Distribuição Gama de Probabilidade - Resolução de Questão
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Enunciado: CP�T/2015 � MARINHA
15. Considere que X é uma variável aleatória contínua que tome somente valores
não negativos. Sabe-se que X tem uma distribuição de probabilidade Gama se
sua função densidade de probabilidade for dada por
f(x) =
α
Γ(r)(αx)r−1 e−αx, x > 0
0, caso contrário.
Essa distribuição depende de dois parâmetros, r e α, dos quais se exige r > 0 e
α > 0. A distribuição que é um caso particular muito importante da
Distribuição Gama, e que é obtida quando α =1
2e r =
n
2, onde n é um
número inteiro positivo, é a distribuição:
(A) Exponencial.
(B) Beta.
(C) Qui-quadrado.
(D) F de Snedecor.
(E) Normal Bidimensional.
Função Densidade de Probabilidade
� X ∼ Exponencial: f(x) = α e−αx, x > 0, α > 0
� X ∼ Beta: f(x) =Γ(α+ β)
Γ(α)Γ(β)xα−1(1− x)β−1, 0 < x < 1;
� X ∼ Qui-quadrado: f(x) =(1/2)n/2
Γ(n2
) xn2−1 e−
x2 , x > 0;
� X ∼ Fυ1,υ2 : f(x) =Γ(υ1+υ2
2
)Γ(υ12
)Γ(υ22
) · (υ1υ2
)υ12
· xυ12−1(
1 + υ1υ2x)υ1+υ2
2
0 < x <∞, υ1, υ2 = 1, 2, 3, . . .
� X ∼ Normal Bidimensional:
f(x, y) =1
2πσ1σ2√
(1− ρ)×
× exp
[(x− µ1σ1
)2
+
(y − µ2σ2
)2
− 2ρ
(x− µ1σ1
)(y − µ2σ2
)]
Densidade da Distribuição Gama
Considerando X com distribuição gama com parâmetros α e r. Sua densidade é
dada por:
f(x) =α
Γ(r)(αx)r−1 e−αx, x > 0
f(x) =αr
Γ(r)xr−1 e−αx, x > 0
Seja Y uma variável aleatória com distribuição qui-quadrado com parâmetros ngraus de liberdade. Sua densidade é dada por:
f(y) =(1/2)n/2
Γ(n2 )yn/2−1 e−
12y, y > 0
Dica
Seja X uma variável aleatória com distribuição gama com parâmetros α e r.
f(x) =αr
Γ(r)xr−1 e−αx, x > 0
Considere Y distribuição gama com parâmetros α e r = 1. Sua densidade é:
f(y) =α1
Γ(1)y1−1 e−αy, y > 0
f(y) = α e−αy, y > 0
Conclusão: Se X ∼ Gama(α, 1)⇒ X ∼ Exponencial(α).
RESUMO
Seja X com distribuição gama com parâmetros α e r.
f(x) =αr
Γ(r)xr−1 e−αx, x > 0
i. para α = 1/2 e r = n/2⇒ X ∼ χ2n (n graus de liberdade);
ii. para α > 0 e r = 1⇒ X ∼ Exponencial α;
Enunciado: CP�T/2015 � MARINHA
15. Considere que X é uma variável aleatória contínua que tome somente valores
não negativos. Sabe-se que X tem uma distribuição de probabilidade Gama se
sua função densidade de probabilidade for dada por
f(x) =α
Γ(r)(αx)r−1 e−αx, x > 0
0, caso contrário.
Essa distribuição depende de dois parâmetros, r e α, dos quais se exige r > 0 e
α > 0. A distribuição que é um caso particular muito importante da
Distribuição Gama, e que é obtida quando α =1
2e r =
n
2, onde n é um
número inteiro positivo, é a distribuição:
(A) Exponencial.
(B) Beta.
(C) Qui-quadrado.
(D) F de Snedecor.
(E) Normal Bidimencional.
