίου διαρροής των διατοµών. Μετά από αυτή την τροποποίηση των My και Mp η διαδικασία της µετελαστικής ανάλυσης µε ισοδύναµο ελαστικό κόµβο ακολουθεί τα βήµατα που περιγράφηκαν στο εδάφιο αυτό. 9.2.3 Υπερωθητική ανάλυση µε ισοδύναµο ελαστικό κόµβο Η οµοσπονδιακή υπηρεσία διαχείρισης φυσικών καταστροφών των ΗΠΑ (Federal Emergency Management Agency-FEMA) έχει υιοθετήσει ως κύριο κριτήριο ελέγχου της δοµητικής κατάστασης ενός κτηρίου, σε διάφορες στάθµες φόρτισης, τις οριζόντιες ανηγµένες µετατοπίσεις των ορόφων. Τα κατακόρυφα φορτία παραµένουν σταθερά ενώ τα οριζόντια αυξάνονται σταδιακά αρχής γενοµένης από µία µικρή τιµή για την οποία ο φορέας συµπεριφέρεται ελαστικά ( 1=p για όλες τις διατοµές). Μετά από κάθε αύξηση της οριζόντιας φόρτισης τα µητρώα στιβαρότητας των στοιχείων του φορέα υπολογίζονται από τις σχέσεις (9.67), (9.68), ανάλογα µε τον βαθµό πλαστικοποίησης ( )p 1< των ακραίων διατοµών, προκειµένου να υπολογιστεί η οριζόντια µετατόπιση για την επόµενη προσαύξηση της οριζόντιας φόρτισης. Οι διαδοχικές αυτές αναλύσεις τερµατίζονται όταν ο φορέας αναλάβει το µέγιστο φορτίο µε τον σχηµατισµό του µηχανισµού κατάρρευσης. Η διατιθέµενη πλαστιµότητα ως προς τις µετακινήσεις υπολογίζεται από τη σχέση

r1

y

UU

µ = (9.77)

ενώ η διατιθέµενη πλαστιµότητα ως προς τη σχετική µετατόπιση δύο ορόφων από τη σχέση

64

( ) ( )2 k k 1 k k 1 yU U U U− −µ = − − (9.78)

όπου Ur είναι η τρέχουσα µετακίνηση της οροφής του κτηρίου, Uy είναι η οριζόντια µετατόπιση της οροφής του κτηρίου τη στιγµή της εµφάνισης της πρώτης πλαστικοποίησης, kU είναι η οριζόντια µετατόπιση του k ορόφου και ( )k k 1 yU U −− είναι σχετική οριζόντια µετατόπιση των ορόφων k και k -1 όταν εµφανίζεται η πρώτη πλαστικοποίηση σε κάποιο από τα στοιχεία (δοκού ή στύλου) του ορόφου. Η τρέχουσα µετακίνηση Ur ορίζει τις χαρακτηριστικές στάθµες συµπεριφοράς του κτηρίου. Οι στάθµες συµπεριφοράς του κτηρίου διακρίνονται σε: (i) Άµεσης χρήσης “IO” (Immediate Occupancy), (ii) Ελεγχόµενων ζηµιών “DC”(Damage Control), (iii) Ασφάλεια ζωής “LS” (Life Safety), (iv) Κατάρρευσης “SC” (Structural Collapse). Παράδειγµα 1

Σχήµα 9.17 Επίπεδο µεταλλικό πλαίσιο. Γεωµετρία και διατοµές µελών

Ζητείται η υπερωθητική ανάλυση του επίπεδου πλαισίου του σχήµατος. Οι διατοµές των µελών του πλαισίου του σχήµατος 9.17 είναι τύπου W µε τα εξής χαρακτηριστικά: ∆ιατοµές στύλων 14x257, διατοµές δοκών πρώτου και δεύτερου ορόφου 33x118, διατοµές δοκών οροφής 24x68. Το πλαίσιο έχει θεµελιώδη ιδιοπερίοδο 1T 1.01s= . Η µετελαστική προσαυξητική καµπυλότητα µετά την yκ κατά την οποία η πλαστικοποίηση της διατοµής εισχωρεί σε όλον τον ελαστικό πυρήνα έχει υπολογιστεί για τις συγκεκριµένες διατοµές από χάλυβα σε

p 0.045 radκ = , ενώ η µέγιστη προσαυξητική καµπυλότητα uκ έχει θεωρηθεί πολύ µεγάλη ώστε να αποφευχθεί η τοπική θράυση της διατοµής. Το κριτήριο διαρροής που έχει υιοθετηθεί είναι το διάγραµµα αλληλεπίδρασης Μ−Ν της σχέσης (9.75) για 1=m .

65

Στον πίνακα 1 δίνεται η τέµνουσα βάσεως και η κατανοµή ανά όροφο των οριζόντιων φορτίων για µία αυθαίρετη τιµή της φασµατικής επιτάχυνσης Sa 0.0008g= από την οποία υπολογίζονται τα φορτία εκκίνησης. Η τέµνουσα βάσεως υπολογίζεται από τη σχέση

ab

SV Wg

= (α)

όπου W είναι το συνολικό κατακόρυφο φορτίο, που αποτελείται από το ίδιο βάρος και τα κινητά φορτία, ενώ οι οριζόντιες δυνάµεις στη στάθµη του κάθε ορόφου k δίνουται από τη σχέση

k vk bQ C V= (β)

s

k kk r

i ii

w hC , i 1 3w hν = = ÷

Σ (γ)

όπου kh είναι το ύψος του ορόφου k από τη βάση του κτηρίου και ο εκθέτης s εξαρτάται από τη θεµελιώδη ιδιοπερίοδο του κτηρίου. Οι τιµές του πίνακα 1 προέκυψαν για = 2s προκειµένου να πετύχουµε παραβολική κατανοµή των φορτίων καθύψος. Στο σχήµα 9.18 φαίνεται η κατανοµή και το ποσοστό της πλαστικοποίησης των πλαστικών κόµβων σε κάθε επίπεδο επιτελεστικότητας του φορέα. Η καµπύλη ικανότητας του κτηρίου απεικονίζεται στο σχήµα 9.18 όπου η τέµνουσα βάσεως είναι κανονικοποιηµένη ως προς το συνολικό βάρος του φορέα και η οριζόντια µετακίνηση της οροφής του κτηρίου είναι κανονικοποιηµένη ως προς το ύψος της οροφής. Οι χαρακτηριστικές τιµές των οριζοντίων µετατοπίσεων της οροφής του κτηρίου για τα διάφορα επίπεδα επιτελεστικότητας προέκυψαν από τις απαιτούµενες οριακές τιµές των κανονισµών που είναι

IO DC LSU 0.7%h, U 2.5%h U 5%h= = και = .

Πίνακας 1: Κατανοµή οριζόντιων προσαυξητικών φορτίων καθύψος

Όροφος Φορτίο Ορόφου (kN)

Τέµνουσα βάσεως

(kN)

Συντελεστής κατανοµής(Cvk)

Προσαυξητικά φορτία ορόφου (kN)

1 4688 11.556 0.068 0.786 2 4688 0.271 3.132

οροφή 11405071 0.661 7.639

66

Πίνακας 2: Αποτελέσµατα υπερωθητικής ανάλυσης

Επίπεδο Επιτελεστικότητας

Μετατόπιση οροφής (cm)

∆ιατιθέµενη πλαστιµότητα

1µ

Τέµνουσα βάσεως

(kΝ)

Φασµατική επιτάχυνση

Ελαστικό yU 4.39= 1.00 1710.33 0.1184g IO IOU 8.32= 1.89 3154.09 0.2183g DC DCU 29.72= 6.77 5041.37 0.3489g LS LSU 59.44= 13.55 5326.28 0.3687g SS

scUψ = ∞ ∞ 5339.09 0.3695g

Πίνακας 3: Ποσοστό πλαστικοποίησης του φορέα

Επίπεδο

Επιτελεστικότητας Αριθµός διατοµών µε

µερική πλαστικοποίηση

Αριθµός διατοµών µε πλήρη πλαστικοποίηση

ΙΟ 3 2 DC 15 15 LS 3 27

Σχήµα 9.18 Καµπύλη ικανότητας και χαρακτηριστικές στάθµες συµπεριφοράς

67

Σχήµα 9.19 Κατανοµή πλαστικών κόµβων και ποσοστά πλαστικοποίησης σε τέσσερις

στάθµες συµπεριφοράς