1

Dodatak B Furijeovi redovi

Posmatrajmo na intervalu ],[ ll− neku funkciju )(xf i neka je ona na tom intervalu neprekidna u delovima (ima konačan broj prekida prve vrste - prekidi u kojima funkcija ima konačan skok sa leve na desnu graničnu vrednost (vidi Sl. B.1). Tada se mogu izračunati brojevi,

∫−

=π

=l

l

n ndxl

xnxf

la ,...1,0,cos)(

1 (B.1a)

∫−

=π

=l

l

n ndxl

xnxf

lb ,...2,1,sin)(

1 (B.1b)

koji predstavljaju koeficijente u Furijeovom redu posmatrane funkcije:

∑∞=

π+π+1

0 sincos2 n

nn l

xnb

l

xna

a (B.2)

y

x

2x 1x l− l

)0()0(

)0()()0(

22

111

+≠−

+≠=−

xfxf

xfxfxf

Slika B.1- Funkcija )(xf , neprekidna u delovima na intervalu ],[ ll−

2

Konvergencija Furijeovog reda

Postavljaju se pitanja,

• konvergencije formiranog reda (B.2), i

• ako je u nekoj tački x red konvergentan, da li je njegova suma jednaka vrednosti funkcije u toj tački , )()( xfxs =

Odgovor na njih daje sledeća teorema [Hadžić,O ]. Ako je funkcija )(xf na posmatranom intervalu ],[ ll− neprekidno-diferencijabilna u delovima (i njen prvi izvod je kao i funkcija, neprekidan u delovima) Furijeov red te funkcije (B.2.) konvergira u svakoj tački intervala, pri čemu je,

• u tačkama u kojima je funkcija neprekidna :

)()( xfxs = (B.3a)

• u tačkama prekida u intervalu ),( ll− :

2

)0()0()(

++−=

xfxfxs (B.3b)

• na krajevima intervala:

2

)0()0()()(

−++−==−

lflflflf (B.3c)

Furijeov red (B.2) za posmatranu neprekidno-diferencijabilnu u delovima, funkciju )(xf se naziva i razvoj funkcije )(xf u Furijeov red.U priručniku [Bronštejn, ... ] mogu se naći razvoji u Furijeov red za niz elementarnih funkcija.

Vidimo da je Furijeov red neke funkcije, zadate na ograničenom intervalu ],[ ll− , definisan na celoj brojnoj pravoj, ∞<<∞− x , te da je njegova suma periodična funkcija sa

periodom koje imaju funkcije lxπcos i lxπsin :

ll

T 22

=π

π= (B.4.)

Tako, formule za Furijeove koeficijente se mogu napisati preko periode T kao,

∫−

=π

=

2

2

,...1,0,2

cos)(2

T

T

n ndxT

xnxf

Ta (B.5a)

∫−

=π

=

2

2

,...2,1,2

sin)(1

T

T

n ndxT

xnxf

lb (B.5b)

a sam red kao:

3

∑∞=

π+π+1

0 2sin

2cos

2 nnn T

xnb

T

xna

a (B.6)

Periodi čko produženje funkcije

Na osnovu prethodnih zapažanja u vezi sa karakteristikama Furijeovog reda, nameće se ideja tzv. periodičkog produženja funkcije )(xf sa datog intervala ),[ ll− na celu brojnu pravu ∞<<∞− x . Ono je ilustrovano na Sl. B.2. Ako funkciju nastalu peridičkim

produžavanjem funkcije )(xf označimo sa )(xf)

, imamo:

,...2,1,0),,[),()()2( ±±=−∈=+=+ kllxxfkTxfklxf))

(B.7)

a Furijeov red polazne funkcije je istovremeno i Furijeov red funkcije )(xf)

.

)(xf

y

x

l3 0 l− l l5− l3− l5

)(xfy)

=

Slika B.2 - Periodičko produženje funkcije )(xf

Jasno je da se u slučaju da je funkcija )(xf , odnosno funkcija )(xf)

parna ili neparna, njen razvoj u Furijeov red (B.6) redukuje na kosinusni (sadrži samo kosinusne funkcije) ili sinusni red. Tako, iz (B.5a,b) izvodimo:

• ako je )(xf)

parna funkcija ,

∫ =π

=

2

0

,...1,0,2

cos)(ˆ4T

n ndxT

xnxf

Ta (B.8a)

,...2,1,0 == nbn (B.8b)

• ako je )(xf)

neparna funkcija,

,...1,0,0 == nan (B.9a)

∫ =π

=

2

0

,...2,1,2

sin)(ˆ4T

n ndxT

xnxf

Tb (B.9b)

4

U praktičnim problemima, često je funkcija )(xf , koju razivijamo u Furijeov red, zadata na intervalu ],0[ l . Da bi iskoristili uočeno pojednostavljenje reda, kad je funkcija parna ili neparna, pre no što izvršimo periodičko produženje na celu brojnu pravu, datu funkciju produžimo na interval ]0,[ l− i to tako da rezultujuća funkcija bude parna ili neparna. Opisani postupak ćemo zvati parno ili neparno produženje funkcije )(xf (vidi Sl. B.3a,b)

Slika B.3a – Parno produženje funkcije )(xf

Slika B.3b – Neparno produženje funkcije )(xf

PRIMER B.1 Razviti u Furijeov red funkciju,

]1,0[,)( ∈= xxxf (B.10)

Na slici su prikazane periodične funkcije sa periodom 212 =⋅=T , nastale neparnim i parnim produženjem date funkcije.

U slučaju neparnog produženja (grafik a) na slici), imamo,

)1,1[,)(ˆ −∈= xxxf (B.11)

i koeficijenti na su jednaki nuli, a za koeficijente nb , jedn. (B.9b) daje:

∫∫ ⋅π=π

=1

0

1

0

sin22

2sin

2

4dxxnxdx

xnxbn

y

x l3− l− l l3

)(xf

l− l

y

x

l3−

l3

)(xf

5

x

y y

x

1

1

a) Neparno produženje funkcije b) Parno produženje funkcije

Slika uz primer B.1.

( ) ( )

( ) ( ) ,...2,112

12

cos2

sincos2

1

0

1

1

022

=−π

=−π

−=

ππ

=π+ππ−π

=

− nnn

b

xnxn

xnxnxnn

b

nnn

n

Tako dobijamo sinusni red:

−π+π−ππ=π−π∑

∞

=

−

L

3

3sin

2

2sinsin

2sin

)1(2

1

1 xxxxn

nn

n

(B.11a)

Pošto je posmatrana periodična funkcija )(ˆ xf neprekidna u delovima, dobijeni Furijeov red je konvergentan u celoj oblasti ∞<<∞− x a njegova suma je, u svim tačkama u kojima je funkcija neprekidna, jednaka samoj funkciji. Tako, možemo da pišemo:

)1,0[,sin)1(2

1

∈π−

π= ∑∞

=

xxnn

xn

n

(B.11b)

Za 21=x , na desnoj strani jednakosti dobijamo brojni red i ostavljamo čitaocu da pokaže:

( )

412

1

9

1

7

1

5

1

3

11

0

π=

+

−=−+−+− ∑∞

=n

n

nL (1. red u Tab.1.1)

U slučaju parnog produženja (grafik b) na slici), imamo,

]1,1[,)(ˆ −∈= xxxf (B.12)

i koeficijenti nb su jednaki nuli, a za koeficijente na , jednačina (B.8a) daje:

1.21

0

0 ∫ == xdxa

6

( )1

022

1

0

sincos2

cos2 xnxnxnn

xdxnxan ππ+ππ

=π= ∫

[ ] ,...2,1,1)1(2

cos2

22

1

022

=−−π

=ππ

= nn

xnn

a nn

Koeficijenti sa parnim indekson, ,...2,1,2 == kkn , jednaki su nuli, a oni sa neparnim:

,...2,1,)12(

42212 =

−π−=

−k

ka k

Tako dobijamo kosinusni red:

∑∞= −

−

π−

122 )12(

)12cos(4

2

1

k k

xk

Pošto je posmatrana periodična funkcija neprekidna, dobijeni Furijeov red je konvergentan u celoj oblasti ∞<<∞− x i njegova suma je jednaka samoj funkciji. Dakle, možemo da pišemo:

]1,0[,)12(

)12cos(4

2

1

122

∈−

−

π−= ∑∞

=

xn

xnx

n

(B.12a)

kao i,

]1,1[,)12(

)12cos(4

2

1

122

−∈−

−

π−= ∑∞

=

xn

xnx

n

(B.12b)

Za 0=x , dobijamo numerički red pod rednim brojem 8, u Tab.1.1.

PRIMER B.2 Formulisati trigonometrijski finkcijski red čija je suma jednaka jedinici na intervalu 10 <≤ x .

Traženi red ćemo dobiti kao Furijeov red funkcije,

]1,0[,1)( ∈= xxf

Najpre ćemo je produžiti na interval ]0,1[− i to na paran način, jer bi neparno produženje (Sl.1 uz Primer) imalo tačku prekida 0=x u kojoj bi suma reda bila:

02

11

2

)0()0()0( =

+−=

++−=

ffs

7

y

x

1

1

Slika 1. uz Primer B.2- Neparno produženje funkcije

2 -2

- 3 3 -3 3 x

y

1

1

y

x

1

1

T

T

(a) (b)

Slika 2. uz Primer B.2- Parno produženje funkcije

Dakle, treba uz pomoć formule (B.8a) izračunati koeficijente u kosinusnom redu:

∑∞=

π+

1

0 2cos

2 nn T

xna

a

Parno produženje označeno sa )(a na Sl. 2. uz Primer, kao rezultat bi imalo trivijalno rešenje:

,...2,1,0,20 === naa n

koje nas ne zanima. Zato ćemo konstruisati parno produženje date funkcije, dato na istoj slici

sa oznakom )(b .Vidimo da rezultujuća periodična funkcija )(ˆ xf ,

−∈∪−−∈−=

)1,1[,1

]2,1[)1,2[,1)(ˆ

x

xxf (B.13)

ima period 4=T . Tako, iz (B.8a) za koeficijente u kosinusnom redu dobijamo:

,...1,0,2

sin4

2sin

2sin

2

2cos)1(

2cos1

2cos)(ˆ2

cos)(ˆ4

2

1

1

0

2

1

1

0

2

0

2

0

=ππ=

π−π

π=

π⋅−+π⋅=π=π= ∫∫∫ ∫n

n

n

xnxn

na

dxxn

dxxn

dxxn

xfdxT

xnxf

Ta

n

T

n

Koeficijenti sa parnim indeksom su jednaki nuli, a oni sa neparnim:

,...1,0,)5.0(

)1(2)1(

)12(

4

2

12sin

)12(

412 =

π+

−=−

π+=π

+

π+=+ k

kk

k

ka

kk

k

8

Konačno rešenje je :

)1,0[,)5.0cos(5.0

)1(21

0

∈π++

−

π= ∑∞

=

xxnkn

k

(B.14)

Ravnomerna konvergencija Furijeovog reda

Neophodan uslov da Furijeov red neke funkcije )(xf bude na intervalu ],[ ll− ravnomerno konvergentan je, prema stavu 1. o osobinama ravnomerno konvergentnih redova (Pogl. 1.2), neprekidnost sume reda )(xs . Dakle, ako suma reda )(xs nije neprekidna, a to znači (vidi jedn.B.3.b,c):

• funkcija )(xf nije neprekidna u intervalu ],[ ll− , ili

• )()( lflf ≠−

Furijeov red posmatrane funkcije nije ravnomerno konvergentan na intervalu ],[ ll− .

Primeri:

1. Furijeov razvoj funkcije ]1,0[,)( ∈= xxxf dobijen u Primeru B.1, kao Furijeov

red (B.11a) njenog neparnog produženja, )1,1[,)(ˆ −∈= xxxf , nije ravnomerno konvergentan

u intervalu ]1,0[ , jer )1(ˆ)1(ˆ ff ≠−

2. Furijeov razvoj funkcije ]1,0[,1)( ∈= xxf dobijen u Primeru B.2, kao Furijeov red (B.14) njenog parnog produženja (B.13), nije ravnomerno konvergentan u intervalu ]1,0[ , jer

)(ˆ xf ima prekide prve vrste u tačkama 1,1−=x .

Dovoljan uslov ravnomerne konvergencije Furijeovog reda (B.2) funkcije )(xf na intervalu ],[ ll− daje sledeća teorema [Hadžić,O ]. Ako je funkcija )(xf neprekidna na intervalu ],[ ll− , ima neprekidan prvi izvod u delovima i važi : )()( lflf =− , njen razvoj u Furijeov red konvergira funkciji ( )()( xfxs = ) ravnomerno na tom intervalu. Pri tom je red ravnomerno konvergentan na celoj brojnoj pravoj ∞<<∞− x , kao i na svakom zatvorenom

ograničenom podintervalu i pri tome je )(ˆ)( xfxs = .

Primer :

Furijeov razvoj funkcije ]1,0[,)( ∈= xxxf dobijen u Primeru B.1, kao Furijeov red

(B.12a) njenog parnog produženja ]1,1[,)(ˆ −∈= xxxf je ravnomerno konvergentan u celoj

oblasti ∞<<∞− x , jer )(ˆ xf zadovoljava sve uslove date teoreme.

Drugi dovoljan uslov se dobija primenom Vajerštrasovog kriterijuma . Imajući u vidu nejednakosti,

nnnnnn bal

xnb

l

xna

l

xnb

l

xna +≤

π+

π≤

π+

πsincossincos

9

zaključujemo da, ako su numerički redovi ∑∞=1n

na i ∑∞=1n

nb konvergentni, onda je Furijeov red

(B.2) ravnomerno konvergentan u oblasti ∞<<∞− x .

Primer :

Furijeov red

∑∞= −

−

π−

122 )12(

)12cos(4

2

1

n n

xn

funkcije ]1,0[,)( ∈= xxxf , dobijen u Primeru B.1, kao Furijeov red njenog parnog produženja je ravnomerno konvergentan u oblasti ∞<<∞− x , jer je numerički red

∑∞= −1

2)12(

1

n n

apsolutno konvergentan.